Unidad 10. Desigualdades en una variable. Parte II. Objetivos:

Transcripción

1 H e admirado muchas veces el sistema místico de Pitágoras y la magia secreta de los números. Sir Thomas Browne Unidad 0 Desigualdades en una variable Parte II Objetivos:

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3 ÁLGEBRA Introducción E n la unidad 9 estudiamos la forma de resolver una desigualdad lineal en una variable y aprendimos que es posible sumar o restar un mismo número en ambos lados de la desigualdad sin que ésta se altere. Asimismo, nos dimos cuenta que, con un poco de cuidado, también es posible multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad. Sin embargo, en todos los casos que resolvimos la variable aparecía en el numerador, o los términos cuadráticos se cancelaban. Las preguntas son inmediatas: eisten desigualdades con la variable en el denominador?, es posible resolver desigualdades que contengan entre sus términos la variable al cuadrado?, cómo se maneja una desigualdad que involucra el valor absoluto de su variable? Éstos son los tipos de planteamientos que nos haremos a lo largo de esta última unidad, en la que estudiaremos los procedimientos que se deben seguir en cada caso. 0.. Propiedad del recíproco en desigualdades Antes de establecer la propiedad en general, analicemos algunos ejemplos: Ejemplos:. Consideremos el caso Multiplicando por ambos lados, obtenemos: Observa que al efectuar esta multiplicación el sentido de la desigualdad no se altera, y ya no es un denominador. M ultiplicando por ambos lados, obtenemos: > Ahora retomemos la desigualdad y tomemos el recíproco de cada una las fracciones. Obtenemos: del lado izquierdo y del derecho. Sabemos que <, lo que nos induce a pensar que cuando se toma el recíproco en ambos lados de una desigualdad, cambia el sentido. Veamos otro ejemplo:. Consideremos la desigualdad. Aplicaremos las propiedades de las desigualdades hasta obtener el recíproco de cada término. M ultiplicando por ambos lados obtenemos: Dividiendo entre ambos lados, obtenemos: Dividiendo entre ambos lados, obtenemos:

4 Unidad 0 Ahora retomemos la desigualdad y tomemos el recíproco de cada una las fracciones. Obtenemos: del lado izquierdo y del derecho. Sabemos que. Observamos nuevamente que al tomar el recíproco en ambos lados de la desigualdad, cambia el sentido. Será ésta una propiedad que se cumple en general? Veamos otro ejemplo:. Consideremos la desigualdad hasta obtener el recíproco de cada término. M ultiplicando por ambos lados, obtenemos:. Aplicaremos las propiedades de las desigualdades Cambia el sentido de la desigualdad 8 M ultiplicando por ambos lados, obtenemos: 8 < 8 Dividiendo entre ambos lados, obtenemos: Dividiendo entre ambos lados, obtenemos: Ahora retomemos la desigualdad Obtenemos: del lado izquierdo y del derecho. Sabemos que este caso nuestra conjetura no funciona, ya que si en la desigualdad de cada término y cambiamos el sentido de la desigualdad, obtenemos lo tanto, no siempre debe cambiarse el sentido de la desigualdad. y tomemos el recíproco de cada una las fracciones.. Observamos que en tomamos el recíproco, y esto es falso, por Al tomar el r ecípr oco de los tér minos en una desigualdad, bajo qué condiciones cambia el sent ido?. Consideremos la desigualdad cada término obtenemos del lado izquierdo. Sabemos que. Si tomamos el recíproco de y del lado derecho. Observamos, entonces, que en este caso tampoco se debe cambiar el sentido de la desigualdad. 6

5 ÁLGEBRA Propiedad del recíproco en desigualdades Sean a, b, c y d números reales diferentes de cero. i. Si a b Si a b ii. Si a b Si a b iii. Si a b Si a b c d y ambas fracciones (términos) son positivas, entonces b d a c. c d y ambas fracciones (términos) son positivas, entonces b d a c. c d y ambas fracciones (términos) son negativas, entonces b d a c. c d y ambas fracciones (términos) son negativas, entonces b d a c. c d y una fracción (término) es positiva y la otra negativa, entonces b a c d y una fracción (término) es positiva y la otra negativa, entonces b a Si sustituimos < por y > por la propiedad del recíproco sigue siendo válida. d c. d c. Ejemplos:. Aplica la propiedad del recíproco a la desigualdad. La desigualdad pertenece al caso i., por lo tanto 6. Aplica la propiedad del recíproco a la desigualdad La desigualdad pertenece al caso ii., por lo tanto. Aplica la propiedad del recíproco a la desigualdad La desigualdad pertenece al caso iii., por lo tanto Ejercicio Aplica la propiedad del recíproco a cada una de las siguientes desigualdades:. >

