La teoría de Einstein-Infeld-Hoffmann Einstein-Infeld-Hoffmann s theory

Transcripción

1 Weneslao Segura González La teoría de Einstein-Infeld-Hoffmann Einstein-Infeld-Hoffmann s theory Weneslao Segura González Investigador independiente weneslaoseguragonzalez@yahooes web: Sinopsis El aráter no lineal de la Relatividad General permite que de sus euaiones de ampo se pueda deduir la euaión de movimiento de una partíula El método fue desarrollado en el año 98 por Einstein Infeld y Hoffmann En este artíulo presentamos esta teoría alarando todos los álulos y demostrando los teoremas impliados Abstrat The General Relativity is a nonlinear theory this allows the equation of motion of a partile an be dedued from the field equations The method was developed in 98 by Einstein Infeld and Hoffmann We present this theory larifying all alulations and demonstrating the theorems involved Contenido Introduión El tensor ik Teoremas integrales La parte lineal del tensor de Rii Las euaiones de ampo 5 El fundamento del método Einstein-Infeld-Hoffmann 6 Desarrollo en serie de ik 7 Método de resoluión de las euaiones de ampo por aproximaiones suesivas

2 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN 8- Cálulo del primer término del desarrollo en serie de ik 9- La masa m debe ser independiente del tiempo 0- Las euaiones de ampo bajo la ondiión oordenada - Soluión de las euaiones de ampo en primera aproximaión - Euaiones de movimiento en primera aproximaión: álulo de - Euaiones de movimiento en primera aproximaión: las integrales de superfiie - Resumen 5- Bibliografía 5 8 La versión v del artíulo «La teoría de Einstein-Infeld-Hoffmann» fue publiada el día de mayo de 06 Este trabajo está bajo una lienia de Creative Commons Atribuión 0 Internaional: Se permite ualquier explotaión de la obra inluyendo una finalidad omerial así omo la reaión de obras derivadas la distribuión de las uales también está permitida sin ninguna restriión

3 Weneslao Segura González La teoría de Einstein-Infeld-Hoffmann Einstein-Infeld-Hoffmann s theory Weneslao Segura González Investigador independiente weneslaoseguragonzalez@yahooes web: Introduión En la onepión newtoniana de la Naturaleza hay una nítida separaión entre materia fuerza espaio y tiempo Por tanto existe una ley para determinar la fuerza (por ejemplo la ley de gravitaión universal) y por separado una ley para determinar el movimiento de una partíula material (la segunda ley de la dinámia newtoniana) El desarrollo de la teoría eletromagnétia durante la segunda mitad del siglo XIX va a ambiar (on poo éxito) la representaión newtoniana Surge el onepto de ampo que se va a elevar al onepto primario de la Físia hasta el extremo de pretender expresar todas las demás fuerzas e inluso la materia en funión de magnitudes de ampo eletromagnétio Sin embargo la teoría eletromagnétia maxwelliana alanzó un éxito parial en partiular tuvo que mantener la euaión de movimiento (la ley Lorentz) omo omplemento a las euaiones de ampo La teoría de la Relatividad en su intento de interpretar la Naturaleza desde un punto geométrio va a tener éxito en formar una teoría de ampo gravitatorio que interpreta la fuerza de la gravedad omo fruto de la alteraión de la geometría del espaio-tiempo Un importante rasgo difereniador existe entre la teoría eletromagnétia y la teoría general de la Relatividad mientras que la primera es una teoría lineal la segunda no lo es Este irunstania va a determinar que se pueda deduir de la Relatividad General la euaión de movimiento de una partíula En el año 98 Einstein Infeld y Hoffmann presentaron una larga y engorrosa investigaión por la que determinan a partir de las euaiones de ampo la euaión de movimiento de una partíula material entendida omo una singularidad puntual El método se basa en aproximaiones onsiguiendo obtener la euaión de movimiento en primera aproximaión (la newtoniana) y en segunda aproximaión En un posterior trabajo Einstein e Infeld simplifiaron la teoría Advertidos los autores de que la ténia desarrollada sólo es de apliaión hasta el segundo orden vuelven una vez más a exponer la teoría que ya es de apliaión a ualquier aproximaión El trabajo que presentamos no es más que la exposiión del método de Einstein-Infeld-Hoffmann de obtenión de las euaiones de movimiento de una partíula singular a partir de las euaiones de ampo gravitatorio en el vaío lo espeial de la exposiión que sigue es que al ontrario del trabajo original hemos expuesto todos los desarrollos explíitamente alarando los álulos y teoremas implíitos en la demostraión El tensor ik Adoptamos la onvenión de que los índies griegos van de a y los latinos de 0 a orrespondiendo el 0 a la oordenada temporal Las omas en los subíndies representan derivaión respeto a las oordenadas espaio-temporales El tensor métrio siempre se puede desomponer según g ik ik hik donde ik es el tensor métrio de Minkowski es deir el tensor métrio en ausenia de ampo gravitatorio Por

