Guı a de Estudio: Matema tica Inecuaciones con Valor absoluto

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Ricardo Ayala Blázquez
hace 7 años
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1 Guı a de Estudio: Matema tica Inecuaciones con Valor absoluto Resultados de aprendizaje Determinar el conjunto solucio n de una inecuacio n con valor absoluto. Contenidos 1. Inecuaciones. Valor absoluto Debo saber Antes de comenzar a realizar ejercicios, es deseable que recuerdes la siguiente definicio n. Sea x R, se define el valor absoluto de x (o mo dulo de x) al nu mero real, que lo denotaremos por x, dado por x := x si x 0 x si x < 0 Ahora enlistaremos algunas propiedades importantes del valor absoluto. Sean x, y R. Entonces: i) x 0. ii) x = 0 x = 0. iii) x y = x y. x x iv) =, para y 6= 0. y y v) x = x. vi) x + y x + y. vii) x = x = x. viii) x x x. ix) x a a x a, para a 0 (respectivamente con <). x) x a x a x a, para a 0 (respectivamente con >). Servicios Acade micos para el Acompan amiento y la Permanencia - PAIEP Primera edicio n 016 1

2 Más importante que demostrar estas propiedades, es entenderlas e internalizarlas a cabalidad, ya que éstas son muy importantes para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, inecuaciones que son mucho más complicadas e interesantes que las que se estudiaron en la sección anterior. En los ejemplos que daremos a continuación, se tratará de resolver este tipo de inecuaciones usando dos métodos, uno de ellos es usar las propiedades enlistadas en la proposición anterior y el otro es usando puntos críticos. Ejercicio 1 Resuelva la inecuación 3x + < 3. Solución Usando la propiedad ix), se tiene 3x + < 3 3 < 3x + < 3 3 < 3x < < 3x < < 3x 1 3 < < x < 4 9 Se resta a la desigualdad doble. Desarrollando las fracciones. Multiplicando por 1 3. Simplificando por 3. Luego el conjunto solución de esta inecuación es ] S = 8 [ 9, 4. 9 Ejercicio Resuelva la inecuación 4x x(1 x). Solución Usando la propiedad x), se tiene 4x x(1 x) [4x x(1 x)] [4x x(1 x)] [4x x x ] [4x x + x )] [x + 3x 0] [x 5x + 0] x se distribuye en los paréntesis Se reducen los términos semejantes Entonces para encontrar la solución de la inecuación debemos resolver ambas inecuaciones por separado. Primera edición 016

3 ( En efecto, para la primera inecuación note que x + 3x = Ahora veamos la tabla de signos para la inecuación ( x 1 x 1 ) (x + ) 0 ) (x + ). Debemos tener en cuenta que para esta inecuación, el valor x = 1 y x = son puntos críticos. Lo primero es aclarar que un punto crítico de la inecuación es un punto donde cada expresión algebraica es igual a cero. 1/ + (x 1/) + (x + ) + + x + 3x + + El objetivo de la tabla es analizar el signo de los factores en los intervalos determinados por los puntos críticos. Ahora, debemos fijarnos en que intervalos el signo satisface la desigualdad. Por lo tanto, S 1 =], ] [1/, + [. Análogamente para la segunda inecuación (x 5x + 0) el conjunto solución de ésta es S =], 1/] [, + [. Luego el conjunto solución de esta inecuación es S = S 1 S =], ] [1/, + [ ], 1/] [, + [= R Observación: La unión de las soluciones se debe a que debemos encontrar la solución para x + 3x 0 ó x 5x + 0. Ejercicio 3 Resuelva la inecuación x + 3 x 1 > 1. Solución Este problema se puede abordar de dos maneras posibles: Forma 1: Usando las propiedades En ese caso, usando la propiedad x), se tiene Primera edición 016 3

