SOLUCIONARIO Desigualdades e inecuaciones de primer grado

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Elisa Villanueva Pereyra
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1 SOLUCIONARIO Desigualdades e inecuaciones de primer grado SGUICES031MT1-A16V1 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN Desigualdades e Inecuaciones de primer grado Ítem Alternativa 1 D D 3 A 4 C 5 A 6 C 7 D 8 E 9 B 10 A 11 C 1 E 13 E 14 D 15 A 16 D 17 B 18 D 19 B 0 D 1 B A 3 C 4 B 5 D

3 1. La alternativa correcta es D. 1 1 Si < 1, significa que es un número negativo, por lo tanto, n es negativo, n n implicando que ( n) es positivo. Entonces, al multiplicar por ( n) la desigualdad, ésta no cambia de sentido, obteniendo que 1 < n < 0, o sea n ] 1, 0[. I) Falsa, ya que si 1 ], 1[ y n ] 1, 0[, entonces siempre se cumple que n n > n 1. 1 II) Verdadera, ya que es siempre un número positivo, y como n es negativo, n 1 entonces siempre se cumple que n > n. III) Verdadera, ya que: 1 < n < 0 (Al multiplicar por 1, la desigualdad se invierte) 1 > ( n) > 0 (Sumando 1, la desigualdad se mantiene) > (1 n) > 1 Luego, (1 n) es siempre un número positivo, y como n es un número negativo, entonces siempre se cumple que (1 n) > n. Por lo tanto, las expresiones siempre mayores que n son solo II y III.. La alternativa correcta es D. En la figura, se muestra que x pertenece al intervalo ], 3]. Luego I) Falsa, ya que x puede tomar valores menores que 1, por ejemplo 1,5. II) III) Verdadera, ya que < x 3 (Sumando 1) + ( 1) < x + ( 1) 3 + ( 1) 3 < x 1 Verdadera, ya que, 3

4 < x 3 (Multiplicando por 1) > x 3 Por lo tanto, solo II y III son verdaderas. 3. La alternativa correcta es A. El conjunto de todos los números que están a 3 o más unidades de 7, corresponde al intervalo Por otro lado, el conjunto de todos los números que están a 5 o menos unidades de 7 es 5 5 Luego, la intersección de los intervalos es Por lo tanto, el conjunto de todos los números que están más de 3 unidades y a menos de 5 unidades de 7 es [, 4] [10, 1]. 4

5 4. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que x > 0 > x x < 0 II) Verdadera, ya que la cantidad subradical de una raíz con índice par, es siempre positiva, entonces al anteponer un signo negativo delante de ella, esta resulta siempre negativa. III) Falsa, ya que x 1 es siempre positivo y como x >, entonces x > 0. Luego, el cociente entre valores positivos, es también positivo. Por lo tanto, solo las expresiones I y II son siempre negativas. 5. La alternativa correcta es A. x 1 x 3 (Multiplicando cruzado) 5 (x 1) < 5 (x + 3) (Distribuyendo) 4x < 5x x 5x < + 15 x < 17 (Multiplicando por 1) x > 17 Por lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo ] 17, + [. 5

6 6. La alternativa correcta es C. 3 (x ) x + 4 3x 6 x + 4 3x x x x x 5 Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [5, + [. 7. La alternativa correcta es D 4x > 4 (Dividiendo por 4, la desigualdad se invierte) 4 x 4 x < 6 8. La alternativa correcta es E x 1 3 x (Multiplicando cruzado) 3 3 (3 x) x 1 9 3x x 1 x 3x 9 1 5x 10 (Dividiendo por 5, la desigualdad se invierte) 6

7 10 x 5 x Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [, + [. 9. La alternativa correcta es B. 9x 14 > 7 + 1x 14 7 > 1x 9x 1 > 3x 7 > x Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo,7 10. La alternativa correcta es A. x 3 x (Multiplicando por ) 4 x + 3 < 4 + x x x < x < 3 (Dividiendo por 3, la desigualdad se invierte) 3 x 3 x > 1 Como además existe la condición x < 4, al intersectar ambas condiciones se obtiene: 1 4 7

8 ] 1, + [ ], 4 [ = ] 1, 4 [ Por lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo ]1, 4[. 11. La alternativa correcta es C. 1 x( x 4) 8 x (Desarrollando paréntesis) x x 1 x 4x 8 (Ordenando) x x x 4x 8 1 (Reduciendo) x 7 (Despejando x) 7 x Por lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo, I) Verdadera. 7. Luego: II) III) Verdadera. Falsa, ya que el gráfico que representa la desigualdad es 7 Por lo tanto, solo I y II representan la solución de la inecuación. 8

9 1. La alternativa correcta es E La desigualdad que representa el intervalo pedido es x > 1. Luego: I) Verdadera, ya que: x + > 3 x > 3 x > 1 (Ordenando) II) Verdadera, ya que: III) Verdadera, ya que: (x 1) < 3x 3 (Eliminando paréntesis) x < 3x 3 (Ordenando) x 3x < 3 (Reduciendo) x < 1 (Multiplicando por 1) x > 1 x 1 1 (Multiplicando por ) x + < 1 (Ordenando) x < 1 x < 1 (Multiplicando por 1) x > 1 Por lo tanto, las tres inecuaciones poseen como solución al intervalo ] 1, + [ 9