4 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN tanto h ik representa la parte orrespondiente a la gravedad si no existiera gravedad h ik sería nulo Las antidades h ik no tienen que ser pequeñas En asuenia de ampo gravitatorio el espaio es impropiamente eulidiano de traza - y por tanto es posible elegir un sistema de oordenadas tal que el tensor métrio de Minkowski tome los valores ; 0 0; () a estas oordenadas la llamamos artesianas (o si se prefiere pseudo artesianas) Naturalmente respeto a otro sistema de oordenadas por ejemplo oordenadas esférias las omponentes de ik serán diferentes de las antes dadas Como en los álulos subsiguientes supondremos () quiere deir que las oordenadas que vamos a utilizar son las artesianas mientras no se diga lo ontrario ik Se define el tensor h en funión de h ik a partir de la relaión rk g ir g es deir que los índies no se suben (o bajan) on el tensor de Minkowski sino on el tensor métrio g ik dado que no estamos onsiderando pequeñas las omponentes del tensor h ik Indiar que tanto g ik omo hik son smétrios Los álulos resultan más simples si se introdue el tensor donde ik se define por la relaión k i rs ik hik ik hrs kr ik ik por tanto tiene también las omponentes dadas en () siempre y uando se usen oordenadas artesianas rs Notemos que h rs no es la ontraión del tensor h ik De () enontramos que h h h h h mientras que no se diga lo ontrario se suma respeto a los índies repetidos Las restantes euaiones son 0 h0 h h h Como aso espeial tenemos h h donde se entiende que hay suma respeto a ik Multipliando ambos miembros de () por r i ik hik entones podemos invertir () rs hik ik ik rs Separando el subíndie temporal de los espaiales tenemos h h0 0 h ik Teoremas integrales Consideremos una funión F dependiente al menos de dos subíndies y y que no tiene que tener aráter tensorial Suponemos que tiene la propiedad antisimétria Consideremos la operaión F F F x ik () ()

5 Weneslao Segura González donde no distinguimos entre omponentes ovariantes y ontravariantes de tal forma que x representan las oordenadas artesianas de un punto del espaio tridimensional y suponemos suma respto a Desarrollando la expresión anterior para enontramos F F F F () x x x x por la propiedad antisimétria F 0 F 0 y F 0 Para y F F F F x x x x (5) F F F F x x x x Vemos que la funión F tiene solamente tres omponentes independientes F F F Si haemos la asignaión entones () y (5) se pueden poner omo A F ; A F ; A F x y z A A z y A A x A z y A ; ; y z z x x y que son las omponentes del vetor A Segun el teorema de Stokes A ds A dl dondees una superfiie es la línea que la ontornea d S es el vetor elemento de superfiie y d l es el vetor elemental tangente a la urva En el aso de que la superfiie sea errada entones la línea perimetral es nula lo mismo que la integral de línea por tanto el teorema de Stokes queda A ds 0 Expresando este resultado en funión de las omponentes queda F ds 0 que es el primero de los teoremas integrales que utilizaremos más adelante Por el teorema integral de Gauss tenemos B d S BdV donde ahora la superfiie es errada y ontiene un volumen V En general si tenemos dos superfiies distintas y V B d S B d S es deir la integral dependerá de la superfiie elegida para haer la integraión Sea V un volumen que se enuentra tanto en el interior de V omo de V los uales son los volúmenes enerrados en las superfiies Supongamos que B es ero en todo punto interior a V y V exepión de V entones y y lo mismo para la integral alrededor de entones B d S BdV B dv BdV B dv V V V V V B d S B dv B dv B dv BdV V V V V V B d S B d S por tanto bajo las ondiiones onsideradas la integral no depende de la superfiie de integraión x 5

6 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN Si haemos la identifiaión B F por la propiedad de antisimetría de F se tiene la propiedad B F 0 B 0 por tanto a la funión F sería de apliaión el segundo de los teoremas integrales es deir es independiente de la superfiie de integraión F La parte lineal del tensor de Rii Las euaiones de ampo gravitatorio que vamos a onsiderar son las del aso exterior es deir que no aparee en las euaiones el tensor de energía-momento de las fuentes externas del ampo o sea donde el tensor de Rii viene definido por R Rik ds 0 k k ik ij r k k r ij j k ik jr ij kr x x que puede dividirse en parte lineal respeto al tensor métrio y en parte no lineal Los términos lineales se deduen de los dos primeros sumandos y en ellos entraremos el siguiente álulo Para alular la parte lineal del tensor de Rii neesitamos alular la parte lineal de los símbolos de Christoffel Comenemos on 0 definiión (donde la raya sobre los índies signifia que no se suman) partimos de su s 0 g gs0 g 0 s g 0 s omo sólo vamos a onsiderar los términos lineales en el tensor métrio tenemos s 0 hs0 h0 s h0 s donde la barra en 0 signifia que sólo ontemplamos los términos lineales; nótese que hemos elegido oordenadas artesianas y entones las omponentes del tensor métrio de Minkowski son onstantes y sus derivadas nulas Simplifiando 0 h 0 h0 h0 h0 donde volvemos a indiar que no estamos suponiendo sumas sobre índies repetidos si estos índies tienen una barra sobre ellos El proedimiento seguido anteriormente es el mismo que hay que utilizar para alular las restantes partes lineales de las omponentes de los símbolos de Christoffel obteniéndose los siguientes resultados 0 h 0 h0 0 h 0 h0 0 0 h (6) 0 h 0 h0 h0 ( o ) h ( o ) 0 h0 h0 h0 ( o ) h h h ( ) 6

