Ejercicios: Bases Numéricas y Álgebra de Boole. Dr. Andrés David García García Departamento de Mecatrónica Escuela de Ingeniería y Ciencias

Transcripción

1 Ejercicios: Bases Numéricas y Álgebra de Boole Dr. Andrés David García García Departamento de Mecatrónica Escuela de Ingeniería y Ciencias

2 Recordatorio: Relación entre bases Las bases 4, 8 y 16 emanan de la base 2. El equivalente en decimal se obtiene utilizando la función: N 10 = i 0 Sym i Base i N 10 es el número convertido a decimal Sym i es cada uno de los símbolos del número a convertir a decimal y su posición. Base es la base de origen del número a convertir a decimal El subíndice i es la posición de cada símbolo Positivo: de derecha a izquierda (parte entera) Negativo: de izquierda a derecha (fracción) A B C D E F 2

3 Relación entre las bases La base 4, 8 y 16, al ser potencias de 2, tienen una relación directa con la base 2. Observando la tabla de la página anterior podemos percatarnos de esta relación: Base 4: vectores de 2 bits. Universo de valores { 00, 01, 01, 11 } Base 8: vectores de 3 bits. Universo de valores { 000, 001, 001, 011, 100, 101, 101, 111 } Base 16: vectores de 4 bits. Universo de valores { 0000, 0001, 0001, 0011, 0100, 0101, 0101, 0111, 1000, 1001, 1001, 1011, 1100, 1101, 1101, 1111 } 3

4 Ejemplo: Binario - Base b =? , 1, b =? , 0, b =? , 2, =? b , 01, b =? b , 01, b 4

5 Ejemplo: Binario - Base b =? , 6 56 O b =? O , 6, O b =? O , 2, O 714 O =? b b O =? b , 110, b 5

6 Ejemplo: Binario - Base b =? h D, 9 D9 h b =? h , A 5A h b =? h , 6, A 36.A h C14 h =? b C b 3B.C h =? b 3 B. C 0011, b 6

7 Conversión entre bases Cómo convertir entre distintas bases? Ejemplo: Convertir C43.B h a Octal Solución más simple: Convertir primero a Binario. C => => => 0011 B => O 7

8 Convertir a Decimal Pasar de cualquiera de las bases en potencia de 2, a base decimal, se tiene que hacer utilizando la función genérica: N 10 = i 0 Sym i Base i Por ejemplo, para la base 4: N 10 = C N 4 n + + C C C C Para la base 16: N 10 = C N 16 n + + C C C C

9 Convertir a Decimal Considerando la función genérica: Para la base 2: N 10 = i 0 Sym i Base i Los coeficientes son conocidos: N 10 = C N 2 n + + C C C C Y recordemos que los valores de cada elemento C del número en binario solo pueden tomar 2 valores { 0, 1 } 9

10 Convertir a Decimal Entonces, para convertir un número de Binario a Decimal: Ejemplo: b Colocaremos los valores 0 y 1 en la casilla que corresponda: Y sumamos: Podremos entonces utilizar la base 2 para convertir números d 4 en base 4, 8 y 16 a decimal. 1 10

11 Convertir de Octal a Decimal Ejemplo: 261 O Primero convertimos a binario: Posteriormente convertimos a decimal: Y sumamos: d

12 Convertir de Hexadecimal a Decimal Ejemplo: B1C h Primero convertimos a binario: Posteriormente convertimos a decimal: Y sumamos: d 12

13 Convertir cifras con punto decimal Considerando la función genérica: Para la base 2 (de izquierda a derecha): Los coeficientes son conocidos: N 10 = i 0 Sym i Base i N 10 = C C C C C N 2 N Y recordemos que los valores de cada elemento C del número en binario solo pueden tomar 2 valores { 0, 1 } 13

14 Convertir de Binario con punto a Decimal Ejemplo: b Revisamos las casillas con un 1 : Y sumamos: d 14

15 Convertir de Octal a Decimal con punto Ejemplo: 26.3 O Primero convertimos a binario: Posteriormente convertimos a decimal: Y sumamos: d d d 15

16 Convertir de HEX a Decimal con punto Ejemplo: 2A.B O Primero convertimos a binario: Posteriormente convertimos a decimal: Y sumamos: d d d 16

17 Convertir de decimal a binario 2 8 El método de divisiones sucesivas: Convertir 284 d a Binario X b = X b =

18 Convertir de decimal a Octal El método de divisiones sucesivas: Convertir 381 d a Octal X O = X O =

19 Axiomas del Álgebra de Boole 1a: 0 0 = 0 5a: X 0 = 0 1b: = 1 5b: X + 1 = 1 2a: 1 1 = 1 6a: X 1 = X 2b: = 0 6b: X + 0 = X 7a: X X = X 3a: 0 1 = 1 0 = 0 7b: X + X = X 3b: = = 1 8a: X /X = 0 4a: si X = 0, entonces /X = 1 8b: X + /X = 1 4b: si X = 1, entonces /X = 0 9 : //X = X Teorema de Morgan: 15a: /(X Y) = /X + /Y 15b: /(X + Y) = /X /Y 16a: X + (/X Y) = X + Y 16b: X (/X + Y) = X Y Propiedad conmutativa: 10a: X Y = Y X 10b: X + Y = Y + X Propiedad asociativa: 11a: X (Y Z) = (Y X) Z 11b: X + (Y + Z) = (Y + X) + Z Propiedad distributiva: 12a: X (Y + Z) = (X Y) + (X Z) 12b: X + (Y Z) = (X + Y) (X + Z) Propiedad de absorción: 13a: X + (X Y) = X 13b: X (X + Y) = X Propiedad de combinación: 14a: (X Y) + (X /Y) = X 14b: (X + Y) (X + /Y) = X 19

