Ecuaciones cuadráticas

Transcripción

1 Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática, es una ecuación de segundo grado que tiene la forma canónica a b c donde: Término a b c Se le conoce como Término cuadrático Término lineal Término constante Las constantes a y b, son los coeficientes del término cuadrático y lineal, respectivamente. Una ecuación cuadrática puede prescindir del término lineal y/o el término constante y seguirá siendo una ecuación cuadrática, por lo que la forma cambiaría a: a c o a b Con base en esto, tienes los siguientes ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Ejemplo de ecuación cuadrática Observaciones Ecuación cuadrática incompleta, le falta el término lineal Ecuación cuadrática completa, tiene todos los términos Ecuación cuadrática incompleta, le falta el término constante. Ecuación cuadrática incompleta, le falta el término lineal. Ecuación cuadrática completa, tiene todos los 7 términos Ecuación cuadrática completa, tiene todos los 5 términos De inicio no se observa el término cuadrático, hasta que se realizan las operaciones.

2 Encontrar la solución de una ecuación cuadrática, implica encontrar los valores de la ecuación que hacen verdadera la ecuación. Como verás en los siguientes ejemplos, una ecuación cuadrática, por lo general, tiene dos soluciones; más adelante retomarás este punto que es muy importante en el análisis de las soluciones de una ecuación cuadrática. Empieza por analizar el primero de los ejemplos de ecuación cuadrática Los valores que hacen verdadera la ecuación pueden ser y, por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones Es decir, si sustituyes los valores en la ecuación ambas serán verdaderas En sustituyendo En sustituyendo Observa que los valores encontrados son: uno positivo y el otro negativo, ya que un número negativo multiplicado por si mismo, es positivo. Y la operación que se relaciona es la raíz cuadrada, de tal forma que si tienes una ecuación cuadrática que no tenga el factor lineal, se despeja la c El valor de la variable puedes determinarla por medio de las propiedades de la raíz c c

3 Observa que el resultado de la raíz cuadrada siempre será un valor positivo y el otro negativo, ya que los dos valores hacen verdadera la ecuación. Veamos otros ejemplos Ecuación cuadrática Solución 5 Aplicando las propiedades de la raíz 5 5 Por lo tanto, las soluciones son: 5 y Aplicando las propiedades de la raíz 7 Como la 7 no es eacta, las soluciones son: 7 y Aplicando las propiedades de la raíz 9 Por lo tanto, las soluciones son: y 8

4 8 Aplicando las propiedades de la raíz 8 Simplificando la raíz 8 Por lo tanto, las soluciones son: y Aplicando las propiedades de la raíz Por lo tanto, las soluciones son: y Observa que en éste, el resultado es la raíz de un número negativo, el cual es conocido como número imaginario. Observa que en las ecuaciones cuadráticas se pueden tener soluciones reales y complejas. Recuerdas los números complejos? Los números reales son aquellos números con los que has estado trabajando hasta el momento, sin embargo, estos números pertenecen a un conjunto de números más grandes, que son el conjunto de los números complejos. El conjunto de números complejos son aquellos que están formados por una parte real y una parte imaginaria y se representan de la siguiente manera:

5 Número Real a bi El número imaginario que se representa por el término negativo. n bi Número Imaginario surge de la raíz cuadrada de un número La raíz de un número negativo utilizando las reglas de los radicales, se puede separar como el producto de dos raíces n n Donde el factor se le denomina con la letra i para indicar que es un número imaginario. n n n i Recordemos algunos ejemplos de números complejos Ejemplo de número complejo a bi Observaciones i Parte real Parte imaginaria i i Parte real Parte imaginaria i 5 5 5i Parte real Parte imaginaria 5i i Parte real Parte imaginaria i 5 5 5i Parte real Parte imaginaria 5i

