9.4. Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales Inecuación fraccionaria. Álgebra. Und. 9 Inecuaciones

Transcripción

1 94 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales La razón de activo, R, de un negocio se define como el cociente de sus activos circulantes (efectivo, inventario de mercaderías y cuentas por cobrar), a sus pasivos circulantes PC, (préstamos a corto plazo e impuestos) n cierto momento del año 007 la compañía ce Sports quipment, solicitó un préstamo de x millones de dólares, para lo cual la entidad financiera planteó que la razón de activo fuera: R = C 40 + x, 5 ; PC 8+x expresión llamada desigualdad fraccionaria 4to Paso- Se determinan los puntos de corte por parte del numerador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores Se trazan redondeles en la RN para cada punto encontrado en blanco o en negro, según la relación de desigualdad sea estricta (<, >) o doble (, ) respectivamente 5to Paso- Se anotan los signos (+) y ( ) de los intervalos definidos por los puntos de corte del numerador y de derecha a izquierda 6to Paso- La solución estará dada por las zonas (+) o ( ) según la relación de desigualdad sea (>, ) o (<, ) jemplo- Resolver: x 1 x x Trasladando al primer miembro: Reduciendo términos: Factorizando cada término: x+ 0 x x x+ 0 ( )( x ) Los puntos de corte son: x + = Inecuación fraccionaria x 1 0 x x + x + 0 x x x x ; x+1=0 ; x =0 x = - ; x = -1 ; x = extremos abiertos n la recta real tenemos: 941 efinición Sean P(x) y Q(x) son polinomios cuyos grados son mayor o igual que 0 y 1, respectivamente, tal que Q(x) 0, se denomina inecuación fraccionaria a toda desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas P( x ) ; P( x ) ; P( x ) > 0 ; P( x ) Resolución de la Inecuación Para resolver una inecuación fraccionaria se procede de un modo similar a lo expuesto en el ítem 9, estableciendo en los primeros pasos una ligera variación Veamos: 1er Paso- l trasladar todos los términos de la inecuación al primer miembro se debe obtener una fracción donde el numerador y denominador deben ser polinomios con coeficiente principal positivo do Paso- Se factoriza totalmente a cada término de la fracción, es decir, a los polinomios del numerador y denominador ero Paso- Se determinan los puntos de corte por parte del denominador lo cual se consigue igualando a cero cada uno de sus factores Se trazan redondeles en blanco en la RN para cada punto encontrado 44 Álgebra legimos las zonas positivas porque la relación es, luego: CS = [-; 1 ; 941C Método de los puntos de referencia C1 Fundamentos del método l método de los puntos de referencia permite determinar las raíces de una inecuación de grado mayor o igual a y se fundamenta en un algoritmo constituido por un conjunto de pasos lógicamente estructurados y cuya secuencia garantiza la identificación de todas las raíces de una inecuación de do grado e incluso de grado superior C plicaciones ste algoritmo se emplea para resolver inecuaciones fraccionarias, es decir, de la forma P( x ) > 0 (), donde P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales positivos, como por ejemplo: 4 > 0 ; ( x ) ( ) ; x 4x + > 0 7 x + x x ( x + ) Und 9 Inecuaciones 45

