INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS SUPERIORES. Tema 1

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1 INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS SUPERIORES Tema BREE INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Bibliografía: Smith, Karl J.- Introduión a la Lógia simbólia.- Grupo Editorial Iberoaméria.- Méio, Espinosa Armenta, Ramón.- Matemátias disretas.- Alfaomega.- Méio, Epp, Susanna S..- Disrete Mathematis with appliations.- CENGAGE Learning.- 4ª ediión. Canada, Resolver los ejeriios L1 a L3, las respuestas se irán revisando después de analizar la teoría que orresponde y que aparee en esta seión. L1.- Esribir una oraión que orresponda a la negaión de la que aparee en ada iniso, no usar no es ierto que : a) Juan es matemátio. b) La máquina no está desonetada. ) Juan es matemátio y su hermana ingeniero en omputaión. d) Carlos nada los martes y María juega tenis los sábados. e) El ontato no sirve o la máquina está desonetada. f) El programa tiene un error de lógia en las primeras diez líneas o orrió on un onjunto inompleto de datos. g) Todo trabajo es noble. h) Algunos triángulos retángulos son isóseles. i) Ningún isne europeo es negro. j) Algunos filósofos son hombres de aión. 1

2 L2.- Determinar dos oraiones equivalentes para ada una de las siguientes epresiones: a) Si me pagan iré el sábado. b) Si el líquido está hirviendo entones su temperatura es al menos de 250. ) Si es divisible entre 6 entones es divisible entre 2 y es divisible entre 3. d) Si 2< <2 entones <4. L3.- Negar las proposiiones del problema L2. L4.- Leer on uidado la definiión de proposiión que aparee a ontinuaión. Una proposiión es una oraión que es falsa () o verdadera (), pero no las dos osas a la vez. L5.- Determinar si son proposiiones las que apareen en los siguientes inisos: a) 3+5 b) 8 < 2 ) 2 +1 d) ( 1) = 2 +1 e) Trae ese libro. f) endrás el jueves? g) Si está lloviendo entones las alles están mojadas. L6.- Leer on uidado las definiiones que apareen a ontinuaión y ompletar tablas de verdad orrespondientes. Las proposiiones simples se denotan en general on las letras P, Q, R, et. Las proposiiones ompuestas se forman ombinando proposiiones simples on onetivos lógios (onjunión, disyunión y negaión) y/o operadores lógios (ondiional y biondiional). La onjunión de dos proposiiones P y Q, se denota P Q y se lee P y Q, será una proposiión verdadera sólo si ambas proposiiones son verdaderas. 2

3 La disyunión de dos proposiiones P y Q, se denota P Q y se lee P o Q, será una proposiión falsa sólo si ambas proposiiones son falsas. La negaión de una proposiión P, se denota P y se lee no P, será una proposiión falsa si P es verdadera y verdadera si P es falsa. L7.- Determinar para las proposiiones del problema L1 a) a L1 f) de qué tipo de proposiión se trata, simple, onjunión o disyunión. Una tabla de verdad es un esquema que muestra ómo los valores de verdad de proposiiones ompuestas dependen de los onetivos usados y de los valores de verdad de las proposiiones simples que las omponen. Proposiión P Negaión P P Q Conjunión (y) P Q Disyunión (o) P Q L8.- Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiiones. a) 5 < 3 y 5 < 6 b) 5 < 3 o 5 < 6 L9.- Leer on uidado las definiiones que apareen a ontinuaión y ompletar tablas de verdad orrespondientes. La proposiión ondiional Si P, entones Q se denota P Q, y es falsa sólo si P es verdadera y Q es falsa. La proposiión biondiional P si y sólo si Q se denota P Q y es verdadera sólo si ambas proposiiones tienen el mismo valor de verdad. P Q Condiional P Q Biondiional P Q 3

4 Una tautología es una proposiión que siempre es verdadera, independientemente de los valores de verdad de ada una de las proposiiones. Una ontradiión es una proposiión que siempre es falsa, independientemente de los valores de verdad de ada una de las proposiiones. P Q india que las proposiiones P y Q son lógiamente equivalentes, esto es, tienen los mismos valores de verdad para los mismos valores de las proposiiones simples que las omponen. Sean p, q y r proposiiones, algunas propiedades de los onetivos y los operadores lógios son: 1.- De la doble negaión ( p) 2.- Leyes de De Morgan: ( p q) p q ( ) p p q p q 3.- Conmutatividad: p q q p ; p q q p 4.- Asoiatividad: ( p q) r p ( q r) ; ( p q) r p ( q r) 5.- Identidades: p p p p 6.- De la negaión: p p p p 9.- Distributividad p ( q r) ( p q) ( p r) ; p ( q r) ( p q) ( p r) L10.- Utilizando las propiedades 1 y 2 negar las siguientes proposiiones y omparar la repuesta on la esrita en L1. a) Juan es matemátio. b) La máquina no está desonetada. ) Juan es matemátio y su hermana ingeniero en omputaión. d) Carlos nada los martes y María juega tenis los sábados. e) El ontato no sirve o la máquina está desonetada. f) El programa tiene un error de lógia en las primeras diez líneas o orrió on un onjunto inompleto de datos. Dos proposiiones lógiamente equivalentes a una proposiión ondiional de la forma P Q son P Q y Q P. ( P Q) ( P Q) ( Q P). Esto puede demostrarse on la ayuda de tablas de verdad. 4

