Unidad 7. Desigualdades. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

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1 Unidad 7 Desigualdades Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Comprenderá el concepto de orden en los números reales, así como el de valor absoluto y sus propiedades. Aplicará las propiedades de las desigualdades y del valor absoluto en la resolución de inecuaciones lineales en una variable. Relacionará regiones en el plano cartesiano con las soluciones de desigualdades lineales en dos variables. Resolverá los sistemas de desigualdades.

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3 desigualdades Introducción Siguiendo con el estudio de las propiedades de los números reales, ahora pondremos atención a una consecuencia de la relación de orden: las desigualdades. En este capítulo se estudiarán los conjuntos de números que satisfacen las relaciones de orden que involucran a los signos mayor que, mayor o igual que, menor que o menor o igual que, entre números reales. Como consecuencia también aprenderemos a resolver desigualdades de una sola variable e identificaremos en el plano cartesiano las regiones que satisfacen desigualdades y sistemas de desigualdades con dos variables. De igual forma se definirá el valor absoluto de un número real, involucraremos al valor absoluto en las desigualdades numéricas y aprenderemos a resolver inecuaciones que lo incluyen Concepto de orden en Cómo identificamos cuando un número real es mayor que otro? Cómo los representamos en la recta numérica? Recordemos que cuando estudiamos los números reales establecimos un concepto de orden mediante el cual se puede determinar cuándo un número real es mayor que otro: Si a y b son números reales positivos y (a b) es positivo, decimos que a es mayor que b, y escribimos a > b. Esto es equivalente a decir que b es menor que a, que se escribe b < a. Ahora, los representamos en la recta numérica: 2

4 Álgebra superior Con lo anterior observamos que si a >b implica que a está a la derecha de b, es más, si a está a la derecha de b entonces a >b, por lo tanto se puede decir que: a > b Û a está a la derecha de b en la recta numérica. De aquí se sigue la siguiente propiedad: a >0 si y sólo si a es positivo. Esta propiedad se cumple porque si a > 0, entonces a está a la derecha del cero en la recta numérica, pero los números a la derecha del cero son los números positivos y, en consecuencia, a es número positivo. por consiguiente, si a <0 implica que a es negativo. Pero qué pasa si queremos responder a la pregunta cuáles serán los números que se encuentran localizados en la recta numérica entre el 3 y el 5? Es decir, los números reales que satisfacen la siguiente desigualdad: 3 < x < 5, donde x representa todos esos números reales. Para describir este tipo de conjuntos introduciremos el concepto de intervalo Intervalos Un intervalo es un conjunto de números reales que satisfacen una cierta desigualdad. Para representarlos, de manera abreviada, vamos a introducir la siguiente notación: 1. Denotamos con (a, b) a los números que se encuentran entre a y b; es decir: (a, b) = {x a < x < b} El conjunto (a, b) se llama intervalo abierto y se utilizan los paréntesis para indicar que los puntos extremos, a y b no están incluidos. 28

5 desigualdades 2. Denotamos por [a,b] a los números que se encuentran entre a y b incluyendo a a y b; es decir: [a,b] = {x a x b} El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y se utilizan los corchetes para indicar que los extremos están incluidos. 3. También están los intervalos semiabiertos o semicerrados denotados por [a,b) y (a,b] que se definen como: [a,b) = {x a x < b} (a,b] = { x a < x b} La desigualdad 4 < x <5 corresponde al intervalo (4, 5) pero, a qué intervalo corresponderá la desigualdad x <5 o cuál es el intervalo que corresponde a la desigualdad x > 9? 4. Los intervalos correspondientes a este tipo de desigualdades se denominan intervalos infinitos y se definen de la siguiente manera: (a, ) = {x x > a} [a, ) = {x x a} 2

6 Álgebra superior (,b) = {x x < b} (, b] = { x x b} (, ) = R Recordemos que el símbolo denota al infinito y se usa sólo como notación, no como un número en particular. Ejemplo 1 a) (2, ) representa a todos los números reales mayores que 2 { x 2 < x} b) [2, 5) representa al conjunto { x 2 x < 5} c) (, 3] representa al conjunto { x x 3} Ejercicio 1 1. Escribe el intervalo que representan los siguientes conjuntos: a) { x 4 x < 6} e) { x 2 x} b) { x 0 < x 2} f) { x x < 3} c) { x 10 x 5} g) { x x 6} d) { x 1 < x < 3} h) { x 0 < x} 20

7 desigualdades 2. Escribe el conjunto que representa cada uno de los siguientes intervalos: a) (2,6) b) [ 1,9] c) [ 8,3) d) ( 4,5] e) (,9] f) [ 5, ) 7.2. Definición de valor absoluto y sus propiedades A partir de las relaciones de orden >, <, y podemos decir que 3 < 5 o que 34 > 2 pero, qué tan alejado está el 5 del 3? Igual que el 42 del 2? Es decir, dado a > b, qué tan grande es a respecto a b? Para responder esta pregunta introduciremos la definición de valor absoluto. Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a, a, se usa para denotar el número de unidades (o la distancia) entre el punto de la recta numérica que representa el número a y el 0 (llamado origen), sin importar la dirección. En la siguiente figura vemos que para el punto con coordenada 4 tenemos 4 = 4, de igual modo para el punto de coordenada 4: 4 = 4. Cómo se determina el valor absoluto de un número? En general, si a es negativo para calcular su valor absoluto cambiamos su signo, mientras que si es positivo, entonces el valor absoluto del número real a coincide con él. Así, la definición queda como: a a a = si a 0 si a <0 21

8 Álgebra superior Observemos que si a < 0 en el segundo caso, entonces a es positivo, por lo que el valor absoluto de cualquier número es siempre positivo, esto es: x 0 para todo x. Ejemplo 2 a) Para calcular la distancia del número real 3 al origen se escribe: 3 = 3 b) Para calcular la distancia del 5 al 13 se escribe: 13 5 = 8 = 8 Mientras que la distancia del 13 al 5 es: 5 13 = 8 = 8 Gráficamente estas distancias se representan: c) Ahora, calculemos la distancia del 4 al 9 y del 9 al 4: 9 4 = 5 = 5 y 4 9 = 5 = 5 22

