ÁLGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS

Transcripción

1 1. Introducción ÁLGERA DE OOLE Y FUNCIONES LÓGICAS El Álgebra de oole es una parte de la matemática, la lógica y la electrónica que estudia las variables, operaciones y expresiones lógicas. Debe su nombre a George oole, matemático británico quien la definió a mediados del siglo XIX. A mediados del siglo XX el trabajo de oole es tomado por Claude Shannon para la descripción de circuitos eléctricos, más específicamente circuitos con relés. Esta álgebra trabaja con los dos valores provenientes de la lógica, verdadero y falso, estos son sustituidos usualmente por los símbolos existentes en un sistema binario, 1 y 0 respectivamente. 2. Proposición Lógica Es una frase u oración en la que se afirma o se niega algo, de modo que la idea que ella contiene será VERDADERA o será FALSA, no pudiendo ser de otra forma. Las frases a continuación son ejemplos de proposiciones lógicas. Es ingeniero Es estudiante Está casado Tiene hijos Para representar una proposición lógica se utiliza usualmente una letra o un símbolo, así podemos denominar A al valor de la afirmación Es ingeniero ; al valor de Es estudiante etc. 3. Funciones ooleanas básicas Las funciones básicas que relacionan los valores provenientes de las proposiciones lógicas son: y o y no, estas funciones son utilizadas como conectivos entre proposiciones lógicas. Si se toman las dos primeras proposiciones lógicas planteadas, A y, se pueden crear nuevas proposiciones de una mayor complejidad. a. Función Y (AND) Es ingeniero y estudiante En esta frase se utiliza el conectivo y, la misma sólo será verdadera, en el caso en que ambas proposiciones que la conforman sean verdaderas. La relación entre las tres frases se escribe de la siguiente forma: F = A Donde F representa el valor de la afirmación Es ingeniero y estudiante y la operación existente entre las proposiciones A y es.

2 b. Función O (OR) Es ingeniero o estudiante Esta afirmación utiliza el conectivo o y será verdadera si alguna (o ambas) proposiciones son verdaderas. La relación entre las tres frases es la siguiente: G = A + Donde G representa el valor de la afirmación Es ingeniero o estudiante, la operación existente entre ambas proposiciones es +, la misma no debe confundirse con una suma aritmética. c. Función NO (NOT) NO es estudiante Esta frase será verdadera si la oración Es estudiante es falsa. Es decir, ambas siempre tendrán valores opuestos o complementarios. La representación es la siguiente: H = o H = ' Donde H representa el valor de la afirmación Es estudiante, el negar una afirmación (aplicar la función no) es representado a través de una línea en la parte superior o por una comilla del lado derecho. d. Representación Circuital Las funciones descritas anteriormente tienen equivalencia con el comportamiento de circuitos eléctricos. A continuación se muestra un breve esquema de las funciones lógicas y su equivalente circuital. Función AND Función OR Función NOT Habrá conexión eléctrica si está activado el interruptor A Y el interruptor. Habrá conexión eléctrica si está activado el interruptor A O el interruptor. Habrá conexión eléctrica si NO está activado el interruptor A.

3 4. Postulados y Propiedades del Álgebra de oole Postulados: Son básicamente las definiciones de las funciones lógicas y sobre ellas se fundamenta el álgebra. 1) 0 0 = 0 2) 0 1 = 0 3) 1 0 = 0 4) 1 1= 1 5) = 0 6) = 1 7) = 1 8) 1 + 1= 1 9) 0 = 1 10) 1 = 0 asado en la función AND asado en la función OR asado en la función NOT Propiedades: 1) X 0 = 0 AND 2) 0 X = 0 3) X 1 = X 4) 1 X = X 5) X + 0 = X OR 6) 0 + X = X 7) X + 1 = 1 8) 1 + X = 1 AND+NOT 9) X X = X 10) X X = 0 OR+NOT 11) X + X = X 12) X + X = 1 NOT 13) X = X 14) XY = YX Conmutativa 15) X + Y = Y + X 16) X ( Y + Z ) = XY + XZ Distributiva 17) X + YZ = ( X + Y )( X + Z ) Asociativa 18) X ( YZ) = ( XY )Z X + Y + Z = X + Y + 19) ( ) ( ) Z 5. Algunas definiciones adicionales 1 a. Variable Lógica Diferentes símbolos que representan proposiciones lógicas dentro de una expresión booleana. b. Literales Cantidad de apariciones (u ocurrencias) de una variable lógica dentro de una expresión. Cantidad de veces que aparecen las variables lógicas. c. Expresiones equivalentes Dos expresiones son equivalentes si independientemente de los valores que tomen las variables lógicas sus resultados son iguales entre si. Es decir, ambas son cero (falsas) o ambas son uno (verdaderas). d. Expresiones complementarias 1 Tomado del libro Introducción a los Sistemas Digitales de Omar Valero.