5 L11.- Determinar dos proposiiones equivalentes para ada una de las siguientes epresiones y ompararlas on las repuestas del problema L2. a) Si me pagan iré el sábado. b) Si el líquido está hirviendo entones su temperatura es al menos de 250. ) Si es divisible entre 6 entones es divisible entre 2 y es divisible entre 3. d) Si 2< <2 entones <4. La negaión de la proposiión ondiional P Q es P Q. ( P Q) ( P Q). L12.- Negar las proposiiones del problema L11 y ompararlas on las respuestas de L3. En aso de duda haer las tablas de verdad. L13.- Analizar si la representaión de las proposiiones es orreta y determinar, después de ompletar la tabla de verdad, qué proposiión o proposiiones son equivalentes a la proposiión ondiional A, y uál o uáles orresponden a su negaión. Sea P: Me pagan y Q: Iré el sábado. A. Si me pagan iré el sábado. P Q B. Si no me pagan no iré el sábado. P Q C. Si no voy el sábado entones no me pagan. Q P D. Si voy el sábado entones me pagan. Q P E. No me pagan o voy el sábado. P Q. Me pagan y no voy el sábado. P Q A B C D E P Q P Q P Q P Q Q P Q P P Q P Q 5

6 Cálulo de prediados y uantifiadores Un prediado es una oraión que ontiene un número finito de variables y se vuelve una proposiión uando se sustituye en la variable un valor espeífio. El dominio de un prediado variable es el onjunto de valores que pueden ser sustituidos en el lugar de la variable. Cuantifiadores universal y eistenial. Cualquier uantifiador de la forma para todo, todo, para ada, o ada se llama uantifiador universal (Simth 50) y se simboliza por medio de una. Ejemplo: 2+3=5 es verdadera para todo valor de ; en forma simbólia:, 2+3=5. Cualquier uantifiador de la forma eiste, alguno, o eiste por lo menos uno se llama uantifiador eistenial (Simth 50) y se simboliza por medio de una. Ejemplo: 2+3=5 es verdadera si =1, para ualquier otro valor de será falsa, en forma simbólia: tal que 2+3=5. Una proposiión que ontiene un uantifiador universal es verdadera sí y sólo si el dominio de la variable es igual al onjunto universal orrespondiente al problema. Ejemplo: si R la proposiión, =5, es falsa. Una proposiión on un uantifiador eistenial es verdadera sí y sólo si el dominio de la variable no es vaío. L14.- Enontrar el valor de verdad de ada prediado abajo: 1 a) R { 0 }, > b) R, > 1 L15.- Sea R el dominio de los prediados > 1, > 2, > 2 y 2 > 4 de los siguientes prediados son verdaderos y uáles falsos. a) > 2 > 1 b) > 2 2 > 4 2 ) > 4 > 2 2 d) > 4 > 2. Determinar uáles Negaión de los uantifiadores. (Smith Pág. 8) Proposiión Negaión Todos Algunos.. no Ningún Algunos Algunos Ningún Algunos.. no Todos 6

7 L16.- Esribir la negaión de las siguientes proposiiones y omparar on la respuesta dada en L1. a) Todo trabajo es noble. b) Algunos triángulos retángulos son isóseles. ) Ningún isne europeo es negro. d) Algunos filósofos son hombres de aión. L17.- Esribir la negaión de ada una de las siguientes proposiiones. a) número primo p, p es impar. b) un triángulo T tal que la suma de sus ángulos es 200. ) R, Si > 0 entones 2 > 9. Algunos tipos de demostraión (si el tiempo lo permite) L18.- Demostrar lo que se soliita en ada iniso. a) Si m es impar y n impar entones mn es impar. 2 b) Si n es par entones n es par. Sugerenia: demostrar la proposiión equivalente 2 Si n no es par entones n no es par. 1 ) R, > L19.- Enontrar los ontraejemplos para demostrar que son falsos: 1 a) R, > 1 b) Z, Z ) Si m es par y n impar entones mn es impar. d) R, y R + y = + y En el aneo A (a,b) de este doumento se enuentra un resumen de lógia. 7