6 Veamos algunos ejemplos donde el resultado de una cuadrática es un número imaginario: Ecuación cuadrática Solución 6 Aplicando las propiedades de la raíz 6 Simplificando 6 6 i Por lo tanto, las soluciones son: i y i Aplicando las propiedades de la raíz Simplificando i Por lo tanto, las soluciones son: i y i Nota: Toma en cuenta que i no está dentro del radical. Aplicando las propiedades de la raíz Simplificando la raíz 6 i

7 Por lo tanto, las soluciones son: i y i Nota: Toma en cuenta que i no está dentro del radical. 5 5 Aplicando las propiedades de la raíz Simplificando la raíz i Por lo tanto, las soluciones son: i y i Hasta el momento solamente has resuelto ecuaciones de la forma lineal no aparece y es sencillo despejar el término cuadrático. a c, es decir, donde el término b a b c Cómo resolverás las ecuaciones que tienen la forma a y? Para estos casos, se utilizan otros métodos de solución. En este curso analizarás dos métodos: a) Por factorización b) Por fórmula

8 a) Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización b Comencemos con las ecuaciones cuadráticas de la forma, es decir, cuando no eiste el término constante. Observa que la variable, en este caso, se puede factorizar como factor común. Y se utiliza la propiedad del factor nulo que dice, que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero para determinar las soluciones de la ecuación, resolviendo como dos ecuaciones lineales. a Sigue algunos ejemplos: Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación 5 5 Solución Se determina el máimo factor común, para este caso Se factoriza por factor común 5 ( 5) Se igualan los dos factores a cero y se resuelven para encontrar las soluciones Las soluciones de la ecuación son: y 5 Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación

9 Con 5() 5() Con 5 5(5) 5(5) Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación 5 Solución Se acomoda la ecuación de la forma a b 5 5 Se determina el máimo factor común, para este caso Se factoriza por factor común ( 5) Se igualan los dos factores a cero y se resuelven para encontrar las soluciones 5 5 Las soluciones de la ecuación son: y 5 Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 5 5 Con

10 () 5() Con Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación 6 5 Solución Se determina el máimo factor común, para este caso Se factoriza por factor común ( 5) Se igualan los dos factores a cero y se resuelven para encontrar las soluciones 5 5 Las soluciones de la ecuación son: y 5 Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 6 5 Con 6() 5() Con

11 Como pudiste darte cuenta en los ejemplos anteriores, siempre que falte el término constante en las ecuaciones cuadráticas, puedes factorizar por factor común e igualar cada uno de los factores a cero, para después despejar cada una de las ecuaciones resultantes y determinar la solución. b c En el caso que tengas una ecuación cuadrática de la forma, que puedas factorizar, podrás resolverla realizando la factorización e igualando cada uno de los factores a cero. a Recuerdas el método de factorización a prueba y error que se vio en el curso de Fundamentos de Álgebra? Recuerda con un ejemplo Factorizar 8 5 Primero asegúrate que se encuentre en orden descendente (término cuadrático, término lineal, término constante). 8 5 ) Encuentra dos números que multiplicados, den el primer término incluyendo el signo, en este caso ) Encuentra dos números que multiplicados, den el tercer término, para este caso ( 5)() 5 ) Y al multiplicarse en cruz la suma de los términos debe dar el segundo término incluyendo el signo, para este caso 5 8

12 Los factores se tomarán en horizontal Por lo tanto, la factorización será: 8 5 ( 5)( ) Recuerda que puedes comprobar el resultado de una factorización realizando la multiplicación de los dos factores ( 5)( ) Si utilizas este mismo ejemplo para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática 8 5 Partirás del hecho que la ecuación se puede factorizar como: 8 5 ( 5)( ) Y utilizando la propiedad del factor nulo, igualarás cada uno de los factores a cero para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. 5 5

13 Las soluciones de la ecuación son: 5 y Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. 8 5 Con 5 8( 5) ( 5) Con 8( ) ( ) Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, para este caso 7 Por lo tanto, los factores son 7 Igualando los dos factores a cero

