Álgebra Booleana. Suma Booleana. El término suma es 1 si al menos uno de sus literales son 1. El término suma es 0 solamente si cada literal es 0.

Transcripción

1 Álgebra Booleana El álgebra de Boole son las matemáticas de los sistemas digitales. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina. Los dos valores posibles en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a estos valores respectivamente falso y verdadero. Suma Booleana La suma booleana es equivalente a la operación OR. El símbolo + la representa El término suma es 1 si al menos uno de sus literales son 1. El término suma es 0 solamente si cada literal es 0. Término suma: es una suma de literales. Ejemplos: a + b, a + b, a + b + c, a + b + c + d Multiplicación Booleana El símbolo * representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo * por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamaremos el producto entre A y B. El término producto será 1 si todos sus literales son 1. Término producto: es el producto de sus literales. Ejemplos: ab, ab, a bc, a b c, abcd

2 El complemento lógico, negación o NOT es un operador unitario, su símbolo para denotar la negación lógica, por ejemplo a denota la operación lógica NOT a. Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión Booleana, el resultado de la expresión Booleana depende de la precedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, es decir paréntesis, operador lógico not, operador lógico and y operador lógico or. Tanto los operadores lógicos and y or son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma precedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico not es no asociativo por la derecha. Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias + y * y una operación unitaria, sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces la séxtupla <B, +, *, 0, 1> se llama Álgebra de Boole, si cumple con los siguientes axiomas para los elementos a, b, c cualesquiera en el conjunto B. 1) Leyes asociativas a + (b + c) = (a + b) + c a v (b v c) = (a v b) v c (a * b) * c = a * (b * c) (a b ) c = a ( b c)

3 2) Leyes conmutativas p + q = q + p p * q = q * p p q q p p q q p p q q p 3) Leyes distributivas a + (b * c) = (a + b) * (a + c) a * (b + c) = ( a * b) + (a * c) a v ( b c) = (a v b) ( a v c) a ( b v c) = (a b) v (a c) Para la suma es el cero 0: p + 0 = p p * 0 = 0 4) Leyes de identidad Para el producto es el uno 1: p + 1 = 1 p V V p F p p * 1 = p p F F p V p 5) Leyes del complemento p + p = 1 p * p = 0 p p = V p p F ( p) p 6) Leyes de idempotencia p + p = p p + p = p p * p = p p * p = p p p p p p p

4 7) Leyes de acotamiento p + 1 = 1 p * 0 = 0 También llamada negación doble, si una variable es negada dos 8) Leyes de involución veces, su valor no varía. (p ) = p ( p) p 9) Leyes de DeMorgan El complemento de un producto de variables es igual a la suma de las variables complementadas (p q) = (p + q ) 1 er Teorema Generalizando: (p q r s ) = p + q + r + s ( p q ) = p q ( p q ) = p q El complemento de una suma de variables es igual al producto de las variables 2 do Teorema complementadas: (p + q) = p * q Generalizando: (p + q + r + s + ) = p q r s 10) Ley de la condicional: p q = p q p q = q p 11) Ley de la Bicondicional P q = (p q ) ( q p) Dualidad El dual de cualquier enunciado es un álgebra de Boole B es el enunciado obtenido al intercambiar las operaciones + y *, e intercambiar los correspondientes elementos identidad 0 y 1 en el enunciado original. Por ejemplo: (1 + a) * (b + 0)=b su dual es: (0 * a) + (b * 1) =b

5 Sea B el conjunto de dos elementos 0,1 con operaciones + y * definidas en las siguientes tablas: * Las reglas del álgebra booleana se pueden ilistrar con diagramas de Venn. La variable A se representa como un área, la zona A + AB = A se puede ilustrar fácilmente con un diagrama. Añadir una zona de solapamiento para representar la variable B. La región de intersección entre A y B representa AB. Visualmente, el diagrama muestra que A + AB = A Formas Booleanas Literal: Es una variable o proposición las cuales pueden ser complementadas x, x, y, y Término producto: Grupo de literales que se encuentran relacionadas entre sí por un AND (multiplicación). ab, c y, x y z Término Suma: Grupo de literales que se encuentran relacionadas entre sí por un OR (suma). a+b+c, x+y+z Término Normal: Termino producto o termino suma en el que la literal no aparece más de una vez. F(x,y,z)= x + x + z, F(x,y,z)= (y + x + z + y) (x + y)( x + y) F(x,y,z)= x y z + yz + x

6 Término Canónico: Termino en el que se encuentra exactamente uno de cada uno de los literales de la función. F(x, y, z) = x + y + z, F(x, y, z) = x y z + x y z + x y z F(x, y, z) = (x + y + z ) (x + y + z ) Si el término canónico es un producto de denomina minitermino. xyz + x y z Si el término canónico es una suma se denomina maxitermino. (x+y +z ) (x +y+z ) Cómo obtener la forma canónica de la funciones booleanas? 1) Para obtener la forma canónica de función de productos se multiplicara por un término de la forma (x+x ) ya que por leyes del complemento x+x = 1, y al multiplicar por 1 no se altera la ecuación, donde falte una literal para que el términos sea canónico. 2) Para obtener la forma canónica de una función en producto de sumas, se sumara el término de la forma x*x = 0 y al sumar 0, no se altera la ecuación, donde falte una literal para que el termino sea canónico. En la siguiente tabla se muestran los maxiterminos y miniterminos en su valor decimal. Valor Decimal x y z Miniterminos m (1) Maxiterminos M (0) x y z = 0 x+y+z = x y z = 1 x+y+z = x yz = 2 x+y +z = x yz = 3 x+y +z = xy z = 4 x +y+z = xy z = 5 x +y+z = xyz = 6 x +y +z = xyz = 7 x +y +z = 7

7 Miniterminos = 1 (cuando se multiplica por 1para no se altera la ecuación) Maxiterminos = 0 (cuando se le suma uno de sus términos se le suma 0 para no alterar el resultado) Existen dos formas canónicas de una función: 1. Forma canónica en suma de productos (miniterminos) Para simplificar su escritura, podemos considerar como: 0 a las variables complementadas y como 1 a las variables no complementadas. El minitermino x y z corresponde a una combinación: x =0, y =0, z=1, según tabla anterior representa el numero binario 001 cuyo valor decimal es 1. F(x,y,z) = x y z + xy z + xy z + xyz + xyz, se puede expresar como F(x,y,z)= m(1,4, 5, 6, 7) que significa la sumatoria de los miniterminos 1, 4, 5, 6 y Forma canónica de productos de sumas (maxiterminos) Para simplificar a cada maxitermino se le considera como 1 a las variables complementadas y como 0 a las variables no complementadas. El maxitermino x + y + z corresponde a la combinación x=1, y=0, z=0 que corresponde al número binario según tabla anterior es 100 cuyo valor decimal es 4. F(x, y, z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z ), se puede expresar como F(x, y, z) = M(0, 2, 3) que quiere decir el producto de los maxiterminos 0, 2, 3.