Probabilidad - 2ºBCS. De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se conocen las probabilidades C. = 0.

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1 Probabilidad - ºBS EJERIIO De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se conocen las probabilidades P ( 0., P ( A / 0. y A B ) 0.. a) alcule A. b) Halle P (. c) Determine si A y B son independientes. a) A / A 0, 0, 0, 0, 6 0, b) + A B ) 0,6 + 0, 0, c) 0, 0, 0,6. Luego A y B son independientes. También, P ( A / 0, EJERIIO En un hospital se han producido 00 nacimientos en un mes. De ellos, 0 son varones y, de éstos, tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que de las niñas nacidas en ese mes tienen los ojos azules. Se elige, al azar, un recién nacido entre los 00 citados. a) alcule la probabilidad de que tenga los ojos azules. b) Si el recién nacido que se elige tiene los ojos azules, cuál es la probabilidad de que sea un varón? 0 00 Varón 0 0 Ojos azules No Ojos azules 9 00 No Varón 9 9 Ojos azules No Ojos azules a) Ojos azules) + + 0, b) Varón Ojos azules) Varón / Ojos azules) Ojos azules) ,9 0,0 0,9 0,9

2 Probabilidad - ºBS EJERIIO Sean A y B dos sucesos tales que P ( 0., ( B ) 0. P y P ( A 0. 6, donde B es el suceso contrario de B. a) Son independiente A y B? b) alcule P ( A / B ). a) Dos sucesos A y B son independientes si. Para comprobarlo debemos calcular primero y : B ) 0, 0, A + 0,6 0, + 0, 0, + 0, 0,6 0, 0, 0, 0, omo, los sucesos A y B no son independientes. b) Para poder aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada debemos calcular antes A B ) + A B ) 0, 0, + A B ) A B ) 0, 0, 0, A B ) 0, A / B ) 0,6 B ) 0, EJERIIO Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60% son mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un %. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es 0.6. a) alcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en la ciudad. b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule la probabilidad de que sea mujer. 0,6 M 0, 0, iud. Urba. 0, H iud / H ) iud. Urba. a) iud.) M) iud./m) + H) iud./h) 0,6 0,6 0, + 0, iud./h) 0,6 0, 0, 0,6 0, + 0, iud./h) iud. / H ) 0, 0, 0, M iud.) 0,6 0, b) M / iud.) 0, 06 iud.) 0,6

3 Probabilidad - ºBS EJERIIO En cierto barrio hay dos panaderías. El 0% de la población compra en la panadería A, el % en la B, y el % en ambas. Se escoge una persona al azar: a) uál es la probabilidad de que esta persona compre en A y no compre en B? b) Si esta persona es cliente de A, cuál es la probabilidad de que también sea cliente de B? c) uál es la probabilidad de que no sea cliente de A ni de B? d) Son independientes los sucesos ser cliente de A y ser cliente de B? a) A + 0, 0, + 0, B 0, b) B / 0, 0, c) A A A [ + ] - (0, + 0, 0,) 0, d) 0, 0, 0,0 0,. Luego no son independientes. EJERIIO 6 Entre las bolas de una máquina de futbolín hay rojas y blancas; en cada partida, la máquina va sacando las bolas de una en una, de forma aleatoria, sin reemplazamiento. alcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) La primera bola es roja. b) Las dos primeras bolas son blancas. c) Las dos primeras bolas son de colores distintos. a) b) R ) 0 B B ) B ) B / B ) 6 0 c) 6 R R R R 6 B R B B 6 R B R B B B color) R B ) + B R )

