Unidad N 2: Probabilidades. Elementos de Probabilidades

Transcripción

1 Unidad N 2: Probabilidades Elementos de Probabilidades Los primeros estudios de probabilidad fueron motivados por la posibilidad de aierto o fraaso en los juegos de azar. La probabilidad es un meanismo por medio del ual pueden estudiarse suesos aleatorios, es deir, operaiones uyo resultado no puede ser prediho de antemano on seguridad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda. Enfoques de probabilidad 1) Experimento aleatorio o experimento: ualquiera operaión uyo resultado no puede ser prediho de anterioridad on seguridad. Ejemplo: a) lanzamiento de una moneda b) lanzamiento de un dado ) extraión de una arta de una baraja de 52 artas 2) Espaio muestral: es el onjunto de todos los posibles resultados asoiados a un experimento. Su símbolo es. Si el espaio muestral tiene un número finito de elementos o infinito numerable, entones se die que éste es disreto y si el espaio muestral tiene omo elementos todos los puntos de algún intervalo real, entones se die que éste es ontinuo. Ejemplo: a) experimento:lanzamiento de un dado b) experimento: tiempo de duraión de un tubo fluoresente { } 3) Evento o sueso: es ualquier subonjunto de un espaio muestral. Todo subonjunto es un evento, en partiular mismo es un evento, llamado sueso seguro y el onjunto vaío,, también es un evento, llamado sueso imposible. Ejemplo: A obtener un número impar al lanzar un dado A B obtener al menos una ara al lanzar una moneda dos vees B Como los eventos son subonjuntos de, entones es posible apliar la teoría de onjuntos para obtener nuevos eventos. Si A y B son eventos, entones también lo son A B, A B, A A B ourre si, y sólo si sólo ourre A o sólo ourre B u ourren A y B a la vez. A B ourre si, y sólo si ourre A y ourre B a la vez. A ourre si, y sólo si no ourre A. 58

2 En todo experimento aleatorio omplementos son tomados respeto a. se onsidera el onjunto universal, por lo tanto, todos los Ejemplo Considere el experimento lanzamiento de dos dados. a) Determine el espaio muestral b) Obtenga los siguientes eventos: A la suma de los dos números es un múltiplo de dos B ambos dados muestran la misma ara C los dos números son primos D la resta de los dos números es divisible por tres ) Enuentre, si es posible, A B, C D, B, B C A B C D AB A CD B B C 59

3 Conepto de probabilidad en espaio finito equiprobable Si es un espaio muestral on elementos, entones la probabilidad de un evento A es el uoiente, donde es el número de elementos de A Esto se denota: PA Ejemplo lanzamiento de un dado A aparee un múltiplo de tres A PA Definiión : Diremos que dos eventos A y B son mutuamente exluyentes o disjuntos pueden ourrir juntos, es deir A B si no Por ejemplo, lanzamiento de un dado A aparee un múltiplo de tres B aparee un múltiplo de uatro Luego, A y B son eventos disjuntos, porque A B Axiomas de probabilidad Sea un espaio muestral y sean A y B dos eventos ualesquiera de este: Axioma1 P Axioma2 PA A Axioma3 PA B PA PB si AB En general, P PPPP on De estos tres axiomas fundamentales es posible determinar algunas propiedades y onseuenias: Teorema1 a) P Demostraión P P P PP pues P 60

4 b) PA 1 PA Demostraión AA P PAA P PAPA pues A A PA PA 1PA PA ) Si A B, entones PA PB Demostraión B ABA PB P[ABA] PB PA PB A pues ABA Luego PA PB Corolario PA 1 Demostraión A P PA P 0 PA 1 61

5 Teorema 2 a) PA B PAPBPA B Demostraión AB ABA PA B P[ABA] PA B PAPB A pues A B A PA BPA PB A 1 Por otro lado B ABBA PB PA BPB A pues ABBA PB PA B PB A 2 de 1 y 2 PABPA PBPAB PA B PA PB PA B 62

6 b) PA B PAPA B Demostraión AB ABB PA B P[A BB] PA PB PA B PA BPB pues ABB PA PA B PA B Corolario PA BC PA PB PC PA BPA CPB CPA BC Demostraión ABC ABC PA BC P[A BC] PABPCP[ ABC] PA PB PA BPC P[A CBC] PA PB PA BPC PA CPB CPA BC PA PB PC PA BPA CPB CPA BC 63

