Sistemas Numéricos MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo 1. Capítulo 1. Sistemas Numéricos

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1 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Capítulo Sistemas Numérios Temario. Representaión de los sistemas numérios. Conversión entre bases.3 Aritmétia.4 Complementos.5 Nomenlatura para representar números on signo.6 Complemento disminuido.7 Códigos numérios. 5, GSB

2 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Objetivos Al onluir este apítulo el letor estará en apaidad de:.- Representar los sistemas numérios deimal, binario, otal y hexadeimal empleando la notaión posiional y polinomial..-. Representar números en base n empleando las expresiones posiional y polinomial. 3.- Convertir números de base n a un equivalente en base m empleando las operaiones de división, para los enteros, y multipliaión, para las fraiones. 4.- Convertir en forma direta números uya base origen n es potenia de la base destino m. 5.- Resolver operaiones aritmétias de suma, resta, multipliaión y división ente números de ualquier base n, empleando los prinipios básios de la aritmétia deimal. 6.- Representar números on signo empleando el onepto de onvenión de signo. 7.- Resolver operaiones de suma y resta on números negativos de base n, empleando los oneptos de omplemento y omplemento disminuido. 8.- Expliar el onepto de ódigo, empleando ejemplos de apliaión de la vida otidiana. 9.- Representar números deimales empleando el ódigo BCD..- Resolver operaiones de suma empleando el ódigo BCD..- Expliar el ódigo Gray, y el onepto de preisión, empleando una apliaión industrial..- Conoer el ódigo ASCII e identifiar la representaión orrespondiente a un arater alfanumério. Introduión. Las matemátias, así omo los sistemas numérios, son tan antiguos omo la propia humanidad. Por ejemplo, los sistemas de álulo primitivos estaban basados en sistemas numérios de base diez o base ino, debido a uestiones naturales relaionadas por la antidad de dedos de nuestras manos. Por evidenias enontradas en registros y libros, se ha determinado que el sistema numério deimal era utilizado ya hae 4 años, aproximadamente, por los egipios. Con iertas araterístias partiulares, este sistema fue empleado siglos después por los romanos. Por el mismo tiempo al ual hae referenia el párrafo anterior, los babilonios utilizaban muesas en forma de uña (uneiforme) para representar a su sistema numério, las uales se maraban en tablillas. Una uña representaba al número uno, mientras que una fleha representaba al número diez. Por otro lado, para el número sesenta se volvía a emplear el mismo símbolo que se asignaba al número uno, pero se le daba importania a la posiión que guardaba en el número ompleto, esto es, se maneja el riterio posiional de peso del dígito. Así, los babilonios ya empleaban el sistema numério sexagesimal, el ual seguimos empleando hasta nuestros días para el manejo de segundos y minutos de nuestro uso horario. Ver figura. Número Babilonia Egipto (Jeroglífios) Figura. Símbolos empleados por las ulturas Babilónia y Egipia. Al paso del tiempo y muhos siglos después, la evoluión de las ulturas y sus orrespondientes neesidades motivaron la apariión y uso de otros sistemas numérios. Ya en el siglo XIX los matemátios George Boole y Cantor trabajaron sobre la teoría de onjuntos la ual es empleada hoy 5, GSB