7 Weneslao Segura González Con los anteriores valores se puede alular la parte lineal del tensor de Rii k k 0 0 0k k R x x x x x x x x utilizando (6) enontramos R h h h Para la omponente 0 tenemos utilizando (6) se enuentra R 0 0 k k 0 0 0k k 0 x x x x x x R h h h h finalmente para las omponentes obtenemos R h h h h h h h h De (9) deduimos R ij así para la omponente R h h h h0 0 h donde suponemos que tanto en el primero omo el segundo miembro se suma respeto a Si las partes no lineales del tensor de Rii las representamos por 0 entones las omponentes del tensor de Rii (7) (8) y (9) son R h h0 0 h R0 h0 h0 h0 h0 0 R h h h h h h h h Las euaiones de ampo Teniendo en uenta que sólo son distintas de ero las omponentes diagonales del tensor métrio de Minkowski por utilizar oordenadas artesianas tenemos rs Rrs R R R R donde entendemos que se suma respeto a todos los posibles valores de De () enontramos que rs R h h h h h rs 0 0 en los primeros términos hemos agrupado la parte lineal y entreparéntesis se enuentra la parte no lineal respeto a h ik La euaión de ampo gravitatorio en el vaío es ik rs Rik 0 Rik 0 Rik ik Rrs 0 () Vamos a alular las omponentes del último de los tensores anteriores Empezamos por la omponente para lo ual usamos la primera euaión () y la () enontrándose después de la simplifiaión rs rs R R rs h h rs h h donde todos los términos no lineales han sido agrupados en Usando () expresamos la anterior euaión en funión del tensor ik (7) (8) (9) (0) () () 7

8 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN rs R R rs 0 () Para las omponentes 0 se enuentra de () R0 rs 0 Rrs R0 h 0 h 0 h0 h0 0 que puesto en funión de ik resulta rs R0 0 R rs (5) Finalmente para las omponentes rs R R rs h h h h0 0 h0 0 h h h h0 0 h h h 0 y en funión de ik rs R R rs (6) 0 0 Las euaiones () (5) y (6) están divididas en una parte que es lineal respeto a ik y otra que no lo es pero es más onveniente haer otra separaión por razones que veremos más adelante entones o sea donde haemos las definiiones rs ik ik Rik ik R rs (7) (8) 5 El fundamento del método de Einstein-Infeld-Hofmann Los dos elementos que fundamenta el método de Einstein-Infeld-Hofmann para obtener las euaiones de movimiento a partir las euaiones de ampo son las euaiones (7) y los dos teoremas integrales expuestos en el epígrafe Partimos de que la materia está formada por singularidades puntuales en donde no es de apliaión las euaiones de ampo de la Relatividad General Fuera de estas singularidades sólo existe espaio vaío donde es válida la euaión Rik 0 Vamos a onsiderar las funiones omo i definidas en (8); notamos que la omponente 0 se puede poner F la funión F0 tiene la propiedad de antisimetría respeto a los índie y F F Teniendo en uenta que

9 Weneslao Segura González las omponentes de la terera euaión (8) se expresa notamos que la funión F es antisimétria respeto a los índies y Reuniendo los dos resultados anteriores enontramos que 0 F 0 i i i i siendo Fi una funión antisimétria respeto a los índies y Suponemos que existen N singularidades uyas oordenadas espaiales 0 temporal x 0 s s x s dependen de la oordenada donde el índie s india que se trata de las oordenadas de la partíula s y el índie distingue entre las tres oordenadas espaiales Nuestro objetivo es obtener las N euaiones (0) que son las euaiones de movimiento de la singularidad s Consideremos una superfiie errada singularidad s y sólo a ella En el interior de esa superfie es de apliaión las euaiones de ampo (9) exepión heha de la misma singularidad Haemos la integral s sobre la que no hay ninguna singularidad y que engloba a la F ds F ds ds 0 i i i i s s s que es nula por la euaión de ampo (9) Teniendo presente que la funión Fi es antisimétria respeto a los índie y se umplen los requisitos del primer teorema integral deduido en y por tanto entones de () onluimos que s s F i ds 0 ds 0 i ahora bien de la euaión de ampo (9) y dada la antisimetria de Fi tenemos 0 0 Fi i i entones se umplirán las ondiiones del segundo de los teoremas integrales del epígrafe y por tanto se umple que la integral s ds 0 i debe ser independiente de la forma de la superfiie s que engloba a la singularidad s on tal que por la superfiie no pase por ninguna singularidad Si la integral () no depende de la forma de la superfiie tampoo puede depender de los poteniales de ampo porque estos dependen de las oordenadas de la superfiie que omo hemos diho es arbitraria; por tanto () sólo puede depender de las oordenadas de la singularidad s y de sus derivadas temporales O diho de otra forma () son las euaiones de movimiento de la partíula s 6 Desarrollo en serie de ik Para apliar la integral () y obtener las euaiones de movimiento de las singularidades es neesario previamente resolver las euaiones de ampo Esto lo haremos mediante el método de aproximaiones suesivas Vamos a suponer que los poteniales de ampo gravitatorio varían lentamente on respeto al tiempo una 0 situaión que llamaremos uasi-estaionaria Si ( x x ) es una funión de las oordenadas entones la derivada 0 x t es de orden respeto a la inversa de que va a ser la magnitud respeto a la ual haremos los posteriores desarrollos en serie Entones para que quede más evidente esta dependenia respeto a vamos a introduir una nueva variable temporal 0 0 x x ; x x () F (9) (0) () () 9

