Ecuaciones de Máxwell y ondas electromagnéticas

Transcripción

1 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID Euaiones de Máxwell y ondas eletromagnétias 1. Estímese la intensidad y la potenia total de un láser neesario para elevar una pequeña esfera de plástio de 15 µm de diámetro ontra la fuerza de la gravedad. Háganse todas las suposiiones que se onsideren razonables. Supóngase que el plástio tiene aproximadamente la misma densidad que el agua. Para que la esfera esté en equilibrio, la fuerza ejerida por el láser tiene que ser igual al peso. La fuerza que ejere el láser F l sobre un área A está relaionada on la presión de radiaión P r según la expresión: file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... F l = P r A = 1 4 P rπd 2 = mg donde se ha tenido en uenta que el láser realiza fuerza a través del área inferior de la esfera, que es igual al área de un írulo de diámetro d, y la ondiión de equilibrio dinámio. La presión de radiaión es el oiente entre la intensidad del haz y la veloidad de la luz, por lo que: P r = I Sustituyendo se tiene: 1 I 4 πd2 = mg I = 4mg πd 2 La masa de la esfera será su volumen por su densidad: m = ρv = ρ 4 3 πr3 = ρ 1 6 πd3 Sustituyendo se obtiene la expresión para la intensidad I: Sustituyendo valores tiene: I = 4mg πd 2 = 4ρ 1 6 πd3 g πd 2 = 2 3 ρdg I = kg/m 3 ) 15 µm) 9,81 m/s 2) ) = 2, W/m 2 Una vez onoida la intensidad, la potenia P se obtiene multipliando ésta por el área: P = I 1 4 πd2 P = 1 4 π 15 µm)2 2,94 10 W/m 2) = 5,20 mw 1

2 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID Algunos esritores de ienia fiión han utilizado velas solares para propulsar naves interestelares. Imagínese una vela gigantesa oloada sobre una nave interestelar sujeta a la presión de radiaión. a) Muéstrese que la aeleraión vienen dada por PsA s A 4πr 2 m donde A es el área de la vela, r la distania al sol, m la masa total de la nave, la veloidad de la luz y P s es la potenia total emitida por el Sol, y que toma un valor 3, W. b) Muéstrese que la veloidad de la nave a una distania r del Sol sigue una expresión: v 2 = v 2 Ps P s A 0 + 2πm ) 1 1 ) r 0 r file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... donde v 0 es la veloidad iniial de la nave a una distania r 0. ) Compárese las aeleraiones relativas debidas a la presión de radiaión y a la fuerza gravitaional. Úsese valores razonables para A y m. Funionaría un sistema similar? a) Para alular la aeleraión hay que tener en uenta que sobre la nave atuarán la fuerza debida a la radiaión F r y la fuerza de la gravedad ejerida por el Sol F g. De esta forma, la aeleraión queda: F r F g m La fuerza que sobre la nave debida a la presión de radiaión P r es: F r = P r A donde diha presión se puede obtener omo la intensidad de la radiaión dividida por la veloidad de la luz P r = I. Sustituyendo esta expresión se obtiene la fuerza debida a la radiaión: F r = IA La intensidad a una determina distania r es igual a la potenia total emitida P s dividida por el área del frente de onda, es deir, I = Ps, on lo que la fuerza debida a la radiaión 4πr 2 queda: P s A 4πr 2 = 4πr 2 F r = Por otra parte, la fuerza de la gravedad del Sol es: F g = G M sm r 2 Sustituyendo la expresión de las dos fuerzas en la de la aeleraión, se tiene: G Msm 4πr 2 r 2 m = GM 4π sm mr 2 Para áreas muy grandes, la omponente de la gravedad en la aeleraión se puede despreiar, on lo que queda una aeleraión: 4πmr 2 2