3 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo día para el análisis y síntesis de sistemas digitales, altamente empleada en omputadoras, aluladoras, aparatos eletrónios y juguetes, entre otras muhas apliaiones. En resumen se puede estableer que de todos los sistemas numérios que han sido empleados por la humanidad, algunos llegan a tener mayor éxito que otros, esto debido a la failidad en el manejo de las operaiones y en el impato positivo uando se trata de haer una implantaión de diho sistema. Definitivamente, el sistema numério base ha sido el más exitoso, por uestiones naturales. El sexagesimal ha perdurado por más de 4 años, aunque su impato se limita al uso horario, pero empleado en forma masiva por el hombre. Por otro lado, on el advenimiento y desarrollo de la tenología eletrónia de estado sólido, la ual apareió a mediados del siglo XX, el sistema binario (digitales) y sus equivalentes; uaternario, otal y Hexadeimal, adquirieron una relevania fundamental. Sería asi imposible imaginar el mundo moderno sin omputadoras, aluladoras programables, hornos de miroondas, lavadoras inteligentes, naves espaiales y televisores a ontrol remoto y on funiones programables sin el reurso del sistema numério binario. Así pues, el resto de este apítulo estará dediado en espeífio al estudio, onversión, operaiones aritmétias y manejo de ódigos empleando esos sistemas numérios.. Representaión de los Sistemas Numérios Un sistema numério onsiste de un onjunto de símbolos denominados dígitos, on relaiones definidas por la adiión (+), resta, multipliaión y división. Los sistemas numérios más usados (más no los únios) son: Deimal Binario Otal Hexadeimal En general se emplean dos posibles opiones para representar a ualquier número en ualquier base, posiional y polinomial. A ontinuaión se revisan ambas opiones....- Notaión Posiional. La posiión de ada dígito india su peso o relevania, esto es, un número N se puede representar de la siguiente forma: N ( an an... aa... am ) r r = Base (Radix) Ejemplo. Identifiar las posiiones del número deimal ( ) r = a3 a a a a- a- 5, GSB 3

4 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo...- Notaión polinomial. En términos generales ualquier número N de rádix r puede ser esrito de auerdo a la siguiente fórmula: N n im a i r i Ejemplo.. Representar en forma polinomial al número deimal ( ) 3 N 3() 8() 4() 5() 4() 3(). Conversión entre bases En prinipio es razonable entender que exista una antidad asi infinita de representaiones numérias dado que la únia restriión que se tiene es on respeto al término r >, el ual representa a la base del sistema numério orrespondiente. Sin embargo siempre resulta importante uestionarse sobre la utilidad prátia de todas esas posibilidades. Aún más, una vez estableido el riterio de utilidad es onveniente estableer su equivalente a un sistema numério más familiar para el usuario. Por ejemplo, por uestiones obvias en una abina de mando será onveniente desplegar los dígitos de la letura de una variable de ontrol en términos del sistema base diez. Por otro lado, al espeialista en diseño de sistemas digitales de automatizaión para máquinas lavadoras de ropa le resultará altamente prátio el manejo de los sistemas numérios binarios y hexadeimal, los uales no son útiles para el liente que adquiere ese produto ya que él requiere que se le muestren todas las indiaiones numérias en el sistema numério base. En la tabla. se muestra una relaión entre las bases más omunes. Deimal Binario Otal Hexadeimal Deimal Binario Otal Hexadeimal Deimal Binario Otal Hexadeimal 3 B C D E F 6 3 A B C D E F A Tabla. Relaión entre las bases deimal, binaria, otal y hexadeimal. Para lograr la onversión entre diferentes bases es neesario apliar proedimientos espeífios. En onreto en este apítulo se revisarán dos de ellos, el método de la división y el método de la multipliaión. Ambos se detallan a ontinuaión. 5, GSB 4

5 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo.. Conversión mediante división por base. Se emplea para onvertir un entero, base A, a un equivalente en base B. Ejemplo.3: Convertir (48) a su equivalente a) Binario b) Hexadeimal. a) (48) = (N) Primer división: 48/ Coiente 4; Residuo Segunda división: 4/ Coiente 6; Residuo Terer división: 6/ Coiente 3; Residuo Cuarta división 3/ Coiente5; Residuo Quinta división 5/ Coiente 7; Residuo Sexta división 7/ Coiente 3; Residuo Séptima división 3/ Coiente ; Residuo Otava división ½ Coiente ; Residuo (48) = () (48) = (N)6 Primer división: 48/6 Coiente 5; Residuo 8 Segunda división: 5/6 Coiente ; Residuo5 (48) = (F8)6... Conversión mediante multipliaión por base. Se emplea para onversión de fraiones de una base A, a otra en base B. Ejemplo.4. Realizar la siguiente onversión (.85) a base 8 empleando hasta tres dígitos signifiativos. Primer multipliaión:.85 x 8 =.8 Segunda multipliaión:.8 x 8 =.4 Terera multipliaión:.4 x 8 =.79 (.85) = (.)8 5, GSB 5