4 Dos expresiones son complementarias si independientemente de los valores que tomen las variables lógicas sus resultados son diferentes entre si. Es decir, si una vale 1 (es cierta) la otra valdrá cero (verdadera), y viceversa. Una expresión complementaria se obtiene cambiando todos los ANDs por ORs, los ORs por ANDs, los ceros por unos, los unos por ceros y complementando cada uno de los literales. e. Expresiones duales Una expresión dual se obtiene cambiando todos los ANDs por ORs, los ORs por ANDs, los ceros por unos y los unos por ceros. f. Teoremas 1) XY + X Y = X XY + X Y = X 2) X + XY = X X ( X + Y ) = X 3) X + XY = X + Y X ( X + Y ) = X Y 4) ZX + Z XY = ZX + ZY ( Z + X ) ( Z + X + Y ) = ( Z + X )( Z + Y ) 5) XY X Z + YZ = XY + X Z X + Y X + Z Y + Z = X + Y X + Z + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Leyes de De Morgan X + Y = X Y X Y = X + Y Estos teoremas sirven para la simplificación de funciones lógicas. g. Expresión Mínima Una expresión algebraica es mínima si contiene la menor cantidad de términos posibles, y estos tienen la menor cantidad de literales posibles. 6. Otras funciones lógicas Si bien podemos hablar de las funciones lógicas AND, OR y NOT como las básicas del álgebra, a través de compuertas lógicas se pueden desarrollar algunas otras funciones compuestas, a continuación se las enumeran. a. NAND (NOT AND) Consiste en realizar la operación AND y luego negar el resultado de esta. Z = A b. NOR (NOT OR) Consiste en realizar la operación OR y luego negar el resultado de esta. Z = A +

5 c. XOR (OR exclusivo) Si A y son dos variables lógicas, el resultado de esta operación será verdadero si el valor de una de las dos variables es verdadero, será falso si ninguna o ambas variables son verdaderas. Z = A Esta función se puede escribir basándose en funciones básicas de las siguientes maneras: d. XNOR (NOR exclusivo) Z = A + A Z = ( A + ) ( A + ) Consiste en realizar la operación XOR y luego negar el resultado de esta. Z = A Esta función se puede escribir basándose en funciones básicas de las siguientes maneras: 7. Representación Circuital Z = A + A Z = ( A + ) ( A + ) En los circuitos lógicos se utilizarán compuertas que realizan las funciones descritas con anterioridad, dichas compuertas tienen la representación que se presenta a continuación: AND OR XOR uffer NAND NOR XNOR NOT La salida de cada compuerta lógica será el resultado de la operación efectuada a su(s) entrada(s), el buffer es una compuerta que no realiza operación lógica alguna y se limita a entregar a su salida el valor lógico existente a su entrada. 8. Representación de una Función Lógica. Como ya se vio, las funciones básicas del álgebra son el NOT (o negación) el AND y el OR. Así, cualquier expresión existente se puede manipular para ser representada como una serie de operaciones producto (AND) y suma (OR) de los literales de la expresión. De esta manera se pueden reescribir expresiones para que sean una operación suma de términos que a su vez son productos y viceversa. a. Suma de Productos

6 Una expresión se puede manipular para llevarla a la forma de suma de productos aplicando reiteradamente la propiedad 16: X Y + Z = XY + b. Minitérmino ( ) XZ En una suma de productos, se denomina minitérmino a cualquier término que contenga todas las variables, es decir, productos de todas las variables o sus negados. c. Suma Canónica o Expandida Es una expresión en forma de suma de productos en la que todos sus términos son minitérminos. Para manipular una expresión para llevarla a la forma de suma expandida se utilizan las propiedades 3 y 12. d. Productos de Sumas X 1 = X Y + Y = 1 X = XY + X Y Una expresión se puede manipular para llevarla a la forma de suma de productos aplicando reiteradamente la propiedad 17. X + YZ = X + Y X + Z e. Maxitérmino ( )( ) En un producto de sumas, se llaman maxitérminos a los términos que contenga todas las variables, es decir, sumas de todas las variables o sus negados. f. Producto Canónico o Expandido Es una expresión en forma productos de sumas en la que todos sus términos son maxitérminos. Para manipular una expresión a fin de llevarla a la forma de producto expandido se utilizan las propiedades 5 y 10. g. La Tabla de Verdad 0 + X = X 0 = Y Y X + YY = X + Y X + Y ( ) ( ) La tabla de la verdad es un arreglo en el que se plantean todas las combinaciones posibles de valores de los argumentos de una función booleana.

7 La tabla se divide en dos partes: a la izquierda la información de las entradas (argumentos de las funciones) y, a la derecha, las salidas o valores de las funciones. La parte izquierda se divide a su vez en tantas columnas como variables tenga la función, en ellas se colocan todos los valores posibles de las variables utilizando como orden el Código inario Natural. Teniendo esta distribución, cada una de las filas corresponde con una posible combinación de valores de los argumentos de las funciones. Esto se relaciona directamente con los conceptos de minitérminos y maxitérminos, recordando que éstos son términos que incluyen todas las variables de una función; así un minitérmino (maxitérmino) sólo será 1 ( 0 ) en un único caso. Conociendo esto, podemos relacionar cada fila de la Tabla de Verdad con un minitérmino o maxitérmino e identificar los mismos con el número de fila que ocupan, desde el 0 hasta 2 N -1. h. Representaciones Abreviadas Una de las posibles formas de representación es la propuesta por Quine McCluskey, en ella, sólo se indican los minitérminos o maxitérminos que tenga una expresión, haciendo uso de la representación como suma de productos o producto de sumas, respectivamente. Si se desea representar los minitérminos existentes en una suma de productos expandida, basta con utilizar el símbolo de sumatoria e indicar los números de los minitérminos de la expresión, siempre indicando el orden que se estableció para las variables lógicas de la misma. En el caso de un producto de sumas se opera de forma similar, sólo que el símbolo a utilizar corresponde al de productoria.