4 Probabilidad - ºBS EJERIIO En una universidad española el 0% de los estudiantes son extranjeros y, de éstos, el % están becados. De los estudiantes españoles, sólo el % tienen beca. Si se elige, al azar, un alumno de esta universidad: a) uál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca? b) alcule la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que tiene beca. 0, Ext 0, 0, B B 0, Esp 0,0 B 0,9 B a) Esp. 0, 0,9 0, 6 Ext. 0, 0, 0,0 0,0 b) Ext./ 0, 0, 0, + 0, 0,0 0,0 + 0,06 0,0 EJERIIO En un centro de Bachillerato, los alumnos de º son el 60% del total, y los de º el 0% restante. De todos ellos, el 6% posee móvil y el % son de º y tienen móvil. a) alcule la probabilidad de que un alumno de º, elegido al azar, posea móvil. b) Elegido un alumno, al azar, resulta que tiene móvil, cuál es la probabilidad de que sea de º? º M ) 0, a) M /º ) 0, º ) 0,6 b) M) M º) + M º) 0,6 0, + M º) M º) 0,6 0, 0, º M ) 0, º / M º ) 0,60 M ) 0,6 EJERIIO 9 María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es, gana María; y en cualquier otro caso hay empate. a) alcule la probabilidad de que gane Laura. b) alcule la probabilidad de que gane María. 6 a) gana Laura) nº) b) gana María) ( ) 6 6

5 Probabilidad - ºBS EJERIIO 0 Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que: (B indica el complementario del suceso. a) Razone si los sucesos A y B son independientes. b) alcule A. ( B ) P y A / a) b) B ) A / A / Son independientes porque A/, o 6 A + + EJERIIO Una urna contiene bolas rojas y verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos bolas de otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. alcule: a) La probabilidad de que la segunda bola sea verde. b) La probabilidad de que la primera haya sido roja, sabiendo que la segunda también ha sido roja. R V R R V V R V R V R V a) b) 6 V ) R / R 9 )

6 Probabilidad - ºBS 6 EJERIIO El despertador de un trabajador suena en el 0% de los casos. Si suena, la probabilidad de que llegue puntual al trabajo es 0.9; si no suena, llega tarde el 0% de las veces. a) uál es la probabilidad de que llegue puntual? b) Si llega tarde, cuál es la probabilidad de que no haya sonado el despertador? 0, 0, S S 0,9 0, 0, 0, P P P P a) P) 0, 0,9 + 0, 0, 0, + 0,0 0, 0, 0, 0, 0, b) S / P) 0, 6 0, 0, + 0, 0, 0,0 + 0, 0, EJERIIO onsideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados distintos y anotar el producto de sus puntuaciones. a) uál es la probabilidad de que dicho producto sea igual a 6? b) Si sabemos que el producto ha sido, cuál es la probabilidad de que hayan salido los dos dados con la misma puntuación? a) asos posibles: asos favorables: {, 6}, {, }, {, }, {6,} producto 6) 6 9 b) puntuación producto ) puntuación / producto ) 6 producto ) 6 EJERIIO En una ciudad, el 0% de sus habitantes lee el diario A, el % lee el diario B y el 0% lee al menos uno de los dos diarios. a) Los sucesos leer el diario A y leer el diario B son independientes? b) Entre los que leen el diario A, qué porcentaje lee también el diario B? c) Entre los que leen, al menos, un diario, qué porcentaje lee los dos? d) Entre los que no leen el diario A, qué porcentaje lee el diario B? a) A + 0,0 0,0 + 0, 0,0 + 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 omo, los sucesos A y B no son independientes. B 0, b) P ( B / 0,,% de los que leen el diario A (no del total de 0,0 la población) ( ( A ) 0, c) P ( A B / A 0, 0 0% A A 0,0

7 Probabilidad - ºBS d) B + B 0, 0, + B B 0, 0, 0, 0 B 0,0 P ( B / 0,666 6,% 0,60 EJERIIO Un estudiante se presenta a un examen en el que debe responder a dos temas, elegidos al azar, de un temario de 0, de los que se sabe 60. a) uál es la probabilidad de que responda correctamente a los dos? b) uál es la probabilidad de que responda correctamente al menos a uno de los dos? a) responder a los dos) 0, b) al menos ) ninguno) 0,06 0, EJERIIO 6 En los Juegos Mediterráneos Almería 00 se sabe que el % de los atletas son asiáticos, el % son africanos y el resto son europeos. También se sabe que el 0% de los atletas asiáticos, el 0% de los atletas africanos y el % de los atletas europeos hablan español. a) alcule la probabilidad de que un atleta, elegido al azar, hable español. b) Si nos encontramos con un atleta que no habla español, cuál es la probabilidad de que sea africano? 0,0 Habla Esp. Asiático 0,0 0,90 No Habla Esp. 0, Africano 0,0 0,0 Habla Esp. No Habla Esp. 0,0 0, Habla Esp. Europeo 0, No Habla Esp. a) Hablar Esp.) 0,0 0,0 + 0, 0,0 + 0,0 0, 0,00 + 0,0 + 0, 0, b) Africano/No habla esp.) 0, 0,0 0, 0,0 0,90 + 0, 0,0 + 0,0 0, 0,0 + 0, + 0, 0, 0, 0,9