2 C escripción del método l método está constituido de los siguientes pasos: 1er Paso- xpresar la desigualdad racional P( x ) > 0 (), con los polinomios P(x) y Q(x) factorizados do Paso- Se determinan todas las raíces reales de ambos polinomios y se marcan con pequeños redondeles en la recta numérica real Las raíces reales se encuentran igualando a cero cada uno de los factores de P(x) y Q(x) er Paso- Comenzando sobre la recta, de derecha a izquierda, se traza una curva que pasará por todos los puntos marcados, teniendo en cuenta que al pasar por una raíz de multiplicidad* impar la curva cruza la recta, mientras que al hacerlo por una de multiplicidad par la curva se queda, o «rebota», por el mismo lado de la recta 4to Paso- Se eligen los intervalos de acuerdo con el sentido de la desigualdad: i) ii) P( x) > 0, se consideran los intervalos ubicados sobre la recta P( x), se consideran los intervalos ubicados debajo de la recta La unión de todos estos intervalos es el conjunto solución de la desigualdad dada * La multiplicidad, es el término referido a las veces que una raíz está contenida en el conjunto solución ste número viene dado por el grado del factor en el que se encuentra la raíz jemplo 1- Resolver: (x ) () x 7 (x + ) 1er Paso- n la inecuación dada ya se cumple con la primera condición pues se observa que el numerador y denominador están factorizados do Paso- eterminamos las raíces: a) Las raíces reales del numerador son: a1 (x ) = 0 x = (multiplicidad par) a () = 0 x = -1 (multiplicidad impar) b) Las raíces reales del denominador son: b1 x 7 = 0 x = 0 (multiplicidad impar) b (x + ) = 0 x = - (multiplicidad impar) c) Ubicación de las raíces encontradas sobre la recta numérica: er Paso- Trazamos la curva por todos los redondeles: Observa que es una raíz de multiplicidad par: (x ), por tal razón, aquí la curva queda del mismo lado («rebota»), en cambio en las demás, la curva cruza la recta 4to Paso- ado que el sentido de la desigualdad de nuestro ejemplo es <, el conjunto solución vendrá dado por la unión de todos los intervalos ubicados debajo de la recta, los cuales hemos señalado como regiones sombreadas: - ; - y -1; 0 Luego tenemos que: CS = - ; - -1; 0 claremos, también, que en caso de desigualdades racionales no estrictas P ( x) 0 ó bien Q( x) P( x), las raíces reales del numerador se marcan con redondeles sombreados y se incluyen Q( x) en la solución jemplo - Resolver: ( x x 6 )( x 6 x + 5 ) ³ 0 x 4x + Con el propósito de esquematizar el procedimiento, te presentamos la resolución así: Factorizamos los términos Identificamos las raíces ( x )( x + )( x 5)( x 1) 0 ( x )( x 1) Reducimos la expresión reconociendo que: a) x 0 x b) x 1 0 x 1 ( x - )( x + )( x - 5)( x - 1) 0 ( x - )( x - 1) (x + )(x 5) 0 x + = 0 x = - x 5 = 0 x = 5 laboramos la gráfica Reconocemos los intervalos Sombreamos por arriba ya que el sentido de la desigualdad, es hacia la derecha 46 Álgebra Und 9 Inecuaciones 47

3 e este último esquema, los redondeles en blanco representan a los valores inadmisibles, de modo que no deben ser considerados en el conjunto solución de la inecuación dada Por tanto: CS = - ; ] [5; + {1} 94 Inecuaciones con radicales Sean F(x) y H(x) dos expresiones racionales (polinomios o fracciones) y m N m, Una inecuación con radicales o inecuación irracional, es la desigualdad que presenta alguna de las siguientes formas: Prob 01- Resolver: x 1 > 1 ) - ; - 1; ) - ; -1 ; C) - ; -1/ 1; ) - ; 1 ; ) - ; -1 ; F( x) > H( x) ; F( x) < H( x) ; F( x) H( x) F( x) H( x) m m m m 94 Resolución de una inecuación con radicales Para resolver una inecuación irracional se debe tener en cuenta al índice que presenta el signo radical y al signo de relación 94 Si: n F( x ) > H( x) La resolución considera dos casos, veamos: Caso (): F(x) 0 H(x) 0 F(x) > [H (x)] n Caso (): F(x) 0 H(x) Siendo la solución de la inecuación, la unión de los dos casos 94 Si : n F( x ) < H( x) La resolución plantea: n+ 1 94C Si : F( x) > H( x) La resolución plantea: F(x) > [H(x)] n + 1 n Si : F( x) < ( x) La resolución plantea: F(x) < [H(x)] n + 1 F(x) 0 H(x) > 0 F(x) < [H(x)] n Observación- Para resolver una inecuación irracional de índice impar no existe ninguna restricción, basta elevar ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo radical y a continuación proceder a resolver la nueva inecuación obtenida, teniendo en cuenta los diversos criterios de resolución vistos hasta aquí Trasladando todos los términos al primer miembro tenemos: x 1 1 > 0 x 0 > Como el numerador y denominador son polinomios que verifican el º paso, se procede a determinar los puntos de corte Veamos: n la recta numérica: x = 0 ; = 0 ptos: y -1 e donde se consigue: x ; -1 ; Rpta Nota Obsérvese que -1 debe ser extremo abierto porque anula el denominador simismo, es un cero del numerador y es abierto porque la desigualdad es estricta (>) Prob 0- Resolver: + < 5 x + ) -; 0 1/; ) -; -1 ; C) -; - 1/; ) -; -1-1/; 1 ) -1; 1 ; Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: ( )( x + ) + ( )( x + ) 5( )( ) ( )( )( x + ) ( x + x + ) + ( x + x ) 5( ) ( )( )( x + ) x + < 48 Álgebra Und 9 Inecuaciones 49