3 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID b) En el anterior apartado se ha obtenido la aeleraión en funión de la distania al sol, on lo que se puede obtener la veloidad en funión de la distania al sol: dv dt = 4πmr 2 dv v dt v = dv dt v dr dt = dv dr v = 4πmr 2 vdv = dr 4πmr 2 Integrando la anterior igualdad entre un punto iniial y un punto genério se tiene: v r P s Adr vdv = v2 v 0 4πmr 2 2 v2 0 2 = P sa 1 1 ) v 2 = v0 2 = P sa 1 1 ) 4πm r 0 r 2πm r 0 r r 0 file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... ) El oiente entre las aeleraiones se puede obtener a partir de a fórmula anterior onseguida para la aeleraión, previamente a despreiar la omponente gravitatoria: a g = GM sm P a sa r 4π = 4πGM sm P s A En funión de A y m, el oiente queda: = 4π m/s) 6, Nm 2 /kg 2) 2, kg) m 3, W A a g = 1, m 2 /kg ) m a r A Para que la aeleraión debida a la fuerza gravitatoria se pueda despreiar, hae falta que la relaión entre la masa de la nave y el área de la vela sea bastante menor de 10 3 kg/m 2. Esto implia que la nave tiene que se extremadamente pequeña y las velas extremadamente grandes para ese peso, lo que hae que un sistema de este tipo sea muy difíil de onstruir. 3. La intensidad de luz solar que inide sobre la parte superior de la atmósfera llamada onstante solar) es de 1,37 kw/m 2. a) Enuéntrese el E rms y el B rms debido al Sol en la parte superior de la atmósfera. b) Enuéntrese la potenia media que emite el Sol. ) Enuéntrese la intensidad y la potenia de radiaión en la superfiie del Sol. a) La intensidad se relaiona on E rms y B rms mediante la expresión: I = E rmsb rms µ 0 mientras que se umple que E rms = B rms, por lo que la intensidad se puede expresar en funión úniamente de E rms omo: I = E2 rms µ 0 E rms = µ 0 I E rms = ) 4π 10 7 N/A 2) 1,37 kw/m 2) = 719 V/m Y el ampo magnétio queda: B rms = E rms / = 719 V/m 3 = 2,40 µt

4 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID b) La potenia media P m en términos de la onstante solar resulta ser: P m = 4πR 2 I donde R es la distania tierra sol. Por tanto: P m = 4π 1, m ) 2 1,37 kw/m 2 ) = 3, W file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... ) La intensidad en la superfiie del Sol I s, en términos de la potenia media que emite el Sol y su radio R s resulta ser: I s = P m 4πR 2 s = 3, W 4π 6, m) 2 = 6, W/m 2 Por último, la presión de radiaión en la superfiie del Sol P s se obtiene omo: P s = I s = 6, W/m 2 = 0,212 Pa 4. Estímese la fuerza que la presión de radiaión del Sol ejerida sobre la Tierra, y ompárese on la fuerza de atraión gravitatoria del Sol. La intensidad de la luz solar en la órbita terrestre es de 1,37 kw/m 2 Si se onoe la presión de radiaión, la fuerza ejerida se obtiene multipliando por el área donde se ejere. La presión de radiaión se obtiene a partir de la intensidad omo: P r = I Por lo que la fuerza que ejere la presión de la radiaión sobre la tierra será: F r = P r A = IπR2 T donde R T es el radio de la Tierra. F r = π 1,37 kw/m 2) 6370 km) 2 = 5, N La fuerza gravitatoria es: F g = GM SM T RT 2 S donde R T S es la distania de la Tierra al Sol. Sustituyendo valores: F g = 6, Nm 2 /kg 2) 1, kg) 5, kg) 1, m) 2 = 3, N El oiente entre las dos fuerzas queda: F r = 5, N F g 3, N = 1, La fuerza gravitatoria es atore órdenes de magnitud superior a la fuerza de la presión de radiaión. 4