9 desigualdades Gráficamente estas distancias son: Nótese que la distancia del 9 al 4 es igual a la del 4 al 9. Esto nos dará la primera propiedad del valor absoluto. 1. Si a pertenece a, entonces: a = a Gráficamente: Así, 7 = 7 = 7 Ahora calculemos la distancia del 12 al origen de dos maneras distintas para obtener otra propiedad: 12 = 12, Pero 12 se puede escribir como ( 4)(3). El valor absoluto de 4 es 4 y el 3 es 3, de lo que: 4 3 = (4)(3) = 12, por lo tanto: 12 = 4 3 En general se puede decir: 2. Si a y b pertenecen a, entonces: ab = a b 23

10 Álgebra superior Qué propiedad cumplirá la suma con el valor absoluto? La propiedad de la suma con el valor absoluto se enuncia de la siguiente manera: 3. Dados los números reales a y b, el valor absoluto de la suma de los números es menor o igual a la suma de los valores absolutos de a y b. Esto es: a + b a + b A esta propiedad la llamamos desigualdad del triángulo. Ejemplo = 14 = 14 = 5+9 = 5 + 9, donde se da la igualdad, pero veamos qué pasa cuando uno de los números es negativo: 5+9 = 4 = 4 < 14 = 5+9 = y se vuelve a dar la igualdad cuando los dos números son negativos: 5 9 = 14 = 14 = 5+9 = Observemos también que: 4. El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero, de lo que si a es un número real: a a a Ejemplo 4 5 = = 5 24

11 desigualdades Ejercicio 2 1. Obtén la distancia que hay entre los siguientes números: a) 7 y el origen. b) 9 y el origen. c) 6 y el 5 d) 8 y el 1 2. Obtén dos números a y b tales que su valor absoluto sea menor a Obtén dos números negativos a y b tales que su valor absoluto sea mayores a Obtén dos números a y b tales que su valor absoluto sea igual a Es posible encontrar números cuyo valor absoluto sea menor que un número negativo? Por qué? 6. Es posible encontrar números cuyo valor absoluto sea mayor que un número negativo? Por qué? 7. Sean x = 4 y y = 3; encuentra los valores de: a) 3x + 2 y e) x y b) 3x + 2 y f) x y c) x y g) x y d) xy h) x y 2

12 Álgebra superior 7.3. Propiedades de las desigualdades Las desigualdades satisfacen las siguientes propiedades: Propiedad transitiva 1. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y b > c, entonces a > c 2. Si a, b y c pertenecen a los y a > b, entonces a+c > b+c 3. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c > 0, entonces ac > bc 4. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c > 0, entonces a > b c c 5. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c < 0, entonces ac < bc 6. Si a, b y c pertenecen a los y a > b y c < 0, entonces a < b c c Nota: si el símbolo < se cambia por siendo válidas., >, o, las propiedades siguen Demostremos algunas de las propiedades anteriores. 3ª. Si a>b tenemos que (a b) es un real positivo y como c >0, entonces c(a b), seguirá siendo positivo, y por la propiedad distributiva de los reales se tiene: c (a b) = ca cb, que es real y positivo, de lo que: ac >cb Tomemos en cuenta que: si a>0, entonces a < 0 y si a < 0, entonces a > 0. 2

13 desigualdades Sean a>b y c < 0, como (a b) es positivo, entonces (a b) = ( a+b) es negativo. Por tanto c(b a) es real y positivo, por lo que usando la propiedad distributiva en los números reales: c(b a) = cb ca es real positivo, pero esto implica que: cb > ca Ejemplo 5 a) 6 > 9. Si sumamos 10 en ambos lados de la desigualdad obtenemos: = 4 y = 1; es decir, 4 > 1 b) 3 < 7. Si restamos 6 en ambos lados de la desigualdad obtenemos: 3 6 = 9 y 7 6 = 1; es decir, 9 < 1. c) 10 > 3. Si multiplicamos por 2 ambos lados de la desigualdad obtenemos: 10(2) = 20 y 3 (2) = 6; es decir, 20 > 6 d) 5 < 8. Si dividimos entre 3 ambos lados de la desigualdad obtenemos: 5 8 < 3 3 e) 7 > 4. Si multiplicamos por 3 ambos lados de la desigualdad obtenemos: 7( 3)= 21 y 4 ( 3) = 12; cambia la desigualdad, ya que 21 < 12 f) 5 > 2. Si dividimos entre 2 ambos lados de la desigualdad obtenemos: 5 5 = 2 2 y = ; cambia la desigualdad, ya que 5 < 1 2 2

14 Álgebra superior 7.4. Solución de inecuaciones En el estudio de los números reales frecuentemente aparecen desigualdades en las que aparecen variables. Un ejemplo de ellas es: 3x > 7 Si en lugar de x se sustituyera un valor, por ejemplo el 2, tendríamos una desigualdad numérica, en este caso falsa, ya que 3(2) = 6, lo que no es mayor que 7. Si quisiéramos encontrar todos los números reales que satisfacen una desigualdad (esto es, resolver una desigualdad), un método poco práctico es sustituir valores hasta encontrar el conjunto de valores que lo hagan. Pero hay otra manera más sencilla de hacerlo, la cual consiste en cambiar la desigualdad por series de desigualdades equivalentes, la última de las cuales tenga una solución trivial. Una desigualdad equivalente es la que tiene exactamente las mismas soluciones. Para obtener desigualdades equivalentes se utilizan las propiedades de las desigualdades que estudiamos con anterioridad. Al conjunto de números que satisfacen una desigualdad se le llama conjunto solución Desigualdades lineales con una variable Una desigualdad lineal con una variable es una expresión que tiene alguna de las siguientes formas o combinación de ellas: ax < b, ax > b, ax b, ax b A manera de ejemplo se resolverá la siguiente desigualdad: 4x+3 > 2x 5. Al resolverla se darán los pasos algebraicos y el lector deberá distinguir las propiedades empleadas. Ejemplo 6 Desigualdad inicial: 4x+3 > 2x 5 28