6 Unidad Solución de desigualdades que involucran a la variable en el denominador Ejemplos: 8. Para qué valores de se satisface la desigualdad? Observa que la variable aparece en el denominador; sin embargo, no podemos recurrir a la propiedad de multiplicación de las desigualdades ni a la propiedad del recíproco porque no sabemos si es un número positivo o negativo. En realidad no hay forma de saberlo, por lo que nos vemos obligados a considerar dos casos. Antes de analizarlos, observa que eiste una restricción para los valores de : como es un denominador no puede tomar el valor de 0. 8 Caso. Supongamos que > 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por, obtenemos: Simplificando: Dividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Simplificando: Por lo tanto, como primer resultado obtenemos que > 0 y > transitiva tenemos que el intervalo de solución para el caso es: 0,. Caso. Supongamos que < 0., aplicando la propiedad

7 ÁLGEBRA Multiplicando ambos lados de la desigualdad por, obtenemos: El signo de la desigualdad cambia al multiplicar por, que en este caso es negativa. Simplificando: Dividiendo entre ambos lados de la desigualdad: < Simplificando: Por lo tanto, como segundo resultado obtenemos que < 0 y. Pero no eiste número alguno que sea al mismo tiempo menor que 0 y mayor que, por lo que concluimos que el conjunto solución del caso es el conjunto vacío. Resumiendo, tenemos que la solución de la desigualdad 9. Para qué valores de se satisface la desigualdad? Como es un denominador, no puede tomar el valor de 0. es el intervalo: 0,. Caso. Supongamos que > 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por, obtenemos: Simplificando: Multiplicando por ambos lados de la desigualdad, obtenemos: ( ) ( ) ( )( ) Simplificando: Por lo tanto, como primer resultado obtenemos que > 0 y. Pero no eiste número alguno que sea al mismo tiempo mayor que 0 y menor que, por lo que concluimos que el conjunto solución de este caso es el conjunto vacío. Caso. Supongamos que < 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por, obtenemos: como es negativa el signo de la desigualdad cambia. ( ) Simplificando: 9

8 Unidad 0 Multiplicando por ambos lados de la desigualdad, obtenemos: ( ) ( )( ) Simplificando: Por lo tanto, como segundo resultado obtenemos que < 0 y Aplicando la propiedad transitiva tenemos que el intervalo de solución para el caso es: Resumiendo, tenemos que la solución de la desigualdad, 0 es el intervalo: 0,. 0. Resuelve:. Como + es un denominador, no puede tomar el valor de 0; es decir, 0 Caso. Supongamos que 0. M ultiplicando ambos lados de la desigualdad por +, obtenemos: Simplificando: < + ( ) ( ) Restando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: < + Efectuando operaciones: Dividiendo entre ambos lados de la desigualdad, obtenemos: Simplificando: Por lo tanto, como primer resultado obtenemos que: < y es decir, queremos todos los valores de que sean mayores que y mayores que al mismo tiempo. Obtenemos que el intervalo de solución para el caso es:,. 0

9 ÁLGEBRA Caso. Supongamos que 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por +, obtenemos: Recuerda que cuando multiplicamos una desigualdad por una cantidad negativa el signo de la desigualdad cambia. Simplificando: > + ( ) ( ) Restando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: > + Efectuando operaciones: Dividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Simplificando: Por lo tanto, como segundo resultado obtenemos que: > es decir, queremos todos los valores de que sean menores que mismo tiempo. Obtenemos que el intervalo de solución para el caso es: Resumiendo, tenemos que la solución de la desigualdad para el caso es el intervalo, y y menores que al., y para el caso es:, Al ser una variable, lo mismo puede suceder el caso ó el caso, por lo que la solución completa de la desigualdad queda dada a través de la unión de los intervalos de solución de los dos casos:,, Verifica que la restricción no aparece en la respuesta... Resuelve:. Como es un denominador, no puede tomar el valor de 0, es decir, 0.

