SOLUCIONARIO Posiciones relativas de rectas en el plano

Transcripción

1 SOLUCIONARIO Posiciones relativas de rectas en el plano SGUICES0MT-A6V

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Posiciones relativas de rectas en el plano Ítem Alternativa B C Comprensión B 4 E 5 D 6 E 7 A 8 C 9 C 0 E A B C 4 E 5 D 6 B 7 D 8 B 9 D 0 A A C E 4 C 5 D

3 . La alternativa correcta es B. Dos rectas son paralelas si tiene el mismo valor de la pendiente. Entonces 6x + y + = 0 y = 6x y = 6x y = x 4 Luego, la recta que tiene igual pendiente que L es la recta de la alternativa B.. La alternativa correcta es C. Comprensión Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. En 5y = 0x + 5 y = x + la pendiente es y el coeficiente de posición es. Luego: I) NO es paralela, ya que la pendiente es 6. II) NO es paralela, ya que en la recta y = 6x + 40 y = x + 0 la pendiente es. III) Es paralela, ya que la pendiente es y el coeficiente de posición es 50. Por lo tanto, solo la recta III es paralela a la recta 5y = 0x La alternativa correcta es B. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Determinando la pendiente en la primera recta x 5y + = 0 5y = x y = 5 x + 5

4 Por lo tanto, como la pendiente de la primera recta es 5, para que ambas rectas sean paralelas el valor de m debe ser La alternativa correcta es E. I) Verdadera, ya que L : x + y 5 = 0 y = x + 5 m = y n = 5. Los y y 0 parámetros de L son m = y n =. Luego, como L y L x x 0 tienen igual pendiente, entonces son paralelas. II) Falsa, ya que la pendiente de L es igual a y su coeficiente de posición es igual a, entonces la ecuación de L es y = x +. III) Verdadera, ya que reemplazando los valores del punto en la recta, se tiene L : x + y 5 = 0 0 = (5) = 0, verificándose la igualdad y con ello la pertenencia del punto (0, 5) a L. Luego, solo I y III son verdaderas. 5. La alternativa correcta es D. a Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. En ax + by = y x, b b a la pendiente es y el coeficiente de posición es. Luego: b b I) NO es paralela, ya que en la recta ax + y = y = ax +, cuya pendiente es a. II) Es paralela, ya que en la recta x b y a y x a, cuya pendiente es a b a. b 4

5 III) Es paralela, ya que en la recta by a a x y x, cuya pendiente es a b b a. b Por lo tanto, solo las rectas II y III son paralelas a la recta dada. 6. La alternativa correcta es E. Para que la recta x + ky 4 = 0 sea paralela a la recta x y 5 = 0, sus pendientes deben ser iguales. Luego: x y 5 = 0 y = x y x m y n 4 4 x + ky 4 = 0 ky = x + 4 y x m y n k k k k Como las pendientes son iguales, entonces ( ) 9 k k 7. La alternativa correcta es A. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es. Luego: x 4 x x 6y 4 = 0 6y = x + 4 y = y = 6 6 Por lo tanto, la recta perpendicular a L debe tener pendiente igual a (como en la opción A), ya que. 5

6 8. La alternativa correcta es C. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es. La pendiente de la y y 0 4 recta L es m, entonces, L debe tener pendiente. x x Por lo tanto, la ecuación de la recta que tiene pendiente 4 y pasa por el punto (, 0). y = m (x x ) + y y = 4 (x ) + 0 y = 4 (x ) 9. La alternativa correcta es C.. L tiene coeficiente de posición y pasa por el punto (, 0). Entonces, su ecuación de la recta es y = x. Luego: I) Falsa, ya que la ecuación de L es y = x. Reemplazando x = 4, se cumple la igualdad: y = x = 8 = 0, por lo que el punto ( 4, 0) sí pertenece a la recta. II) Falsa, ya que al multiplicar las pendientes resulta 4 y no. III) Verdadera, ya que m y x y x 0. 0 Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 6