8 1.2 BREE INTRODUCCIÓN A CONJUNTOS C1.- Qué es un onjunto? C2.- Menionar algunas formas de representar onjuntos. C3.- Es relevante el orden al enumerar los elementos de un onjunto? C4.- Es relevante el número de vees que apareen los elementos al desribir un onjunto? C5.- Cómo se llama el onjunto que no tiene elementos? Cómo se representa? C6.- Indiar en ada iniso si lo que se india orresponde o no a la notaión de un onjunto: a) 7 b) A ) {a,b} d) e) a C7.- Es 4 = { 4}? Justifiar su respuesta. C8.- En ada iniso epresar el onjunto enumerando los elementos. a) Los nombres de las estaiones del año. b) Las letras de la palabra naturaleza. C9.- Epresar ada uno de los onjuntos que apareen abajo utilizando una araterístia que desriba sus elementos. a) {a, o, i, e, u} b) {2, 4, 6, 8,...} C10.- Cuándo se die que dos onjuntos son iguales? Qué notaión se usa para indiar diha relaión entre onjuntos? C11.- Cuáles de los siguientes onjuntos son iguales? A a b d B d e a a) = {,,, } b) = {,,, } ) C = { d, b, a, a, } C12.- Cómo se define un subonjunto? Qué notaión se usa para indiar diha relaión entre onjuntos? Qué diferenia hay entre los símbolos y? 8

9 C13.- Sean A = {, d, f, g}, B = { f, j} y C { d g} =,, determinar si son iertas, justifiando su respuesta: a) B A b) C A ) C C d) C A e) A f) C g) {,, } h) { } i) { 2} { 1, 2, 3} j) 1 { 1} k) { 3} { 1, { 2},{ 3} } l) { 1} { 1} m) { 1} { 1, { 2} } n) 1 {{ 1}, 2} o) { 2} { 1, { 2},{ 3} } p) { } q) 1, { 2},{ 3} r) { 1, 2} s) 0 está en t) = { } { } C14.- Cómo se definen las operaiones de unión, interseión, omplemento y diferenia entre onjuntos? C15.- Sea A = { b,, d, f, g}, B = { a, b, } y U { a b d e f g h} =,,,,,,, determinar: a) A B b) A B ) A B d) B A e) A f) A U g) A h) ( A ) i) A j) A U k) l) U C16.- Sea A = { a, b, }, B = {, y}, C = { 1,3 } B Listar los elementos de ada uno de los siguientes onjuntos: a) A B b) B A ) A A C17.- a) Deir que un elemento está en A ( B C). b) Deir que un elemento está en A ( B C) está en. signifia que el elemento está en y en signifia que el elemento está en y no C18.- Sea A={1,2,3} determinar el onjunto potenia P(A). C19.- A ontinuaión se presenta una demostraión, ompletar los espaios. Sean A, B, y C onjuntos, si A B y B C entones A C. Demostraión: Sean A, B, y C onjuntos, suponer que A B y B C, para demostrar que A C debemos demostrar que todo elemento en está en. Dado ualquier elemento en A, ese elemento está en ( porque A B ) por lo que ese elemento también está en (ya que ). Entones A C. C20.- A ontinuaión se presentan las propiedades de la unión, interseión, omplemento y diferenia entre onjuntos, analizarlas on uidado. 9

10 PROPIEDADES Para todos los onjuntos A, B y C subonjuntos del onjunto universal U. representa el onjunto vaío. PROPIEDAD INTERSECCIÓN UNIÓN 1.- Inlusión: A B A, A B B A A B, B A B 2.- Conmutatividad: A B = B A ; A B = B A 3.- Asoiatividad: A ( B C) = ( A B) C ( ) ( ) 4.- Identidades: A U = A A = A 5.- Cotas: A = A U = U 6.- Idempotenia: A A = A A A = A C C C 7.- Leyes de Morgan: ( A B) = A B ( ) A B C = A B C C C C A B = A B 8.- De omplementos: A A C C = A A = U 9.-Distributividad A ( B C) = ( A B) ( A C) ; A ( B C) = ( A B) ( A C) 10.- Complementos de U y : U C C = = 11.- Doble omplemento: ( A ) 12.- Transitividad: Si A B y B C entones A C 13.- Leyes de absorión : A ( A B) = A ( ) 14.- Representaión alternativa del onjunto diferenia: A B = A B C = A U A A B = A En el aneo A () de este doumento se enuentran transritas estas propiedades. C20.- Justifiar los pasos de la siguiente demostraión utilizando las propiedades. Para todo A, B, y C onjuntos ( A B) ( C A) = A ( B C) Demostraión: Supongamos A, B, y C son onjuntos ualesquiera. Entones ( A B) ( C A) = ( ) ( ) A B C A por (a) = ( A B) ( C A ) = ( A B) ( A C) ( C ) 10 por (b) por () = ( A B) ( A ) por (d) = ( A B) ( A C ) por (e) = A ( B C ) por (f) ( ) = A B C por (g)