15 desigualdades Se resta 3 en ambos lados de la desigualdad: 4x > 2x 8, se resta 2x en ambos lados de la desigualdad: 2x > 8 finalmente, dividiendo entre 2 ambos lados de la desigualdad: x > 4 Por lo tanto, las soluciones de 4x+3 > 2x 5 son todos los números reales mayores que 4, es decir el intervalo ( 4, ). A continuación se muestra gráficamente: Ejemplo 7 4 3x Encontremos las soluciones de 5 < < x Desigualdad inicial 5 < < 1 2 Se multiplica por 2 los 3 lados de la desigualdad y como 2 es positivo, las desigualdades no cambian: ( 5)2 < 4 3x < 2(1) 10 < 4 3x < 2 Se resta 4 en los lados de la desigualdad: 10 4 < 3 x < < 3x < 2 Finalmente, dividendo entre 3 en los tres lados de la desigualdad (como es negativo, las desigualdades cambian) se obtiene: 14 2 > x > 3 3 Por lo tanto, se tiene que la solución de 5 < 4 3x 2 < 1 es: 2

16 Álgebra superior 2 14 < x < 3 3 Si la expresamos como intervalo y la graficamos en la recta numérica, se 2 14 tiene que la solución es, Desigualdades cuadráticas con una variable La resolución de desigualdades cuadráticas se basa en el concepto de factorización en la siguiente propiedad de las desigualdades. Propiedad de los productos i) Si ii) Si a 0 y b 0 ab > 0 > > a < 0 y b < 0 a 0 y b 0 ab < 0 > < a < 0 y b > 0 Si se sustituyen los símbolos < por y > por, la propiedad sigue siendo válida. Veamos algunos ejemplos. 20

17 desigualdades Ejemplo 8 Resuelve la desigualdad x 2 7x + 10 > 0. Esta desigualdad se puede escribir como: (x 5)(x 2) > 0, cuya solución debe ser tal que los números (x 5) y (x 2) tengan siempre el mismo signo. Se debe recordar que si en una multiplicación los factores tienen el mismo signo, entonces el producto es positivo. Primero tomemos el caso en que nuestros factores sean positivos, esto es, cuando (x 5) > 0 y (x 2) > 0. Ahora si x 5 > 0, entonces x > 5 y por lo tanto x está en el intervalo: (5, ) = {x x > 5}, y si x 2 > 0, entonces x > 2 y por lo tanto x está en el intervalo: (2, ) = {x x > 2} Como se quiere que tanto (x 2) como (x 5) sean reales positivos, de la recta se observa que la solución se encuentra en el lugar donde se intersectan los conjuntos formados por las flechas, es decir, en (5, ). De lo que la solución al problema, cuando ambos factores son positivos, es que x esté en el intervalo (5, ). Si se quiere que ambos factores sean negativos, implica que: (x 5) < 0 y (x 2) < 0 Ahora, si (x 5) < 0, entonces x< 5 y por lo tanto x está en el intervalo (,5) = {x x < 5} y si (x 2) < 0, entonces x < 2 y por lo tanto x pertenece al intervalo: (,2) = {x x < 2} 21

18 Álgebra superior Como se quiere que tanto (x 5) como (x 2) sean reales negativos, entonces la solución es donde se intersectan los conjuntos representados por las flechas de la gráfica anterior, es decir, en (, 2). De lo que la solución al problema, cuando ambos factores son negativos, es que x esté en el intervalo (, 2), y la solución general al problema son todos los números reales en la unión: (,2) (5, ) Ejemplo 9 Resuelve la desigualdad x 2 x 12 Para aplicar este método se requiere que la desigualdad tenga la forma 0, por lo tanto: 2 x x 12 0 x 4 0 y x x 4 y x 3 ( x 4)( x + 3) 0 ( )( + ) x 4 0 y x x 4 y x 3 Por un lado tenemos: x 4 y x 3, cuya solución es el conjunto vacío. Por el otro; x 4 y x 3 22

19 desigualdades cuya solución es 3 x 4 ó [3, 4] Por lo que la solución de todo la desigualdad es: [3, 4] Es importante resaltar que este método sólo se puede utilizar si la desigualdad está escrita de la forma ax + bx + c < 0, ax + bx + c > 0, ax + bx + c 0 o 2 ax + bx + c 0. Si la expresión cuadrática no puede ser factorizada, se pueden obtener las raíces del polinomio utilizando la fórmula general y continuar con el procedimiento Desigualdades lineales con valor absoluto Hemos estudiado qué sucede si dos números cumplen la desigualdad a > b y ahora nos preguntamos, qué números cumplen la desigualdad x < b?. En otras palabras, qué números cumplen con la propiedad de que su distancia al origen sea menor que un número b? Primero observemos que la desigualdad x < b sólo tendrá sentido si b > 0, ya que el valor absoluto es siempre mayor o igual a cero. El conjunto de números x que satisface que x < b, son los que deben estar entre los números b y b. Por lo que podemos enunciar la propiedad: x < b si y sólo si b < x < b x b si y sólo si b x b Gráficamente: 23

20 Álgebra superior Ejemplo 10 a) Sabemos que 8 < 15, debido a que se cumple: 15 < 8 < 15 b) Observemos que: 4 < 2 < 4, entonces podemos afirmar: 2 < 4 c) Resuelve la desigualdad x < 5 Aplicando la propiedad del valor absoluto, se tiene que 5 < x < 5, por tanto la solución a la desigualdad es ( 5, 5). Qué números satisfacen la desigualdad x > b? Necesitamos un número que su distancia al origen sea mayor que un número b; es decir, un número que sea, o más grande que b, o más pequeño que b (recuerda que b > 0). De lo que: x > b, x 0 x > b si y sólo si o o x < b, x < 0 x b, x 0 x b si y sólo si o o x b, x < 0 Gráficamente: 24