10 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN por tanto x x x x Para resolver las euaiones de ampo vamos a utilizar el método de aproximaión desarrollando las omponentes de tensor métrio Por otra parte sabemos que las euaiones de ampo no determinan ompletamente al tensor métrio en efeto si g ik es una soluión de ampo el tensor métrio g ik que resulta de una transformaión de oordenadas también debe ser soluión de las euaiones de ampo Como hay uatro euaiones de transformaión de oordenadas debe de haber uatro ondiiones que se pueden imponer a las euaiones de ampo Es deir podemos estableer uatro ondiiones arbitrarias a las transformaiones de oordenadas (ondiiones que no pueden ser ovariantes) y así obtenemos una definida soluión del tensor métrio Las uatro ondiiones oordenadas arbitrarias que vamos a estableer elegidas para simplifiar los álulos son x x x x () 0 x Vamos a desarrollar ik en serie de potenias inversas de Pero la onstante de la que dependen los poteniales gravitatorios es la inversa del uadrado de es deir que realmente el desarrollo en serie es respeto a Por esta razón el orden de los términos del desarrollo en serie se difereniarán entre ellos de dos en dos órdenes; por ejemplo si suponemos que el primer término en el desarrollo de es l tenemos 0 l l l donde el número entre paréntesis sobre ada término del desarrollo signifia el exponente negativo al que está elevada la que forma parte de la expresión de diho término y que define su orden de pequeñez Las ondiiones () estableen iertas limitaiones sobre el desarrollo en serie de ik Supongamos que el primer término en el desarrollo de sea de orden l entones de la primera euaión () se dedue que 0 debe tener omo primer término de su desarrollo en serie el de orden l en efeto l 0 0 x x De la segunda euaión () se dedue que si el primer término del desarrollo en serie de es de orden l entones igual será para donde Para hallar las araterístias del desarrollo en serie nos puede servir de guía el elemento de línea en la aproximaión lineal de la Relatividad General ds dt g dtdx dx dy dz donde es el potenial gravitatorio newtoniano Entones de donde deduimos que l 0 h h h h h h 0 rs h h rs h h h h h h h h 0 0 rs h hrs h h 0 0

11 Weneslao Segura González reordamos una ve más que la barra sobre el índie signifia que no se suma respeto a ese índie aunque se enuentre repetido Hemos tenido en uenta que el desarrollo en serie de 0 es un orden mayor que el de Por tanto el desarrollo en serie de es ik (8) (5) 7 Método de resoluión de las euaiones de ampo por aproximaiones suesivas Vamos a exponer el meanismo para resolver las euaiones de ampo (7) por el método de aproximaiones suesivas En las euaiones de ampo ik ik 0 están reunidas en ik los términos que hay que determinar mientras que en ik se enuentran los términos que neesitamos onoer para resolver la euaión Los primeros términos del desarrollo en serie (5) que hay que alular son por la primera euaión de ampo enontramos 0 0 entones para alular es neesario onoer por (8) pero es ero por (5) y también es nulo puesto que aquí están reunidos los términos no lineales en ik por (5) el primer término de su desarrollo en serie es el (o sea el produto de los dos primeros términos del desarrollo de ) por tanto de la primera euaión (5) queda 0 (6) euaión diferenial que podemos resolver De la segunda euaión de ampo podemos alular el primer término en el desarrollo en serie de 0 Para ello será neesario onoer por (8) (7) 0 0 en la anterior expresión hemos pasado de derivar on x a haer la derivaión respeto a x lo que signifia que al haer esta última derivaión aumenta en uno el orden del desarrollo de la antidad derivada El primer sumando del segundo miembro de (7) es nulo porque el desarrollo de omienza on el orden El segundo sumando es onoido porque ha sido determinado en el paso anterior y finalmente el último sumando es ero porque omo ya indiamos el primer término de su desarrollo es el Entones de la segunda euaión de ampo (7) enontramos que se puede resolver y determinar el terer término del desarrollo de 0 De la terera euaión de ampo (7) se alula el primer término del desarrollo de Para lo ual es neesario onoer

12 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN todos los sumandos del segundo miembro o son nulos o son onoidos por haberse alulado on anterioridad por tanto la terera euaión de ampo queda de donde obtenemos el término de uarto orden de que es el primero distinto de ero de su desarrollo Resumiendo podemos deir que en la euaión de ampo l ik ik 0 que nos sirve para determinar las funiones del desarrollo en serie de los poteniales las funiones a determinar se enuentran en el primer sumando y en el segundo sumando se enuentran funiones que ya han sido determinadas en pasos anteriores El anterior razonamiento se puede extender para los restantes términos del desarrollo en serie on lo ual podemos formular el siguiente teorema Si son onoidos los términos l l l ; 0 donde l es un número entero empezando por l entones por las euaiones de ampo (7) se pueden enontrar los términos l l l ; ; 0 8 Cálulo del primer término del desarrollo en serie de En (6) hemos enontrado la euaión diferenial para obtener el primer término en el desarrollo de onoida esta funión se van alulando todos los demás términos de los tres desarrollos en serie de las euaiones de ampo (7) Por tanto el primer paso en la resoluión de las euaiones de ampo debe ser la resoluión de (6) y de ella dependerá todo el álulo posterior Como suponemos que las partíulas son singularidades puntuales la soluión de (6) para una singularidad dada debe ser el potenial gravitatorio newtoniano donde r es definido por l G m r r x siendo x las oordenadas espaiales artesianas de un punto del ampo y las oordendas espaiales también artesianas del punto donde se enuentra la singularidad Si onsideramos que hay un onjunto de N singularidades entones tendremos G m s s s s rs donde el subíndie s nos identifia ada una de las partíulas del sistema y s N N s r x Pero (8) no es la únia soluión de (6) matemátiamente existen las soluiones que llamaremos dipolares que son del estilo x y z ; ; r r r pues omo se omprueba diretamente x y z 0; 0; 0 r r r Entones una soluión general de (6) para una determinada partíula es dada en sus primeros términos por x y z a b d r r r r donde a b y d son números que tienen la estrutura (8) (9)

