SISTEMAS DE NUMERACION

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1 SISTEMAS DE NUMERACION INTRODUCCION El número de dígitos de un sistema de numeración es igual a la base del sistema. Sistema Base Dígitos del sistema Binario 2 0,1 Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F. Cada dígito dentro de un número tiene un valor absoluto y un valor relativo. El valor absoluto es el valor asignado a cada dígito, y el mismo es constante. Ejemplo: Dígitos Valor absoluto El valor relativo, es un valor variable que depende de la posición del dígito dentro del número, y de la base del sistema de numeración. Existiendo la siguiente relación entre valor absoluto y valor relativo. Valor Relativo = (Valor Absoluto) x (Base del sistema) (Posición del dígito) Ejemplo: Base del sistema de numeración = 10 Dígitos Valor absoluto Posición Valor relativo

2 Ejemplo: Base del sistema de numeración = 2 Dígitos Valor absoluto Posición Valor relativo

3 1.1. SISTEMA BINARIO El sistema binario es aquel en el cual los números se representan con dos cifras o dígitos. Estos son el 0 y el 1. A las cifras de un número binario se las denomina bit. Un bit es una celda individual de memoria donde solo puede haber en cada momento uno de los dos estados posibles, representados normalmente con símbolos 0 y 1. Por tanto es usual decir que el número binario tiene 6 bits. Los valores posicionales de un número en el sistema binario son potencias de dos. Recordemos que un número decimal representa en realidad una suma, por ejemplo: x x x x = = 1x x x = 1x x x x10 0 Como podemos ver, en este número, el dígito menos significativo (dígito más a la derecha) está multiplicado por la base del sistema elevado a la potencia cero, a continuación, el dígito que le sigue multiplicado por la base del sistema elevado a la primera potencia, a continuación el dígito que le sigue multiplicado por la base del sistema elevado a la segunda potencia y así sucesivamente. Aplicando la expresión anterior a cualquier número de cualquier base se obtendrá como resultado el equivalente del número en el sistema decimal. Para convertir un número binario a decimal, sumamos el producto de cada una de las cifras del mismo por el factor 2 n, donde n es la posición de la cifra considerada empezando por la derecha y comenzando la cuenta por 0, es decir, n puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,... 3

4 Ejemplo: Convertir el número binario a decimal = 1x x x x x x x x x2 0 Por lo tanto el número = Ejemplo: Covertir el número a decimal Podemos utilizar el método general visto anteriormente, o bien lo podemos realizar por Rufini Por lo tanto el número =

5 1.2. SISTEMA OCTAL Como su nombre lo indica, la base fija de este sistema es el 8, por tal motivo posee 8 dígitos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ejemplo: Sea el número Aplicando la expresión general, tenemos que: = 5 x x x8 0 = 5 x x x 1= =

6 1.3. SISTEMA HEXADECIMAL El sistema hexadecimal, tiene como base del mismo 16, y como es un sistema de base fija, también tiene 16 dígitos que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. DÍGITOS VALORES DÍGITOS VALORES HEXADECIMALES ABSOLUTOS HEXADECIMALES ABSOLUTOS A B C D E F 15 La siguiente tabla expresa una serie de números decimales y su equivalente hexadecimal DEC-HEX DEC-HEX DEC-HEX A 42 2A 10 A 27 1B 43 2B 11 B 28 1C 44 2C 12 C 29 1D 45 2D 13 D 30 1E 46 2E 14 E 31 1F 47 2F 15 F

7 Analicemos el siguiente ejemplo en el sistema hexadecimal 7E E3 16 = 7x Ex x16 0 = 7x x16 + 3x1 = = Como en los casos anteriores, al aplicar la expresión general de un número de base fija, el resultado obtenido es el número en el sistema decimal. Ejemplo: Convertir al sistema decimal los siguientes números. a ) b ) c ) 37A 16 a ) = 1 x x x x x2 0 = 1x16 + 1x8 + 1x x1 = b ) = 5 x x x x8 0 = 5x x64 + 6x8 + 2x1 = c) 37A 16 = 3x x Ax16 0 = 3x x x1 = =

8 1.4. CONVERSION DEL SISTEMA DECIMAL A BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL Para la conversión de un número del sistema decimal a los sistemas binarios, octal y hexadecimal, es necesario la división del número decimal de forma sucesiva entre la base a la que se quiere convertir el número. Los restos obtenidos, junto con el cociente de la última división, son los dígitos del número en la nueva base. Ejemplo: Convertir al sistema binario el siguiente número Por lo tanto, el número = Darse cuenta, que el último cociente es el dígito más significativo, y que el número se ordena como indica la flecha; de tal forma que, el primer resto es el dígito menos significativo del número en la nueva base. Ejemplo: Convertir al sistema octal el siguiente número Por lo tanto, el número = Ejemplo: Convertir al sistema hexadecimal el siguiente número Por lo tanto, el número = 2A3 16 8

9 1.5. CONVERSION OCTAL A BINARIO La conversión de un número del sistema octal al binario, es muy sencilla puesto que 8 es una potencia de 2, así tenemos que 8 = 2 3, esto permite escribir los dígitos octal en su equivalente binario como sigue : Octal Binario Octal Binario De forma práctica, podemos plantear que, para convertir un número octal a su equivalente binario, basta con escribir por cada dígito octal su equivalente de tres dígitos binarios como en la tabla anterior y después de hacer esto agruparlos. Ejemplo: Convertir el número a binario. De acuerdo con la tabla de equivalencias Octal-Binario vista anteriormente, tenemos que: 3 8 = = = Por lo tanto, =