21 desigualdades Ejemplo 11 a) Como 15 > 10, entonces por la propiedad del valor absoluto: 15 >10 o 15 < 10 En este caso se cumple la segunda condición: 15 < 10 b) Como 9 > 5, entonces se puede afirmar que 9 > 5 Ejemplo 12 a) Resuelve la desigualdad x 4 < 2 Usando las propiedades del valor absoluto se llega a la desigualdad equivalente: 2 < x 4 < 2 que tiene la solución: 2 < x < 6, es decir el intervalo abierto (2, 6). b) Resuelve la desigualdad 2x 7 > 3. Por las propiedades del valor absoluto se tiene: 2x 7 >3 si y sólo si 2x 7 >3 o 2x 7 < 3 La primera de las desigualdades, 2x 7 >3, tiene como solución x > 5 y la segunda, 2x 7 < 3, tiene solución x < 2. Por lo que las soluciones de la desigualdad es la unión de los conjuntos (,2) (5, ). c) Resuelve la desigualdad 4 3x 1 Aplicando las propiedades del valor absoluto se tiene que: 4 3x 1 o 4 3x 1 3x 1 4 o 3x 1 4 3x 3 o 3x 5 5 x 1 o x 3 ] 5 (,1], 3 2

22 Álgebra superior Desigualdades lineales con variable en el denominador Para qué valores de x se satisface la desigualdad 1 4 x >? Observa que la variable ahora aparece en el denominador; sin embargo, no podemos recurrir a la propiedad de multiplicación de las desigualdades porque no sabemos si x es un número positivo o negativo, por lo que nos vemos obligados a considerar los dos casos para encontrar la solución. Antes de realizarlos, es importante hacer notar que existe una restricción para los valores de x: no puede tomar el valor de 0 por ser un denominador. Caso 1. x > 0 1 > 4 x 1 > 4x x < 1 Como x > 0, entonces la solución de este caso es 0, 4 Caso x < 0 1 > 4 x 1 < 4x x > Como x < 0, entonces no hay ningún número que sea al mismo tiempo 1 x < 0 y x >, por tanto la solución de este caso es el conjunto vacío. 4 Resumiendo, la solución de la desigualdad 1 4 x > es 1 0,

23 desigualdades Ejemplo 13 Resuelve 3 < 2 2x + 1 Observemos que x no puede tomar el valor de Caso 1 Como Caso 2 Como 1 2x + 1 > 0 x > 2 3 < 2 2x < 2(2 x + 1) 3 < 4x < 4 1 < x 4 x x > y 1 < x, la solución de este caso es x + 1 < 0 x < 2 3 < 2 2x > 2(2 x + 1) 3 > 4x > x 4 1 > x 4 1 x < y 1 > x, la solución de este caso es 2 4 1, 4 1, 2 2

24 Álgebra superior Resumiendo, la solución de la desigualdad 1 1,, < 2 2x + 1 es Ejemplo 14 Para qué valores de x se satisface la desigualdad Observemos que x no puede tomar el valor de 1. Caso 1 x 1 > 0 x > 1 2x < 4 x 1 2x < 4 x 1 ( ) 2x < 4x 4 4 < 4x 2x 4 < 2x 2 < x 2x < 4? x 1 Como x > 1 y 2 < x, la solución de este caso es (2, ) Caso 2 x 1 < 0 x < 1 2x < 4 x 1 2x > 4 x 1 ( ) 2x > 4x 4 4 > 4x 2x 4 > 2x 2 > x Como x < 1 y 2 > x, la solución de este caso es (,1) 28

25 desigualdades 2x Por lo que la solución completa de la desigualdad < 4 x 1 través de la unión de los intervalos de solución de los dos casos: (,1) (2, + ) queda dada a Ejemplo 15 x Para qué valores de x se satisface la desigualdad < 0? 3x + 2 Como podemos observar: x x > 0 y 3x + 2 < 0 < 0 3x + 2 x < 0 y 3x + 2 > 0 Por lo cual tendremos dos casos: Caso 1 x > 0 y 3x + 2 < 0 Caso 2 x > 0 x > 0 3x + 2 < 0 2 x < 3 2 x < 3 x < 0 y 3x + 2 > 0 x < 0 3x + 2 > 0 x < 0 2,0 2 2 x > x >

26 Álgebra superior x Por lo tanto, la solución de la desigualdad < 0 3x + 2 es 2,0 3 Ejemplo 16 Para qué valores de x se satisface la desigualdad 2 x 1 < 4? x + 3 Aplicando las propiedades del valor absoluto se tiene que: 2x 1 2x 1 < 4 4 < < 4 x + 3 x + 3 Caso 1 x + 3 > 0 Para resolver esta desigualdad debemos partirla en dos partes, por un lado 4x 12 < 2x 1 y por otro 2x 1 < 4x + 1 i) 4x 12 < 2x < 2x + 4x 11 < 6x x > 11 6 ii) 2x 1 < 4x < 4x 2x 2 < 2x 1 < x Lo cual quiere decir que este caso es ( 1, ) 11 x > y x > 1, por lo tanto la solución de 6 280

27 desigualdades Caso 2 x + 3 < 0 2x 1 4 < < 4 x > 2 1 > ( x ) x ( x ) 4x 12 > 2x 1 > 4x + 1 Para resolver esta desigualdad debemos partirla en dos partes, por un lado 4x 12 > 2x 1 y por otro 2x 1 > 4x + 1 i) 4x 12 > 2x > 2x + 4x 11 > 6x x < 11 6 ii) 2x 1 > 4x > 4x 2x 2 > 2x 1 > x Eso quiere decir que es 11, 6 11 x < y x < 1, por lo tanto la solución de este caso 6 Resumiendo, se tiene que la solución de la desigualdad 11, ( 1, ) 6 2x 1 x + 3 < 4 es 281

28 Álgebra superior Ejercicio 3 Resuelve las siguientes desigualdades: a) 5x 6 > 11 b) 3x + 2 < 5x 8 c) 2 x + 3 < 2 5 d) 3 11x 41 e) 3x 2 + 5x 2 < 0 f) 2x 7 9 x + 4 g) 2 x 3 x + 4 h) 2 x 3 2 i) 5x 4x Desigualdades lineales y no lineales en dos variables En las secciones anteriores hemos estudiado las desigualdades con una variable x, y encontramos que el conjunto solución se podía representar como parte de la recta numérica. En este apartado se estudiarán las desigualdades con dos variables x y y, y se encontrará que su conjunto solución es una región en el plano cartesiano. Se tienen desigualdades lineales y no lineales. Las desigualdades lineales son las que tienen las variables a la primera potencia, y las desigualdades no lineales serán las que tienen una variable a una potencia distinta de 1. Ejemplo de esto son: desigualdades lineales: x + 4 < y, y < 3x 5 y 7 > 5y x y no lineales: x 2 < y+3, y 2 > 4x 3 y 45 < y 2 +x 282