8 Probabilidad - ºBS EJERIIO En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999. a) alcule la probabilidad de que el número premiado termine en. b) alcule la probabilidad de que el número premiado termine en. c) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en, calcule la probabilidad de que el número premiado hoy también termine en. 00 a) termine en ) 0, b) termine en ) 0, c) Si las papeletas se renuevan cada día, los sucesos son independientes. Por tanto 00 terminar hoy en / terminó ayer en ) termine en ) 0, Si no se renuevan las papeletas: 99 terminar hoy en / terminó ayer en ) 0, EJERIIO Una bolsa contiene tres cartas: una es roja por las dos caras, otra tiene una cara blanca y otra roja, y la tercera tiene una cara negra y otra blanca. Se saca una carta al azar y se muestra, también al azar, una de sus caras. a) uál es la probabilidad de que la cara mostrada sea roja? b) uál es la probabilidad de que la cara mostrada sea blanca? c) Si la cara mostrada es blanca, cuál es la probabilidad de que la otra cara sea roja? arta ara A Roja ara B Roja arta arta ara A Blanca ara B Roja ara A Negra ara B Blanca a) b) Roja) Blanca) + c) Roja y Blanca) Roja / Blanca) Blanca) +

9 Probabilidad - ºBS 9 EJERIIO 9 En una agrupación musical el 60% de sus componentes son mujeres. El 0% de las mujeres y el 0% de los hombres de la citada agrupación están jubilados. a) uál es la probabilidad de que un componente de la agrupación, elegido al azar, esté jubilado? b) Sabiendo que un componente de la agrupación, elegido al azar, está jubilado cuál es la probabilidad de que sea mujer? 0,60 Mujer 0,0 0,0 Jubilada No jubilada 0,0 Hombre 0,0 0,0 Jubilado No jubilado a) Jubilado) 0,6 0, + 0, 0, 0, + 0, 0, b) 0,6 0, 0, Mujer / Jubilado) 0, 0, EJERIIO 0 Sean A y B dos sucesos del mismo experimento aleatorio tales que ( 6 P, ( P, a) Son A y B incompatibles? Son independientes? P A /( A. b) alcule [ ] ( A P. a) + + A. Luego A y B son incompatibles A omo, los sucesos A y B no son independientes. P[ A ( A ] 6 /( A A 6 b) P[ A A ]

10 Probabilidad - ºBS 0 EJERIIO En una urna hay bola blanca, rojas y verdes. Se considera el experimento que consiste en sacar primero una bola, si es blanca se deja fuera, y si no lo es se vuelve a introducir en la urna; a continuación se extrae una segunda bola y se observa su color. a) uál es la probabilidad de que salgan bolas del mismo color? b) uál es la probabilidad de que la bola blanca salga en la ª extracción? R B R V B R V V B R V a) bolas del mismo color) b) blanca en la ª extracción) + 6 EJERIIO Sean A y B dos sucesos independientes tales que P ( 0. y P ( A a) alcule P (. b) alcule A B ). c) Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A. a) A y B independientes 0, 0,0 0,0 0, 0, b) + A B ) A B ) 0, 0,0 0, A B ) A B ) 0, 0, c) A / B ) 0, B ) 0, 0,

