Informática Técnica 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Transcripción

1 SISTEMAS NUMÉRICOS Desde luego que todos estaremos de acuerdo si decimos que la primera 'operación' aritmética que realizó el hombre fue la de contar. La necesidad de contar, le llevó a idear un sistema abstracto, con tantos objetos como dedos tenía en las manos, representándolos con un signo diferente para cada uno, que luego llamaría cifras. Todos conocemos estos signos abstractos, en la actualidad se utilizan los llamados arábicos, por que son los mas comunes, extendidos y conocidos universalmente. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Estos signos son los pertenecientes al sistema decimal o de base 10. Debido a la rutina diaria con que utilizamos dicha numeración, hace que algunos no tengamos conciencia de los números que utilizamos, dando por obvio que se componen de unidades, decenas, centenas, etc. De esta forma, cuando alguien habla o escribe un número como por ejemplo 148, nadie repara en que esta cifra esta compuesta por ocho unidades, cuatros decenas y una centena, que puesto en forma exponencial, esto quiere decir, que las unidades se multiplican por 10º, las decenas por 10!, las centenas a 10", los millares por 10#, etc. Así, la cifra anterior en forma exponencial se representa como sigue: 148 = 1 $ 10" + 4 $ 10! + 8 $ 10º Este sistema decimal, cuya base esta ligada a los diez dedos de las manos, no quiere decir que otro sistema de numeración carezca de importancia. Según esto, un sistema de numeración de hasta 5 signos, tendrá como base B = 5, cuyos dígitos pueden ser 0, 1, 2, 3, 4. Según las necesidades, se puede optar por diferentes códigos como el Binario, Octal, Hexadecimal. De forma similar para un sistema de numeración hasta dos o sistema de numeración binario, tendrá como base B = 2 el cual sólo tendrá dos dígitos como por ejemplo Veamos las equivalencias entre los más utilizados como son el decimal y el binario puro. 0, 1 Decimal Binario 0 = = = = = = = = = = = = = = = 1110

2 15 = 1111 SISTEMA BINARIO Como se ha descrito, el sistema binario utiliza exclusivamente dos números el 0 y el 1, para expresar cualquier magnitud, ahí radica la importancia del sistema binario y la sencillez de sus reglas aritméticas, que hacen del mismo, el sistema ideal para su uso en computadores y otros dispositivos digitales. Así pues, ya vimos cómo en el sistema decimal se representaba una magnitud, de modo similar se representa en el sistema binario, sólo que en este caso utilizamos dos únicos símbolos el 0 y el 1. Por ejemplo, el número 27 en decimal se representa en binario como Veamos cómo se representa esto: 11011= 1$2 +1$2#+0$2"+1$2!+1$2 =1$16+1$8+0$4+1$2+1$1= =27 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO. Podemos considerar al sistema de numeración binario como el más extendido después del sistema de numeración decimal. Dicho sistema de numeración binario, nace de la teoría desarrollada por el mencionado matemático inglés George Boole, como ya se ha comentado. Recordemos los estados típicos a los que se puede atribuir la base de numeración binaria: 1. Una luz esta encendida (1) o esta apagada (0). 2. Un conductor eléctrico con respecto a otro, si tiene tensión está a (1), o (0) si no tiene. 3. Un diodo led, si está a (1) luce, se está (0) si no luce. 4. Un transistor NPN tiene un estado alto (1) en su colector, si no conduce y si conduce, un estado bajo (0). 5. Un relé electromagnético con la bobina excitada, cierra un circuito (1) o abre un circuito (0) si no está excitada. Todos lo ejemplos mencionados, implican en su concepción un hecho en común, que son 'biestables' o sea que, tienen dos únicos estados posibles, SI o NO, Alto o Bajo, H o L, 1 o 0. ESCRITURA BINARIA. Ya que el sistema de numeración binario dispone de dos dígitos (0 y 1). Es lógico pensar que un número binario estará compuesto por una sucesión de estos signos o dígitos y, por consiguiente en una numeración general no podrán tomar otro valor que no sea 0 o 1. BINARIO DECIMAL 1001 = = = = = = 7

3 Los anteriores, son números pertenecientes al sistema de numeración binario y su equivalente en sistema decimal. Sería conveniente tener a mano la siguiente tabla de las potencias de 2, con las que identificar el peso o valor de los dígitos en la posición (o bit) que ocupan para la conversión de un número binario a decimal y viceversa. Decimal Potencias de Posición o peso PASO DEL SISTEMA BINARIO A DECIMAL. Es frecuente utilizar el sistema binario y decimal y a menudo nos vemos con la necesidad de convertir una cifra de binario a decimal. Bien, en el sistema binario la base es B=2, la expresión general de este sistema de numeración será: N=D n! 2 n d 3! 2 3 d 2! d 1! d 0! 2 0 En esta expresión se puede ver que el sistema binario se basa en las potencias de dos. Obsérvese que, un desplazamiento a la derecha equivale a dividir por dos y un desplazamiento a la izquierda en cambio representa multiplicar por dos. Veamos un ejemplo: 1101 = 1$2# + 1$2" + 0$2! + 1$2º = 1$8 + 1$ $ 2 + 1$1; = = 13 en decimal 10 Otro ejemplo: = 1$2 6 +1$2 5 +0$2 4 +0$2 3 +1$2 2 +1$2 1 +1$2 0 = = PASO DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARIO. Para efectuar el paso de un número decimal a su equivalente en binario, se puede utilizar el método de las sucesivas divisiones por dos del número decimal dado, los restos de las divisiones se anotan de abajo a arriba y serán los dígitos binarios que representen dicho número. Un ejemplo nos demostrará lo dicho, sea el número decimal 35. Nº Resto 35 : 2 = menor peso 17 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = Mayor peso Mp Lo que nos da 35 en decimal = mp