29 desigualdades Pero, qué representan gráficamente las desigualdades de dos o más variables? Desigualdades lineales con dos variables Todas las desigualdades lineales se encuentran gráficamente relacionadas con la ecuación lineal correspondiente. Así, para trazar el significado de la desigualdad lineal y < x, tenemos que estudiar la ecuación y = x. Recordemos que todas las relaciones lineales de la forma y = ax + b representan una línea recta en el plano cartesiano. Para trazar esta línea recta basta tener dos pares de números que satisfagan la ecuación. Para obtener los pares ordenados sustituimos valores arbitrarios en la ecuación dada para una variable y obtenemos el valor de la otra. Por ejemplo, si sustituimos los valores de 3, 0 y 4 en la ecuación x = y, se obtiene las siguientes parejas ordenadas: ( 3, 3), (0, 0), (4, 4) Basta con dos puntos de los obtenidos para trazar la gráfica, que será la recta en donde los dos puntos se encuentran. La gráfica de la ecuación lineal x = y es: 283

30 Álgebra superior Como lo que se busca son los pares de números en el plano en los que la variable y es menor que x, esto es y < x, esta región es la parte inferior de la gráfica sin incluir a la recta misma: Por lo tanto la región sombreada del plano es la que representa los puntos que satisfacen la desigualdad y < x Ejemplo 16 Tracemos la región en el plano correspondiente a la desigualdad: y > 2x+6 Para obtener dos valores que nos sirvan para trazar la gráfica sustituyamos en la ecuación: y = 2x+6 los valores x = 0 y x = 3 y se obtienen las parejas ordenadas: (0, 6) y ( 3, 0) Localizamos esas parejas ordenadas en el plano y trazamos la recta: 284

31 desigualdades Como se quiere la región en el plano donde y es mayor que 2 x+6, entonces la región buscada queda arriba de la recta trazada: Es decir, la región sombreada en la gráfica representa la solución de la desigualdad y > 2x Desigualdades cuadráticas con dos variables Y qué tal si se tiene una desigualdad no lineal? Se podrá trazar su gráfica? Para trazar las desigualdades no lineales se utiliza el mismo método. 28

32 Álgebra superior Ejemplo 17 Considera la desigualdad: y 2 > 3x+5 La ecuación de la curva limítrofe (curva que separa dos áreas de un plano) es: y 2 = 3x+5 Esta ecuación es de una parábola. Recuerda que, por geometría, cuando se tiene una ecuación del tipo: ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 con e 0, si: a y b =0, entonces se tiene una línea recta. a = 0 pero b 0, es una parábola horizontal b = 0 pero a 0, es una parábola vertical. a = b distintas de cero, es un círculo. a y b distintos de cero, del mismo signo y a b, es una elipse. a y b distintos de cero y de signo contrario se trata de una hipérbola. Para trazar la gráfica de una parábola se localizan cuatro puntos de ella, al igual que en la recta, sustituyendo varios valores de una de las variables y encontrando los valores de la segunda variable en la ecuación dada. Se sustituyen valores en la variable cuyo exponente es 2, en este caso será en y. Así que, sea y = 3, y = 1, y = 0 y y = 2, se tienen las parejas ordenadas: (1.33, 3), ( 1.333, 1), (1.67,0) y ( 0.33, 2) Ahora, cuando se traza la parábola que pasa por dichos puntos se tiene: 28

33 desigualdades Observemos que el plano se divide en dos áreas, los puntos que están adentro de la parábola (a la derecha) y los que están fuera (a la izquierda). Tomemos un punto que está a la derecha de la gráfica, por ejemplo el (4,0) y veamos si cumple con la desigualdad. y 2 > 3x+5, 0 2 > 3 (4) + 5, 0 > 17 Debido a que no se satisface la desigualdad (0 no es mayor que 17), entonces ese punto no se encuentra dentro de la región buscada, por lo tanto la región será la que está fuera de la parábola: La región solución a la desigualdad y 2 > 3x+5 es la parte sombreada de la gráfica anterior. 28

34 Álgebra superior Ejemplo 18 Encontremos la región representada por la desigualdad: x 2 + y 2 < 4 Debido al criterio indicado con anterioridad, la ecuación correspondiente a la desigualdad: x 2 + y 2 = 4 es un círculo. Ahora encontremos cuatro valores que satisfagan a la ecuación del círculo. Los valores son: (2, 0), ( 2, 0), (0, 2) y (0, 2) Trazamos los valores y el círculo que pasa por ellos. Y para encontrar qué parte del plano indica la desigualdad: x 2 + y 2 < 4 Tomamos el punto (0,0) del interior del círculo y lo sustituimos en la desigualdad para probar si se cumple = 0 < 4 Como sí se cumple, entonces la región que buscamos es donde se encuentra el punto (0,0): 288

35 desigualdades Nótese que el círculo no se encuentra en la región buscada, debido a que la desigualdad es un menor estricto. Después del ejercicio 3 se presenta una serie de ejercicios resueltos y otra de ejercicios propuestos con el propósito de que observes, en los ejercicios resueltos, la manera como se plantean y solucionan y las pongas en práctica al resolver los ejercicios propuestos. Ejercicio 4 Encuentra las regiones representadas por: a) x y < 4 b) x 2 3y 2 5 c) x > 3y 4 d) y 2x 1 e) y 2 + 3x 2 >8 28