4 fectuando obtenemos: Observar que: > 0, luego: ( x + 1) ( )( )( x + ) x + 1 ( )( )( x + ) Los puntos de corte son: -1/ ; 1 ; -1 - n la recta numérica los intervalos solución están dados por las zonas ( ) porque el signo de relación es estricto (<): e donde obtenemos: x -; -1-1/; 1 Rpta Prob 0- Resolver: x + x 4 x x 8 1 para luego indicar la suma del mayor entero negativo «x» con el menor entero positivo «x» Prob 04- Resolver: x + x x x + 4 ) - ; -1 [4; ) - ; -4 [-5/; 1 C) - ; -4 5/; ) - ; -10 [-; ) - ; -1 [; Trasladando todos los términos al 1er miembro, se tiene: fectuando tenemos: ado que: > 0, podemos simplificarlo: Los puntos de corte son: -5/ ; -1 y -4 x + x x x + 4 ( x + 5) ( )( x + 4) x + 5 ( )( x + 4) Ya que -5/ es un cero del numerador y la desigualdad es doble, le corresponde un redondel negro, es decir es un extremo cerrado Luego, elaborando la gráfica, se tiene: ) 4 ) -1 C) 5 ) 6 ) La inecuación dada es: x + x 4 x x x + 4 fectuando operaciones tenemos: 0 x x 8 Factorizando los términos queda: 5x ( x 4)( x + ) e donde conseguimos: x - ; -4 [-5/; 1 Rpta Prob 05- Resolver: x x < ) -; - 1; 5 ) -; -1 ; 5 C) -; -1 [; ) -; 1 ; ) -; -1 ; 5 Los puntos de corte son: -4/5 ; 4 y - Observar que en la recta los puntos 4 y - son los extremos para intervalos abiertos, mientras que el punto -4/5 es extremo cerrado Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo n F( x) > H( x), se tiene: {x x 0 > 0} {x x < } s decir: {x x 0 > 0} {x x 6 } Notamos que el mayor entero negativo «x» es: x máx = -1 simismo el menor entero positivo «x» es: x mín = 5 \ x máx + x mín = 4 Rpta e donde tenemos: {(x )() 0 > 0 } {(x )(x + ) } Para la 1ra condición se determinan los puntos de corte: -1 y Para la da condición se determinan los puntos de corte: - y 440 Álgebra Und 9 Inecuaciones 441

5 laborando un gráfico para cada solución, diremos que la solución final es la que se obtiene al intersectar los intervalos solución de cada condición Veamos: Finalmente la intersección viene dada por: La inecuación dada corresponde al primer caso expuesto en la teoría, luego para su resolución se planteará lo siguiente: Caso (): x x 1 > 9 x 1/ R x > 5 e donde intersectando conseguimos: x > 5 x 5; Prob 06- Resolver: x 1 > x 1 \ x -; -1] [; Rpta C ) - ; -1 ; ) - ; 0 1; C) - ; - ; ) - ; 0 1; ) - ; 0 ; Teniendo en cuenta el algoritmo de resolución de una inecuación irracional del tipo n + 1 F( x) > H( x), se tiene: La inecuación dada es: > levando al cubo tenemos: x 1 > x x + x 1 Caso (): x 1 0 x 1 (bsurdo) e donde intersectando conseguimos: x Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de los casos () y (), veamos: Prob 08- Resolver: x + > x 5; \ x 5; Rpta ) [-; 5 6; ) - ; -/ C) - ; - [4; ) - ; 5; ) [-/; Reduciendo conseguimos: x x > 0 Factorizando obtenemos: x(x 1) > 0 Observar que: > 0 Luego: x(x 1) > 0 Los puntos de corte son: 0 y 1 n la recta numérica: e donde se consigue: x - ; 0 1; Rpta Prob 07- Resolver: > ) 5; ) - ; 5 8; C) - ; -5 5; e acuerdo con lo expuesto en el primer caso del ítem 94 para resolver la inecuación dada se procede de la siguiente manera: Caso (): {x + 0 0} {x + > x + } n la recta numérica: La intersección viene dada por: {x + 0 0} {x } {x + 0 0} {(x + )(x ) } ) - ; 5; ) ; 44 Álgebra Und 9 Inecuaciones 44