10 Unidad 0 Caso. Supongamos que 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por, obtenemos: ( ) ( ) Simplificando: < Sumando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: + < + Efectuando operaciones: Restando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: Efectuando operaciones: Dividiendo entre ambos lados de la desigualdad, obtenemos: Simplificando: < + < + < < Por lo tanto, como primer resultado obtenemos que > y <, es decir, queremos todos los valores de que sean mayores que y mayores que al mismo tiempo. Obtenemos que el intervalo de solución para el caso es (, + ). Caso. Supongamos que 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por, obtenemos: ( ) ( ) Simplificando: > Sumando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: + > + Efectuando operaciones: Restando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: Efectuando operaciones: Dividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Simplificando: + > + > > > Por lo tanto, como segundo resultado obtenemos que < y >, es decir, queremos todos los valores de que sean menores que y menores que al mismo tiempo. Obtenemos que el intervalo de solución para el caso es (, ).

11 ÁLGEBRA Resumiendo, tenemos que la solución de la desigualdad para el caso es el intervalo (, + ) y para el caso es (, ). Al ser una variable, lo mismo puede suceder el caso ó el caso, por lo que la solución completa de la desigualdad queda dada a través de la unión de los intervalos de solución de los dos casos: (, ) (, + ). Ejercicio Resuelve cada una de las siguientes desigualdades: Al resolver algunas de las desigualdades de la sección 0. habrás notado que se complicaba un poco tratar de obtener la solución completa. El método que estudiaremos a continuación está basado en la representación gráfica de los intervalos y resulta una magnífica ayuda para agilizar y simplificar los desarrollos en la resolución de desigualdades. sea cero. Para poder aplicar el método gráfico es necesario que uno de los lados de la desigualdad

12 Unidad Solución de desigualdades que incluyan a la variable en el Ejemplos:. Cómo se resuelve una desigualdad como 0 con el método gráfico? Empecemos por observar que como es un denominador 0 I gualando el numerador a cero, obtenemos: + = 0 = I gualando a cero el denominador, obtenemos: = 0 A los valores de así obtenidos los llamaremos puntos clave. L ocalizando los puntos clave en la recta numérica, obtenemos regiones: A, B y C. A B 0 C Figura Tomemos un valor en cada región, la única sugerencia es que evites considerar uno de los puntos clave. Éstos se analizarán al final. Como elemento de la región A, tomamos: =, satisface la desigualdad 0?: 0 Como = satisface la desigualdad, entonces la región A representada por el intervalo 0 (, ) está incluida en la solución. Como elemento de la región B, tomamos:, satisface la desigualdad 0?: 0

13 ÁLGEBRA 0 > 0 Como = no satisface la desigualdad, entonces la región B, representada por el intervalo (, 0) no está incluida en la solución. Como elemento de la región C, tomamos: =, satisface la desigualdad 0?: > 0 Como = satisface la desigualdad, entonces la región C representada por el intervalo (0, + ) está incluida en la solución. Resumiendo resultados tenemos que el intervalo (, ) y el intervalo (0, + 0 ) forman parte de la solución. Para terminar de resolver esta desigualdad sólo nos falta analizar los puntos etremos, que son puntos clave, de estas regiones. = satisface la desigualdad 0? 0 > 0 Como = no satisface la desigualdad, este valor no es parte de la solución. El valor = 0 no lo analizaremos porque es una restricción, característica que lo ecluye de la solución. Por lo tanto, la solución de la desigualdad 0 es (, ) (0, + ).. Resuelve la desigualdad por el método gráfico. Como es un denominador, no puede tomar el valor de 0, es decir, 0. Así, es una restricción. Sumando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: 0 De esta forma obtenemos 0 en el miembro derecho de la desigualdad, lo cual es necesario para resolverla por el método gráfico. 0 Efectuando operaciones: 0 0