4 Otro ejemplo, sea el número 75: 75 : 2 = mp 37 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = Mp Lo que nos da 75 en decimal = Sistema Hexadecimal Es un sistema que utiliza dieciséis dígitos (0 y 15) (0,1,2,3,4,5,6,7,8,A,B,C,D,E,F). Este sistema lo conocemos como "sistema de base 16". A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 - Conversión de un número decimal a hexadecimal - Conversión de un número hexadecimal a decimal = = 1735 OPERACIONES LÓGICAS INTRODUCCIÓN Y PUERTA "OR" Todas las operaciones lógicas que se describen a continuación tienen como base el Álgebra de Boole. Cuando se describe una OPERACIÓN LÓGICA, se especifica el SÍMBOLO de la puerta lógica que realiza la operación, su TABLA DE VERDAD y la implementación en DIAGRAMA DE RELÉS. La tabla de verdad es una representación gráfica de todas las posibles combinaciones de las variables de las variables de entrada y del valor de la salida para cada combinación de las variables de entrada.

5 La salida S toma el valor uno, siempre que una de las dos entradas, o las dos a la vez toman el valor uno. PUERTA LÓGICA "NO" (NOT) COMPLEMENTACIÓN O INVERSIÓN

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7 PUERTA LÓGICA "AND" La salida S toma el valor uno, únicamente cuando las variables de entrada tienen valor uno, siendo cero para todas las demás combinaciones de entrada. PUERTA LÓGICA "NAND" - "NO Y"

8 Efectúa el producto lógico de las variables de entrada, invirtiendo el resultado obtenido, de tal manera que la salida será siempre 1 excepto cuando las variables de entrada sean simultáneamente 1. PUERTA LÓGICA "NOR" - "NO OR"

9 Efectúa la suma lógica de las variables de entrada, invirtiendo el resultado obtenido, de tal manera que la salida únicamente 1 cuando las entradas estén ambas desactivadas. PUERTA LÓGICA "EXOR" - "O EXCLUSIVA"

10 La salida se activa, es decir se pone a 1 cuando la situación de las entradas es distinta, es decir una está activada pero la otra no SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE DIAGRAMAS DE KARNAUGH ES EL MÉTODO MÁS UTILIZADO PARA SIMPLIFICAR EXPRESIONES DE DOS, TRES Y CUATRO VARIABLES. 1. DIBUJAR EL MAPA DE KARNAUGH QUE CORRESPONDA. 2. LLEVAR LOS UNOS DE LA TABLA DE VERDAD (1ª forma canónica, también podría hacerse con la segunda) AL MAPA. 3. AGRUPACIÓN DE LOS UNOS. 4. OBTENCIÓN DE VARIABLES Y DE LA FUNCIÓN SIMPLIFICADA. DIAGRAMAS DE KARNAUGH SEGÚN EL NÚMERO DE VARIABLES DOS VARIABLES DE ENTRADA Número de combinaciones distintas 2 2 es decir cuatro, lo que implica una tabla de verdad de cuatro filas y por lo tanto un mapa de Karnaugh de cuatro celdas. Cada celda lleva escrita la combinación de la que procede y el número de celda coincide con el número de fila de la tabla de verdad. Por ejemplo la fila 3 tiene valores a = 1 y b = 1 Todos los mapas para dos variables son iguales.

11 TRES VARIABLES DE ENTRADA Exactamente igual construido que el anterior pero con ocho celdas (2 3 ) CUATRO VARIABLES DE ENTRADA En la misma línea pero con 16 celdas (24) igual que las filas de una tabla de verdad de cuatro variables de entrada. CURIOSIDADES DE LOS MAPAS DOS CELDAS CONTIGUAS (SEPARADAS POR UNA RECTA) SOLO TIENEN UNA VARIABLE CON DISTINTO VALOR. SE CONSIDERAN CELDAS CONTIGUAS LAS DE LA PRIMERA Y ÚLTIMA FILA, Y LAS DE LA PRIMERA Y ÚLTIMA COLUMNA, ES DECIR LA CELDA 4 ES CONTIGUA DE LA CELDA 6 Y LA CELDA 1 ES CONTIGUA DE LA 9. LA CELDA 10 ES CONTIGUA DE LA 2 Y DE LA 8, ADEMÁS DE LAS DOS OBVIAS: 11 Y 14 CONTIGUAS. CADA CELDA TIENE CUATRO CELDAS