10 13. La alternativa correcta es E. Luego: 5( x + 5) < 35 (Eliminando paréntesis) 5x + 5 < 35 (Ordenando) 5 35 < 5x 10 < 5x (Despejando x) 10 x 5 < x x > I) Representa a la solución de la inecuación, ya que la expresión < x es equivalente a la expresión x > II) III) NO representa a la solución de la inecuación, ya que la expresión < x es equivalente con el intervalo solución ], +[ NO representa a la solución de la inecuación, ya que corresponde a una desigualdad distinta. Por lo tanto, solo las expresiones II y III NO representan el conjunto solución de la inecuación. 14. La alternativa correcta es D. El intervalo ], + [ corresponde a todos los valores reales mayores que, es decir, x >. Luego: I) NO tiene como intervalo solución ], + [, ya que: x + > x (Ordenando) x x > (Reduciendo) x > (Multiplicando por 1 cambia el sentido de la desigualdad) x < 10

11 II) III) Tiene como intervalo solución ], + [, ya que: (x 1) > (Dividiendo por ) x 1 > 1 (Ordenando) x > x > Tiene como intervalo solución ], + [, ya que: x < x (Ordenando) x x < (Reduciendo) x < 4 (Dividiendo por cambia el sentido de la desigualdad) x > Por lo tanto, solo II y III tienen como conjunto solución al intervalo ], + [. 15. La alternativa correcta es A. 3 x x 1 3 6(3 x) 6 x (3 x) + 6 4x 9 6x + 6 4x x + 6x 15 10x (Multiplicando por el mcm = 6) 15 x 10 3 x x 3 Por lo tanto, el intervalo solución de la inecuación es 3, 11

12 16. La alternativa correcta es D. (x 1)² (x + )(x + 1) (Desarrollando paréntesis) x² x + 1 x² + x + x + x² x + 1 x² + 3x + (Ordenando) x² x x² 3x 1 (Reduciendo) 5x 1 (Dividiendo por 5, cambia el sentido de la desigualdad) 1 x 5 Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es 17. La alternativa correcta es B. 1, 5. Para que una raíz de índice par corresponda a un número real, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Entonces: x 0 (Multiplicando por 1) x 0 Luego, el intervalo solución de la inecuación es,0 18. La alternativa correcta es D. Para que una raíz de índice par corresponda a un número real, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero, sin embargo, por encontrarse en el denominador, el valor cero debe ser excluido. Entonces: x 0 (Despejando x) x Luego, el intervalo solución de la inecuación es, 1

13 19. La alternativa correcta es B. Sea x el número indicado, entonces planteando la inecuación, resulta: 5x 3 < 7 (Ordenando) 5x < x < 30 (Despejando x) 30 x 5 x < 6 Por lo tanto, el número debe ser menor que La alternativa correcta es D. Cuando una cantidad NO es mayor o igual que otra, significa que debe ser menor que ella. Entonces, si el número indicado es x, planteando la inecuación resulta: 4x < 3x + 4 4x 3x < 4 x < 4 (Ordenando) Luego, los números naturales que cumplen la condición son 3, el 1, el y el La alternativa correcta es B. La cantidad de dinero que dispone la persona para gastar, corresponde a la cantidad de dinero que originalmente tiene (p), menos la cantidad de dinero que gastó en locomoción (q), es decir, (p q). Por otro lado, si compra x artículos con un valor de $ a cada uno, debe pagar $ (a x) en total. 13

14 Luego, para que la persona pueda pagar los artículos que lleva, esta cantidad debe ser menor o igual que la cantidad de la dispone. Es decir, a x p q. La alternativa correcta es A. Al plantear el enunciado resulta: x + 5 > x (Ordenando) x x > 5 (Reduciendo) x > 7 (Multiplicando por 1, cambia el sentido de la desigualdad) x < 7 Por lo tanto, el conjunto de todos los números que cumplen con dicha condición es x < La alternativa correcta es C. Para que la expresión x 4( x 6) pertenezca a los reales se debe cumplir que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Entonces: x 4(x 6) 0 (Distribuyendo) x 4x x 4 (Dividiendo por 3, cambia el sentido de la desigualdad) x 8 Por lo tanto, todos los valores de x para los cuales la expresión x 4( x 6) pertenece a los reales están en el intervalo ], 8]. 14

15 4. La alternativa correcta es B. (1) x > 0. Con esta información, no es posible determinar que ( x y) es siempre mayor que 1, ya que no se tiene información sobre y. () x + y < 1. Con esta información, sí es posible determinar que ( x y) es siempre mayor que 1, ya que x + y < 1 (Multiplicando por 1) x y > 1 (Sumando ) x y > 1 Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 5. La alternativa correcta es D. (1) x 3,4. Con esta información sí es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo. () x > 3. Con esta información sí es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 15

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