13 Weneslao Segura González a a a t ; b b b t ; t ; d d d t siendo a b y d onstantes numérias y t es el tiempo Indiar que además de las soluiones dipolares de (6) existe también las multipolares de orden superior Pero físiamente sólo tiene sentido la soluión polar es deir el primer sumando de (9) puesto que la experienia nos muestra que una partíula puntual no da soluiones de tipo multipolar además las soluiones dipolares están ausentes en la teoría gravitatoria 9 La masa m debe ser independiente del tiempo Como hemos enontrado en (9) la soluiones de tipo polar tienen en general el oefiiente m que aparee en (8) dependiente del tiempo Vamos a omprobar a ontinuaión que esta posibilidad no existe para un aso físiamente real De las euaiones de ampo (7) se enuentra que para el segundo grupo de euaiones de ampo a orden tenemos el primer sumando es antisimétrio respeto a los índies y por lo tanto tiene una integral de superfiie nula según se dedue del primer teorema integral entones la integral de superfiie del segundo miembro de (0) debe ser nulo Vamos a alular el integrando de () 0 ds 0 G m G m G G m G r G m G r m 0 r 0 r r 0 r r r r el punto signifia derivaión respeto a la oordenada temporal G m G 0 r r 0 x Derivando ahora respeto a x Vamos a omprobar que las únias integrales de superfiie que son distintas de ero son aquellas uyo integrando depende de la inversa del uadrado de r Como la forma de la superfiie de integraión no afeta a su resultado (omo se muestra en nuestro segundo teorema integral) vamos a onsiderar una esfera de radio arbitrario r y entrada en la singularidad uyo potenial gravitatorio estamos alulando Entones la integral de superfiie vendrá dada en general por x f r g ds f r g r sin d d () r o bien sumas de integrales omo la anterior donde utilizamos oordenadas esférias que se relaionan on las oordenadas artesianas mediante las expresiones x r sin os y r sin sin () z r os y hemos tenido en uenta que el elemento de superfiie de omponentes ds se dirige en la direión normal a la superfiie esféria entones sus omponentes son x ds ds os ds r donde son los tres osenos diretores del vetor r (que va del entro de la esfera al punto de la superfiie) y también en nuestro aso de la superfiie esféria son los osenos diretores del vetor elemento de superfiie d S que tiene de módulo ds Volviendo a la integral () y teniendo presente () llegamos a f r g ds r f r g d d K r f r K es un fator numério resultado de la integraión de las variables angulares Pero omo la integral no puede depender de la forma (y por tanto tampoo del tamaño) de la superfiie de integraión debe ourrir que (0) () ()

14 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN te r f r te f r r y si esto no se umple K tiene que ser ero Por tanto demostramos que las únias integrales de superfiie que no son nulas son aquellas en uyo argumento aparee r Retomamos nuestra argumentaión volviendo a la integral () Por el teorema que aabamos de demostrar la integral de superfiie del segundo sumando del segundo miembro es nulo pues el integrando depende de r mientras que la integral de superfiie del primer sumando depdende de r y por tanto no tiene que ser nula No obstante esta integral debe ser ero omo antes hemos diho y esto sólo puede ourrir si m 0 m te tal omo queríamos demostrar 0 Las euaiones de ampo bajo la ondiión oordenada Al imponer la ondiión oordenada () las euaiones de ampo (7) quedan Para poder apliar nuestro teorema integral vamos a haer una transformaión que onduza a que en el primer miembro de las dos últimas euaiones haya una expresión antisimétria de tal forma que su integral de superfiie se anule Si en la segunda euaión restamos a los dos miembros 0 entones habiendo apliado en el segundo miembro la primera euaión de la ondiión oordenada () y enontramos que el primer miembro es antisimétrio respeto a los índies y En la terera euaión () restamos en ambos miembros donde hemos utilizado la segunda de las ondiiones oordenadas () Entones las dos euaiones de ampo que nos interesan para hallar las euaiones de movimiento son que tienen la propiedad de que la integral de superfiie del primer miembro es idéntiamente nula y por tanto las euaiones de movimiento son 0 0 ds 0 ds 0 Soluión de las euaiones de ampo en primera aproximaión Al más bajo orden de aproximaión las euaiones de ampo () son si suponemos que el sistema está formado por N singularidades la soluión de la primera euaión es G m s s rs donde r s es la «distania» de la singularidad s a un punto genério del espaio y N () ((5) (6) m s es la masa gravitatoria de