7 0. La alternativa correcta es E. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es. En la recta 5y = 0x + 80 y = 4x + 6 la pendiente es 4, por lo cual una recta perpendicular a ella debería tener pendiente. Luego: 4 I) Es perpendicular, ya que en la recta y + 0,5x 40 = 0 y = 0,5x + 40 la pendiente es. 4 II) NO es perpendicular, ya que la pendiente es. 0 III) Es perpendicular, ya que en la recta 4y + x = 0 y = x 5 4 Por lo tanto, solo las rectas I y III son perpendiculares a la recta dada. la pendiente es 4. La alternativa correcta es A. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es, y se intersectan en el eje Y si sus coeficientes de posición son iguales. Despejando la pendiente y el coeficiente de posición de la recta L resulta 4 x + y = 4 y = x + 4 y = x + y = x + 4 Entonces la recta L debe tener pendiente 4 y coeficiente de posición. Por lo tanto, la ecuación de la recta L es y = 4x +. 7

8 . La alternativa correcta es B. Para que la recta (9 k) x + y 6 = 0 sea perpendicular a la recta x + y = 0, el producto entre sus pendientes debe ser. Despejando las ecuaciones, queda: x + y = 0 y = x + m = (9 k) x + y 6 = 0 y = (9 k) x + 6 k 6 y 9 x 9 m k Entonces, k 9 k 9 ( ) k 9 k 9 5. La alternativa correcta es C. L : 4x 6y + = 0 4x + = 6y x = y L : 4x y + 5 = 0 4x + 5 = y Luego: x I) Falsa, ya que el producto de las pendientes no es. 5 = y 5 II) Falsa, ya que el coeficiente de posición de L es. III) Verdadera, ya que la pendiente de la recta es (igual que la pendiente de L ). Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 8

9 4. La alternativa correcta es E. Al despejar cada una de las ecuaciones resulta: L : x + y = L : y = x + L : x y = L : y = x Las pendientes son distintas y su producto es intersectan y no son perpendiculares.. Entonces las rectas se Para encontrar el punto de intersección se debe resolver el sistema. Igualando las ecuaciones despejadas: x + = x x + = x + = x + x 4 = x 4 = x Reemplazando en L resulta y = ( x + ) = intersección de las rectas es 4. Luego, el punto de 4,, que se encuentra en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, es correcto afirmar que las rectas L y L se intersectan en el cuarto cuadrante, en un ángulo distinto de La alternativa correcta es D. I) Falsa, ya que el segmento GC corresponde a la diagonal del cuadrado GECA y el segmento BD es una de las diagonales del cuadrilátero ODCB. Como este último cuadrilátero no es necesariamente un cuadrado, entonces las diagonales no son siempre perpendiculares. 9

10 II) Verdadera, ya que los segmentos HB y FD son diagonales de los cuadrados ABOH y EFOD respectivamente. Como los segmentos AC y GE son paralelos (ya que GECA es un cuadrado), entonces HB// FD. L Y A B C III) Verdadera, ya que al ser congruentes los triángulos FGA y HAC y los segmentos AC y GA perpendiculares, entonces necesariamente AF HC. L H O D G F E L L4 X Por lo tanto, solo II y III son verdaderas. 6. La alternativa correcta es B. Como la pendiente de la recta L es 5, entonces la pendiente de L debe ser igual a 5, ya que al ser perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a. Como L : y = mx nx + n, entonces la pendiente de L es (m n) = 5. Luego, la recta buscada tiene por pendiente 5 (paralela a L ) y coeficiente de posición 6m n = (m n) = ( 5) = 5. Por lo tanto, la recta solicitada tiene por ecuación y = 5x La alternativa correcta es D. Se debe encontrar la ecuación de cada recta y resolver el sistema de ecuaciones. La y y pendiente de la recta, que pasa por (0, 4) y (8, 0) es m. x x

11 Luego, la ecuación de dicha recta es y = x 4 La pendiente de la recta que pasa por (0, ) y, 0 Luego, la ecuación de dicha recta es y = x + Por último, resolviendo el sistema de ecuaciones: y = x 4 y es m = x y x 0 = 0 y = x + (Igualando ambas ecuaciones) x 4 = x + x 8 = 4x + 5x = 0 x = Sustituyendo x en la ecuación y = x + = 4 + =. Luego, el punto de intersección es (x, y) = (, ). 8. La alternativa correcta es B. Para encontrar el punto de intersección de ambas rectas, se debe resolver el sistema de ecuaciones asociado a ellas. x y = 0 x + y = 0 (Sumando ambas ecuaciones) y = 0 y = y = Reemplazando en la primera ecuación, se tiene: x = 0 x = 0 x = x = Por lo tanto, el punto de intersección entre las rectas es (, ).