6 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.5: Convertir (8.6)9 a su equivalente en base. Proedimiento: primero onvertimos el número de su base origen, en este aso es base 9, a base. Posteriormente onvertiremos el número obtenido en base a base empleando los métodos de la división y multipliaión, para las partes enteras y deimales, respetivamente. Primero se realiza la onversión a base. N (9) 8(9) 6(9) (7.66) Ahora se realizan las operaiones de división Ahora, para la parte deimal se realizan las operaiones de multipliaión...3 Conversión entre bases que son potenia una de otra Algunos proedimientos de onversión pueden resultar relativamente senillos siempre y uando se umpla on algunos requisitos mínimos, tales omo la existenia de una relaión de potenia entera y positiva entre las bases origen B, y destino B. A ontinuaión se explian esos proedimientos. Para onvertir un número N de una base origen B, a una destino B, en donde se umple la relaión: B = B k siendo k un número natural Se proede a agrupar el número N en grupos de tamaño k, tanto haia la izquierda omo haia la dereha del punto deimal. Una vez generadas estas agrupaiones se proede a sustituir ada una de ellas por su representaión equivalente, según la base destino B. En el aso de onversión de B a B se proede a expresar ada dígito de B por su equivalente en B, utilizando k dígitos para ada uno de ellos. 5, GSB 6

7 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.6 Realizar la onversión del siguiente número binario a su equivalente en base 8 N = (.) Las bases que se plantean en este ejeriio son la base dos, que es la base origen, y la base oho, que es la destino. La relaión en potenia entre ambas es 3, ya que 3 = 8 Así, los bits del número original se agrupan de tres en tres (la relaión de potenia), y se expresan en su equivalente base oho. ()()().()()() Por lo tanto: (.) = (33.534)8 Ejemplo.7 Convertir número (.) a su equivalente en base 6. Como la base de origen es y la base destino es 6, entones la potenia que los relaiona es 4. Por lo tanto el número base dos se agrupará en elementos de 4 dígitos. Cuyo equivalente en base 6 es: (5B.AE)6 ()).()() Ejemplo.8. Convertir el número (AF.6C)6 a base 8 Como la base de origen es de mayor magnitud que la magnitud de la base destino, además de que no existe relaión de potenia entre ambas, lo reomendable es onvertir primero a binario y posteriormente onvertir es binario a su equivalente en base oho. Ahora se agrupa el número en binario en onjuntos de tres bits, ya que la potenia que relaiona a la base (origen), on la base 8 (destino) es tres. Por lo tanto el resultado es: (57.554)8 5, GSB 7

8 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.9 Convertir (AF.5C)6 a su equivalente en base 8 Primera opión. Se empleará el proedimiento de división y multipliaión. (AF.6C)6 = (N) = x x 6 + x x x 6-3 = Primer división:75/8 Coiente ; Residuo 7 Segunda división: /8 Coiente ; Residuo 5 Terer división /8 Coiente ; Residuo Primera multipliaión:.89 x 8 =.7 Segunda multipliaión:.7 x 8 = (AF.6C)6 = (57.5)8 Segunda opión. Convertir el número original a su equivalente en binario, para posteriormente onvertir diretamente esta última expresión a su representaión final, base oho. (AF.6C)6 = (. ) Ahora, sabiendo que la relaión entre base dos y base oho está dada por 3 = 8, se determina que (. ) = (. ) = (57.554)8 Resultado que onuerda on el proedimiento anterior. Ejemplo. Convertir (33)4 a su equivalente en base 6 El fator de potenia es: 4 n = 6, siendo n =. Siguiendo la relaión entre base uatro y hexadeimal A 3 B 3 C 3 D 3 E Se obtiene que: 3 3 = ED. 5, GSB 8

