1.2. Intervalos y su representación mediante desigualdades

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Jorge Botella Valverde
hace 7 años
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1 1.. Intervalos y su representación mediante desigualdades Cualquier subconjunto de los números reales puede ser representado como un intervalo, ya sea abierto, cerrado, mixto o infinito. Intervalo abierto. (a, b) = {x a < x < b}: Representa a todos los números que se encuentran entre los extremos a y b pero sin incluir a éstos. Por ejemplo, si queremos representar de forma simplificada a todos los números que se encuentran entre 5 y 8 pero sin incluir al 5 y 8, tendríamos que escribir: ( 5, 8). Una representación gráfica de esto sería: ( 5,8) Intervalo cerrado. [a,b] = {x a x b}.: Representa a todos los números que se encuentran entre los extremos a y b, incluyendo a éstos. Por ejemplo, si queremos representar de forma simplificada a todos los números que se encuentran entre 5 y 8, incluyendo a 5 y 8, tendríamos que escribir: [ 5,8]. Una representación gráfica de este tipo de intervalo sería: [ 5,8] Intervalo mixto. (a, b] = {x a < x b} o [a,b) = {x a x < b}. Representa a todos los números que se encuentran entre los extremos a y b, de modo que se incluya solamente a uno de éstos. Por ejemplo, si queremos representar a todos los números que se encuentran entre 5 y 8, incluyendo a 5 y excluyendo a 8, tendríamos que escribir: [ 5,8). Si por el contrario quisiéramos excluir al 5 e incluir al 8, entonces tendríamos que escribir: ( 5, 8]. Una forma gráfica de representar a estos intervalos sería: [ 5,8) ( 5, 8]

2 Intervalos infinitos. Son aquellos que no cuentan con un extremo (límite) izquierdo o con un extremo (límite) derecho, en vez de ello, el intervalo decrece o crece infinitamente. Podemos encontrar cuatro tipo de estos intervalos: (,b) = {x x < b} (,b] = {x x b} (a, + ) = {x a < x} b b a [a,+ ) = {x a x} a Observa que el infinito no puede representarse con un intervalo cerrado, es decir, las expresiones [,b), [,b],(a, + ],[a, + ] son incorrectas. Esto se debe a que, por definición, el infinito nunca podrá alcanzarse. Siempre habrá un número más pequeño que aquel que puedas imaginarte, y siempre existirá un número más grande que aquel en el que puedas pensar. Un aspecto que es importante considerar es que los números reales también pueden expresarse en notación de intervalo: (,+ ) = R, lo cual resulta un caso particular de los intervalos infinitos.

3 1.3. Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita. Para comenzar esta sección debemos definir lo que entenderemos por desigualdad (o inecuación), ya que este concepto será la base para el correcto tratamiento de los problemas que aquí se tratarán. Una desigualdad (o inecuación) es la comparación de dos funciones f(x) y g(x) a través de alguna de las siguientes relaciones de orden: <, >,,. Esto quiere decir que las dos funciones antes mencionadas pueden relacionarse de cuatro maneras distintas. f(x) < g(x) f(x) > g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) Ejemplos de inecuaciones comunes son las siguientes: x + < 6x < 5x x + 3 8x 6 x 5 x > 3x x 8 x+ 5 Pero, Cómo resolver una inecuación? Y más aún qué significa resolver una inecuación? Contestémonos ahora estas importantes preguntas. Para resolver una desigualdad (o inecuación) utilizaremos los axiomas de los números reales. Sin embargo, estos axiomas los emplearemos en la práctica a través de lo que ya conocemos como despeje. Mucho Ojo!, el despeje no puede considerarse un concepto matemático, más bien debe entenderse como una simple mecanización de los axiomas de los números reales, que en la práctica ahorra tiempo y esfuerzo. Resolver una inecuación significa encontrar el conjunto de valores x tales que satisfagan la desigualdad planteada. Veamos todo esto a través de ejemplos:

4 Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad x + < 1 x + < 1 x < 1 Trasladamos el al lado derecho de la desigualdad, pero con signo contrario. ( si está sumando, pasa restando ) x < 3 Se realiza la operación 1 = 3 x < 3 El número se encuentra multiplicando a la x, por lo tanto lo trasladamos al lado derecho dividiendo al 3. x (, 3 ) x < 3 significa que el conjunto solución de la desigualdad son todos los valores de x menores que 3, es decir, cualquier valor que tomemos menor que 3 debe satisfacer la inecuación. Pero, qué significa satisfacer una inecuación? Para explicar esto, tomemos el ejemplo anterior. La solución de la desigualdad x + < 1 es x (, 3 ), por lo que cualquier valor de éste conjunto debe satisfacerla. Así, si tomamos el valor 5 entonces x + < 1 ( 5) + < < 1 6 < 1 vemos que efectivamente, al sustituir un valor del conjunto (, 3 ), en este caso el 5, se satisface le desigualdad, es decir, obtenemos 6 < 1.

5 Ejemplo. Resuelve la desigualdad 5x x 5x x 5x x 7 x 3 A todas las expresiones que contengan a x las trasladamos al lado izquierdo y las demás al lado derecho. Recuerda que lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando. Se realizan las operaciones que correspondan: 5x x = x y 7 = 3 x 3 El número se encuentra multiplicando a la x, por lo tanto lo trasladamos al lado derecho dividiendo al 3. x [ 3, + ) x 3 significa que el conjunto solución de la desigualdad son todos los valores de x mayores que 3, es decir, cualquier 3 valor que tomemos mayor que debe satisfacer la inecuación. Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad 1 10x 6 + 9x 1 10x 6 + 9x 10x 9x x 6 x 6 19 A todas las expresiones que contengan a x las trasladamos al lado izquierdo y las demás al lado derecho. Recuerda que lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando. Se realizan las operaciones que correspondan: 10x 9x = 19x y 6 1 = 6 El número 19 se encuentra multiplicando a la x, por lo tanto lo trasladamos al lado derecho dividiendo al 6. Aquí sucede algo importante. En toda desigualdad, al pasar multiplicando o dividiendo un número negativo el sentido de la desigualdad cambia. En este caso, la expresión x 6 cambia a x

6 x 6 19 Realizamos la operación con los signos ( ) ( ) = + x (, 6 19 ] x 6 significa que el conjunto solución de la desigualdad 19 6 son todos los valores de x menores que, es decir, cualquier valor que tomemos menor que 6 debe satisfacer 19 la inecuación. 19 Recuerda: En toda desigualdad, al pasar multiplicando o dividiendo un número negativo el sentido de la desigualdad cambia Ejemplo. Resuelve la desigualdad 5 x 9 5 +x 9 5 9( + x) Trasladamos la expresión + x a la parte derecha. Esto con el fin de expresar a la desigualdad en una sola línea. Recuerda que si está dividiendo pasa mulplicando x Se realizan la operación 9( + x) = 36 + x x 36 5 Ahora trasladamos a todas las expresiones que contengan a x al lado izquierdo de la desigualdad y todas las demás al lado derecho. x 31 Realizamos la operación 36 5 = 31 x 31 x 31 El número se traslada a la parte derecha de la desigualdad, pero como pasa dividiendo el sentido de la desigualdad cambia. Se realza la operación de los signos (+) ( ) =

7 x (, 31 ] x 31 significa que el conjunto solución de la desigualdad son todos los valores de x menores que 31, es decir, cualquier valor que tomemos menor que 31 satisfacer la inecuación. debe

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