6 e donde se obtiene que: x [- 1; Caso (): x + 0 Intersectando en la recta numérica se tiene: Una inspección minuciosa del radicando, sugiere plantear que: (x 1) 0; x R x 0 Sumando 1: x x + 1 xtrayendo raíz cuadrada: x x + 1 x [-/; -1 Finalmente la solución de la inecuación viene dada por la unión de las soluciones obtenidas en los casos () y (), es decir: Prob 09- Resolver: x x [ - 1; [ -/; -1 \ x -/; Rpta ) 1; 5] ) - ; - 4; C) [-1/; 6 7; ) [-1; 1/] ) -1; ] ; Sumando conseguimos: x x f(x) \ f(x) mínimo = Rpta C Prob 11- Resolver: x + x x 9 ) 1; ; 4 ) ; C) -; -1 ) -; -1 ; ) -; -1 ; 4 Para resolver la inecuación planteada será suficiente hacer cumplir simultáneamente la condición de existencia a cada radical para luego elevar ambos miembros de la inecuación al cuadrado, veamos: x 0 x e donde tenemos: x x -1 x 1/ x 0 x 1 La inecuación dada se puede reescribir así: - x + x > 0 x 9 n forma equivalente: x + x > 0 x 9 x x > 0 x 9 Factorizando cada polinomio del primer miembro: (x )() > 0 (x + )(x ) n la recta real: \ x [ 1; 1/] Rpta Prob 10- eterminar el mínimo valor de f ( x) = x x + + ; x R ) 1 ) C) ) 4 ) de la intersección: - < x < -1 < x < \ CS = -; -1 ; Rpta Prob 1- Resolver 15 7 x 4 > 0, dar como respuesta el complemento de su conjunto solución ) -1; 4 ) -4; 1 C) [-4; 1] ) - ; -1 4; ) [-1; 4] 444 Álgebra Und 9 Inecuaciones 445

7 La inecuación dada es: 15 7 x 4 > 0 Fácilmente podemos reconocer que en R el signo de 15 x 4 es el mismo que el de x 4, asimismo que el signo de 7 es el mismo que el de hora la inecuación se puede reescribir así: x 4 > 0 n la recta real: CS = - ; -1 4; Prob 1- eterminar el conjunto solución de la inecuación: \ (CS)' = [-1; 4] Rpta x < 16 x x 1 ) 1; 4 ) 1; 4 C) 0; 5 ) ; 4 ) ; 4] La inecuación dada es: 9 x 1 Según la teoría se cumple: 9 9 x 1 n forma equivalente: 9 x 9 x 1 9 x 1 hora se cumple que: 9 9 x 1 x 9 x 8 8 x 9 Fácilmente reconoceremos que los valores enteros que asume «x» son 8 y 9 \ Nº de valores = Rpta e acuerdo con la teoría, se cumple que: 16 x 0 x < 16 x x 1 por -1 Prob 15- Resolver: x x 9 0 ) [; ) [; C) [9; ) [; 9] ) [; {} 6 x 16 x x 6 + x 6 ( x + 4)( x 4) () (1 < x 16) (x < -4 1 < x < 4) e la intersección: 1 < x < 4 \ CS = 1; 4 Rpta Prob 14- eterminar la cantidad de valores enteros que asume x en la siguiente inecuación: 9 x 1 ) ) C) 4 ) 5 ) 6 La inecuación dada es: x x 9 0 e acuerdo con el conjunto de valores admisibles (CV) en R para el radical de índice par debemos plantear: x 0 x hora la inecuación: x x 9 0 Se puede reescribir así: x 9 0 ; x levando al cubo: x 9 0 (x + )(x ) 0 n forma equivalente: x - x Pero x, luego: x x = \ CS = [; {} Rpta 446 Álgebra Und 9 Inecuaciones 447