9 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo.3 Aritmétia. En general las operaiones de aritmétia son las mismas no importando el sistema numério en el ual se esté trabajando. Obviamente, por uestiones naturales e histórias, la aritmétia en base diez ha sido la más empleada y por lo tanto la más senilla de apliar. En todo aso las tablas de suma y multipliaión serían lo únio que ambiaría uando se trabaja on otras bases. La resta y la división son el proeso inverso a las dos operaiones anteriores. Al trabajar on una base nueva sería onveniente iniiar on una tabla que relaione los resultados más senillos y apliarlos en la soluión de ejeriios. Algunas de estos resultados se pueden ver en las tablas. a) y.b. suma Tabla. a) Suma en binario. Suma Tabla. b) Suma en uaternario.3. Aritmétia binaria. Como se menionó anteriormente, las operaiones aritmétias siguen las mismas reglas de ejeuión, no importando la base en la que se esté trabajando. Como prinipio el letor puede seguir las reglas de operaión básias, empleando la base binaria. Para otras bases puede haer extensivo el mismo prinipio que se muestra en la siguiente tabla.3. suma resta multipliaión división + = = x = / = indetrerminado + = = x = / = + = = x = / = + =. El resultado se expresaría omo ero y un aarreo de uno. = Como el uno es de mayor magnitud al ero, se hae un préstamo al ero: = dos menos uno. El resultado es uno y se envía el préstamo a operar en suma on el sustraendo de la siguiente olumna Tabla.3 Operaiones aritmétias básias en binario. indeterminado x = / = Para operaiones omplejas la multipliaión se hae bit a bit y por último se realiza la suma de ada uno de los resultados. En el aso de la división se sigue apliando la metodología de prueba y error para ajustar el oiente. 5, GSB 9

10 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo 5, GSB Ejemplo. Suma a + b, en donde a = () y b = () Suma Resta a b, en donde a = () y b = () Para omprobar la operaión, se puede realizar la suma del resultado obtenido más el sustraendo para obtener el minuendo. Ejemplo. Suma a + b; Resta a b, en donde a = () y b = () Suma Resta Para omprobar la operaión, se puede realizar la suma del resultado obtenido más el sustraendo para obtener el minuendo:

11 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo 5, GSB Ejemplo. 3 Suma a + b; Resta a b, en donde a = ; b =. Suma Resta Comprobaión de la operaión de resta Ejemplo.4 Suma a + b +; Resta a b-, en donde a = ; b = ; = Suma de a + b Suma de a + b+ Resta de a b Resta de a b - - Como ejeriio adiional se deja la omprobaión de los resultados, empleando la base diez.

12 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Multipliaión y división. Ejemplo.5. Multipliar a x b; Dividir a/b, en donde a = y b =. Multipliaión. División..3. Aritmétia Otal Algunos resultados básios de las operaiones de suma y multipliaión que se muestran en las tablas.4 a y.4 b, respetivamente, y pueden ser empleados omo punto de referenia para realizar ejeriios más omplejos. Suma Tabla.4 a) Suma en otal Multipliaión b) Multipliaión en otal 5, GSB

13 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.6. Suma a + b; Resta a b, en donde a = (3546)8 ; b = (377)8 Suma Resta ( ) 8 ( ) 8 Ejemplo.7 Suma a + b + ; Resta a b, en donde a = (64)8 ; b = (543)8 ; = (65)8 Suma de a + b + Resta a b Resta a b ( ( 5 ( 3 4 ) 8 ) 8 ) 8 Ejemplo.8 Multipliaión a X b; División a/b. a = (54)8; b = (3)8 Multipliaión División Aritmétia Hexadeimal Tal y omo se vio on anterioridad, el sistema hexadeimal es relativamente más omplejo que el binario, uaternario, otal y deimal debido a que se requieren 6 símbolos para representar a su base ompleta. Por eso mismo se reomienda que en la medida de lo posible se utilien tablas de operaiones algebraias omo apoyo para resolver ejeriios, sobre todo uando se emplean dos o más dígitos en las expresiones numérias. Para la operaión de suma, pude tomarse omo referenia la tabla.5. 5, GSB 3

