INSTEC PENSAMIENTO NUMERICO VARIACIONAL GUIA 1 - GRADO 11

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1 1.. LOS NUMEROS REALES CONDUCTA DE ENTRADA La figura muestra una recta real Teniendo en cuenta la Figura responde en minutos a. Cuantos números Reales hay entre -1 y 1. b. Cuantos números naturales hay entre 0 y. c. Cuantos números enteros hay entre -1 y. d. Escribe 10 números entre 0 y 1. Así la unión de los Racionales Q con los Irracionales I forman el conjunto de los Reales. R= Q U I Los números se pueden Representar utilizando puntos el la recta real, de modo que cada número real, a, le corresponde exactamente un punto en la recta, y a cada punto P, en la recta le corresponde un número real a. En la siguiente recta se pueden observar algunos números reales. FORMACION INTELECTUAL Los Números Reales En los cursos anteriores se han estudiado los conjuntos Numéricos. Así se definieron los N, de los Naturales y el cero; Z, Los enteros; Q, Los Racionales; I, irracionales; R, Los reales y los Complejos como sigue: N 0 ={ }. Z = { -9,, -, -, -1, 0, 1,,, 9, 10, } Los Números Racionales se pueden representar en forma decimal clasificándose en: Al representar una mayor cantidad de números reales, en un intervalo, se puede observar, informalmente, que entre dos números reales siempre va a ubicarse otro número real, a esta propiedad se le llama densidad. Entre un número real y otro número real hay infinitos números reales Intervalos La recta real. El conjunto de los números reales se puede representar mediante los puntos de una recta horizontal, que se denomina recta real, donde a cada punto le corresponde un único número real. Un intervalo es un subconjunto de números reales. Para referirnos a un intervalo de conjuntos de números reales, usaremos las letras minúsculas, se utilizaran paréntesis y corchetes que tendrán un significado preciso. Representaremos los intervalos de tres formas: Forma 1: notación de intervalos como una pareja (a, b) o [a, b] a es el real ubicado a la izquierda del otro Forma : Notación de conjuntos Por comprensión utilizando los símbolos > <, Los números irracionales están conformados por los números decimales infinitos no periódicos que no se puede expresar en forma racional. Algunos Irracionales son:, π, π. Forma : Gráfica en la recta real. NOTA: Debemos tener cuidado en no confundir el intervalo abierto (a, b) con la pareja ordenada (a, b).

2 Clasificación de intervalos Observa que la expresión a > b es equivalente a b < a y c < d es equivalente a d > c (propiedad simétrica). 1.. Desigualdades Una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por los signos > a or o igual que. Expresiones como x > 0 ó 7 < x +, se llaman desigualdades, también a > b si (a b) es un número real positivo, otros ejemplos son: (x+) > (x ) (x ) 0 x + x) < 8 Propiedades de las desigualdades Los símbolos - y no representan números; son simplemente símbolos que nos recuerdan que el intervalo continua siempre, aumenta o disminuye sin fin. Por lo tanto, siempre se escribe un paréntesis junto al símbolo. El conjunto de los números reales R es un conjunto ordenado: Si a es mayor que b, entonces a está a la derecha de b y se escribe: a > b, a, b R En la recta numérica es: a > b b a a > b Si c es menor que d, entonces c está a la izquierda de d y escribimos: c < d, c, d R En la recta numérica es: c < d c c < d d Solución de desigualdades Sean a, b, c, números reales, se cumple que Si a < b y b < c entonces a < Si a < b y b < c entonces a + c < b + c y a c < b c Si a < b y c > 0, entonces a. c < b. c y a c Si a < b y c < 0, entonces a. c > b. c y a c > b c Como en las desigualdades se usan variables, una desigualdad no es verdadera ni falsa hasta que las variables se reemplacen por constantes, por eso reciben el nombre de proposiciones abiertas. El conjunto solución de una desigualdad está dado por el conjunto de valores que pueden tomar las variables para hacer de la desigualdad una proposición verdadera. Resolver una desigualdad es, por lo tanto, hallar el conjunto solución para la desigualdad. Cuando se resuelven ecuaciones, el objetivo es hallar ecuaciones equivalentes más sencillas para obtener una solución obvia. Con las desigualdades se procederá exactamente igual, es decir, efectuaremos una serie de operaciones para obtener desigualdades equivalentes y para ello se aplican las siguientes propiedades. b c