8 Práctica 10- Resolver: 94 Inecuaciones Fraccionarias e Irracionales 4x > 1 x Resolver: 05- Resolver: >4 x ) - ; -1 1/; ) ; 11/4 ) [; 11/4 ) -1; 1/ ) ) R C) - ; 1 4/; 06- Resolver: ) - ; - /; ) - ; -1 1/; 4 x +1 x 1 0- Resolver: ) -; 1 1; ) - ; -] -1; 1 C) -; 1 ) -; -1] 1; ) - ; -] -1; 1 0- Resolver: ) - ; 1] ) 0; 1 ) 0; ] ) - ; 0 1/; 1 C) - ; 1 ) [-4; - ) -4; - 4 x > 7 x x ) 1/; 0 ) ) R ) - ; -1/ 0; 04- Resolver: x x x + x luego indicar la cantidad de números enteros «x» que verifiquen la inecuación ) - ; - -1; 1 ; ) 1 ) ) 4 ) Infinitos Álgebra C) [-; - C) 0; x 8 es no negativa, cuál es el intervalo al cual pertenece «x»? ) 0; 1/4 1/; C) ) x 1/ ) x > 1 ) x > ) x > 0 C) x 11- Resolver: > -4 la siguiente inecuación: ) 1 ) ) 4 ) 5 x 7 < x 1? C) ) -1; 1 ) - ; Resolver: C) - ; -1 1; ) 1; ) [4; 11] ) [15/; 11] ) [; 15/] ) ) - ; -1] [1; 1- Resolver: x > x ) R ) ) - ; -] ) - ; - 1- Resolver: ) -; Si la expresión: ) 1/; 1 1; 448 C) -1; 07- Indicar un intervalo solución de: x + > x +1 x+4 x+ 08- Resolver: ) 0; 1/ 1; x + x + x 1 4 x + ) ; 6 ) - ; -4 +>1 x 1 x x 5 C) ; 11/4] 17- Cuántos números enteros «x» verifican x 1 > 1 C) - ; 0] ) [-/; /] ) [-/; / C) -/; / ) -/; /] ) - ; / 14- Resolver x 5 x + 4 <, para luego indicar la cantidad de números enteros positivos «x» que verifican la inecuación ) ) 4 ) 5 C) x x < -5 ) -1; ) -; 1 C) - ; -1] [; ) ) - ; -] [1; ) - ; -] -1; 1 [; 16- Resolver: C) - ; -1 1; ) [-; 0] ) [-; 0 ) ; -] -1; {1} C) - ; -] [0; ) - ; - 0; ) [-; -1 1; ) - ; -1] [1; x +8 x+ Und 9 Inecuaciones x > 0 x+ ) R [-; ] ) R [; ] C) R [-; ] ) R [1; 5] 0- l resolver: x x + > -, se obtiene: x 4x + ) R ) R ; C) - ; -1 /; ) R 1; ) - ; 1 /; ; ( )( )( ) 1- Resolver: x x + ( ) Resolver: C) [4; 15/] ) R [; 9] x + < ) Resolver: x 4 11 x ) ) R ) [-; 1 ) [-; C) [-; -1 - Un intervalo solución de: x 8 x + n ; n > 0 es: x n x n x + n ) -n; n ) n; n ) n; n] ) [n; C) [n; 449

9 ) x [-; 0 ; x x +1 x + x 1 - Resolver: ) x [-; 0 [; ] ) x -; 0 1; C) x [-; 1 ; ] ) x -; 1 ) x [-; 0 [1; ] C) x -1; 1 ; ) ) x -1; 0 1; 4- Si: 0 > b > a, resolver: ax + b -1 bx + a ) x - ; -a/b [-1; { } 5- ado: M = x x 9 4, indique el cardinal de «M» ) 6 ) 8 ) 1 C) ) - 7- Resolver: ) -; ) 18/5; 4] ) [; 18/5 C) ; 8- Resolver: ( x 6 ) ( x 8 ) ( x + )15 0 ( x 4 )9 ( x + 4 )10 ( x 64 ) x ( 5 x ) Álgebra ) ; 4 F ) ; C) -; 4 ) 0; Claves: x < 4 x ) - ; 4] 450 x x 4 x > 1 x ( x 4) ) 4; 6- l resolver: x x > -5 indicar el producto del menor con el mayor entero «x» ) 0 0- eterminar el intervalo formado por los valores de «x» que satisfacen la siguiente inecuación: C) ) - ) x > 1/5 x < /4 ) x > 1 ) x - ; -a/b 1; ) ) x < -1/4 x > 1/ ) x > -5/ x < 1 C) x - ; 0 1; a/b ) 4 > x x + 0 C) x > -/ x < 1 ) x 1; a/b ) R 9- Resolver: ) x C C ( x n + y )