14 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A A B C D E F A B B C D E F A B C C D E F A B C D D E F A B C D E E F A B C D E F F A B C D E F A B C D E F Tabla.5 Suma en Hexadeimal Ejemplo.9 Suma a + b; Resta a b en donde a = (7D)6 y b = (A54)6 ; R Suma Resta 7 D 7 D A 5 4 A 5 4 ( 9 C 4) ( C) H H Ejemplo. Suma a + b + ; Resta a b en donde a = (F53E)6, b = (CE)6 y = (A)6 Suma a + b Suma a + b + F 5 E E F C E A ( F ( ) 6 9) 6 Resta a b F 5 E C E E 8 5 E D Resta a b E 8 5 D A D , GSB 4

15 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo. Multipliaión a X b; División a/b. a = (6)6; b = (B)6 Multipliaión 6 B F B División 6.4 Complementos La aritmétia omplementaria se emplea omo herramienta de apliaión para la parte operativa de números negativos. Complemento a base r y omplemento disminuido, (r -) son las opiones más empleadas, sobre todo en su apliaión en omputadoras, uando se trata de manejar números negativos y las orrespondientes operaiones aritmétias. A ontinuaión se muestra la euaión para el omplemento y posteriormente se tratarán algunos ejemplos. Por último se revisarán ejemplos empleando el omplemento disminuido..4. Definiión de omplemento. Nr n N r ( r ) r ( N) r Complemento. En donde: n es el número de dígitos a emplear en la operaión. r = es la base. ( N) r es el número al ual se le alulará su omplemento. Como asos espeífios se tienen el omplemento a uno y el omplemento a dos ya que ambos se aplian prinipalmente en aluladoras y omputadoras. Ejemplo. Calular el omplemento a del número ( N ) () 8 N ( ) () () Ejemplo.3. Empleando el ejeriio anterior, verifiar que el omplemento de un número es igual al negativo del mismo. Haiendo la operaión: N N), por lo tanto se omprueba que: ( N (N) 5, GSB 5

16 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.4.Obtener el omplemento del número ( N ) (496) 5 N ( ) (496) (594.- ) (.- Verifiando: N N) Siendo los primeros ino bits los orrespondientes al resultado Ejemplo.5. Determine el omplemento a de (N) = (), empleando 8 dígitos. 8 N ( ) () N () N () Nota: sólo los primeros oho dígitos forman parte de la soluión, ya que n = 8.4. Algoritmo para obtener el omplemento sin apliar la definiión. Sea el número ( N ) r ( an an.. a. a a... am ) r..- Reste una unidad a la base: r-.- Réstele ada dígito del número (N)r al resultado del punto anterior. 3.- Sume una unidad al resultado obtenido en el punto. Ejemplo.6. Calule el omplemento a dos del número Paso r- = Paso Paso 3 5, GSB 6

17 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.7. Calule el omplemento a diez del número 54 Paso : r = 9 Paso Paso Complemento Ejemplo.8. Calule el omplemento a nueve del número Paso : r = 8 Paso Paso Complemento.5 Nomenlatura para representar números on signo. En la gran mayoría de las apliaiones numérias de los sistemas digitales se tiene la neesidad de apliar tanto números positivos omo negativos. Caluladoras, omputadoras, teléfonos elulares, y Controladores lógios programables, PLC por sus siglas en inglés, son sólo algunos ejemplos. Por lo general se maneja un bit adiional ubiado en la extrema izquierda de los dígitos que representa a la magnitud. En general se emplean el número ero para representar el signo positivo, no importando uál sea la base. Para la representaión negativa se emplea siempre el dígito más alto de la base. Así, para la base binaria se tendría que el número uno representa el signo negativo. En el aso de la base diez, el número nueve estaría representado diho signo. A esta onvenión se le denomina sistema de signo magnitud. En general, esta representaión se emplea sólo para el sistema binario, por ejemplo, sea (N) = (), se empleará un bit extra en la posiión extrema izquierda para representar el signo del número en uestión, esto es ( N ) (,) por lo que ( N ) (,) Aunque omo se puede ver, la apliaión de esta onvenión es senilla, resulta poo viable en la prátia, ya que su implantaión eletrónia es relativamente ompleja, además de que pudiera generar algunas onfusiones aritmétias. Esto último se puede ilustrar on una simple operaión de suma entre un número a y su negativo. Por ejemplo, sea la suma 6 + (-6), resuelta mediante la apliaión del la onvenión signo magnitud. 6 ( N ) (,) ; 6 ( N ) (,), por lo tanto ( N ) ( N), 4!, lo ual es imposible. Nótese que existen los tres dígitos que representan a la magnitud, ubiados a la dereha de la oma. Así mismo se uenta el bit inmediatamente a la izquierda de la oma, el ual representa el signo del resultado, que en este aso es positivo. Por último existe un bit de aarreo, el ual aree de relevania y por lo tanto se desarta del resultado. Por todas las razones de desventajas menionadas en la apliaión de la onvenión signo magnitud, es que se opta por implantar las metodología de los omplementos, que en todo aso para 5, GSB 7

