El álgebra booleana fue estudiada por Pitágoras y George Boole.

Transcripción

1 ALGEBRA DE BOOLE Centro CFP/ES ALGEBRA DE BOOLE El álgebra booleana fue estudiada por Pitágoras y George Boole. Con el álgebra booleana, partiendo de una serie de sentencias lógicas iniciales verdaderas o falsas, podemos combinarlas y formular nuevas sentencias compuestas que, estudiadas mediante el álgebra de Boole, sabemos si son ciertas o no. 1

2 FUNCIONES ELEMENTALES Las tres operaciones lógicas más elementales son las que presentamos a continuación: la primera, es la operación "no" (NOT en inglés), conocida como complementación o negación. Si tenemos una variable a, se define como su complemento, al elemento (se lee a negada). FUNCIONES ELEMENTALES Esta operación tiene la propiedad de involución, (dos negaciones implican su propia anulación): Aplicado a un sistema digital binario con dos elementos, el 0 y el 1, nos dice que si una variable a =0, su complemento es siempre =1, y al revés, si a =1, su complemento = 0. La segunda operación lógica es la operación "o" (OR en inglés). Se representa por el signo "+" y se conoce como suma lógica. Esta operación lógica tiene las propiedades conmutativa y asociativa. 2

3 FUNCIONES ELEMENTALES En los sistemas digitales de dos elementos, básicamente tenemos las siguientes posibilidades: 0+0=0 0+1=1 1+1=1 Si tenemos un 1 en cualquiera de las variables el resultado es 1. La última operación lógica elemental, es la operación "y" (AND en inglés), representada por el símbolo " " y conocida como producto lógico. Para obtener un 1 a la salida debemos tener dos 1 en las variables de entrada TABLA LÓGICA O DE LA VERDAD La forma más sencilla de representar una función lógica es mediante una tabla de verdad. Las tablas de verdad, para una expresión con varios elementos, consisten en hacer una tabla en la que se ponen todas las posibilidades de entrada que pueden aparecer, dando todos los posibles valores a cada elemento, y se le adjudica la salida de dicha expresión al evaluarla con los valores de la entrada. La salida es una función lógica que puede tomar valor 0 ó 1. Veamos un ejemplo: si hay energía eléctrica (a) y el interruptor está apretado (b), entonces la bombilla está encendida (c). 3

4 TABLA LÓGICA O DE LA VERDAD La proposición se puede formular con la expresión a b=c Si uno de los dos sucesos a o b no ocurre, la bombilla no se encenderá. La tabla de verdad correspondiente utilizando los posibles valores de los elementos es: Línea a b c = a b TABLA LÓGICA O DE LA VERDAD Una operación lógica "o" es como si existieran dos interruptores en paralelo, tal y como se ve en la figura 4. Si uno de los dos interruptores o los dos se cierran, la señal llega al otro extremo. En cambio, con la operación lógica "y", los dos interruptores están en serie. Para que la señal llegue al otro lado de la línea, los dos interruptores deben estar cerrados. Si uno de ellos o los dos están abiertos, la señal no llegará a la salida 4

5 VARIABLES A TENER EN CUENTA Llamaremos literal a cada una de las variables y a los complementos de las mismas: Llamaremos término producto a una literal o a un producto lógico de varias literales:, etc. De la misma forma, un término suma es una literal o una suma lógica de varias literales:, etc. Una expresión de suma de productos es, como su mismo nombre indica, la suma lógica de varios términos producto, y una expresión de producto de sumas, es el producto lógico de varios términos suma. PROPIEDADES Propiedad conmutativa. A partir de las operaciones vistas, aparecen una serie de propiedades muy similares al álgebra cotidiana: 1) Identidad: a + 0 = a a 1 = a 2) Elemento neutro: a + 1 = 1 a 0 = 0 3) Idempotencia: a + a = a a a = a 4) Complemento: a + = 1 a = 0 Además, la suma y el producto lógicos son conmutativos, es decir, cumplen las siguientes igualdades: a + b = c a b = c b + a = c b a = c 5