7 Teorema3 Sea un espaio muestral y A un evento de, A, entones PA PA 1PA 2PA 3PA k PA i Donde A i son eventos disjuntos uya unión es A Demostraión A A1 A2 A 3... Ak PA PA 1 A2 A 3... Ak PA PA 1PA 2PA 3PA k pues Ai Aj PA PA i Ejemplos 1) Suponga que A y B son eventos para los uales PA ; PB y PA B. Determine: a) PA B b) PA B ) PA B d) PA B Soluión a) PA B P[ A B ] 1 PA B b)pa B P[ A B ] 1 PA B PAPAB ) PA B PB A PB PA B 64

8 d) PA B P[ A B ] PAB PA PB PA B 2) De la produión de tornillos de ierta magnitud resulta que el 5 % de ellos no tienen el largo espeifiado, el 7 % no tienen el diámetro espeifiado y el 2 % tiene ambos defetos. Se elige un tornillo al azar de la produión de estas magnitudes. Cuál es la probabilidad que: a) tenga al menos uno de los dos defetos?. b) tenga sólo el defeto del largo? ) tenga sólo uno de los dos defetos? d) no tenga defetos? Soluión A tornillos on defeto del largo B tornillos on defeto del diámetro a) PA B PA PB PA B La probabilidad de que tenga al menos uno de los dos defetos es de 0,10 b) PA B PA PA B La probabilidad de que tenga sólo el defeto del largo es de 0,03 ) PA B PB A PB PA B La probabilidad de que tenga sólo uno de los dos defetos es de 0,08 d) PA B PA B La probabilidad de que no tenga defetos es de 0,90 65

9 3) La alimentaión de ierta espeie se onsidera ompleta si ada individuo onsume tres tipos de alimentos en antidades adeuadas. En una poblaión se enontró que el 75 % onsume alimento tipo A, el 70 % alimento tipob, el 50 % alimento tipo C, el 50 % alimento tipo A y B, el 30 % alimento tipo A y C, el 30 % alimento tipo B y C y el 15 % onsume de los tres tipos de alimentos. Se elige un individuo al azar en la poblaión, alular la probabilidad que: a) onsuma sólo alimento tipo C. b) onsuma sólo un tipo de alimento. ) onsuma al menos dos tipos de alimentos Soluión M individuo de la poblaión que onsume alimento tipo A N individuo de la poblaión que onsume alimento tipo B Q {individuo de la poblaión que onsume alimento tipo C} a) La probabilidad de que un individuo sólo onsuma alimento tipo C es de 0,05 b) La probabilidad de que un individuo onsuma sólo un tipo de alimento es de 0,20. ) La probabilidad de que un individuoonsuma al menos dos tipos de alimentos es de 0,80. 66

10 Ejeriios 1) Si A,B y C son eventos mutuamente exluyentes, y P(A) P(B) P(C) Enuentre a) P(A U B U C) b) P A ( B U C ) ) P( B U C ) 2) Sean A y B eventos tales que PA PB PA B alule a) PA b) PB ) PAB d) PAB e) PA B f) PA B 3) De un total de 500 estudiantes, se enuentra que 210 fuman, que 258 toman bebidas alohólias, que 216 toman alimentos entre omidas, que 122 fuman y toman bebidas alohólias, que 83 toman alimentos entre omidas y también bebidas alohólias, que 97 fuman y toman alimentos entre omidas y que 52 pratian estos tres dañinos hábitos. Si se esoge aleatoriamente a un miembro de esta generaión, enuentre la probabilidad de que el estudiante a) fumen, pero no tome bebidas alohólias. b) tome alimentos entre omidas e ingiera bebidas alohólias, pero no fume. ) no fume y no tome alimentos entre omidas. 4) La probabilidad de que una industria XX se ubique en la iudad A es de 0,7; de que se loalie en la uidad B es de 0,4 y de que se enuentre en A o en B, o en ambas es de 0,8. Cuál es la probabilidad de que la industria se loalie a) en ambas uidades?. b) en ninguna de ellas?. 5) En una bolsa hay 36 fihas numeradas del 1 al 36, respetivamente. Si se extrae una fiha, alular la probabilidad de que la fiha extraída sea a) un número par b) un número primo ) un múltiplo de 5 d) un número terminado en 2 e) un número divisible por 6 f) un número impar mayor que