14 Unidad 0 0 I gualando a cero el numerador, obtenemos: 0 I gualando a cero el denominador, obtenemos: 0 L os puntos clave son: ; L ocalizando los puntos clave en la recta numérica, obtenemos regiones: A, B y C A B Figura C Como elemento de la región A, tomamos: 0. = 0, satisface la desigualdad?: 0 ( 0) Como = 0 no satisface la desigualdad, entonces la región A representada por el intervalo no está incluida en la solución. Como elemento de la región B, tomamos:. =, satisface la desigualdad?:, ( ) Como = satisface la desigualdad, entonces la región B representada por el intervalo, está incluida en la solución. Como elemento de la región C, tomamos:. =, satisface la desigualdad?: ( ) Como =, no satisface la desigualdad, entonces la región C representada por el intervalo, no está incluida en la solución. 6

15 ÁLGEBRA Resumiendo resultados, tenemos que el único intervalo que forma parte de la solución es:, Para terminar de resolver esta desigualdad sólo nos falta analizar los puntos etremos que son puntos clave, de estas regiones. = satisface la desigualdad? Como satisface la desigualdad, este valor es parte de la solución. El valor no lo analizaremos porque es una restricción. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es,. Ejercicio Resuelve por el método gráfico cada una de las siguientes desigualdades:

16 Unidad Solución de sistemas de desigualdades en una variable Un sistema de desigualdades en una variable es un conjunto de desigualdades todas con una misma y única variable que puede representarse por. Ejemplos:. 9 es un sistema de tres desigualdades en la variable.. 0 es un sistema de dos desigualdades en la variable es un sistema de cuatro desigualdades en la variable. Observa que cuando resolvíamos por casos las desigualdades de los ejemplos anteriores, se generaba un sistema de dos desigualdades (lineales) en la variable. Por otra parte, la solución de un sistema de desigualdades en una variable consiste en encontrar todos los valores que puede tomar la variable de tal forma que satisfaga a todas y cada una de las desigualdades del sistema. Ejemplos:. Resolver el sistema significa encontrar todos los valores para tales que sean menores que y menores que al mismo tiempo. Obtenemos como intervalo de solución a (, ); es decir, cualquier elemento de este intervalo satisface las dos desigualdades. Verifiquemos esta aseveración con algunos casos particulares: Sustituyendo por en el sistema, obtenemos: Como es elemento del intervalo (, ), el sistema se satisface. 0 Sustituyendo por 0 en el sistema, obtenemos: 0 8

17 ÁLGEBRA Como 0 no es elemento del intervalo (, ), el sistema no se satisface. Es cierto que la segunda desigualdad es válida, pero como la primera es falsa se dice que el sistema no se satisface con = 0. ( ) 8. Resolución del sistema ( ) Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura Graficando las dos soluciones en la misma recta numérica: Figura Como resolver un sistema significa encontrar las soluciones en común de las desigualdades que involucra, la solución queda determinada por la intersección de las dos gráficas que se muestra a través del rectángulo sombreado en la figura. I ntersectando las gráficas obtenemos que la solución del sistema es: Figura 6 Por lo tanto, el intervalo de solución del sistema de desigualdades es: (, + ). 9

18 Unidad 0 ( ) 9. Resuelve el sistema ( ) Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura 8 Graficando las dos soluciones en la misma recta numérica: Figura 9 La solución queda determinada por la intersección de las dos gráficas que se muestra a través del rectángulo sombreado en la figura 9. Observa que pertenece a la intersección, pero no el. I ntersectando las gráficas obtenemos que la solución del sistema es: Figura 0 Por lo tanto, el intervalo de solución del sistema de desigualdades es (, ]. 60

19 ÁLGEBRA 0. Resuelve el sistema ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resolviendo la desigualdad (): Efectuando operaciones: 0 9 Restando 9 en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura Resolviendo la desigualdad (): Efectuando operaciones: 9 + Sumando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad, obtenemos: Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura Graficando las dos soluciones en la misma recta numérica: Figura La solución queda determinada por la intersección de las dos gráficas que se muestra a través del rectángulo sombreado en la figura. Observa que el único punto en común es. 6

20 Unidad 0 I ntersectando las gráficas obtenemos que la solución del sistema es: Figura Por lo tanto, el intervalo de solución del sistema de desigualdades es [, ] = { }. Ejercicio Resuelve los siguientes sistemas de desigualdades: ( 8) 0... Desigualdades cuadráticas La resolución de desigualdades cuadráticas está basada en el concepto de factorización en la siguiente propiedad de las desigualdades: Propiedad de los productos i. ab> 0 si y sólo si a> 0 y b> 0 ó a< 0 y b< 0. ii. ab< 0 si y sólo si a> 0 y b< 0 ó a< 0 y b> 0. Si se sustituye el símbolo > por ó el símbolo < por, la propiedad de los productos sigue siendo válida. 6

