Árboles AVL. Laboratorio de Programación II

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1 Árboles AVL Laboratorio de Programación II

2 Definición Un árbol AVL es un árbol binario de búsqueda que cumple con la condición de que la diferencia entre las alturas de los subárboles de cada uno de sus nodos es a lo sumo 1. La denominación de árbol AVL viene dada por los creadores de tal estructura Adelson-Velskii y Landis.

3 Hemos visto que un árbol binario de búsqueda es un árbol binario en el cual los nodos de su subárbol izquierdo son menores que la raíz y los nodos del subárbol derecho son mayores que la raíz. El tiempo de las operaciones sobre un árbol binario de búsqueda son O(log n) en promedio, y es O(n) en el peor caso, donde n es el número de elementos.

4 La propiedad de equilibrio de un árbol AVL asegura que la profundidad del árbol sea O(log(n)). El tiempo de ejecución de las operaciones sobre estos árboles es en el peor caso O(log(n)), donde n es la cantidad de elementos del árbol. Sin embargo, esta misma propiedad de equilibrio de los árboles AVL implica una dificultad a la hora de insertar o eliminar elementos: estas operaciones pueden no conservar dicha propiedad.

5 No cumple la propiedad de equilibrio

6 Consideraciones sobre la altura de los nodos Como vimos en la definición del tipo abstracto para nodos de árboles AVL, se necesitará tener acceso a la altura cada nodo del árbol en tiempo constante. Dado que una función para hallar la altura de un nodo dado en un árbol tendrá un tiempo de ejecución de O(log(n)) peor caso, no nos queda otra alternativa que almacenar una variable altura en cada nodo e irla actualizando en las inserciones y eliminaciones que se efectúen sobre el árbol.

7 Como ya sabemos, la función para calcular la altura de un nodo se escribe recursivamente: int altura(avltree *t) { if(es_vacio(t)) return -1; else return max(altura(izquierdo(t)), altura(derecho(t))); }

8 Queremos que la altura de un árbol que consta de sólo un nodo sea 0. Entonces debemos definir la altura de un árbol vacío como -1. Sin embargo, no podemos darnos el lujo de tener una función cuyo tiempo de ejecución siempre es O(n) ya que, como dijimos, necesitamos la altura de un nodo en tiempo constante. Para ello, redefiniremos la función de la siguiente manera, aprovechando el campo altura que ahora tiene cada nodo del árbol.

9 int altura (AVLTree * t) { if(es_vacio(t)) return -1; else return t->altura; } Importante: Debemos tener mucho cuidado en actualizar el campo altura de cada nodo siempre que modifiquemos de alguna manera el árbol AVL.

10 Rotaciones simples Veremos a continuación una operación sencilla sobre un árbol binario de búsqueda que conserva el orden en sus nodos y que nos ayudará a restaurar la propiedad de equilibrio de un árbol AVL al efectuar operaciones sobre el mismo que puedan perturbarla.

11 Árbol antes de la rotación simple Dado que este es un árbol de búsqueda se debe cumplir x < y y además todos los nodos del subárbol A deben ser menores que x e y; todos los nodos del subárbol B deben ser mayores que x pero menores que y; y todos los nodos del subárbol C deben ser mayores que y, y por lo tanto que x

12 Árbol luego de la rotación simple Se ha modificado sencillamente el árbol. El nuevo árbol sigue manteniendo el orden entre sus nodos y sigue siendo un árbol binario de búsqueda. A esta transformación se le denomina rotación simple (o sencilla).

13 Veamos un ejemplo concreto. Deseamos insertar el número 3. La inserción ha provocado la pérdida de la propiedad de equilibrio. Qué hacemos para recomponer dicha propiedad? Simplemente realizamos una rotación simple. En este caso se dice que la rotación es izquierda ya que la "pérdida de equilibrio se produce hacia la izquierda. Luego vemos el árbol luego de la rotación: la propiedad de equilibrio ha sido reestablecida.

14 Árbol luego de la inserción: pérdida de la propiedad de equilibrio Reestablecimiento de la propiedad de equilibrio mediante una rotación simple sobre el nodo de valor 5.