14 7 7 Las soluciones de la ecuación son: 7 y Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación. Con 7 ( 7) ( 7) 9 7 Con ( ) ( ) 9 Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación 6 9 Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, para este caso 6

15 Por lo tanto, los factores son 6 9 Igualando los dos factores a cero Las soluciones de la ecuación son: y Observa como en este caso las dos soluciones son iguales Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación, en este caso con que compruebes una es suficiente. Ejemplo 6 9 Con Resuelve la siguiente ecuación 6 7 Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, para este caso 9 7

16 Por lo tanto, los factores son 7 6 Igualando los dos factores a cero Las soluciones de la ecuación son: y Se puede comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación 7 6 Con Con

17 Ejemplo 5 Resuelve la siguiente ecuación Recuerda que al multiplicarse en cruz, la suma de los términos debe dar el término lineal, incluyendo el signo, para este caso Por lo tanto, los factores son Igualando los dos factores a cero Las soluciones de la ecuación son: y Puedes comprobar las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación Con

18 8 Con 9 6 Como pudiste darte cuenta, la factorización por factor común te permite encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a b, es decir, aquellas que no tienen el término constante, y las ecuaciones cuadráticas completas de la forma a b c se pueden resolver mediante el método de factorización de prueba y error. Es importante señalar que no todas las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar; este tipo de ecuaciones las puedes resolver aplicando una fórmula que se estudiarás a continuación. de fórmula. b) Solución de ecuaciones cuadráticas por medio La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas surge de la solución de ecuaciones por el método de completar el cuadrado, que no revisaremos en esta lección, pero que utilizaremos la fórmula que obtienen a partir de este procedimiento.

19 A continuación te presento la deducción de la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Cabe señalar que si te propones y sigues los pasos para la solución a cualquiera de las ecuaciones cuadráticas, estarás practicando el método de completar cuadrados. Pasos ) Se acomoda la ecuación cuadrática en su forma general. a Obtención de fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas b c ) Para asegurar que el término cuadrático tenga coeficiente se divide toda la ecuación entre a (el coeficiente del término cuadrático). ) El término constante se pasa para el otro lado de la ecuación. a b c a a a a b a b a b a c a c a c a ) Para completar un cuadrado perfecto se suma de los dos lados de la ecuación el término b b c b b a a a a a 5) Como del lado izquierdo, se tiene un trinomio cuadrado perfecto, este se puede factorizar como un binomio al cuadrado. b a b a c a 6) Sacando raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación y realizando la resta del lado derecho. b b a a c a b b ac a a 7) Se despeja el valor de b b ac a a

20 8) El denominador de la raíz tienen raíz cuadrada eacta y se realiza la suma de fracciones. b b ac a La fórmula para la solución de una ecuación cuadrática a b c es: b b ac a en donde: a es el coeficiente del término a b es el coeficiente del término lineal b c es el término constante b b ac En la fórmula, a la epresión b ac se le denomina discriminante y a dependiendo del valor de esta epresión, se puede predecir el tipo de soluciones que podemos obtener. Recuerda que al inicio de los ejemplos se mencionó que una ecuación cuadrática tiene, por lo general, dos soluciones. Analiza el siguiente cuadro: Discriminante La ecuación cuadrática tiene Si b ac (valor positivo) Dos soluciones reales diferentes. Si b ac Si b ac (valor negativo) Una solución real, es decir los dos valores serán iguales. Dos soluciones complejas distintas.

