Álgebra Booleana. Álgebra Booleana. Definiciones. Definiciones. Definiciones. Definiciones. Sistemas Digitales Mario Medina 1

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1 Álgebra Booleana Álgebra Booleana Mario Medina C. Postulados y axiomas Lemas y teoremas Referencias a otras álgebras Álgebra de Boole: estructura algebraica definida sobre un conjunto de elementos ß={,} y un conjunto de operadores (+,, ) Variables: Símbolos que pueden tomar alguno de los valores lógicos permitidos (,) Constantes: Toman un valor específico (,) invariante en el tiempo Complemento: el complemento de una variable A, denotado por Ā o A, corresponde al valor inverso de ésta Expresión de conmutación: expresión algebraica compuesta por una combinación de variables y constantes booleanas relacionadas por los operadores (+,, ) Literal: ocurrencia de una variable o su complemento Ejemplo: A + A B tiene 2 variables y 3 literales Equivalencia: dos expresiones son equivalentes si y sólo si una de ellas vale cuando la otra vale, y vale cuando la otra vale, para todos los posibles valores de las variables involucradas Precedencia de operadores El operador tiene precedencia sobre, el cual a su vez tiene precedencia sobre + Complemento de una expresión Dos expresiones son complementarias sólo si una de ellas vale cuando la otra vale, y vale cuando la otra vale, para todos los posibles valores de las variables involucradas 24 Mario Medina

2 Complemento de una expresión Para obtener el complemento de una expresión se debe Cambiar los operadores + por y viceversa Cambiar las constantes por y viceversa Complementar cada literal Ejemplo El complemento de F = X + Y Z es F = X (Y + Z ) Dual de una expresión Para obtener el dual de una expresión se deben cambiar los operadores + por y viceversa cambiar las constantes por y viceversa pero no complementar los literales Ejemplo El dual de F = X + Y Z es F D = X(Y + Z) Postulados duales Los postulados del álgebra binaria se presentan en pares Uno es el dual del otro Cada teorema del álgebra booleana tiene su expresión dual que también es válida Al demostrar una expresión, se puede dar por demostrada su dual También llamados Postulados de Huntington Axioma: Propiedad que se asume verdadera sin necesidad de probarse Lema: Proposición que sirve de guía Postulado : Existe un conjunto ß que tiene al menos 2 elementos A, B tal que A B Sobre éstos, se definen las operaciones + y Postulado : Elementos de ß están sujetos a una relación de equivalencia =, tal que A=A (propiedad reflexiva) Si A=B entonces B=A (propiedad de simetría) Si A=B y B=C entonces A=C (propiedad transmutativa) Si A=B entonces B puede reemplazar a A sin afectar la validez de una expresión (propiedad de sustitución) Postulado 2: Se definen los siguientes operadores (suma lógica y producto lógico) que operan sobre los elementos del conjunto ß y generan un resultado que también pertenece a ß ß es cerrado con respecto a los operadores A B Unión (+) Intersección ( ) 24 Mario Medina 2

3 Postulado 3: Se define la existencia de elementos identidad para todo a є ßcomo Elemento nulo : a + = a Elemento idéntico: a = a Postulado 4: Conmutatividad. Para cualquier par de elementos a, b є ßse cumple a + b = b + a a b = b a Postulado 5: Distributividad. Para cualquier conjunto de elementos a, b, c є ßse cumple a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) Postulado 6: Complementación. a + a = a a = Lemas del álgebra binaria Lema. Los elementos y son únicos Lema 2. Para todo a є ß se tiene (Ley de idempotencia) a + a = a a a = a Lema 3. Complementación a + = a = Lema 4. Los elementos y son distintos, y se cumple que = = Lemas del álgebra binaria Lema 5. El complemento ā del elemento a є ß es único. Lema 6. Ley de involución. Para todo a є ßse tiene (a ) = a Teorema. Propiedad de absorción: para todo a, b є ß a + ab = a a (a + b) = a Teorema 2. Propiedad asociativa: para todo a, b, c є ß (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Teorema 3. Propiedad de absorción generalizada: para todo a, b, c є ß a [(a + b) + c] = [(a + b) + c] a = a Teorema 4. para todo a, b є ß a + āb = a + b a (ā + b) = ab 24 Mario Medina 3

4 Teorema 5. Para todo a, b є ß ab + ab = a (a + b) (a + b ) = a Teorema 6. Leyes de De Morgan: para todo a, b є ß a + b = a b a b = a + b Generalización f(x, Y,, Z,,,, ) f(x, Y,, Z,,,, ) Teorema 7. Teorema del consenso. Para todo a, b, c є ß ab + āc + bc = ab + āc (a + b) (ā + c) (b + c) = (a + b) (ā + c) Teorema 8. Propiedad de transposición: para todo a, b, c є ß ab + āc = (a + c) (ā + b) Teorema 9. Teorema de expansión de Shannon. Toda función de n variables se puede escribir como f(x, x 2,, x n ) = x f(, x 2,, x n ) + x f(, x 2,, x n ) f(x, x 2,, x n ) = [x + f(, x 2,, x n ) ] [x + f(, x 2,, x n ) ] Teorema. Para una función f de n variables, se cumple x + f(x, x 2,, x n ) = x + f(, x 2,, x n ) x f(x, x 2,, x n ) = x f(, x 2,, x n ) Otras álgebras Booleanas Lógica proposicional Elementos: Verdadero, Falso Operaciones ^ (AND), v (OR), ~ (NOT) Álgebra de conjuntos Elementos:, Operaciones unión ( ), intersección ( ) Algebra de conjuntos Suma: unión de conjuntos ( ) Multiplicación: intersección ( ) de conjuntos. Conjunto vacío Ø: neutro de la unión Conjunto universo U: neutro de la intersección Para todo A, A U Ø = A y A U = A. La unión y la intersección son conmutativas Para cualquier par de conjuntos A, B se tiene que A B = B A y A B = B A Algebra de conjuntos La unión y la intersección de conjuntos son asociativas Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene: A (B C) = (A B) C y A (B C) = (A B) C La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y la intersección es distributiva sobre la unión Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Existe conjunto complemento A c tal que A A c = U y A A c = Ø 24 Mario Medina 4

5 Diagramas de Venn De lo anterior se deducen los diagramas de Venn Diagramas de Venn y álgebra de conjuntos A continuación se muestra el conjunto A y su complemento A c Diagramas de Venn y álgebra de conjuntos Usando diagramas de Venn, se ilustra la propiedad de distributividad de la unión sobre la intersección Diagramas de Venn 4 variables 7 variables c d b a Un poco de humor Relación entre álgebra Booleana y lógica proposicional Estudiada por Claude Shannon en su tesis de Master en el M.I.T. (937) Conceptos básicos del diseño electrónico digital Tesis de master más famosa del siglo 24 Mario Medina 5

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