4 x + 3 > 1 + x 1. (x + 3 > 1 + x 1 ) (x + 3 < x 1 1) ( x 1 < x + ) ( x 1 < x + 4 ) Se despeja en términos del valor absoluto. Basta ahora con resolver estas dos inecuaciones con valor absoluto. Para la primera inecuación, usando la propiedad ix), se tiene x 1 < x + x + < x 1 < x + x < x < x + ( x < x ) (x < x + ) ( x x < + ) (x x < + ) [x > 0] [x < 4] Multiplicando por. Distribuyendo el signo negativo. Separamos la desigualdad, esto es, por Transitividad. Se agrupan términos semejantes Así, el conjunto solución de esta inecuación, que lo llamaremos S 1, es: S 1 =], 4[ ]0, + [=]0, 4[. Para la segunda inecuación, usando la propiedad ix), se tiene x 1 < x + 4 x + 4 < x 1 < x + 4 x + 4 < x < x 4 (x + 4 < x ) (x < x 4) x > 6 3x < Multiplicando por Distribuyendo el signo negativo Separamos la desigualdad, esto es, por Transitividad. Se agrupan términos semejantes x > 6 x < 3 Así, el conjunto solución de esta inecuación, que lo llamaremos S, es S =], /3[ ]6, + [= Finalmente el conjunto solución es S = S 1 S =]0, 4[. Primera edición 016 4

5 Forma : Resolveremos esta inecuación por 3 pasos, el primero es escribir el valor absoluto de cada sumando, lo segundo es escribir sin valor absoluto, y finalmente resolver las inecuaciones que sean necesarias. En efecto, primero tenemos de la definición de valor absoluto que { { x + 3 si x x + 3 si x 3 x + 3 = (x 3) si x + 3 < 0 = x 3 si x < 3 { { x 1 si x 1 0 x 1 si x 1 x 1 = (x 1) si x 1 < 0 = x + 1 si x < 1 Con los puntos críticos de la inecuación, que en este caso son x = 3 y x = 1, escribiremos sin valor absoluto la expresión P = x+3 x 1 mediante la siguiente tabla. El objetivo de la tabla es analizar el signo de cada valor absoluto, estos dependen de los intervalos generados por los puntos críticos, estos son ], 3[,[ 3, 1[ y [1, + [ x + 3 (x+3) (x + 3) (x + 3) x 1 (x 1) (x 1) x 1 P x 5 3x + 1 x + 5 En primer lugar, analizaremos el signo de los valores absolutos en el intervalo ], 3[ Así, x + 3 x 1 = (x + 3) (x 1) = x 5 En segundo lugar, analizaremos el signo de los valores absolutos en el intervalo [ 3, 1[ Así, x + 3 x 1 = (x + 3) (x 1) = 3x + 1 Y en tercer lugar, analizaremos el signo de los valores absolutos en el intervalo [1, + [ Así, x + 3 x 1 = (x + 3) (x 1) = x + 5 Por lo tanto, x 5 si x < 3 x + 3 x 1 = 3x + 1 si 3 x < 1 x + 5 si x 1 Recordemos la inecuación que debemos resolver, x + 3 x 1 > 1. Esto último implica resolver tres inecuaciones, pero con la salvedad de que las soluciones estén en los intervalos indicados antes. Primera edición 016 5

6 Si x < 3, entonces x + 3 x 1 = (x + 3) (x 1) = x 5 > 1 x > 6, por lo tanto x debe cumplir las condiciones para x < 3 y x > 6, así: S 1 =], 3[ ]6, [= Si 3 x < 1, entonces x+3 x 1 = (x+3) (x 1) = 3x+1 > 1 x > 0, por lo tanto x debe cumplir las condiciones para 3 x < 1 y x > 0, así: S = [ 3, 1[ ]0, [=]0, 1[ Si x 1, entonces x + 3 x 1 = (x + 3) (x 1) = x + 5 > 1 x < 4, por lo tanto x debe cumplir las condiciones para x 1 y x < 4, así: S 3 = [1, [ ], 4[= [1, 4[ Finalemte el conjunto solución de la inecuación con valor absoluto de este problema es: S = S 1 S S 3 =]0, 4[. Primera edición 016 6

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