5 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID Repítase el problema 4 para el planeta Marte. En qué planeta es mayor la relaión entre la fuerza de la presión de radiaión y la fuerza gravitatoria? Por qué? Si se onoe la presión de radiaión, la fuerza ejerida se obtiene multipliando por el área donde se ejere. La presión de radiaión se obtiene a partir de la intensidad de la radiaión solar sobre Marte omo: P r = I M Por lo que la fuerza que ejere la presión de la radiaión sobre Marte será: F r = P r A M = I MπR 2 M file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... donde R M es el radio de Marte. La intensidad de la radiaión solar sobre Marte se puede obtener a partir de la intensidad sobre la Tierra I T y de los radios de las órbitas de Marte y la Tierra, r M y r T, omo: ) 2 ) 2 I M rt rt = I M = I T I T r M r M Teniendo esto en uenta, la fuerza ejerida por la presión de radiaión queda: F r = I T πr 2 M ) 2 rt r M F r = π 1,37 kw/m 2) 3395 km) 2 1, m) r T 2, m) La fuerza gravitatoria que el Sol ejere sobre Martes es: F g = GM SM M R 2 MS = GM S0,11M T ) R 2 MS ) 2 = 7, N donde R MS es la distania de Marte al Sol y M M la masa del planeta, y donde se ha utilizado que la masa de Marte es 0,11 la masa de la Tierra M T. Sustituyendo valores: F g = 6, Nm 2 /kg 2) 1, kg) 0,11) 5, kg) 2, m) 2 = 1, N El oiente entre las dos fuerzas queda: F r = 7, N F g 1, N = 4, El oiente entre fuerza de radiaión y gravitatoria es mayor para Marte que para la Tierra. Esto se debe a que el oiente no depende de la distania del planeta al Sol, ya que ambas fuerzas depende de esta distania omo r 2, mientras que sí existe dependenia on el radio del planeta R. En onreto, la fuerza de radiaión depende omo R 2, mientras que la fuerza gravitatoria omo R 3. Si se supone una densidad similar para la Tierra y Marte, el oiente depende omo R 2 /R 3 = R 1, por lo que será mayor para Marte al tener menor radio. 5

6 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID En el nuevo ampo del enfriamiento por láser, las fuerzas asoiadas a la presión de radiaión son usadas para frenar veloidades térmias de átomos desde ientos de metros por segundo, en temperaturas ambiente, a poos metros por segundo o inluso más lento. Un átomo aislado absorberá radiaión sólo a unas freuenias espeífias de radiaión, llamadas freuenias de resonania. Si la freuenia del haz láser es la misma que la freuenia de resonania del átomo, entones la radiaión se absorbe mediante un proeso llamado absorión resonante. La seión efiaz efetiva del átomo resonante la superfiie que el átomo presenta a la la radiaión) es aproximadamente igual a λ 2, donde λ es la longitud de onda del haz láser. a) Estimar la aeleraión de un átomo de rubidio masa atómia de 85 g/mol) en un haz láser uya longitud de onda sea de 780ñm y su intensidad 10 W/m 2. b) Cuánto tiempo tardará un haz de este tipo para frenar un átomo de rubidio de un gas a temperatura ambiente 300 K) hasta una veloidad erana a ero? a) Se puede utilizar la segunda ley de Newton para obtener la aeleraión a partir de la fuerza ejerida por la presión de radiaión del haz láser, que es igual a la presión de radiaión por la seión efiaz efetiva del átomo A. La presión de radiaión se puede obtener omo la intensidad del haz partido por la veloidad de la luz, on lo que la fuerza que ejere la radiaión queda: file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... Apliando la segunda ley de Newton: F r = P r A = IA = Iλ2 m Iλ2 Iλ2 m 10 W/m 2 ) 780 nm) 2 ) 85 g 1 mol 3 10 mol 6, partíulas 8 m/s) = 1, m/s 2 b) Para estimar el tiempo neesario, se utiliza la relaión entre la aeleraión y la variaión de veloidad, on lo que se tiene: t = v f v 0 a Como se supone que la veloidad final es aproximadamente nula, se tiene que el tiempo empleado es aproximadamente: t = v 0 a Consindérese la veloidad iniial omo la veloidad uadrátia media v rms de los átomos de un gas a una determinada temperatura, que resulta ser: 3kT v rms = m Sustituyendo en la expresión del tiempo se tiene: t = 1 3kT a m 6

7 Zero Order of Magnitude ZOoM)-PID Se sustituyen valores y se tiene: 1 t = 1, m/s 2 3 1, J/K) 300 K) ) = 2,06 ms 85 g mol 1 mol 6, partíulas file:///x:/pids/zero%20order%20of%20magnitude/pre-evaluacion/tiplermos... 7