21 Recuerda que una ecuación cuadrática puede ser:. Completa, si se encuentra en la forma a b c. Incompleta, si se encuentra en la forma b a c a ó La ventaja que tiene la aplicación de esta fórmula es que puede encontrar la solución de cualquier tipo de ecuación cuadrática. Toma en cuenta que la fórmula entrega dos valores Fórmula para encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas b b ac a b b a ac b b ac a Veamos algunos ejemplos Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 5 Primero se determinan los valores de las constantes, el signo a, b y c, tomando siempre en cuenta a, b y c 5 Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones

22 b b ac a b b ac a Las soluciones de la ecuación son 7 y 5 Observa como en este caso el valor del discriminante es, un valor positivo, es por ello, que se obtuvieron dos soluciones reales diferentes. Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 6 Primero se determinan los valores de las constantes, el signo: a, b y c, tomando siempre en cuenta a, b y c 6 Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones

23 b b ac a b b ac a Las soluciones de las ecuaciones son 6 y Observa como en este caso el valor del discriminante es 69, un valor positivo, es por ello, que se obtuvieron dos soluciones reales diferentes. Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 8 Al determinar los valores de las constantes, a, b y c, se observa que la ecuación está incompleta, es decir, el valor de c ya que no aparece en la ecuación. a, b 8 y c Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones

24 b b ac a b b ac a Las soluciones de las ecuaciones son y Observa como en este caso el valor del discriminante es 6, un valor positivo, es por ello, que se obtuvieron dos soluciones reales diferentes. Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación cuadrática Al determinar los valores de las constantes, a, b y c, se observa que la ecuación está incompleta porque b, es decir, no aparece en la ecuación. a, b y c Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones

25 b b ac a b b ac a Determinando los factores primos de 7 para simplificar la raíz 7i 7i 7i 7i Determinando los factores primos de 7 para simplificar la raíz 7i 7i 7i 7i 7i 7i Las soluciones de las ecuaciones son 7i y 7i Observa que al ser el valor del discriminante un valor negativo ( ), se obtienen dos soluciones complejas diferentes. Ejemplo 5 Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 6 Primero se determinan los valores de las constantes, el signo. a, b y c, tomando siempre en cuenta a, b y c 6 Estos valores se sustituyen en la fórmula y se realizan las operaciones

26 a ac b b a ac b b i i Las soluciones de la ecuación son 9 i y 9 i Observa que al ser el valor del discriminante un valor negativo ( 9), se obtienen dos soluciones complejas diferentes. Como puedes darte cuenta en los ejemplos anteriores, cualquier tipo de ecuación cuadrática puede ser resuelta por la fórmula, sin embargo, hay algunas ecuaciones que son más sencillas realizarlas por factorización. De cualquier forma, el método que decidas escoger será correcto si respetas las leyes de los signos y propiedades de la igualdad.

27 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas Eisten ecuaciones que a primera vista no parecen ser cuadráticas, sin embargo cuando se realiza la simplificación queda como resultado una ecuación de segundo grado que puede ser resuelta por factorización o por fórmula. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación 5 Comenzamos por realizar las operaciones 5 Se multiplican los factores Se quitan paréntesis Se suman términos semejantes y se acomoda la ecuación en forma descendente 6 9 Se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver por factorización o por fórmula. Recuerda que al multiplicarse en cruz la suma de los términos debe dar el término lineal incluyendo el signo, para este caso 6

28 Por lo tanto, los factores son 6 9 Igualando los dos factores a cero Las soluciones de la ecuación son: y Como puedes observar, en este caso las dos respuestas son iguales, y se puede comprobar la respuesta sustituyendo los valores de la ecuación. Sustituyendo el valor de en Se comprueba que sólo eiste una solución para el ejercicio propuesto. Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación Comenzamos por determinar el mínimo común denominador, para este caso el m. c. d Se multiplica ambos lados de la ecuación por el m. c. d

29 Se multiplica cada uno de los términos Se realizan operaciones Acomodando términos de un sólo lado de la ecuación e igualando a cero Se obtiene una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver despejando, factorizando o por fórmula. En este caso despejemos la ecuación. es decir i

30 Las soluciones de la ecuación son: i y i Como puedes observar, en este caso las respuestas son números imaginarios y se pueden comprobar si se sustituye en la ecuación cuadrática Con i Con i Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación 6 5 Comenzamos por pasar el término que no contiene la raíz del otro lado de la ecuación Elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz Se acomodan de un mismo lado de la ecuación en orden descendente. 6 5

31 Para resolver la ecuación por fórmula, comenzamos por determinar los valores de las constantes, a, b y c, en este caso. a, b 6 y c 5 Sustituir los valores en la fórmula b b ac a b b ac a Las soluciones de las ecuaciones son 5 y Así como hay ecuaciones que después de hacer simplificaciones resultan en una ecuación cuadrática, también eisten problemas de aplicación, los cuales pueden resolverse solamente por medio de una ecuación cuadrática.