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17 Rotaciones dobles En estos árboles con "desequilibrios" no funciona la rotación simple En estos casos se aplica otro tipo de rotación denominado rotación doble que puede ser izquierda o derecha según el caso.

18 Balance del árbol Cada vez que se modifique el árbol (agregar o eliminar elementos) puede perder la propiedad de equilibrio en alguno de sus nodos. La idea general que se utiliza en esta implementación de árboles es la siguiente: Efectuar los algoritmos de igual forma que en los árboles binarios de búsqueda pero en cada recursión ir actualizando las alturas y rebalanceando el árbol en caso de que fuera necesario.

19 Análisis de inserción: caso a Al insertar por la izquierda y en el proceso de ascenso, por la trayectoria desde el nodo recién insertado hacia la raíz, revisando los factores de balance. Si se llega a un nodo con factor uno, basta corregir el factor de ese nodo (dejarlo en 0) y no es preciso seguir corrigiendo en el ascenso. Esto es debido a que ese nodo no cambiará su altura; estaba en h y queda en h. Se ilustra este caso a continuación:

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21 Análisis de inserción: caso b Al insertar por la izquierda, y en el proceso de ascenso de revisión de los factores de balance, si se llega a un nodo con factor cero, debe corregirse el factor de ese nodo (queda en -1) y es preciso seguir el ascenso corrigiendo factores de balance. Esto se debe a que ese nodo cambió su altura; estaba en h y queda en h+1. Se ilustra este caso a continuación:

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23 Análisis de inserción: caso c Se analiza un árbol AVL de altura 2, pero el análisis es válido para cualquier subárbol AVL. Se inserta un nodo F en la rama externa más larga del subárbol derecho. La relación de orden del árbol binario es: A<B<C<D<E<F Se trata igual el caso: F<E.

24 Se detecta la pérdida de propiedad AVL para este caso, cuando el factor de balance de un nodo recalculado después de la inserción es +2, y el factor de balance del hijo derecho es positivo. Inserciones de nodos con valores menores que B, mejoran los factores de balance, mantienen la propiedad AVL, y no existe necesidad de corregir. Han sido tratados en los casos a y b

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26 Análisis de inserción: caso d Si se inserta un nodo D en la rama interna más larga del subárbol derecho. Orden: A<B<C<D<E<F Se trata igual el caso D<C. Esta situación se detecta cuando el factor de balance de un nodo es +2, y el factor de balance del hijo derecho es negativo. Inserciones de nodos con valores menores que B, mejoran los factores de balance, mantienen la propiedad AVL, y no existe necesidad de corregir

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28 Corrección para mantener AVL: caso c El caso c) requiere una reestructuración de los nodos para mantener la propiedad AVL. Manteniendo la relación de orden: A<B<C<D<E<F, se denomina rotación simple a la izquierda, que deja al subárbol

29 Corrección para mantener AVL: caso d El caso d) también requiere reestructurar para mantener el árbol con la propiedad AVL. Se corrige con una doble rotación. Primero una a la derecha, que hace ascender C y luego otra a la izquierda, que hace ascender C hasta la raíz: En ambas se conserva la relación de orden: A<B<C<D<E<F Existen dos casos adicionales al c) y el d), que corresponden a inserciones por la izquierda, y pueden visualizarse con las imágenes especulares de las mostradas.

30 Rotaciones en AVL: generalización caso c Se puede generalizar el caso c. La primera figura muestra la situación antes de agregar un nodo en el subárbol derecho de B. La figura al centro muestra el árbol desbalanceado, no AVL. A la derecha se muestra después de una rotación simple a la izquierda, la cual mejora el balance y genera un árbol AVL.

31 Rotaciones en AVL: generalización caso d El caso d) también se puede generalizar. La primera figura muestra la situación antes de agregar un nodo en el subárbol izquierdo o derecho del nodo B. La segunda figura muestra el árbol no AVL:

32 Rotaciones en AVL: generalización caso d Se corrige con una rotación a la derecha, que hace ascender B y luego otra a la izquierda para llevar B a la raíz del subárbol, produciendo un árbol AVL. No es necesario seguir revisando los factores de balance de los nodos superiores a la raíz del subárbol, ya que queda con factor de balance 0. El alto de ese nodo es (h+1), antes y después de la inserción y las correcciones.

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