36 Álgebra superior 7.6. Sistemas de desigualdades De la misma manera que se puede obtener la solución de un sistema de ecuaciones, se podrán encontrar los puntos del plano cartesiano que cumplen con varias desigualdades a la vez? Sí, y el procedimiento es trazar las regiones correspondientes a cada desigualdad y localizar su intersección. A este método se le conoce como método gráfico para la solución de desigualdades. Ejemplo 19 Encontremos la región en el plano que satisface las siguientes desigualdades: 4x+3y 7 > 0 6x y 5 > 0 Primero tenemos que localizar en el plano las rectas: 4x+3y 7 = 0 6x y 5 = 0 Para la recta 4x+3y 7 = 0, busquemos dos puntos que se encuentran en ella; estos puntos son: (1,1) y (4, 3). Para la recta 6x y 5 = 0 se tienen los puntos (1,1) y (2, 7). 20

37 desigualdades Si señalamos las regiones que cada una de las desigualdades indica, tenemos: Donde la solución al sistema de desigualdades es la región donde se intersectan las soluciones a cada desigualdad lineal (zona oscura). Ejemplo 20 Encontremos la solución al sistema de desigualdades: x y 4 > 0 4x 2 y+2 < 0 Primero se trazarán las curvas del sistema de ecuaciones: x y 4 = 0 4x 2 y+2 = 0 La primera ecuación es una recta; para trazarla se tomarán los puntos: (2, 2) y (4, 0) La segunda ecuación es una parábola; para trazarla se tomarán en cuenta los puntos: ( 1, 6), (0, 2) y (1, 6) Y las gráficas de las dos ecuaciones son: 21

38 Álgebra superior y las regiones que representa cada una de las desigualdades son: Como las regiones no se intersectan, no existe solución al sistema de desigualdades. 22

39 desigualdades Ejercicio 5 1. Encuentra la región en el plano que satisface las siguientes desigualdades: ì a) ï x + y < í ï ïî 2x + 2 y > 0 x 8 y 4 < 0 b) x + 3 y + 2 > 0 c) 3x + 2 y 6 > 0 6x + 4 y + 8 > 0 Problemas resueltos 1. Encuentra la distancia que hay entre: a) 5 y el origen. b) 45 y el 4 Respuestas: a) 0 5 = 5 = 5 b) 4 ( 45) = = 49 = Dar dos números, uno positivo y otro negativo, que al multiplicar sus valores absolutos se obtenga el número 16. Respuesta: 8 y 2, ya que 8 2 = (8)(2) = 16 23

40 Álgebra superior 3. Usando la desigualdad del triángulo, determina si se da la igualdad o la desigualdad entre los números: a) 57 y 93 b) 34 y 67 Respuestas: a) = 150 = 150 = = b) = 33 = 33 < 101 = = Resuelve las desigualdades: a) 3x 1 < 8 4x + 3 b) > 16 6 c) x 2 + 6x Respuestas: a) 3x 1 < 8 3x < 9 x < 3 (,3) b) 4 x + 3 4x + 3 4x + 3 > 16, de lo que: 16 > ó 16 <

41 desigualdades Por un lado tenemos: 4x > 6 96 > 4x > 4x 4x < 99 x < , 4 Por el otro: 4x < 6 96 < 4x < 4x 4x > 93 x > 93, El conjunto solución queda:,, 4 4 x 2 + 6x c) ( x + 4)( x + 2) 0 x y x ò ó x y x Por un lado tenemos: x y x x 4 y x 2 x 2 ó [ 2, ) 2

42 Álgebra superior Por el otro: x y x x 4 y x 2 x 4 o (, 4] Por lo que la solución de todo la desigualdad es:(,4] [ 2, ) 5. Encuentra la región del plano que es solución para cada una de las siguientes desigualdades: a) y 2 < x 2 +6 b) y x 2 3 Respuestas: a) Primero se traza la curva representada por la ecuación y 2 = x 2 + 6, que es una hipérbola. Para esto, encontremos algunos puntos de la gráfica sustituyendo los valores de x: 1,0,1 y obteniendo las parejas ordenadas: ( 1, 2.24), ( 1, 2.24), (0, 2.45), (0, 2.45), (1, 2.24) y (1, 2.24), ya que las raíces cuadradas tienen cada una dos soluciones. Así, la gráfica de la ecuación es: 2

43 desigualdades Ahora, para saber si la región buscada es la interior o la exterior de la hipérbola, sustituimos un punto del exterior, el (5,0), en la desigualdad y veamos si se cumple: 0 2 < = 31. Como se cumple, entonces la región buscada es la exterior a la hipérbola: Sin incluir a la curva. b) Primero, encontramos la gráfica de la curva y = x 2 3, para esto, sustituimos los valores de x: 1, 0, 1, 2, en la ecuación y obtenemos las parejas ordenadas: ( 1, 2), (0, 3), (1, 2) y (2, 1), Ubicando las parejas ordenadas en el plano y dibujando la parábola que pasa por ellas obtenemos: 2

44 Álgebra superior Ahora, para investigar de qué región se trata, si de la región interior de la parábola o la exterior, tomamos un punto interior (0, 0) y lo sustituimos en la desigualdad = 3, como sí cumple la desigualdad, entonces la región buscada es: Nótese que por ser la desigualdad mayor o igual, la curva de la ecuación limítrofe también está incluida en la región. 6. Obtén la región en el plano que satisface las siguientes desigualdades: 2x + y 2 0 a) 2 x + y 1 0 y 1 b) 2 x + y 0 c) 6 x + y x y 4 0 Respuestas: a) Primero se trazan las curvas del siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y x + y

45 desigualdades Para trazar la primera curva, que es una recta, se toman los puntos (1,0) y (0,2). La segunda ecuación pertenece a una parábola, por lo tanto se toman tres puntos ( 1,0),(1,0) y (0,1). Las gráficas correspondientes a estas dos ecuaciones son: Ahora se marcan las regiones que representan a cada una de las desigualdades: Y se obtiene que la solución al sistema es la intersección de las dos regiones que satisfacen cada una de las desigualdades. 2

46 Álgebra superior b) Primero se trazan las curvas del siguiente sistema de ecuaciones: y = 1 x 2 +y = 0 La curva de la primera ecuación es una recta horizontal al eje x que intersecta al eje y en 1 y la segunda ecuaciones una parábola y para trazarla se toman los siguientes puntos: (0,0), ( 1, 1) y (1, 1) Las gráficas correspondientes son: Y las regiones que representan cada una de las desigualdades: La solución al sistema de ecuaciones queda representada por la intersección de las regiones solución de cada desigualdad. 300