32 Veamos algunos ejemplos. Ejemplo Calcular las dimensiones de un terreno rectangular que de largo mide 7 metros más que su ancho. Si el área del terreno es de 8 metros cuadrados. Solución Comencemos por realizar un dibujo, donde se asignan las variables. Sabemos que área = largo ancho Sustituyendo los valores conocidos Área= 8 m Largo= 7 Ancho = 7 8 Realizando operaciones Igualando a cero Resolviendo por fórmula, determinamos los valores de a, b 7 y c 8

33 Sustituir los valores en la fórmula b b a ac b b ac a El valor encontrado en este caso es positivo y nos indica la longitud del ancho del terreno El valor encontrado en este caso es negativo y como lo que se está determinando es la longitud del ancho del terreno y no pueden eistir longitudes negativas, por lo tanto este valor no proporciona una solución. Hasta el momento, el resolver la ecuación solamente nos ha permitido encontrar el valor del ancho del terreno. Para encontrar el largo, sustituimos en la relación establecida al inicio del problema. Ancho = m Largo= 7 7 9m Por lo tanto, las dimensiones del terreno son: Ancho = Largo m 9m

34 Con las cuales podemos comprobar que el área es 8 m área = largo ancho área m9m 8m

35 Ejemplo 5 En una Universidad en la cual cursan 6 materias por cuatrimestre, los registros muestran que la calificación promedio, P, de las materias cursadas en un cuatrimestre por una persona estándar, depende del número de horas diarias h que esta estudia y hace la tarea. El promedio de la calificación puede estimarse mediante la siguiente ecuación P. h 5.85h. Determine cuántas horas tendrá que estudiar una persona para obtener un promedio de 8 al final del cuatrimestre. Solución En este problema ya tenemos la ecuación que proporciona el promedio necesario, solamente tenemos que igualar a 8, ya que es el promedio que nos están preguntando..h 5.85h 8 Antes de resolver es necesario igualar a cero la ecuación.h.h 5.85h h 6 Como es una ecuación cuadrática la podemos resolver por medio de fórmula. Determinamos los valores de a., b 5.85 y c 6 Sustituir los valores en la fórmula b b a ac b b ac a h h h

36 h 5.85 h h h h El valor encontrado en este caso es positivo y nos indica las horas necesarias de estudio para obtener un promedio de 8. El valor encontrado en este caso es negativo y como lo que se está determinando es la cantidad de horas necesarias para obtener un promedio de 8, no puede eistir un tiempo negativo, por lo tanto este valor no proporciona una solución. De acuerdo al estudio realizado en esa Universidad el número de horas diarias que debe un estudiante dedicarle al estudio y a realizar tareas es de aproimadamente 6 horas, para obtener un promedio de 8 en un cuatrimestre. Como puedes observar en los ejemplos anteriores, las ecuaciones cuadráticas las podrás encontrar como parte de la solución de una ecuación que de un inicio no se pueda identificar como una ecuación cuadrática o dentro de la solución de problemas de aplicación a un problema en específico. Referencias Allen R. Angel ( ) Álgebra Intermedia. Méico: Prentice Hall. Baldor, A. (988). Álgebra. Méico: Publicaciones Cultural. Barnett,R., Ziegler, M., Byleen, K. (). Álgebra. Méico: McGraw Hill. Bello Ignacio (999) Álgebra Elemental. Méico: Internacional Thomson Editores.