15 Weneslao Segura González la singularidad s De la primera de las ondiiones oordenadas () se dedue N 0 G 0 m s x x s rs integrando entre r s y y teniendo en uenta que en el infinito se anulan las ik N se enuentra G m s 0 s rs que son las dos omponentes de ik que nos interesan para alular las euaiones de movimiento en primera aproximaión Euaiones de movimiento en primera aproximaión: álulo de Para obtener las euaiones de movimiento en primera aproximaión (la orrespondiente a la euaión newtoniana) hay que alular la segunda integral de (6) a uarto orden (el más bajo) es deir ds 0 por la última de las euaiones (8) enontramos ahora al apliar la primera de las ondiiones oordenadas () queda (7) resta por tanto determinar los términos no lineales a orden () Para ello neesitamos alular los orrespondientes símbolos de Christoffell Como estos símbolos se alulan en funión de h ik debemos estableer la relaión entre los términos del desarrollo en serie de h ik y de ik Los primeros términos de h ik deduidos de () son h h 0 0 h h ( ) ik ahora podemos alular los primeros términos del desarrollo de h que es definido por la relaión desarrollando enontramos si suponemos i 0 y k 0 entones ik i ik ik i kr r kr kr r g g h h ik ik ik kr kr kr h h h h 0 0k 0k h k 0 k 0h h h 0 donde el último sumando de (8) no lo tenemos en uenta porque no genera términos de segundo orden Si ahora suponemos i y k 0 en la euaión (8) k 0 hk0 k0h h h 0 0 tampoo en el último sumando de (8) hay términos de terer orden y por tanto tampoo lo onsideramos Si suponemos i r en (8) k k k h h 0 h h (8) 5

16 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN donde suponemos que no hay suma respeto a Finalmente si suponemos i k k k k () h h 0 h h y r pero entones y tampoo hemos onsiderado el último sumando de (8) porque es de orden superior a uatro El último sumando de (7) es rs rs (8) para alular las omponentes del tensor de Rii a uarto orden neesitamos alular los términos de uarto orden de las omponentes no lineales de los símbolos de Christoffel La parte no lineal de la omponente 0 que representamos por 0 es s 0 h h0 s hs0 h0 s el término de menor orden no lineal que podemos hallar es el quinto 5 0 h h 0 s h s 0 h 0 s donde no hay suma respeto a ; este término al ser de quinto orden no nos interesa en nuestro álulo ya que para alular (8) sólo neesitamos los de uarto orden Haiendo un álulo similar al anterior enontramos que las únias omponentes de los símbolos de Christoffel que hay de uarto orden no lineales son h h h h h h h h ( o ) h h ( ) donde entendemos que no hay sumas respeto a ni respeto a ya que estos índies son valores definidos En el tensor de Rii R k k ik ij r k k r ij j k ik jr ij kr x x enontramos términos no lineales de uarto orden tanto en los primeros dos sumandos omo en los dos últimos pero para obtener los términos de uarto orden de estos dos últimos sumandos sólo neesitamos las omponentes lineales de los símbolos de Chirstoffel a segundo orden tal omo fueron aluladas en (6) Pero de estas omponentes sólo podrán generar términos de uarto orden no lineales las que sean de segundo orden es deir 0 0 h h 0 0 h h donde es un número definido y hemos apliado los resultados de (5) Calulamos a ontinuaión las distintas omponentes del tensor de Rii a uarto orden empezando por la omponente (9) (0) 6

17 Weneslao Segura González k k 0k r k k r 0 k 0k 0r kr R x x onsiderando solamente los términos no nulos según son dados por (9) y (0) se enuentra x notemos que hay otros términos de uarto orden pero son lineales y por tanto no lo onsideramos Desarrollando el último sumando finalmente on los resultados de (9) y (0) enontramos Vamos seguidamente a alular las omponentes de orden uatro de las omponentes del tensor de Rii k k k r k k r k k r kr R x x onsiderando exlusivamente las omponentes de los símbolos de Christoffel que no son nulos tenemos x x x si desarrollamos los sumandos que no han sido alulados on anterioridad 6 6 x x x x entones en funión del potenial newtoniano la omponente de la parte no lineal del tensor de Rii a uarto orden queda () A ontinuaión alulamos las omponentes ( ) no lineales de uarto orden del tensor de Rii k k k r k k r k k r kr R x x tomando exlusivamente los términos de orden uatro no lineales se obtiene () 7

18 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN x x x x tras eleminar los términos que son nulos queda x x x x alulando por separado los tres últimos sumandos obtenemos donde la primera euaión ha sido obtenida desarrollando ompletamente el sumatorio Con estos resultados se enuentra De () y () se obtiene por tanto 8 ( ) rs 0 8 rs pero por definiión de por tanto () queda rs 6 8 rs 0 finalmente reuniendo () y (5) rs 6 8 rs rs 6 8 rs Y finalmente por (7) se enuentra Euaiones de movimiento en primera aproximaión: las integrales de superfiie El siguiente paso para obtener las euaiones de movimiento es alular las integrales de superfiie que se derivan de la segunda euaión (6) es deir () () (5) (6) ds 0 (7) 8