18 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo sistemas digitales serían el omplemento a dos y el omplemento a uno. Por lo tanto, par el aso del número seis positivo se tendrían las representaiones siguientes 6 ( N ) (,) ; 6 ( N ) [,] (,) Ejemplo.9. Obtenga el equivalente en deimal del número [N] = (,) N (,) Ya que: N ( N) Entones: N (N) Por lo tanto: ( N ) [,] [[,]] (,) Obteniéndose omo magnitud: ( N ) (,) 6 N (,) Así entones, el equivalente en base diez es: 6 Ejemplo.3. Resolver en binario las siguientes operaiones: a) Sin emplear omplemento: 5 3 b) Con omplemento a : 5 3 ) 3 5, on omplemento a. d) 5- on omplemento a. e) -3-4 on omplemento a. f) -3-5 on omplemento a. a) 5 3 () () () b) 5 (,) ;3 (,) ; 3 (,) 3 (,) [,] (,) ( 3) (,) (,) (,) 5 Obsérvense los uatro dígitos menos signifiativos. El uarto de ellos representa el signo, que en este aso es positivo. Los restantes tres representan la magnitud, pro lo tanto, el resultado final en base diez es: ) 3 5 (,) (,) (,) (,) (,) De donde se observa que el resultado es un número negativo, ya que el uarto bit es igual a uno, por lo tanto, el omplemento de él es:, el ual representa al número dos en base deimal. Así, el resultado en deimal es - d) 5- = (,); [,] = (,) ; 5 = (,) Entones:, +,, es número negativo. 5, GSB 8

19 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo La magnitud y equivalenia en base diez se determina a partir de su omplemento a dos: [,] = (,)= -7 e) 3 4 (,) (,) (,) (,) (,) El ual se observa que es un número negativo, tal y omo se esperaba. Por lo tanto, para onoer la magnitud del mismo, en deimal, empleamos el omplemento a :, el ual es 7, por lo que el resultado total será 7 Queda omo ejeriio verifiar el resultado si se proede a lo operaión -(3 + 4). f) 3 5 (,) (,) (,) (,) (,) El ual se observa que efetivamente es negativo. Para onoer su magnitud alulamos su omplemento: = El error se identifia si revisamos la operaión desde el iniio, ya que el resultado esperado, -8, requiere de al menos ino dígitos, uatro para la magnitud y uno para espeifiar el signo, por lo tanto la operaión orreta debe de ser: 3 5 (,) (,) (,) (,) (,) Evidentemente se observa que es un número negativo, uya magnitud se alula on su omplemento: = 8, por lo tanto el resultado final es -8 Ejemplo.3. Empleando el omplemento a dieiséis, realie la siguiente operaión: (FACB) 6 (ABCD) 6 ABCD = (,ABCD); FACB = (,FACB) [,ABCD] = (F,5433)6,FAC B + F,54 3 3,4 EFE 5, GSB 9