11 Soluión 1) a) P(A U B U C) b) P A ( B U C ) ) P( B U C ) 2) a) PA b) PB ) PA B d) PA B e) PA B f) PA B 3) a) La probabilidad de que fumen, pero no tome bebidas alohólias es b) La probabilidad de que tome alimentos entre omidas e ingiera bebidas alohólias, pero no fume es ) La probabilidad de que no fume y no tome alimentos entre omidas es 4) a) La probabilidad de que la industria se loalie en ambas iudades es b) La probabilidad de que la industria no se loalie en ninguna de ellas es 5) a) La probabilidad de que la fiha extraída sea un número par es b) La probabilidad de que la fiha extraída sea un número primo es ) La probabilidad de que la fiha extraída sea un múltiplo de 5 es d) La probabilidad de que la fiha extraída sea un número terminado en 2 es e) La probabilidad de que la fiha extraída sea un número divisible por 6 es f) La probabilidad de que la fiha extraída sea un número impar mayor que 20 es 68

12 Probabilidad Condiional Cuando se está alulando la probabilidad de un evento A en partiular, y se tiene informaión sobre la ourrenia de otro evento B, esta probabilidad se onoe omo probabilidad ondiional, la ual se denota por PA/B, se lee "probabilidad de A dado B" y se define omo: PA B PA/B on PB PB Las probabilidades ondiionales satisfaen los axionas de probabilidad 1) P /B P B P /B PB PB PB 2) P[ AC /B] PA/BPC/B AC P[ A C /B] P[ A CB] PB P[ A BC B ] PB PA B PC B PB PB PA/B PC/B Ejemplos 1) La probabilidad de que un vuelo de programaión regular despegue a tiempo es PD ; la que llegue a tiempo es PA y la que despegue y llegue a tiempo es PD A. Enuentre la probabilidad de que el avión: a) llegue a tiempo dado que despegó a tiempo. b) despegue a tiempo dado que llegó a tiempo Soluión D A despegar a tiempo llegar a tiempo PA D a) PA/D PD La probabilidad de que el avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo es de 0,

13 PD A b) PD/A PA 2 La probabilidad de que el avión despegue a tiempo dado que llegó a tiempo es de 0,95. 2) En una ofiina hay 100 máquinas aluladoras, algunas de ellas son elétrias E mientras que otras son manuales M. De ellas unas son nuevas N y otras usadas U. El número de máquinas por ategoría está dada en la siguiente tabla: E M Total N U Una persona entra a la ofiina y esoge una máquina al azar, desubre que es nueva. Cuál es la probabilidad que sea elétria? PE N PE/N PN La probabilidad es de 0,57. 3) Un grupo de 500 ejeutivos es lasifiado de auerdo a las araterístias del peso y a la insidenia del peso en la hipertensión. Se da la siguiente tabla: Sobre pesosp Peso normalpn Bajo pesobp Total HipertensoH No hipertensoh Total a) Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertensa? b) Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. Cuál es la probabilidad que también sea hipertensa? ) Una persona elegida al azar no es hipertensa. Cuál es la probabilidad de que tenga peso normal? 70

14 a) PH La probabilidad de que una persona sea hipertensa es de 0,20. PH SP b) PH/SP PSP La probabilidad de que una persona on sobrepeso sea también hipertensa es de 0,40. PN H ) PN/H PH La probabilidad de que una persona no hipertensa tenga también peso normal es de 0,. Uno de los usos más freuentes de la probabilidad ondiional es dar un proedimiento fáil para asignar probabilidades a interseiones de eventos. Del onepto de probabilidad ondiional es posible enontrar una expresión útil, llamada regla del produto, para la probabilidad de interseión de eventos, esta es: PA B PA/B PB PAB PA BPB Así, PABC PA/BCPBC PA/BCPB/CPC PABCD PA/BCDPBCD PA/B C DPB/C DPC D PA/B C DPB/C DPC/DPD 71