21 ÁLGEBRA Veamos algunos ejemplos. Ejemplos. Resuelve: < 0. Factorizando obtenemos: ( )( + ) < 0 Tenemos dos casos: Caso. > 0 y + < 0 Caso. < 0 y + > 0 Sin embargo, como hemos visto que trabajar las desigualdades por casos puede complicar los procedimientos, optamos por aplicar el método gráfico para resolverlas. Así, una vez que se ha factorizado, cada uno de los factores se iguala a cero para determinar los puntos clave. Igualando a cero cada factor: = 0 = y + = 0 = L os puntos clave son: = ; = L ocalizando los puntos clave en la recta numérica, obtenemos regiones: A, B y C A B C Figura Como elemento de la región A, tomamos:. =, satisface la desigualdad < 0: ( ) ( ) < 0 8 < 0 Como = no satisface la desigualdad, entonces la región A representada por el intervalo (, ) queda ecluida de la solución. Como elemento de la región B, tomamos: 0. = 0, satisface la desigualdad < 0?: (0) (0) < 0 < 0 6

22 Unidad 0 Como = 0 satisface la desigualdad, entonces la región B representada por el intervalo (, ) queda incluida como parte de la solución. Como elemento de la región C, tomamos:. =, satisface la desigualdad < 0?: () () < 0 8 < 0 Como = no satisface la desigualdad, entonces la región C, representada por el intervalo (, + ) queda ecluida de la solución. Si analizamos los puntos clave, observamos que como éstos son las raíces de la ecuación, al sustituirlos en la desigualdad < 0, obtenemos 0 < 0, por lo que concluimos que tampoco son parte de la solución. Por lo tanto, el intervalo de solución de la desigualada cuadrática es (, ).. Resuelve: 6 Empecemos por hacer que uno de los lados de la igualdad sea igual a cero. Restando 6 en cada lado de la desigualdad, obtenemos: Efectuando operaciones: M ultiplicando por ambos lados de la desigualdad: 0 Factorizando obtenemos: ( )( ) 0 I gualando a cero cada factor: 0 y L os puntos clave son: ; = L ocalizando los puntos clave en la recta numérica, obtenemos regiones: A, B y C A B C Figura 6 6

23 ÁLGEBRA Como elemento de la región A, tomamos: 6 =, satisface la desigualdad?: Como = satisface la desigualdad, entonces la región A, representada por el intervalo (, )queda incluida como parte de la solución. Como elemento de la región B, tomamos: 0 6 = 0, satisface la desigualdad?: Como = 0 no satisface la desigualdad, entonces la región B representada por el intervalo, queda ecluida de la solución. Como elemento de la región C, tomamos: =, satisface la desigualdad 6?: Como = satisface la desigualdad, entonces la región C representada por el intervalo, queda incluida en la solución. Si analizamos los puntos clave, observamos lo siguiente: Sustituyendo en obtenemos: Por lo tanto pertenece al conjunto solución. 6 Sustituyendo en obtenemos: 6 Por lo tanto pertenece al conjunto solución. En consecuencia tenemos que el conjunto solución de la desigualdad cuadrática es: 6 6 (, ] 6, 6

24 Unidad 0. Encuentra todos los valores de para los cuales 8 representa un número real. Para que 8 sea un número real es necesario que 8 0. Factorizando obtenemos: ( )( ) 0 Igualando a cero cada factor: 0 y 0 L os puntos clave son: ; L ocalizando los puntos clave en la recta numérica, obtenemos regiones: A, B y C A B C Figura intervalo Como elemento de la región A, tomamos: =, satisface la desigualdad ?: ( ) + 8( ) Como = satisface la desigualdad, entonces la región A representada por el intervalo queda incluida en la solución. Como elemento de la región B, tomamos:, =, satisface la desigualdad ?: ( ) + 8( ) Como = no satisface la desigualdad, entonces la región B, representada por el queda ecluida de la solución. Como elemento de la región C, tomamos: 0 = 0, satisface la desigualdad ?: (0) + 8(0) + 0 0, 66