20 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Ejemplo.3.Empleando el omplemento orrespondiente, realizar las siguientes operaiones y expresar el resultado en base diez a) Complemento a 4 (3)4 (3) 4 ; (3)4 = (,3)4 (3) 4 = (,3)4 [,3] (3,3 4 ) 4 3 ( ) 4 Observe que el bit de signo india que el resultado es negativo, por lo tanto, al obtener el omplemento de la suma, se obtiene que la magnitud del resultado es: [3,3]4 = (,33) = 5, por lo tanto: b) (46) 6 (35) 6 Complemento a 6 (3,3)4 = -5 No se puede por que tenemos un seis en el primer dígito y se supone que estamos trabajando en base 6 ) (3) 7 (3) 7 Complemento a 7 (3) 7 = (,3) 7 (3) 7 = (, 3) 7 [,3] 7 = (6,44) 7,3 6,44 6,6 Se omplementa para onoer la magnitud [6,6]7 = (,66) 7 = 48 Por lo tanto: d) (45) 8 (34) 8 Complemento a 8 (6,6)7 = -48 (45) 8 = (,45) 8 (34) 8 = (, 34) 8 [,34]8 = (7,464) 8 5, GSB

21 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Por lo tanto, la resta será la suma de (,45) 8 y (7,464) 8,45 7,464 7,73 Se omplementa para onoer la magnitud [7,73] 8 = (,47) 8 = 39 Por lo tanto: (7,73)8 = -39 Ejemplo.33. Empleando el omplemento a dos, realie la siguiente operaión: Considerando que la suma generará desbordamiento, se asignará desde el prinipio un bit adiional al número 46 para ontrarrestar ese problema, entones: 5 = (,) ; [,] =, 46 = (,) ; [,] = +,, El ual laramente se observa que es negativo. Para determinar su magnitud y equivalenia en base diez, se obtiene su omplemento a dos: [,] = (,) = 7 Por lo tanto:, = -7.6 Complemento disminuido. El omplemento disminuido de un número N sigue representando al negativo de ese número, sólo que el proedimiento de omplementaridad se modifia un poo, failitando el proeso. En partiular, el omplemento a uno es un reurso altamente empleado, tal y omo se menionó on anterioridad, en aluladoras, omputadoras y ualquier dispositivo digital eletrónio que realie operaiones aritmétias. La representaión del omplemento disminuido viene expresado por: n [ N ] ( r) ( N) r r r Por lo tanto [ N ] r [ N] r Ejemplos de diferentes omplementos disminuidos se muestran a ontinuaión. Ejemplo.34. Del término obtenga su omplemento a uno y relaiónelo on el omplemento a dos. La operaión r--ai es: 5, GSB

22 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Por lo tanto: [ ] La relaión entre omplemento a uno y omplemento a dos está dada por: + [ N ] [ N] r r Por lo que: [ N ] Ejemplo.35. Realie las siguiente operaiones tanto en omplemento a dos omo en omplemento a uno. a) -A B; A = ; B = Complemento a [A]= (,) [B]= (,) Por lo tanto: -A B =, Complemento disminuido: [ A ] (,) ; [ B ] (,) Por lo tanto: -A-B = (,), +,,, +,, La relaión entre [N] y [N] se realiza por el ajuste de dos unidades al resultado de la suma en omplemento a uno, ya que ada sumando requiere de su ajuste a uno, y que en la operaión existen dos de ellos., +,, b) A B; A = B = Complemento a [ A ] (,) ; [ B ] (,), +,, Por lo tanto: -A B = (,) 5, GSB

23 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo Complemento a uno [ A ] (,) ; [ B ] (,), +,, Por lo tanto, -A B en omplemento a uno: (,) Verifique la relaión entre los omplementos. Ejemplo.36. Realie las siguientes operaiones EAFD - 9AE3 - F35DE - A35DE a) empleando el omplemento a 5 b) exprese en base los resultados del iniso a. a) EAFD = (, EAFD) ; F35DE = (, F35DE) Obteniendo el omplemento a 5: [, F35DE] 6 ( F,CA), EAFD +F, CA F,F794E El resultado es negativo, y se enuentra en omplemento a 5. Pasaremos a omplemento 6 F, F794E + F, F794F El resultado sigue siendo negativo, pero en omplemento 6, por lo tanto, para alular la magnitud en base 6, se obtendrá el omplemento a 6 de este último resultado. [F, F794F]6 = 86B + Expresado en base : 86B (N) = 8 * (6) * (6) * (6) + * (6) + * (6) = 3448 F, F794F6 = b) 9AE3= (,9AE3); A35DE= (,A35DE) Obteniendo el omplemento a 5 para ambas expresiones: 5, GSB 3

