CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel

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1 SGUIC3M023M311-A16V1 Estimado alumno: Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta instancia podrás resolver cualquier duda subyacente. CLAVES DE CORRECCIÓN GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel 1 E Aplicación 2 C Aplicación 3 A Aplicación 4 B Aplicación 5 A Aplicación 6 E Análisis 7 D Aplicación 8 C Aplicación 9 B Análisis 10 C Evaluación GUIA DE EJERCITACIÓN Funciones: afín y lineal 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA FUNCIONES: AFÍN Y LINEAL ÍTEM ALTERNATIVA HABILIDAD 1 E Comprensión 2 D Comprensión 3 B Comprensión 4 B Aplicación 5 A Comprensión 6 C 7 C Aplicación 8 E Comprensión 9 A 10 C 11 E 12 A 13 B 14 B 15 B 16 A 17 B 18 D Aplicación 19 B 20 C 2

3 1. La alternativa correcta es E. Comprensión I) Verdadera, ya que para cualquier valor de x la imagen es 1. II) Verdadera, ya que la recta es paralela al eje X. III) Verdadera, ya que la pendiente es cero y su coeficiente de posición es 1. Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa. 2. La alternativa correcta es D. Comprensión I) Falsa, ya que es una función lineal, debido a que el coeficiente de posición es 0. II) Verdadera, ya que la pendiente es negativa. III) Verdadera, ya que es una función lineal. Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 3. La alternativa correcta es B. Comprensión I) Falsa, ya que la función correspondiente a la recta es f(x) = 2 que es una función constante. II) Verdadera, ya que toda imagen de x vale 2. III) Falsa, ya que la función correspondiente a la recta es f(x) = 2. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera. 3

4 4. La alternativa correcta es B. Aplicación Dadas las coordenadas de los puntos A y B, se tiene que m y x B B y x A A Por lo tanto, el valor de la pendiente que pasa por los puntos A y B es 5. La alternativa correcta es A Comprensión I) Verdadera, ya que en esas condiciones corresponde a una función constante, en la cual el único valor que podrá tomar la función es b. II) Falsa, ya que en esas condiciones corresponde a una función lineal, que es una recta que pasa por el origen y no es vertical. III) Falsa, ya que en esas condiciones corresponde a una función afín creciente. Luego, su recorrido son todos los reales, lo que significa que puede tomar valores positivos, negativos o cero. Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 4

5 6. La alternativa correcta es C. Como los puntos que pertenecen a g(x) son ( 3, 1) y (5, 9), es posible determinar la ecuación de la recta asociada a g. y2 y1 x 1 x x y y (Reemplazando) 1 x 2 1 y 1 = 9 1 (x ( 3)) (Desarrollando) 5 3 y 1 = 8 8 (x + 3) (Simplificando) y 1 = x + 3 (Despejando y) y = x (Resolviendo) y = x + 4 Por lo tanto, la función correspondiente a la recta es g (x) = x + 4 Para determinar el punto de intersección de ambas rectas se debe resolver un sistema de ecuaciones: y = 3x 2 y = x + 4 Igualando ambas ecuaciones: 3x 2 = x + 4 3x x = x = 6 (Despejando x) x = 2 6 = 3 (Simplificando) Reemplazando x en la primera ecuación: y = 3x 2 y = 9 2 y = 7 Por lo tanto, el punto de intersección de ambas rectas es (3, 7). 5

6 7. La alternativa correcta es C. Aplicación La pendiente de la recta L 2 se determina a partir de la ecuación correspondiente a su recta. 9x + y = 8 y = 9x +8 Como el producto entre las pendientes de L 1 y L 2 debe ser igual a ( 1) para que sean perpendiculares, entonces la pendiente de L 1 es 9 1. Como la recta de L 1 pasa por el punto (0, 7), se tiene que el coeficiente de posición es ( 7). Por lo tanto, de las opciones, la ecuación de la recta L 1 corresponde a la función 1 h(x) = x La alternativa correcta es E. Comprensión I) Verdadera, ya que la pendiente de la recta es positiva. II) Verdadera, ya que el coeficiente de posición es 3. III) Verdadera, ya que no depende de x. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 6

7 9. La alternativa correcta es A. I) Verdadera, ya que la ecuación de la recta que pasa por ( 2, 0) y (0, 2) es: y2 y1 x 1 x x y y (Reemplazando) 1 x y 0 = (x ( 2)) (Desarrollando) 0 ( 2) y 0 = 2 2 (x ( 2)) y = x + 2 Por lo tanto, la función correspondiente a la recta L 2 es g(x) = x + 2 y como tiene la misma pendiente que L 1, tiene la misma inclinación con respecto al eje de las abscisas. II) Falsa, ya que es una función afín. III)Verdadera, ya que la ecuación de la recta correspondiente a L 2 es y = x + 2. Por lo tanto, solo la afirmación II es falsa. 10. La alternativa correcta es C. Es posible extraer del enunciado dos puntos en los que coinciden el precio y el mes, que son A(4, 700) y B(8, 720). Dado esto es posible, mediante la ecuación de la recta, calcular la función lineal que describe el precio del kilo de plátanos. ( y y ( x 2 2 y1) ( x x1 ) y x ) 1 1 7