3 INECUACIONES LINEALES Se explicaran el procedimiento de resolver las desigualdades lineales a través de ejemplos. a. Resolver x + x - x + x hacemos trasposición de términos, variables a la izquierda y números a la derecha, teniendo en cuenta que lo que está sumando pasa a restar al otro lado x x - Sumamos términos semejantes -x -7 dividimos entre - y despejamos a x, como - es negativo la desigualdad se cambia de realizamos la división Luego Conjunto solución: {x R / x todos los reales menores o igual a siete medios. b. Resolver Ecuación dada }, en forma de intervalo es (-, ], o sea multiplicamos por las tres expresiones para eliminar el denominador de la expresión de la mitad d. Hallar y graficar el conjunto solución de x 7 > x x 7 > x x > x +7 x > 1 x x + x > 1 x + x x > 1 x > Desigualdad dada: Sumando 7 a cada miembro Efectuando: Sumando x a cada miembro: Efectuando: Conjunto solución: {x R / x < }, es decir, el intervalo (, ). Comprobación: Para comprobar si el conjunto solución es correcto, reemplacemos en la desigualdad original la x por un valor mayor que, por ejemplo 6. Veamos: x 7 > x Como x = 6, entonces: (6) 7 > > -1 y > -1 que es verdadero. Luego: (, ) es la solución. expresión de la mitad. sumamos a todas las expresiones para cancelar el - de la mitad. efectuando dividimos por en las tres expresiones para cancelar el dos del término de la Se realizan las operaciones indicadas Luego el Conjunto solución: {x R [, o sea todos los reales que están entre y 9 c. Resolver la desigualdad x 7 < 6 x 7 < 6 Desigualdad dada x < Adicionando 7 a cada miembro x < 1 Efectuando x Dividiendo por cada miembro y resolviendo Conjunto solución: {x R / x < }, es decir, el intervalo ( }, en forma de intervalo es e. Hallar y graficar el conjunto de solución de Desigualdad dada: 6 x x 6 x x Efectuando la suma del miembro a la izquierda 8x 6 x Multiplicando ambos miembros por y Solucionando: 8x + 6 x 16 Restando 6 a cada miembro: 8x + 6 x Efectuando: x 10 Dividiendo cada miembro por : x Conjunto solución: {x R / x }, es decir (-, ]

4 . Se ubican los puntos hallados sobre la recta numérica y se evalúa el signo de cada factor para valores mayores y menores que ellos. Se operan los signos y se determinan los valores para los cuales es mayor o menor que cero el producto de los factores f. Resolver y graficar el conjunto solución de En este ejemplo debemos considerar los casos: a) x + > 0 b) x + < 0 Caso a: Si x + > 0 Desigualdad dada: x x 1 x x Multiplicando ambos miembros por (x+): x 1 < x + Transponiendo términos: x x < + 1 Efectuando: x < 18 Despejando: x < 9 Ya sabemos que x + < 0, entonces x < - y x > 9, lo que es imposible. Combinando los dos casos obtenemos como solución los valores en el intervalo (-, 9): 1 Positivos los mayores y negativos los menores ( X + ) La solución son los positivos porque la igualdad está planteada con críticos como parte de la solución ya que se maneja el mayor igual. Luego la solución es ( ] b. Resolver Pasos: ( X + ) ( X + )( X + ) Ecuación dada 1. Se establece una desigualdad con respecto a cero, ya está y se incluyen los puntos se factoriza la expresión que resulta si es posible, ya está factorizada. INECUACIONES CUADRATICAS a. Resolver la desigualdad cuadrática: Pasos: Ecuación cuadrática dada 1. Se establece una desigualdad con respecto a cero se factoriza la expresión que resulta si es posible. Se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan. Se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan x o sea x no es posible en los reales porque es i i

5 . Se ubican los puntos hallados sobre la recta numérica y se evalúa el signo de cada factor para valores mayores y menores que ellos. Se operan los signos y se determinan los valores para los cuales es mayor o menor que cero el producto de los factores ( X + ) ( - x) ( X + 1 ) INSTEC PENSAMIENTO NUMERICO VARIACIONAL GUIA 1 - GRADO 11 ( X + )( - X) ( X + 1 )(X² + 1) Luego la solución es ( ] ( ] VALOR ABSOLUTO Valor absoluto de a, que se denota a, se define como: a = a, si 0, si a a, si a a Es decir, el valor absoluto de una cantidad siempre es positivo o cero. Por ejemplo: = ; - = ; = ; -d = d; 0 = 0; b = b Esta notación tan sencilla tiene importantes consecuencias. Ecuaciones con valor absoluto Para solucionar ecuaciones con valor absoluto se utilizan las siguientes propiedades: Inecuaciones con valor absoluto En la solución de ecuaciones con valor absoluto se deben tener en cuenta las siguientes propiedades: Las soluciones son finitas Ejemplos