11 Probabilidad - ºBS EJERIIO Sean A y B dos sucesos independientes tales que P ( 0. 0 y P ( A / 0.. a) uál es la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos? b) uál es la probabilidad de que ocurra el suceso A pero no el B? a) Por ser A y B independientes, A / 0. 0, 0,0 0,0 A + - 0, + 0,0 0,0 0, b) + 0, 0,0 + A 0, 0,0 0, EJERIIO En un determinado curso el 60% de los estudiantes aprueban Economía y el % aprueban Matemáticas. Se sabe además que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Matemáticas es 0.. a) alcule el porcentaje de estudiantes que aprueban las dos asignaturas. b) Entre los que aprueban Economía qué porcentaje aprueba Matemáticas? a) E M ) M ) E / M ) 0, 0, 0, M E) 0, 0, b) M / E) 0, 6 E) 0,60 EJERIIO En un concurso se dispone de cinco sobres; dos de ellos contienen premio y los otros tres no. Se pide a un primer concursante que escoja un sobre y observe si tiene premio, y a un segundo concursante que elija otro de los restantes y observe si tiene premio. a) Escriba el conjunto de resultados posibles asociado a este experimento e indique la probabilidad de cada uno de ellos. b) Qué probabilidad tiene el segundo concursante de obtener premio? uál es la probabilidad de que ambos concursantes obtengan premio? a) Resultados posibles Probabilidad P P P P y P P y P P y P) 0 6 P y P) P P P P y P P y P 6 P y P) 0 6 P y P) 0 0 0

12 Probabilidad - ºBS b) 6 P) P P) 0 0 EJERIIO 6 Juan dispone de dos días para estudiar un examen. La probabilidad de estudiarlo solamente el primer día es del 0%, la de estudiarlo los dos días es del 0% y la de no hacerlo ningún día es del %. alcule la probabilidad de que Juan estudie el examen en cada uno de los siguientes casos: a) El segundo día. b) Solamente el segundo día. c) El segundo día, sabiendo que no lo ha hecho el primero. a) P D ) D ) [ D D ) + D D )] (0, + 0,) 0, 0, 6 ( b) P D ) D D ) + D ) ( D 0,6 0, + D D ) D D ) 0,6 0, 0, D D ) 0, 0, 0, c) D / D ) 0, 6 D ) D D ) + D D ) 0, + 0, 0, on diagrama en árbol P D / D ) ( D D D ) 0, D) D P D / D ) ( D D D ) 0, ( ) D / ) D P D D D P D / D ) ( D D D ) (0, + 0, + 0,) 0, D D ) 0,

13 Tema 0 álculo de probabilidades Matemáticas SSII º Bachillerato TEMA 0 ÁLULO DE PROBABILIDADES ESPAIO MUESTRAL. SUESOS EJERIIO : En una urna hay bolas numeradas de al 6. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos: A "Obtener par" B "Obtener impar" "Obtener primo" D "Obtener impar menor que 9" b Qué relación hay entre A y B? Y entre y D? c uál es el suceso A B? y D? a A {,, 6,, 0,,, 6} B {,,, 9,,, } {,,,,, } D {,, } b B A'; D c A B E Espacio muestral; D D EJERIIO : onsideramos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a uál es el espacio muestral? uántos elementos tiene? b Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos.: A "Obtener dos caras y una cruz" B "Obtener al menos dos caras" "Obtener al menos una cruz" c Halla los sucesos B y ' a E {,,,,,,, +,,,,,,,,,,,,,,,, } Tiene elementos. b A {,,,,,,,, } B {,,,,,,,,,,, } {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, } c B {,,,,,,,, } ' {,, } EJERIIOS PROBABILIDAD EJERIIO : Sean A y B los sucesos tales que: P[A] 0, P[A' B] 0, P[A B] 0, alcula P[A B] y P[B]. alculamos en primer lugar P[B]: P[B] P[A' B] P[A B] 0, 0, 0, P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0, 0, 0, 0, EJERIIO : Sabiendo que: P[A B] 0, P[B'] 0, P[A B'] 0, alcula P[A B] y P[A]. P[A] P[A B'] P[A B] 0, 0, 0, P[B] P[B'] 0, 0, P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0, 0, 0, 0,