8 ( ) y ( x 4) 700 (8 4) y 5x y 5x 680 Por lo tanto, la función correspondiente al problema es y 5x La alternativa correcta es E. A partir del enunciado es posible obtener la pendiente del comportamiento del fenómeno. Como la temperatura disminuye 20 C por cada 2 cm de lejanía de la fuente de calor, entonces, se tiene que m vale 10 C (signo negativo, pues implica una disminución). Se sabe que a 8 cm de la placa la temperatura es de 100 C, entonces estos datos se modelan en la ecuación de la recta se obtiene el perfil de temperatura. y m ( x x1 ) y1 C y 10 x 80 C 100 C cm y 10x 180 C Finalmente para conocer la distancia a la fuente, en la que la placa alcanza los 50 grados Celsius se reemplazan los datos en la ecuación del perfil de temperatura x x x x 13cm Por lo tanto, a los 13 cm de la fuente de calor, la temperatura disminuye a 50 C. 8

9 12. La alternativa correcta es A. Después de tres horas de estar llenando el estanque con caudal constante, éste ha pasado de contener 15 m 3 a contener 60 m 3 de agua. Es decir, en tres horas ha aumentado su volumen en 45 m 3, lo que significa que cada hora se están ingresando 15 m 3. O sea, en t horas se habrán ingresado 15 t m 3 de agua. Como originalmente había 15 m 3 de agua, entonces la función que relaciona el volumen (V) que contiene el estanque con el tiempo (t) que se ha estado llenando es V (t) = t. 13. La alternativa correcta es B. Sea x la cantidad de envases y f(x) el costo de producir dichos envases. Luego, a partir del problema, se extraen los puntos (5, 3.600) y (30, 4.100), los que se modelan linealmente. Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta: y2 y1 y y1 x x1 (Reemplazando) x x y = (x 5) 30 5 (Desarrollando) 500 y = (x 5) 25 (Simplificando) y = 20(x 5) (Distribuyendo) y = 20x 100 (Despejando y) y = 20x y = 20x Por lo tanto, la función que representa el costo de hacer x envases de plástico es f(x) = 20x

10 14. La alternativa correcta es B. Si la temperatura del motor era de 74 ºC a las 9 a.m. y de 50 ºC a las 11 a.m., significa que disminuyó 24 ºC en dos horas. Como la temperatura disminuye linealmente, significa que disminuye 12 ºC en una hora. Luego, si la temperatura del motor era de 74 ºC a las 9 a.m., entonces una hora antes la temperatura era de 12 ºC más. O sea, cuando eran la 8 a.m., la temperatura era de ( ) = 86 ºC. 15. La alternativa correcta es B. Si S(x) es el sueldo mensual que recibe el vendedor por la venta de x libros, entonces S(x) = mx + n, siendo m la comisión por cada libro y n el sueldo fijo. Como en enero vendió 26 libros, recibiendo un sueldo de $ , entonces: S(26) = 26m + n = (1) Como en febrero vendió 34 libros, recibiendo un sueldo de $ , entonces: S(34) = 34m + n = (2) Restando (2) (1), resulta: 34m + n 26m n = (Reduciendo) 8m = (Despejando m) m 8 m = Reemplazando m en (1), resulta: n = (Multiplicando) n = (Despejando n) 10

11 n = n = Luego, S(x) = x Entonces, si en marzo recibe el doble de sueldo que en enero, se plantea: x = x = (Ordenando) x = x = (Despejando x) x x = 57 Por lo tanto, en marzo debe vender 57 libros para recibir el doble del sueldo que recibió en enero. 16. La alternativa correcta es A. Si la empresa cobra $ por transportar 300 kg de carga, y cobra $ por transportar 500 kg de carga, significa que por cada ( ) = 200 kg de carga más, la empresa cobra ( ) = $ más. Como el sistema de cobro de la empresa es de comportamiento lineal, entonces por cada 100 kg más de carga, la empresa cobra $ más. Luego, si la empresa cobra $ por transportar 300 kg de carga, entonces por transportar 100 kg menos de carga, la empresa cobrará $ menos. O sea, por transportar ( ) = 200 kg de carga, la empresa cobrará ( ) = $

12 17. La alternativa correcta es B. Como el profesor cobra $ por realizar clases a 3 alumnos, y $ por 4 alumnos, entonces es posible establecer que cobrará $ por cada alumno adicional, ya que el cobro tiene un comportamiento lineal. Luego, tomando como base 4 alumnos, entonces por 3 alumnos adicionales cobrará $ extra, siendo ($ $ ) = $ Por lo tanto, el profesor cobrará $ por 7 alumnos. 18. La alternativa correcta es D. Se deben establecer los pares de puntos para encontrar la ecuación de la recta, entonces: - Si se venden 3 mantas, estas tienen un precio de venta de $ (3, 8.500) - Si se venden 7 mantas, estas tienen un precio de venta de $ (7, ) Luego, aplicando la fórmula de la ecuación de la recta: y2 y1 y y 1 = (x x 1 ) (Reemplazando) x x y = (x 3) y = (x 3) 4 y = 2.500(x 3) y = 2.500x y = 2.500x y = 2.500x Por lo tanto, la función que representa el precio de venta de x mantas es p(x) = 2.500x

13 19. La alternativa correcta es B. (1) La recta asociada a la función intersecta al eje Y en (0, 11). Con esta información, no es posible determinar que f(x) es una función constante, ya que no se conoce su pendiente. (2) f(x) = 11. Con esta información, es posible determinar que f(x) es una función constante, ya que su pendiente es cero. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola. 20. La alternativa correcta es C. (1) La recta que representa gráficamente a f intersecta al eje de las ordenadas en (0, 4). Con esta información, no es posible determinar que la función es afín, ya que no se tiene información de la pendiente, por lo que podría ser función constante. (2) f es una función decreciente. Con esta información, no es posible determinar que la función es afín, ya que no se tiene información del coeficiente de posición y podría pasar por el origen. Con ambas informaciones, es posible determinar que la función es afín. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 13