6 PROPIEDADES Propiedad distributiva. También, ambas operaciones son distributivas entre sí, es decir, se cumplen las siguientes igualdades: a (b+c)=(a b)+(a c) a+(b c)=(a+b) (a+c) A partir de ahora, obviaremos el símbolo " " cuando no sea necesario, como por ejemplo, delante de un paréntesis: a(b+c) PROPIEDADES Propiedad asociativa. La suma y el producto lógicos son asociativos, es decir, cumplen las siguientes igualdades: a+(b+c)=d a (b c)=d (a+b)+c=d (a b) c=d 6

7 LEYES Y TEOREMAS Ley de identidad. En álgebra de Boole existen una serie de elementos neutros. El 0 es el elemento neutro para la suma y el 1 lo es para el producto. Lo podemos representar como: 0 + A = A 1 A = A Siguiendo este razonamiento podemos decir que: Ley de involución. A + 0 = 1 A 0 = 0 Su aplicación práctica hace que la ley de involución sea una de las más importantes. La definición del mismo es: al negar dos veces una expresión, se vuelve a obtener la expresión original. Se expresa de la siguiente forma: LEYES Y TEOREMAS Ley de dualización. Estudiando estos hechos, se llega al teorema de dualidad, que nos dice que si realizamos en una expresión los siguientes cambios (todos los cambios en la misma expresión), la expresión sigue siendo válida. Los cambios que hay que realizar son: a a " " " " 0 1 Cuando se aplique este procedimiento, hay que tener mucho cuidado con los paréntesis que no aparecen por resultar obvios, ya que pueden dar lugar a errores, puesto que la operación " " manda sobre la operación "+". 7

8 LEYES Y TEOREMAS Se pueden recombinar las operaciones obteniendo: O bien: La implicación a =>b, se lee: si ocurre a, entonces ocurre b. Esta expresión equivale a: o su expresión dual: LEYES Y TEOREMAS La operación "o-exclusiva" se representa por el símbolo de la operación OR rodeado por un círculo: y, dados dos elementos a y b afectados por dicha operación, su resultado es: Esta operación da un resultado de 1 cuando las dos entradas son distintas (una de ellas vale 0 y la otra 1). En caso contrario, si las dos valen0olasdosvalen1,elresultadoes0. 8

9 LEYES Y TEOREMAS Teorema 1 (Ley de absorción). Este teorema se basa en las operaciones de sacar factor común en el álgebra ordinaria. Se expresa como: A+AB=A La demostración se entiende de la siguiente manera: A+AB=A(1+B)=A 1=A También desde el otro punto de vista: Demostrándolo: A(A+B)=A A(A+B)=AA+AB=A+AB=A(1+B)=A 1=A LEYES Y TEOREMAS Teorema 2. Otro teorema importante para la simplificación de circuitos lógicos se expresa como: La demostración es la siguiente: Teorema 3. El último de los teoremas tratados no tiene un uso tan importante en electrónica digital, aunque conviene conocer su existencia. Resumimos su definición en forma matemática: La demostración es: 9

10 TEOREMA DE MORGAN El Teorema de Morgan, que se enuncia de la siguiente forma: el complemento de un producto de variables es equivalente a la suma de los complementos de las variables. Expresado en forma algebraica: Vamos a comprobarlo con todos los valores que pueden tener las variables A y B efectuando las operaciones indicadas. Estos posibles valores serán: A B A B A B A B LÓGICA POSITIVA Y NEGATIVA La lógica positiva y negativa tiene otra diferenciación relacionada con los estados asociados a los niveles lógicos así, si correspondiendo al nivel 1 entendemos estados activos o conectados, estaremos ante lógica positiva; si por el contrario asociamos esos estados al nivel 0 hablaremos de lógica negativa. Pongamos un ejemplo: un sistema digital debe activar una alarma cuando un elemento móvil alcance una posición. Si los detectores que suministran la información de posicionamiento entregan al sistema un 1 lógico cuando se alcance la posición, y si éste activa la alarma con otro 1 lógico, se trata de lógica positiva. En caso contrario es lógica negativa. 10

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