12 9. La alternativa correcta es D. Una de las rectas intersecta al eje de las abscisas en el punto (, 0) y al eje de las 0 ordenadas en el punto (0, ). Entonces, su pendiente es m y su 0 ( ) coeficiente de posición es n =. Luego su ecuación de la recta es: y = x y = x x + y = La otra recta intersecta al eje de las abscisas en el punto (, 0) y al eje de las ordenadas en 0 el punto (0, ). Entonces, su pendiente es m y su coeficiente de 0 posición es n =. Luego su ecuación de la recta es: y = x + x + y = Por lo tanto, el sistema de ecuaciones representado es x + y = ; x + y =. 0. La alternativa correcta es A. El punto de intersección de dos rectas corresponde a la solución del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de dichas rectas. Una de las rectas intersecta al eje de las abscisas en el punto (, 0) y al eje de las 0 ordenadas en el punto (0, ). Entonces, su pendiente es m 4 y su 0 ( ) coeficiente de posición es n =. Luego su ecuación de la recta es y = 4x +. La otra recta intersecta al eje de las abscisas en el punto (, 0) y al eje de las ordenadas en el punto (0, 8). Entonces, su pendiente es m 8 y su coeficiente de 0 ( ) posición es n = 8. Luego su ecuación de la recta es y = 8x 8.

13 y = 4x + Luego, ambas rectas forman el sistema y = 8x 8. Aplicando el método de igualación resulta: 4x + = 8x 8 (Despejando x) 4x + 8x = 8 x = x = = Reemplazando en la primera ecuación resulta: y = = 0 + = =. Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es 5 6,.. La alternativa correcta es A. Como la recta L es paralela al eje X y al pasa por el punto (, 4), entonces tiene por ecuación y = 4. Luego, Si la ecuación de la primera recta es y = x 5, entonces: 4 = x = x 9 = x = x Es decir, las rectas se intersectan en el punto (, 4)

14 . La alternativa correcta es C. Del gráfico, se puede determinar que la ecuación de la recta L es y = x +, mientras que la ecuación de la recta L es y = x +. Luego: I) Verdadera, ya que la pendiente de L es y la pendiente de L es. Como el producto de las pendientes es, entonces las rectas son perpendiculares entre sí. II) Falsa, ya que la recta L es decreciente. Luego, no puede tener pendiente positiva. III) Verdadera, ya que al sumar ambas ecuaciones, se tiene y = 4 y =. Reemplazando en L resulta y = x + x = y x = =. Luego, las rectas se intersectan en el punto (, ). Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.. La alternativa correcta es E. Al despejar y en la ecuación de la recta L se obtiene y x. Según la figura, ambas 4 4 rectas son perpendiculares entre sí, es decir que el producto de ambas pendientes debe ser 4 igual a, por lo tanto, la pendiente de L es. Como se conoce la pendiente de L y el punto donde intersecta a la recta L, entonces: y y m( x ) (Sustituyendo) x 4 y ( x ) (Despejando y) 4 y x 4 4 y x 4 y 4 x 6 4

15 4. La alternativa correcta es C. () b = 9. Con esta información, no es posible determinar si L : y = 0x + es paralela no coincidente a L : y = ax + b, ya que no se conoce la pendiente de L. () a = 0. Con esta información, no es posible determinar si L : y = 0x + es paralela no coincidente a L : y = ax + b, ya que se conoce que la pendiente de L es 0, pero no se puede determinar si las rectas son coincidentes o paralelas. Con ambas juntas, es posible determinar que las rectas son paralelas y no coincidentes, ya que tienen la misma pendiente pero distinto coeficiente de posición. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 5. La alternativa correcta es D. () La recta pasa por el punto ( 8, ) y es paralela a la recta cuya ecuación es 5y = 0x +. Con esta información, es posible determinar la intersección de la recta con el eje de las ordenadas, ya que a partir de la ecuación dada, se tiene que la pendiente de la recta es. Luego, es posible determinar la ecuación de la recta como y = m(x x ) + y, donde (x, y ) = ( 8, ). Sustituyendo, se tiene que y = x + 7, por lo que el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas es (0, 7). () La recta pasa por el punto (0, 7). Con esta información, es posible determinar la intersección de la recta con el eje de las ordenadas, ya que el punto dado corresponde al coeficiente de posición de la recta. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 5