47 desigualdades c) Primero se trazan las curvas del siguiente sistema de ecuaciones: 6 x + y x y 4 0 La primera ecuación corresponde a una recta y para trazarla tomaremos los puntos ( 4,0) y (0, 6). Para trazar la curva de la segunda ecuación que es una parábola, se toman los puntos ( 2,0), (0, 4) y (2,0). Por tanto, se tiene que las gráficas correspondientes son: Y las regiones que representan cada una de las desigualdades son: 301

48 Álgebra superior Las regiones que dan la solución a cada una de las desigualdades no se intersectan, por lo tanto el sistema de desigualdades no tiene solución. Problemas propuestos 1. Obtén la distancia entre: a) 10 y el origen. b) el 5 y el 5 2. Está más lejos del 3 el 2 o el 5? 3. Existen tres números que sus valores absolutos sean iguales a 3? 4. Resuelve las siguientes desigualdades: a) 3x 1 > 4x+5 b) 4 9x 2 2 c) x 20 x x d) < 3 x 2 e) 6 5x 1 > 3 + x 2 5. Encuentra las regiones del plano representadas con las desigualdades: a) y 4x 1 b) y 2 x < 3 c) x 2 > 9 y 2 302

49 desigualdades 6. Encuentra las regiones determinadas en el plano por los sistemas de desigualdades: x 3y > 6 a) x 5y < 7 x + y < 6 b) 2 2 x + y < 6 Autoevaluación 1. La distancia del 3 al 5 es: a) 2 b) 5 c) 8 d) 3 2. El valor absoluto cumple con que siempre es: a) Igual a cero. b) Mayor o igual a cero. c) Menor o igual a cero. d) Menor o mayor a cero. 3. De los siguientes enunciados indica cuál es verdadero: a) 5 < 5 b) 5 > 5 c) 5 = 5 d)

50 Álgebra superior 4. La solución de la desigualdad 4x 24>0 es: a) (6, ) b) [6, ) c) (6, ] d) [6, ] 5. La solución de 2x + 4 < 6 es: a) ( 10, 1) b) ( 1, 5) c) (1, 1) d) ( 5, 1) 6. La solución de 3x es: a) (, 1] [7, ) b) (, 7] [1, ) c) [ 7,,) (, 1] d) [ 1, ) (, 7] 7. La solución de 2 x 2 x es: a) [, 1] [2, ] b) (, 2] [1, ) c) [, 2] [1, ] d) (, 1] [2, ) 8. En la desigualdad del triángulo, si los dos números son positivos, entonces se cumple: a) La igualdad. b) La desigualdad. c) El cero. d) La suma de los números. 304

51 desigualdades 9. De las siguientes desigualdades, una es lineal: a) x 3 +2y >1 b) x 2y < 3 c) y 2 < x+4 d) y 2 +x 2 > El conjunto solución de la desigualdad y 3x+4, es la región sombreada del inciso: a) b) 30

52 Álgebra superior c) d) 30

53 desigualdades 11. La región del plano que representa al sistema de desigualdades x 2 y < 5 2 x > y 3 es: a) b) c) 30

54 Álgebra superior d) Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. a) [4,6] b) (0,2] c) [ 10, 5] d) ( 1,3) e) [ 2, ) f) (, 3) g) (,6] h) (0, ) Ejercicio 2 1. a) 0 7 = 7 = 7 b) 0 ( 9) = = 9 = 9 c) 5 ( 6) = = 11 = 11 d) 1 8 = 9 = 9 308

55 desigualdades 2. El 1 y el 2 lo cumplen, ya que: 1 = 1 < 3 y 2 = 2 < 3 3. El 40 y el 100 lo cumplen, ya que: 40 = 40 > 30 y 100 = 100 > El 4 y el 4 son los únicos que lo cumplen, ya que: 4 = 4 = 4 5. No, porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es positivo. 6. Sí, porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es mayor o igual a cero, y por ende, mayor que cualquier número negativo. 7. a) 3x + 2 y = 3(4) + 2( 3) = 12 6 = 6 = 6 b) 3 x + 2 y = 3(4) + 2( 3) = = = 18 c) x y = 4 3 = 4 3 = 12 d) x y = 4 3 = (4)(3) = 12 e) x y = 4 ( 3) = 4+3 = 7 = 7 f) x y = 4 3 = 4 3 = 1 g) x y = 3 = 3 = 3 h) x 4 4 y = 3 = 3 30

56 Álgebra superior Ejercicio 3 a) 5x 6 > 11 b) 3x+2 < 5x 8 c) 2 x + 3 < 2 5 d) 3 11x 4 10 < 2x 2x > 10 x > 5 (5, ) 2x < < < 2x + 3 < < 2x < < x < , x 41 o 3 11x 41 Por un lado tenemos que: 11x 38 11x x

57 desigualdades y por el otro: 11x 44 11x 44 x 4 por lo que el conjunto solución es: 38, [4, ) 11 e) 3x 2 + 5x 2 < 0 (3x 1)( x + 2) < 0 3x 1 > 0 y x + 2 < 0 o 3x 1 < 0 y x + 2 > 0 Por un lado se tiene que: 3x > 1 y x < 2 1 x > y x < 2 3 Y como no hay ningún número que sea a la vez mayor que 1 3 2, entonces la solución es vacía,. Por otro lado se tiene que: y menor que 3x < 1 y x > 2 1 x < y x > , 3 1 de lo que la solución al ejercicio es 2, 3 f) 2x 7 9 La desigualdad dada es equivalente a: 9 2x 7 9 sumando 7 en los tres lados de la desigualdad se tiene: 2 2x

58 Álgebra superior Y dividiendo entre 2 en los tres lados: 1 x 8 Por lo que la solución es el intervalo cerrado [ 1, 8] g) x x 3 Caso 1 x 3 > 0 x >3 x x 3 x x 3 ( ) x + 4 2x 6 10 x La solución del caso es x >3 y 10 Caso 2 x 3 < 0 x < 3 x x 3 x x 3 x, es decir, [10, ) ( ) x + 4 2x 6 10 x La solución del caso es x <3 y 10 En resumen, la solución de la desigualdad h) x x La desigualdad es equivalente a: x, es decir, (,3) x x 3 x x 3 es (,3) [10, ) Ahora, multiplicamos por x 3 y tomamos dos casos: cuando x 3 es positivo o negativo. 312