10 1.6. CONVERSION HEXADECIMAL A BINARIO La conversión de un número del sistema hexadecimal al sistema binario, es también muy sencilla y similar a la conversión octal-binario, con la particularidad en este caso, de que la base 16 también es una potencia de dos (16 = 2 4 ), lo que permite escribir los dígitos del sistema hexadecimal en su equivalente binario como sigue. HEXADECIMAL BINARIO HEXADECIMAL BINARIO A B C D E F 1111 Ejemplo: Convertir el siguiente número hexadecimal a su equivalente binario. 7A = A 16 = = Por tanto: 7A3 16 =

11 1.7. CONVERSION BINARIO A OCTAL Para convertir un número binario al sistema octal, se toma el número binario y se divide en grupos de tres dígitos, comenzando la división por la derecha y hacia la izquierda, si al último grupo le faltan dígitos binarios para completar tres, se le añaden ceros y por último, se sustituye cada grupo por su equivalente octal. Ejemplo : Convertir al sistema octal el número binario se le añade el 0 para completar los tres dígitos = = = =

12 1.8. CONVERSION BINARIO A HEXADECIMAL Para convertir un número del sistema binario al sistema hexadecimal, se procede de forma similar que para la conversión del sistema binario al octal, pero en este caso el número binario en vez de agruparlo en grupos de tres dígitos se agrupan cada cuatro dígitos binarios, comenzando siempre por la derecha, y completando con ceros si le falta algún dígito al último grupo. Ejemplo: Convertir el siguiente número binario a su equivalente en el sistema hexadecimal se le añade el 0 para completar los 4 dígitos = = = = Ejemplo: Convertir el siguiente número binario a su equivalente en el sistema hexadecimal = = = B = = A = 2B5A 16 12

13 1.9. SUMA EN EL SISTEMA BINARIO En el sistema binario, solo tenemos dos dígitos. A los dígitos del sistema binario le llamamos bit. Veamos la siguiente tabla, en la que planteamos la suma de todas las combinaciones posibles de dos dígitos binarios A y B. Tabla de la suma binaria Dec. A B Suma A +B Acarreo A y B sumandos. Como podemos observar en la tabla anterior, la suma de las tres primeras combinaciones no ofrecen dificultades, pero la cuarta es el resultado de la suma de 1+1, que es igual a la base del sistema, (2 10 =10 2 ), por tal razón el resultado de la suma es igual a 0 y se produce un acarreo a la siguiente posición, o sea: Ejemplo: Sumar en el sistema binario a) b) En el caso de sumar dos números binarios, se puede presentar la situación de tener que sumar el acarreo, en una posición donde haya dos dígitos iguales a 1; veamos como resolver este caso. 13

14 Ejemplo: En este ejemplo, sumamos los dos primeros 1 y el resultado como ya sabemos es igual a 0, y se produce un acarreo a la siguiente posición, en la siguiente posición tenemos que sumar ahora tres 1 Cómo resolvemos este caso?. Primero sumamos dos 1 y obtenemos como resultado parcial 0 en esa posición, y un acarreo a la posición siguiente, y por último sumo el 0 obtenido, con el 1 que me quedaba en esa posición, obteniéndose como resultado final un 1 en esa posición, y un acarreo a la posición siguiente. Ejemplo: Sumar 14 y 57 en base 10 y pasarlo a binario

15 1.10. RESTA EN EL SISTEMA BINARIO Al igual que la suma, la resta binaria, es más simple que la decimal, por el hecho de tener solamente dos dígitos el sistema binario. Veamos a continuación, la siguiente tabla que refleja todas las combinaciones posibles de la resta de dos dígitos binarios. A B A-B Préstamo A : minuendo B : sustraendo Como podemos ver, de la tabla anterior, las combinaciones 1, 3 y 4 son muy sencillas, por ser el sustraendo igual o menor que el minuendo, esto hace posible el proceso de la resta binaria sin ninguna dificultad. Pero como vemos, en la segunda combinación, el minuendo es menor que el sustraendo y esto dificulta el proceso de la resta binaria, pues es necesario, en tal caso, pedir un uno prestado a la posición siguiente para poder efectuar la resta binaria. Ejemplo: Ejemplo: Realizar la siguiente resta en binario

16 1.11. CODIGOS BINARIOS El sistema binario recibe el nombre de código binario natural. No obstante, existen sistemas digitales en los que se utilizan otros códigos binarios diferentes del binario natural debido a sus características peculiares CODIGO BCD El código BCD (Decimal Codificado en Binario), consiste en una forma de representar los números decimales con cuatro dígitos binarios o bits por cifra. El código más utilizado es el BCD 8421 o BCD simplemente. En este código cada cifra decimal se representa por cuatro dígitos binarios. Como con estos cuatro dígitos se pueden representar números del 0 al 15, lo que se hace es no tener en cuenta las representaciones del 10 al 15. Por ejemplo, si queremos representar en BCD el número 37, convertimos cada cifra decimal en su número binario equivalente. DEC. BINARIO y después agrupamos los números, obteniendo el = Números binarios como por ejemplo el no corresponde al código BCD, pues aunque la primera cifra (1001) es un 9, la segunda cifra (1100) corresponde al 12, el cual no es una cifra del 0 al 9. 16

17 CODIGO GRAY Es un código continuo porque las combinaciones correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes (se denominan combinaciones binarias adyacentes a aquellas combinaciones que difieren solamente en un bit). Además, es un código cíclico porque la última combinación es adyacente a la primera. En la tabla siguiente se presenta este código para cuatro bits. DEC. COD. GRAY DEC. COD. GRAY CODIGO BCD EXCESO DE TRES 17