19 Weneslao Segura González para lo ual hay que haer las seis integrales de superfiie de los sumandos del segundo término de (6) Para simplifiar estas integraiones vamos a suponer que hay sólo dos singularidades de masas m y m También vamos a suponer que la partíula se enuentra en el momento onsiderado en el origen del sistema de oordenadas y la partíula se enuentra en un punto del eje z de tal forma que sus oordenadas serán notemos que y son diferentes de ero o sea la partíula se está moviendo pero la onsideramos en el origen de oordenadas momentáneamente y m r P d r m z x Sea una superfiie esféria de entro en el origen de oordenadas y que por tanto enierra a la partíula donde r y r son r x ; r x x son las oordenadas espaiales de un punto genério de la esfera P El ángulo es el formado por el vetor r que va de m a P y el eje z y por tanto es una de las oordenadas esférias del punto P Como la integral (7) no depende de la forma de la superfiie de integraión vamos a elegir una esfera de un radio infinitamente pequeño en omparaión on d (distania entre m y m ) Utilizando el teorema de oseno r d r d r d os uya inversa podemos desarrollar en series de potenias r z z x os r d d d d d d d d hemos tenido en uenta que d El último sumando engloba a términos ïnfinitesimales dependientes de r Advertimos que estamos utilizando la geometría espaial eulídea puesto que estamos interesados en reproduir la euaión de Newton la ual es de apliaión sólo en ampos gravitatorios débiles Como final de este preámbulo al álulo de las integrales de superfiie reordar el teorema demostrado en el epígrafe 8 por el ual sólo son distintas de ero las integrales de superfiie uyo integrando tenga la dependenia r Como suponemos que existen sólo dos partíulas el potenial gravitatorio en ada punto es la suma de los poteniales produido por ada una de las partíulas donde y son los poteniales gravitatorios newtonianos de las partíulas y respetivamente y uyos valores en el punto P son m m G ; G r r nótese que de nuevo hemos tenido en uenta que el ampo gravitatorio es débil por esa razón hemos supuesto 9

20 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN que el potenial es aditivo * Cálulo de I Para alular la integral de superfiie del primer sumando de (6) partimos de la expresión derivada en el epígrafe G m G m 0 r r antes hemos supuesto que momentáneamente 0 pero varía on el tiempo lo que signifia que la partíula se está moviendo Al derivar respeto al tiempo quea y al haer la derivaión espaial La únia integral de superfiie de los sumandos anteriores distinta de ero es la primera ya que da un integrando que depende de r x r r I ds Gm x r sin d d Gm * Cálulo de I Para el álulo de la integral de superfiie del segundo sumando de (6) previamente haemos el álulo de 0 0 que resulta ser idéntio a 0 0 salvo el orden de los índies 0 0 a igual que antes sólo el primer sumando da integrales de superfiie no nulas x r r I ds Gm x r sin d d Gm la integral anterior es distinta de ero siempre y uando * Cálulo de I Como G m G m r r hallando su primera derivada respeto a la oordenada temporal queda G m G m r r y la segunda derivada temporal es 0 x x G x G x x m m 5 r r G x G x x m m 5 r r donde hemos puesto 0 de auerdo on nuestra suposiión de que en el instante onsiderado la partíula se enuentra en el origen del sistema de oordenadas Al haer la integraión el únio término uya integral de superfiie es distinta de ero es G x G x x r r r I m ds m r sin d d 0

21 Weneslao Segura González para que la integral anterior sea distinta de ero es neesario que independenia del valor de resultando G x x 6 r r I m r sin d d Gm * Cálulo de I Hallando las derivadas espaiales del potenial tenemos m m Gm Gm G x G x r r r r dando el mismo resultado on entones m m m m G x G x G x G x r r r r (8) m mm mm m G x x G x x G x x G x x 6 6 r r r r r r La integral I la desomponemos a su vez en otras uatro integrales de superfiie orrespondientes ada una de ellas a los uatro sumandos de la expresión anterior La primera de estas integrales es nula puesto que el integrando no depende de r sino de r por tanto I 0 La segunda integral es la suma de dos integrales la primera de ellas es nula por la misma razón anterior pero la segunda de estas integrales admite un desarrollo en el que su primer término depende de r según r y por tanto es distinta de ero veámoslo mm mm r r d r G mm x r os r sin d r r G G x z I x ds r sin d d r d d donde hemos tenido en uenta que la partíula se enuentra en el eje z En el desarrollo en serie de r sólo hemos tenido en uenta el primer término puesto que los demás términos del desarrollo dan integrales nulas pues sus integrandos no tienen la dependenia r La anterior integral es nula para los asos en que y porque entones aparee sin o os y ambas generan integrales nulas puesto que sind 0 osd por tanto sólo puede valer y la anterior integral queda G mm G mm 6 G mm os sin r r d d 6 G mm 6 G m 6 G 0 m G 0 m I x ds d d (9) d d donde signifia que el potenial de la partíula es alulado en el punto donde se enuentra la partíula La terera de las integrales de (8) también está ompuesta a su vez de dos integrales siendo una de ellas distinta de ero en efeto G mm G mm x x r r r d r mm 6 mm 6 d d d d I x ds r sindd G G G sin m Finalmente el uarto sumando de (8) da una integral nula porque no umple on la adeuada dependenia respeto a r Entones nos queda * Cálulo de I 5 6 I I I Gm

22 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN m m G x G x r r m mm m G x x G x x G x x r r r r sólo el segundo sumando es el únio que da integral de superfiie no nula porque de él surge un integrando que depende de r en efeto mm mm x 5 r r d r r I G x ds G z r sind d m m 8 m 8 d d G os sind d Gm G 0 Gm hemos tenido en uenta que la únia omponente distinta de ero de es y que sólo uando la integral es distinta de ero Al igual que en asos anteriores los restantes términos del desarrollo de r dan integrales de superfiie nulas * Cálulo de I 6 Calulamos previamente m m m r G G x G x Gm 5 x r r x r r y una expresión equivalente para Al desarrollar el sexto sumando de (6) queda r x x Gm 5 r x x el únio sumando que tiene integral de superfiie no nula por tener tener la dependenia r es el segundo Para omprobar esta variaión omo r desarrollamos es serie de potenias para un punto erano a donde se enuentra la partíula 0 0 x x x x x donde hemos tenido en uenta nuestra suposiión de que la partíula se enuentra en el origen de oordenadas Tomando solamente el segundo término del desarrollo anterior por ser el únio que interesa r x x x x x x Gm 5 x Gm Gm r r r al alular la integral de superfiie sólo tomamos y puesto que para los otros valores la integral es nula 8 z x x x z x 6 sin 5 r r r r I Gm r dd Gm r sind d 8 6 os sin os sin Gm dd Gm dd Gm Ya estamos en ondiiones de evaluar la integral ds 0 que nos da la euaión de movimiento Utilizando (6) los resultados de las integraiones anteriores tenemos para uando 6 6 ds Gm z Gm z 0 z z