59 desigualdades Caso 1 x 3 >0, o bien en forma equivalente x >3, entonces se tiene: 2(x 3) x+4 2(x 3) 2x+6 x+4 2x 6 Restando 4 en los tres miembros de la ecuación: 2x +2 x 2x 10 Resolviendo cada lado por separado: 2x+2 x x 2x x 10 x 2/3 x Por lo tanto, si x > 3, entonces la desigualdad original se cumple si y sólo si x 2/3 y x 10. Como las tres desigualdades deben ser satisfechas por los valores de x, entonces, se tiene como solución, para el caso 1, el intervalo [10, ). Caso 2 x 3 < 0, o bien x < 3. Como el factor que multiplica a los tres lados de la desigualdad es negativo (x 3 < 0), entonces se invierten los signos de la desigualdad: 2(x 3) x+4 2(x 3) 2x 6 x+4 2x 6 Restando 4 en los tres miembros de la ecuación: 2x+2 x 2x 10 Resolviendo cada lado por separado: 2x+2 x x 2x x 10 x 2/3 x Por lo tanto, si se tienen que cumplir las tres desigualdades x <3, x 2/3 y x 10, simultáneamente, se tiene como conjunto solución, para el caso 2, el intervalo (,2/3] El conjunto solución de toda la desigualdad es la unión de los conjuntos solución de los casos 1 y 2, es decir (,2/3] [10, ) i) 5x 2 4x

60 Álgebra superior (5x + 1)( x 1) 0 5x y x 1 0 o 5x y x 1 0 Por un lado se tiene que: 5x y x 1 0 5x 1 y x 1 1 x y x Y como x debe ser mayor o igual que y mayor o igual que 1, entonces 5 la solución es [1, ) Por otro lado tenemos que 5x y x 1 0 5x y x 1 0 5x 1 y x 1 1 x y x 1 5 1, 5 1 De lo que la solución al ejercicio es, [1, ) 5 Ejercicio 4 a) x y < 4 Corresponde a la gráfica de la recta x 4 = y, por tanto la región es: 314

61 desigualdades b) x 3 y Corresponde a la gráfica de una hipérbola región buscada es: x 3 y = 5, y por lo tanto la 2 2 c) x > 3 y 4 Corresponde a la recta x 4 + = y, por lo tanto la región buscada es: 3 3 d) y 2x 1 Primero encontramos la ecuación de la curva que va a separar las dos regiones, para esto, la desigualdad se convierte en la igualdad: y=2x 1 31

62 Álgebra superior Por ser una desigualdad lineal, basta con encontrar 2 puntos y luego trazar la recta que los une. Para esto, hacemos x=0 y x=1, en la ecuación anterior y obtenemos los pares ordenados: (0, 1) y (1,1) Y trazando la línea recta que los une se tiene: Como la desigualdad es y menor o igual, entonces la región buscada es la parte inferior de la recta pero incluyendo a la recta: e) y 2 +3x 2 > 8 La ecuación de la gráfica que limitará a las dos zonas en el plano es: y 2 +3x 2 =8 que es la ecuación de una elipse. Para trazar su gráfica encontraremos 4 pares ordenados y luego trazamos la elipse que pasa por dichos puntos. Para esto, sustituimos en la ecuación los valores de x: 1, 0, 1 y 1.5. Así se tienen las parejas ordenadas: ( 1, 2.24), (0,2.83), (1, 2.24) y (1.5,1.12) 31

63 desigualdades Trazamos la elipse que los une: Para saber si es la región interior o exterior a la elipse, tomemos el punto interior de la elipse, (0, 0) y veamos si satisface la desigualdad. Como: =0<8 No satisface la desigualdad del problema, entonces la región buscada es la exterior de la elipse: Donde la región buscada aparece sombreada. Cabe aclarar que si la desigualdad es > o <, la linea de la curva debe ser punteada; si la desigualdad es o, la línea debe ser continua. 31

64 Álgebra superior Ejercicio 5 1. a) Primero localizamos en el plano las rectas: Para la recta 8x+2y=0 se tienen los puntos (0, 0) y (1, 4) Para la recta 2x+2y+4=0 se tienen los puntos ( 1, 1) y (0, 2) de lo que las rectas son: Ahora señalamos las regiones que cada una de las desigualdades indican. Donde la solución al sistema de desigualdades es la región en la cual se intersectan las soluciones a cada desigualdad lineal. b) Primero localizamos en el plano las rectas: x 8y 4 = 0 x + 3y +2 = 0 318

65 desigualdades Para trazar la primera recta se toman los puntos: (4,0) y (0, 1/2) Para la segunda se tienen los puntos ( 2, 0)y (0, 2/3) De lo que las rectas son: Señalando las regiones que cada una de las desigualdades indican se obtiene: Donde la solución al sistema de desigualdades es la región en la cual se intersectan las regiones solución de cada desigualdad lineal. c) Primero localizamos en el plano las rectas: 3x+2y 6=0 6x+4y+8=0 Para ello tomamos los puntos: ( 2, 0) y (0, 3) 31

66 Álgebra superior de la primera recta y para la segunda recta se toman los puntos: (4/3, 0) y (0, 2) de lo que las rectas son: Ahora señalando las regiones que indica cada desigualdad se obtiene: Por lo que la solución al sistema es la intersección de las regiones dadas por cada una de las desigualdades. Respuestas a los problemas propuestos 1. a) 10 b) El 2 está mas lejos. 3. No. 320

67 desigualdades 4. a) (, 6) 2 2 b), 9 3 c) [ 5,4] d) (,3/2) (3, ) e) (-,-3) (-3,9/11) (5/3, ) 5. a) b) 321

68 Álgebra superior c) 6. a) b) 322

69 desigualdades Respuestas a la autoevaluación 1. c) 2. b) 3. c) 4. a) 5. d) 6. b) 7. d) 8. a) 9. b) 10. b) 11. a) 323