24 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo [,9AE3] = (F,F65EC); 6 [,A35DE] 6 = (F,F5CA) F, F65EC +F, F5CA F, ECCD El resultado es negativo, y se enuentra en omplemento a 5. Pasaremos a omplemento 6 F, ECCD + F, ECCF El resultado sigue siendo negativo, pero en omplemento 6. Para la magnitud en base 6, se obtendrá el omplemento a 6 del resultado final. En base : [F,ECCF]6 =, 3E3F (N) = * (6) * (6) * (6) * (6) + 5 * (6) + * (6) = F, ECCD6 = Ejemplo.37 Realie la operaión A-B-C, siendo A= ; B= ; C= a) empleando el omplemento a uno b) alule en base el resultado obtenido A= (, ); B= (, ); C= (, ) [ A ] (,) ; [ B ] (,) ; [ C ] (,) (-A) + (-B) =,,, (-A) + (-B) + (-C) =,,, Negativo Para obtener el omplemento a, se tiene que agregar tres unidades, uno por ada número A,B y C ya que todos se enuentran en omplemento a uno.,, Este último resultado sigue siendo negativo, pero en omplemento a dos. Para determinar su equivalente en base primero se obtiene el omplemento a dos de él. 5, GSB 4

25 Sistemas Numérios MC Guillermo Sandoval Benítez Capítulo [, ] =, Ahora se obtiene su equivalente en base : (N) = * () 6 + * () 5 + * () = 97 Resultado:, = Códigos Un ódigo es un sistema elaborado y diseñado para transmitir, manipular y apliar informaión, de preferenia públia o privada, oasionalmente para ambos al mismo tiempo. Emplea símbolos para representar la informaión que se desea onstruir, además de que obedee a una semántia espeífia y tiene orrespondenia unívoa, esto es, que un solo ódigo representa a un solo signifiado. Definitivamente diho sistema de odifiaión debe de guardar una estrutura y por onsiguiente debe de omuniar informaión útil para el usuario. Ejemplo de un ódigo son los olores de la luz de un semáforo. En este aso la apliaión del ódigo es públia; los símbolos que emplea son los olores: verde, amarillo y rojo; su semántia orresponde a siga, preauión y alto, respetivamente; la estrutura que guarda es únia, tanto en olores omo en seuenia: verde amarillo rojo verde y así suesivamente; en uanto a la utilidad de este ódigo es más que evidente, onsiderando la universalidad, aeptabilidad y atos de ultura que ha generado en el omportamiento ívio alrededor del mundo. En los sistemas digitales existen ódigos binarios para apliaiones espeífios. Tal es el aso de los ódigos BCD, Gray, ASCII, deteión de errores, entre otros. Algunos se emplean para manipulaión o representaión numéria (BCD y Gray), otros para representaión alfanuméria (ASCII), y existen los de apliaión varia, omo los empleados para detetar errores en el envío y reepión de informaión entre dos dispositivos. En este apítulo se revisarán úniamente los ódigos BCD, Gray y ASCII, los demás quedan fuera del alane de este libro y se reomienda al letor referirse a la bibliografía orrespondiente para la letura del resto de ellos..7. Código BCD Se emplea para operaiones numérias. Es una alternativa para representar al sistema numério deimal utilizando sólo uatro dígitos. La relaión entre este ódigo y su equivalente en binario se muestra en la tabla.6 Deimal Binario BCD Tabla.6 Relaión entre los números deimal, binario y BCD 5, GSB 5

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