14 Tema 0 álculo de probabilidades Matemáticas SSII º Bachillerato EJERIIO : De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] 0, P[A B] 0, P[B] 0, a Son A y B independientes? b uánto vale P[A / B]? a P[A'] P[A] 0, P[A] 0, P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0, 0, 0, P[A B] P[A B] 0, PA PB 0, 0, 0, PA B PA PB No son independientes. PA B 0, A PB P B 0, b) PA / B 0, 9 0, EJERIIO 6 : Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] 0, P[B / A] 0, P[B'] 0, a Son A y B independientes? b alcula P[A B] y P[A B]. a P[B'] P[B] 0, P[B] 0, omo P[B / A] 0, y P[B] 0,, tenemos que: P[B / A] P[B] A y B son independientes. b omo A y B son independientes: P[A B] P[A] P[B] 0, 0, 0, Así: P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0, 0, 0, 0, PROBLEMAS PROBABILIDAD EJERIIO : En unas oposiciones, el temario consta de temas. Se eligen tres temas al azar de entre los. Si un opositor sabe de los temas, cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso: A el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe temas, hay 0 temas que no sabe; entonces: 0 9 P [A] P [A ] P [ no sabe ninguno de los tres ] 0, 9 0, 0 Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,0. EJERIIO : Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y ; y a las cartas correspondientes a, b y c. Así, tenemos las siguientes posibilidades: Vemos que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la probabilidad pedida será: P 0, 6 6

15 Tema 0 álculo de probabilidades Matemáticas SSII º Bachillerato EJERIIO 9 : a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del al. uál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del al, cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: cuál es a probabilidad de que el segundo elija el mismo número? P 0, b) P 0,0 EJERIIO 0 : En un viaje organizado por Europa para 0 personas, de los que van saben hablar inglés, 6 saben hablar francés, y de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a uál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b uál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c uál es la probabilidad de que solo hable francés? Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan: Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francés". 6 0 c) P F no I 0, 0 a Tenemos que hallar P[I F]: PI F PI PF PI F 0, 6 b) P F/ I 0, EJERIIO : En una clase de 0 alumnos hay que han aprobado matemáticas, 6 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a uál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan: 0 Llamamos M "Aprueba matemáticas", I Aprueba inglés". 0 0 a) PM I 0, b) P I / M 0, c) PM P I PM I 0 0 omo P M I P M P I, los dos sucesos no son independie 6 ntes. EJERIIO : Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay bolas blancas y rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B. a uál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b uál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

16 Tema 0 álculo de probabilidades Matemáticas SSII º Bachillerato Hacemos un diagrama en árbol: a) Pª Bl 0 Bl y Bl 0 b) P 0 EJERIIO : El % de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 9% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 9% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población: a uál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b Si sabemos que ha dado positiva, cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? Hacemos un diagrama en árbol: a P[Enfermo y Positiva] 0,009 PE NFERMO y POSITIVA b) PE NFERMO / POSITIVA P POSITIVA 0, 009 0, 009 0, 09 0, 009 0, 09 0, EJERIIO : Un estudiante realiza dos exámenes en un mismo día. La probabilidad de que apruebe el primero es 0,6. La probabilidad de que apruebe el segundo es 0,; y la de que apruebe los dos es 0,. alcula: a La probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes. bla probabilidad de que no apruebe ninguno. cla probabilidad de que apruebe el segundo examen en caso de haber aprobado el primero. Llamamos: A "aprobar el primer examen" P A 0, 6; P B 0,; P B "aprobar el segundo examen" Tenemos entonces que: A B 0, a) P A B PA PB PA B 0, 6 0, 0, 0, 9 b) PA B 0,9 0, c) P B A 0, P B / A 0, PA 0, 6 EJERIIO : En una bolsa, A, hay bolas negras y rojas. En otra bolsa, B, hay bolas negras, rojas y verdes. Extraemos una bola de A y la introducimos en la bolsa B. Posteriormente, sacamos una bola de B. a uál es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? b uál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas? Hacemos un diagrama de árbol: a) Pª R R y R b) P

17 Tema 0 álculo de probabilidades Matemáticas SSII º Bachillerato EJERIIO 6 : En un club deportivo, el % de los socios son hombres. Entre los socios, el % de los hombres practica la natación, así como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar: a uál es la probabilidad de que practique la natación? b Sabiendo que practica la natación, cuál es la probabilidad de que sea una mujer? Hacemos un diagrama en árbol: a P[Natación] 0, 0, 0, P M UJER Y N b) P MUJER / NATAIÓN P N ATAIÓN ATAIÓN 0, 0,6 0,