23 Weneslao Segura González y para las demás omponentes x 0 y 0 Estas euaiones son válidas en el sistema de oordenadas que hemos elegido en el ual la partíula (50) se enuentra momentáneamente en el eje z o bien reuniendo los dos últimos resultados puesto que omo se omprueba diretamente Como la euaión (50) es una expresión vetorial será la misma on independenia del sistema de oordenadas elegido Por tanto onluimos que (50) es la euaión de movimiento de la singularidad en el ampo de la singularidad y no es más que la ley newtoniana Para obtener la euaión de movimiento de la partíula haemos la integral ds 0 donde es la superfiie que engloba a la partíula Utilizando los mismos resultados intermedios que antes y obtenemos la misma euaión que (50) de nuevo reenontrado la ley newtoniana de movimiento de una partíula en un ampo gravitatorio Una observaión final tenemos que haer (6) ontiene tres términos lineales (los tres primeros) de uya integraiones se derivan expresión que ontienen la derivada temporal de las oordenadas de la singularidad Los restantes tres términos de (6) son lineales y el resultado de su integraión queda en funión de la intensidad de ampo gravitatorio Si la teoría gravitatoria fuera lineal es deir no existieran los tres últimos sumandos de (6) entones no se obtendría la euaión de movimiento (50) O sea se exige el aráter no lineal de la teoría de ampo para poder deduir de sus euaiones la euaión de movimiento de una singularidad Resumen La teoría que hemos desarrollado para obtener las euaiones de movimiento de una partíula a partir de las euaiones de ampo gravitatorio se pueden esquematizar en los siguientes apartados: - Se onsidera que las partíulas materiales son singularidades puntuales en el sentido que en las partíulas no son de apliaión las euaiones de la gravitaión En el resto del espaio son válidas las euaiones exteriores de la gravitaión es deir las euaiones para el vaío - Se utilizan dos teoremas integrales Uno de ellos no es más que la apliaión del teorema de Stokes para el aso de una superfiie errada o sea y el otro nos die que la integral A ds 0 A ds donde la superifie errada enierra a la singularidad material entones la anterior integral no depende de la superfiie de integraión siempre y uando A 0 Si el vetor A tiene de omponentes A F F F donde las omponentes F son antisimétrias entones ese vetor A umple los requisitos de los dos teoremas anteriores Es deir F es nula e independiente de la superfiie de integraión - Las euaiones de ampo ik Rik 0 Rik ik Rik 0 se pueden poner de la forma ds

24 LA TEORÍA DE EINSTEIN-INFELD-HOFFMANN ik ik 0 (50) donde ik sólo ontiene términos lineales y ik ontiene los términos no lineales más algunos términos lineales Las funiones se definen de tal forma que donde ik i Fi Fi es antisimétrio respeto a los índie y es deir se umple el requisito para que F i ds 0 por el primero de los anteriores teoremas integrales entones por (50) ds 0 i pero por la antisimétria de Fi se umple i 0 que es el requisito para que la anterior integral no dependa de la superfiie de integraión Entones si esta integral no depende de la forma de la superfiie de integraión no puede depender de los poteniales de ampo porque estos dependen de las oordenadas de la superfiie que es arbitraria Por tanto la anterior integral sólo puede depender de las oordenadas de la singularidad y de sus derivadas temporales - Al haer el desarrollo en serie de potenias se enuentra que el primer término no nulo del desarrollo de es el uarto por tanto de ds 0 se deben de obtener las euaiones de movimiento de la partíula en primera aproximaión; o sea las euaiones de movimiento newtoniana de una partíula en un ampo gravitatorio 5- El penúltimo paso onsiste en determinar el integrando de (5) Primeramente se resuelve (50) por aproximaiones suesivas alulando on ello las primeras omponentes del tensor métrio La omponente se neesita alularla a segundo orden la omponente 0se alula a terer orden y la a segundo orden Luego se alulan las omponentes de los símbolos de Christoffel para después determinar las omponentes del tensor de Rii a uarto orden lo que permite la inmediata determinaión de las omponentes de a uarto orden Para simplifiar este álulo se usa una ondiión oordenada elegida on el únio propósito de haer más simples los álulos 6- El último paso es el álulo de las distintas integrales que apareen en el desarrollo de (5) y on ello tenemos la euaión de movimiento de una partíula puntual en un ampo gravitatorio en primera aproximaión 5 Bibliografía - Einstein A; Infeld L; Hoffmann B: «The Gravitational and the Problem of Motion» Annals of Mathematis 9- (98) Einstein A; Infeld L: «The Gravitational Equations and the Problem of Motion II» Annals of Mathematis - (99) Einstein A; Infeld L: «On the motion of partiles in general relativity theory» Canadian Journal of Mathematis (99) 09- (5)