20 Compuertas lógicas Relaciones entre compuertas lógicas y sus negados: A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z

21 Compuertas lógicas Relaciones entre compuertas lógicas y sus negados: A B Z A B Z A B Z A B Z

22 Principio de Dualidad y Teorema de Morgan Justificación: A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z A B Z

23 Las compuertas lógicas como Switches A Sel Z Sel A Z A Sel Z Sel A Z Si Sel = 0 ; Z = 0 Si Sel = 1 ; Z = A Si Sel = 0 ; Z = A Si Sel = 1 ; Z = Sel Nota: Al comparar el funcionamiento de la AND con el de la OR, se puede comprobar el principio de dualidad. A Si Sel = 0 ; Z = A Si Sel = 1 ; Z = /A Z Sel A Z Selecciona entre A, o /A 23

24 Ejercicios Simplificación de funciones: Z = A B D + A B D Z = A B (D + D) Teorema 8b Z = A B ( 1 ) Z = A B Tocci/Widmer/Moss. Sistemas Digitales, principios y aplicaciones. 10ª Edición. 24

25 Ejercicios Simplificación de funciones: Z = A C D + A B C D Z = C D (A + A B) Teorema 16a Z = C D (A + B) Z = A C D + B C D Tocci/Widmer/Moss. Sistemas Digitales, principios y aplicaciones. 10ª Edición. 25

26 Ejercicios Simplificación de funciones: Z = A B C + A B C + A B C + A B C Z = B C (A + A) + A C (B + B) Z = B C ( 1 ) + A C ( 1 ) Teorema 8b Factorizar Z = B C + A C Tocci/Widmer/Moss. Sistemas Digitales, principios y aplicaciones. 10ª Edición. 26

27 Ejercicios Simplificación de funciones: Z = A + തB C + D + E F [A + തB C + D + E F ] Z = X + Y [ X + തY ] Z = X Sustituir Teorema 14b Z = A + തB C Charles Roth Jr. Fundamentals of Logic Design. 2ª Edición. 27

28 Ejercicios Simplificación a partir de una tabla de verdad: A B C Z Z = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Z = A B C + C + A B C + C + A B C Z = A B 1 + A B 1 + A B C Z = A B + A B + A B C Z = A (B + B) + A B C Z = A ( 1 ) + A B C Z = A + A B C Factorizar Teorema 8b Teorema 8b Factorizar Teorema 16a X + X Y = X + Y X = A X = A Entonces Z = A + (B C) Y = B C 28

29 Ejercicios Simplificación: (otra forma de ver la solución) A B C Z Z = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Z = A B C + C + A B C + C + A B C Z = A B 1 + A B 1 + A B C Z = A B + A B + A B C Z = A (B + B) + A B C Z = A ( 1 ) + A B C Z = A + A B C A Sel Z Si Sel = 0 ; Z = 0 Si Sel = 1 ; Z = A Sel A Z Cuando A = 0 ; sin importar B y C, el 2º minitérmino desaparece. Cuando A = 1 ; el primer minitérmino desaparece. Entonces => Z = 1 cuando A= 0 ó cuando B C = 1 Entonces Z = A + (B C) 29

30 Ejercicios Expansión de funciones: Suma de Productos a Suma de Productos Estándar: Z = A C + B C + C Falta la variable B Falta la variable A Faltan las variables A y B Z = A C (B + B) + B C (A + A) + C (A + A) (B + B) Teorema 8b Z = A C B + A C B + B C A + B C A + C A B + C A B + C A B + C A B Z = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Z = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Z = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Z = "0 0 0" "0 0 1" "0 1 0" "1 0 0" "1 0 1" "1 1 0" "1 1 1" Minitérminos 30

31 Ejercicios Expansión de funciones: Suma de Productos a Suma de Productos Estándar: Z = A C + B C + C Z = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Z = "0 0 0" "0 0 1" "0 1 0" "1 0 0" "1 0 1" "1 1 0" "1 1 1" Minitérminos A B C Z Combinaciones de las entradas que hacen verdadera a la función 31

32 Ejercicios Expansión de funciones: Producto de Sumas a Producto de Sumas Estándar: Z = A + C B+C Falta la variable B Falta la variable A Z = A + C + (B B) B+C + (A A) Z = A + C + B A + C + B B+C + A B+C + A Z = A + B + C A + B + C A + B+C A + B+C Z = A + B + C A + B + C A + B+C A + B+C Z = "0 0 0" "0 1 0" "0 1 1" "1 1 1" Maxitérminos Teorema 8a A B C Z Combinaciones de las entradas que hacen falsa a la función

33 Ejercicios Teorema de Morgan: Z = A B C + A B C + A B C + A B C ҧ Z = A B C + A B C + A B C + A B C ҧ Z = (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) Z ҧ = ( A Ӗ + ധB + C) ҧ ( A ҧ + ധB + C) Ӗ ( A ҧ + ധB + C) ҧ ( A ҧ + തB + Ӗ C) Negar toda la función Cambiar AND OR Cambiar AND OR ҧ Z = (A + B + C) ҧ ( A ҧ + B + C) ( A ҧ + B + C) ҧ ( A ҧ + തB + C) Minitérminos Maxitérminos