15 Ejemplos: 1) Se seleionan 2 fihas al azar, sin reemplazo, de una urna que ontiene 4 blanas y 8 negras. Calular la probabilidad de que: a) ambas sean blanas. b) la segunda sea blana. a) B {fihas blanas} N {fihas negras} PB PN PB B PB PB/B La probabilidad de ambas fihas sean blanas es de 0,09. b) PB1 B2PN1 B 2 PN1PB 2/N1 La probabilidad de que la segunda fiha sea blana es de 0,33. 2) Una aja de fusibles ontiene 20 unidades, de las uales 5 son defetuosas. Si tres de estos fusibles son tomados al azar, en suesión y sin reemplazo. a) Cuál es la probabilidad que los tres sean defetuosos? b) Si en ada una de las dos primeras se extrajo un defetuoso. Cuál es la probabilidad que el terero extraido sea bueno? ) Si los dos primeros estaban buenos. Cuál es la probabilidad que el terero extraído sea defetuoso? d) Cuál es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el terero defetuoso? D {fusible defetuoso} D {fusible no defetuoso} PD PD a) PD D D PD PD/D PD/D D La probabilidad es de 72

16 3 1 2 b) PD /D D La probabilidad es de un. ) PD /D D La probabilidad es de un d) PD D D PD PD/D PD/D D La probabilidad es de un. 73

17 Ejeriios 1) La probabilidad de que un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina neesite también un ambio de aeite es de 0,25 ; la de que requiera un nuevo filtro de aeite es de 0,40 y de que le haga falta tanto ambio de aeite omo de filtro es de 0,14. a) Si se debe ambiar el aeite, uál es la probabilidad de que neesite un filtro nuevo?. b) Si se neesita un filtro nuevo, uál es la probabilidad de que requiera un ambio de aeite?. 2) Para parejas de asados que viven en una ierta iudad de los suburbios., la probabilidad de que el esposo vote en alguna eleión es de 0,21, la de que su esposa lo haga, de 0,28 y la de que ambos voten, de 0,15. Cuál es la probabilidad de a) al menos un miembro de la pareja de asados vote?. b) vote la esposa, dado que su esposo lo hae?. ) vote un esposo, dado que su esposa no lo hae?. 3) De una aja que ontiene 6 pelotas negras y 4 verdes, se saan tres en suesión, reemplazándose ada pelota en la aja antes de extraer la siguiente. a) Cuál es la probabilidad de que las tres sean del mismo olor?. b) Cuál es la probabilidad de que primera pelota sea negra, la segunda verde y la terera negra?. ) Repita las mismas preguntas anteriores, pero asuma que no hay reemplazo. 4) Una urna ontiene 7 bolas rojas y 3 bolas blanas. Se saan 3 bolas de la urna. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la terera blana. a) las bolas se devuelven a la urna. b) las bolas no se devuelven a la urna. 5) En ierta faultad, 25 % de los estudiantes perdieron matemátias, 15 % perdieron químia y 10 % perdieron las dos. Se seleiona un estudiante al azar. a) Si perdió químia, uál es probabilidad de que perdió matemátias? b) Si perdió matemátias, uál es probabilidad de que perdió químia? ) Cuál es probabilidad de que perdió matemátias o químia? 6) Sean A y B eventos on PA, PB y PA B. Hallar a) PA/B b) PB/A ) PA B d) PA /B e) PB /A 7) A un jugador le reparten 5 artas de una baraja orriente de 52 artas. Cuál es la probabilidad de que todas sean orazones?. 8) Una lase tiene 15 niñas y 19 niños. Si se esogen tres estudiantes al azar. Cuál es probabilidad de que a) todos sean niños. b) todos sean niñas. ) al menos uno sea niño d) dos sean mujeres. e) al menos dos sean niños. 74

18 9) Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de automóviles en el siguiente mes es de 0,40. Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de refaiones es de 0,30. Se estima que la probabilidad de que ambas industrias experimenten un aumento en ventas es de 0,10. Cuál es la probabilidad de que a) hayan aumentado las ventas de automóviles durante el mes, dado que existe informaión de que han aumentado las ventas de refaiones? b) hayan aumentado las ventas de refaiones, dado que existe informaión de que aumentaron las ventas de automóviles durante el mes? 75