25 ÁLGEBRA Como = 0 satisface la desigualdad, entonces la región C, representada por el intervalo, queda incluida en la solución. Si analizamos los puntos clave, observamos que son raíces de la ecuación = 0, y que al sustituirlos en la desigualdad , obtenemos 0 0. Por lo tanto, los puntos clave pertenecen al conjunto solución de la desigualdad cuadrática. En consecuencia, 8 0 representa un número real cuando es elemento de Ejercicio,,. Resuelve:.. + < 0. ( + ) > 6. ( + ) ( + ). Para qué valores de, 9 0 representa un número real? 6

26 Unidad 0 Ejercicios resueltos. Aplica la propiedad del recíproco a cada una de las siguientes desigualdades: a) < b) a) La propiedad del recíproco asegura que < b) La propiedad del recíproco asegura que... Resuelve: denominador, implica que: 0 Caso. > 0 M ultiplicando por en ambos lados de la desigualdad: > D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Por lo tanto, el conjunto de solución para el caso es el conjunto vacío, ya que no eisten valores para que sean al mismo tiempo mayores que cero y menores que. Caso. < 0 el caso es M ultiplicando por en ambos lados de la desigualdad: < D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Por lo tanto, aplicando la propiedad transitiva obtenemos que el intervalo de solución para, 0. En consecuencia, la solución de es:, denominador, implica que:. 68

27 ÁLGEBRA Caso. 0 M ultiplicando por + en ambos lados de la desigualdad: < + Restando en ambos lados de la desigualdad: D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Por lo tanto, el intervalo de solución para el caso es <, Caso. 0 M ultiplicando por + en ambos lados de la desigualdad: > + Restando en ambos lados de la desigualdad: D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: > Por lo tanto, el intervalo de solución para el caso es, En consecuencia, la solución de. Resuelve por el método gráfico. es,, denominador, implica que:. Restando en ambos lados de la desigualdad: Igualando a cero el numerador y el denominador obtenemos los punto clave que son: ; 0 Graficando obtenemos regiones A, B y C : A B C Figura 8 Como elemento de la región A, tomamos: 0 = 0, satisface la desigualdad?: 0 69

28 Unidad 0 Por lo tanto,, no forma parte de la solución. Como elemento de la región B, tomamos:. =, satisface la desigualdad?: Por lo tanto,, forma parte de la solución. Como elemento de la región C, tomamos:. =, satisface la desigualdad?: Por lo tanto,, no forma parte de la solución. Analizando los puntos clave: Sustituyendo por obtenemos: Por lo tanto, forma parte de la solución. queda descartada por ser una restricción. En consecuencia, la solución de es:,.. Resuelve por el método gráfico. denominador implica que:. Restando en ambos lados de la desigualdad: ( ) Igualando a cero el numerador y el denominador obtenemos los punto clave que son: = ; = Graficando obtenemos regiones A, B y C : A B C Figura 9 0

29 ÁLGEBRA Como elemento de la región A, tomamos: 0 = 0, satisface la desigualdad?: Por lo tanto, (, ) forma parte de la solución. Como elemento de la región B, tomamos:. =., satisface la desigualdad?: < Por lo tanto, (, ) no forma parte de la solución. Como elemento de la región C, tomamos: =, satisface la desigualdad?: < Por lo tanto, (, + ) forma parte de la solución. Analizando los puntos clave: Sustituyendo por obtenemos: < Por lo tanto, no forma parte de la solución. =, queda descartada por ser una restricción. En consecuencia, la solución de 6. Resuelve el sistema ( ) ( ) Resolviendo la desigualdad (): es: (, ) (, + ). Sumando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura 0 Resolviendo la desigualdad (): Sumando en ambos lados de la desigualdad, obtenemos: < D ividiendo entre ambos lados de la desigualdad: Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos:

30 Unidad 0 Figura Graficando las dos soluciones en la misma recta numérica: Figura La solución queda determinada por la intersección de las dos gráficas que se muestra a través del rectángulo sombreado en la figura. Observa que pertenece a la intersección. I ntersectando las gráficas obtenemos que la solución del sistema es: Figura Por lo tanto, el intervalo de solución del sistema de desigualdades es:, ( ). Resuelve el sistema ( ) Resolviendo la desigualdad (), obtenemos:. Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos: Figura Resolviendo la desigualdad (), obtenemos: >. Graficando la solución de la desigualdad (), obtenemos:

31 ÁLGEBRA Figura Graficando las dos soluciones en la misma recta numérica: Figura 6 Como resolver un sistema significa encontrar las soluciones en común de las desigualdades que involucra, la solución queda determinada por la intersección de las dos gráficas que se muestra a través del rectángulo sombreado en la figura 6. Observa que pertenece a la intersección. I ntersectando las gráficas obtenemos que la solución del sistema es: Figura Por lo tanto, el intervalo de solución del sistema de desigualdades es [, + ). 8. Determina si el conjunto es un subconjunto del conjunto solución del sistema 0 de desigualdades Sustituyendo por en el sistema, obtenemos: Por lo tanto, pertenece al conjunto solución

32 Unidad Sustituyendo por en el sistema, obtenemos: 6 Como no satisface la primera desigualdad, este valor no pertenece al conjunto solución. Por lo tanto, A =, no es un subconjunto del conjunto solución del sistema de desigualdades. 9. Resuelve + 9 > 0 Factorizando: ( )( ) > 0 Como los factores son iguales, sólo igualamos a cero uno de ellos: 0. El único punto clave es:. Graficando el punto clave obtenemos regiones A y B: A Figura 8 B Como elemento de la región A, tomamos: 0 = 0, satisface la desigualdad + 9 > 0?: 9 > 0 Como = 0 satisface la desigualdad, entonces la región A representada por el intervalo, queda incluida en la solución. Como elemento de la región B, tomamos: =, satisface la desigualdad + 9 > 0?: > 0 Como = satisface la desigualdad, entonces la región A representada por el intervalo, queda incluida en la solución. Por último, analicemos el punto clave. Sustituyendo por en la desigualdad, obtenemos 0 > 0. Por lo tanto, no pertenece al conjunto solución. En consecuencia, la solución de la desigualdad + 9 > 0 es:,,. Gráficamente se representa como: Figura 9

33 ÁLGEBRA Ejercicios propuestos. Aplica la propiedad del recíproco a cada una de las siguientes desigualdades: a) b). Resuelve:, sin aplicar el método gráfico.. Resuelve: 6, sin aplicar el método gráfico.. Resuelve por el método gráfico:.. Resuelve por el método gráfico:. 6. Resuelve el sistema:. Resuelve el sistema: ( ) ( ) ( 0) ( ) 8. Determina si el conjunto A = {, } es un subconjunto del conjunto solución del sistema de 8 desigualdades: 8 9. Resuelve: 0. Resuelve: 8

34 Unidad 0 Autoevaluación. Resuelve: 9 a) 9, 0 b), 9 c) 9, d) 0, 9 e). Resuelve: a) 9, 9 6 8, 6 b), 8 c) d) 6,, 8 6 e),, 8 6. Resuelve: a)(, ) b)(0, ) 6

35 ÁLGEBRA c)(, 0) d)(, + ) e) (, + ). Resuelve: 9( ) + 9 a) b) c) d) e), 6, 6, 6, 6, 6

36 Unidad 0 Respuestas a los ejercicios Ej Ej.. 0,. 0,. (, + ).,,.,, Ej.. (, + ). (, 0].,, 8

37 ÁLGEBRA. (, ] (, + ). (, ) Ej.. [, ). (, ]. 0. 9,. { 6} Ej.. Todos los números reales.. (, ). (, ) (, + ). (, ] [, + ). (, ] [, + ) Ejercicios propuestos. a) b). (, 0),., 6..,, 6 9

38 Unidad [, ) 8. No. 9. (, ) (, ) 0., Autoevaluación. d). d). d). d). d) 80

39 ÁLGEBRA Bibliografía Bibliografía básica M adrid, 980. Baldor, Aurelio, Álgebra, Cultural Centroamericana Ediciones y Distribuciones Códice, L ehmann, Charles H, Álgebra, Limusa, Méico, 98. Bibliografía complementaria Spiegel, Murray, Álgebra superior, McGraw-H ill, Méico, 988. Serie de compendios Schaum. Gobran, Alfonse, Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, M éico, 990. Barnett, Raymond A., Álgebra y trigonometría, M cgraw-h ill, M éico, 98. Phillips, Butts y Shaughnessy, Álgebra con aplicaciones, H arla, M éico, 99. 8