12 DIAGRAMAS DE KARNAUGH DE LA T.V. AL DIAGRAMA PRIMERA FORMA CANÓNICA Un ejemplo con tres variables de entrada Cada "1" en la salida de la tabla de verdad se hace corresponder con su celda en el diagrama de Karnaugh PRIMERA FORMA CANÓNICA Un ejemplo con cuatro variables de entrada. DIAGRAMAS DE KARNAUGH AGRUPAR LOS "1" Se hacen grupos con los "1", de 16, 8, 4, 2 ó 1, de tal manera que cuanto más grande es el grupo mejor. Todos los "1" deben estar en al menos un grupo, aunque un "1" puede pertenecer a más de un grupo.

13 OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN SIMPLIFICADA Se miran todas las celdas de un grupo, de tal manera que hay que buscar qué variables se mantienen constantes, es decir no varían de valor en las celdas del grupo. Ejemplo: grupo de ocho celdas del ejemplo. Mirando la variable "a" se observa que unas celdas (columna 2) tienen valor "0" y en otras (columna 3) tiene valor "1", no nos vale como variable constante. Mirando la variable "b" se observa que en todo el grupo tiene valor "1" lo que nos dice que es una de las variables que determinan el grupo. Vamos a la variable "c", vemos que en unas celdas tiene valor "1" pero en otras no, lo mismo nos ocurre con la variable "d". LA ÚNICA VARIABLE CONSTANTE (VALOR FIJO) DEL GRUPO DE 8 CELDAS ES LA VARIABLE "b" Grupo de cuatro celdas (fila inferior). Las variables "a" y "b" varían de valor a lo largo del grupo. La variable "c" tiene siempre valor "0" y la variable "d" tiene siempre valor "1". LAS VARIABLE "c" Y "d" SON CONSTANTES EN EL GRUPO, LA VARIABLE "c" EN SU VALOR "0" Y LA VARIABLE "d" EN SU VALOR "1".

14 Grupo de dos celdas (parte superior). "a" siempre tiene valor "0", "b" cambia de valor de "0" a "1". Las variables "c" y "d" tienen en ambas celdas valor "0". REPRESENTAN AL GRUPO LAS VARIABLES "a", "c" Y "d", TODAS CON VALOR CONSTANTE "0". LA FUNCIÓN SIMPLIFICADA SERÁ: Se obtiene uniendo los valores de cada grupo con el signo suma (primera forma canónica - suma de productos) LAS DOS FORMAS CANÓNICAS En este ejercicio se va a comprobar que las dos expresiones obtenidas de una tabla de verdad, tanto en la primera forma canónica, como en la segunda, realmente darían lugar a circuitos equivalentes. En el ejercicio se parte de la tabla de verdad de la figura. Sus expresiones algebraicas son: PRIMERA FORMA CANÓNICA (SUMA DE PRODUCTOS): SEGUNDA FORMA CANÓNICA (PRODUCTO DE SUMAS) SOLUCIÓN La solución será implementar los dos circuitos lógicos correspondientes a las funciones obtenidas, no obstante también puede realizarse cada uno de los circuitos eléctricos equivalentes. En esta solución se ha realizado el de la primera forma canónica, puedes tú hacer el de la segunda.

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16 SIMPLIFICACIÓN POR KARNAUGH En este ejercicio se comprobará que el circuito obtenido de una tabla de verdad, por cualquiera de sus formas canónicas es equivalente al obtenido después de la simplificación por Karnaugh. Partiendo de la tabla de verdad, se obtiene la función en la primera forma canónica.

17 Después de utilizar el diagrama de Karnaugh para realizar la simplificación, la función queda: SOLUCIÓN La solución será implementar los dos circuitos lógicos correspondientes a las funciones obtenidas, no obstante también puede realizarse cada uno de los circuitos eléctricos equivalentes. En la solución sólo se ha realizado el circuito eléctrico de la función simplificada.

18 CONTROL DE UN SEMÁFORO La figura muestra la intersección de unas calles en una gran ciudad. Se han colocado sensores de detección de vehículos en los carriles C y D que corresponden a la calle principal y en los carriles A y B correspondientes al camino de acceso. La lectura de cada sensor es 0 si no pasa ningún vehículo y 1 si pasa algún vehículo. El semáforo del cruce funciona con la siguiente lógica:! Es semáforo que controlo los carriles C y D estará en luz verde siempre que estos carriles estén ocupados.! El semáforo que controla los carriles A y B estará en luz verde, siempre que los carriles A y B estén ocupados, pero C y D no lo estén.! Es semáforo que controlo los carriles C y D estará en luz verde cuando no haya ningún vehículo circulando por cualquiera de los carriles. Utilizando las entradas A, B, C y D diseñar un circuito lógico para controlar el semáforo. Comprueba el circuito lógico que has diseñado. Es evidente que cuando un carril está con luz verde, el otro carril tiene la luz roja y viceversa.