6 Ejemplos: a. Resolver x < Por la definición de a vemos que x puede ser cualquier número en el intervalo que a de a. Es decir, x debe pertenecer al intervalo (-, ). A veces utilizamos una proposición de la forma x < para designar el intervalo (-, ). En forma de desigualdades y sin valor absoluto la proposición < x < es equivalente a x <. b. Resolver x < 6 Por definición de valor absoluto x < 6 significa que (x ) debe estar en el intervalo (-6, 6). Lo podemos escribir como: 6 < x < 6 Lo cual es una desigualdad doble, donde ambas deben ser satisfechas por x, o sea: x d. Resolver: x Solución: x Desigualdad dada por el valor absoluto: x Para poder multiplicar por (+x) es necesario considerar dos casos, según (+x) sea positivo o negativo. Caso a: ( + x) > 0, entonces al multiplicar por ( + x) las desigualdades se mantienen. - ( + x) < x < ( + x) -8 x < x < 8 + x -6 + < x + < < x < 8 Por lo tanto, x debe pertenecer al intervalo (-, 8) c. Solucionar x 9 Solución: Desigualdad dada: x 9 Desigualdad equivalente: -9 x 9 Resolviendo: -9 + x x 1 11 x Resolviendo la desigualdad de la derecha: x < 8 + x -x < + x - < 6x x 6 Resolviendo la desigualdad de la izquierda: -8 x < x -8 < -x + x -11 < x x 1 Entonces tenemos (+x) > 0 y x > y x > 6 11, por lo tanto, x pertenece al intervalo, 6. - x 7

7 Caso b: Si ( + x) < 0, entonces al multiplicar por + x las desigualdades se invierten. - ( x) > x > ( + x) -8 x > x > 8 + x Resolviendo la desigualdad de la izquierda: -8 x > x -8 > -x + x -11 > x > x, entonces: x Resolviendo la desigualdad de la derecha: x > 8 + x 8 > x + x - > 6x, luego: x 6 f. > Entonces tenemos: + x < 0 y x < 11 y x < 11, por lo tanto, x pertenece al intervalo, 6 La solución para ambas desigualdades son todos los valores de x no incluidos en 11,. 6 La solución es, 6 11.U, e.

8 1. Completar la Tabla TALLER 1 cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos o cuales falsos. Justifica tus respuestas. a. 1 0, b. 0,0 100 c. 1, 1 10 d. 0,81>0,80 e..9,0 f. 8,6 < 8,60. Representa en la recta numérica las desigualdades siguientes: a) < - b) 8 > 6 c) 1 < 0 d) 7 > 0 e) 7 < 0. Reemplaza el signo de interrogación por >, < ó = a) 80 b) 6 c) (6) 1/ ( + log 10 10) d) log log g e) 0, 9 6 f) 0 g) 8 h) 6 i) Dados los siguientes conjuntos por comprensión, escríbelos por extensión: a) {x N / x 0} b) {x Z / - x < 7} c) {x N/ 0 < x d) {x Z / - x } e) {x R / x } 1 f) x R / x > g) x R / x h) {x Z / -10 < x } i) {x N / x } j) { x N / x < } { x N / x > 10} 6. Dados los siguientes conjuntos, escríbelos en forma de intervalos. a) {x R / 0 < x < } b) x R / x 7 c) {x R / - < x 10} d) {x R / 0 x < 8} e) {x R / - < x <-0} f) {x R / x 6} g) {x R / x > -} 1 h) x R / x i) x R / x j) {x R / x < -1} {x R / x > 1} 7. Dados los siguientes intervalos, escríbelos en forma de conjuntos. Los elementos tomados pertenecen al conjunto de los números reales. a) [-, 8) 1 f) 1, b), c) (-, 6) g), 8 d) (-, ) h), e), i) (-, 1)

9 . Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas TALLER 1. Soluciona las desigualdades siguientes: a) t < b) 7 m m c) 7 u u 1 d) v 8 v 6 e) 6 y y f) a a a 8 g) c 7 h) d d i) y 6 y j) 1 h h k) n n a. b. c. d. (x+1)(x+)(x - 1) 0 e. (x+)(x + 1)(x - ) > 0. Halla el valor o valores de x en los siguientes ejercicios: a) x = 6 b) 7 x = c) x + = x d) x + < e) x 6 < f) 1 x g) x h) x x + x i) x 1 x j) x x k) x 6 x l) x x m) 6 x x n) 7 x l) i i 1 t m) t n) r r r r o) x 1 x p) x x x