SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

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1 Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte. o Gráfio. II. OBJETIVOS: Al término de l Sesión, el lumno: Conoerá métodos de soluión pr sistems de euiones. Resolverá sistems de euiones. III. PROBLEMATIZACIÓN: Coment ls pregunts on tu Asesor y seleion ls ides más signifitivs. Cuál es el fin de que existn vrios métodos de soluión pr sistems de euiones? Cómo representrís en un gráfi l soluión de un sistem de euiones? IV. TEXTO INFORMATIVO-FORMATIVO:.. Conepto y representión geométri Un sistem de euiones de primer grdo on dos inógnits es un sistem de dos euiones que tiene dos vriles. Se represent por dos línes rets que se ortn en un punto.. Métodos de soluión o Resoluión por igulión. Tenemos que resolver el sistem: Esto signifi, enontrr el punto de interseión entre ls rets dds, de ls ules se onoe su euión. Despejmos un de ls dos vriles en ls dos euiones, on lo ul tenemos un sistem equivlente (en este so elegimos y): Reordmos que l tener dos euiones, si los primeros miemros son igules los segundos tmién lo son, por lo tnto: Luego: 43

2 Mtemátis I Reemplzmos el vlor de x otenido en lgun de ls euiones (elegimos l segund): Opermos pr hllr el vlor de y: y= Verifimos, en ms euiones, pr ser si relmente (x ; y) = (4;): Ahor sí, podemos segurr que x= 4 e y = Relie este mismo ejemplo despejndo x l omienzo y reemplzndo en ls dos euiones. o Resoluión por sustituión. Tenemos que resolver el sistem: Despejmos un de ls vriles en un de ls euiones (en este so elegimos y en l primer euión): Y l reemplzmos en l otr euión: Opermos pr despejr l úni vrile existente hor: Reemplzmos el vlor de x otenido en lgun de ls euiones (elegimos ritrrimente l primer): Hllmos l respuest x=4, y =, ovimente igul que en el so nterior. No verifiremos, ddo que y semos que est respuest es orret. Relie este mismo ejemplo despejndo x l omienzo. 44

3 Mtemátis I o Resoluión por reduión. Tenemos que resolver el sistem: El ojetivo es eliminr un de ls inógnits, dejándols inverss ditivs, siendo que un iguldd no mi si se l multipli por un número.tmién semos que un iguldd no se mi si se le sum otr iguldd. Si se quiere eliminr l x, por qué número deo multiplir l segund euión, pr que l sumrl l primer se oteng ero? L respuest es -. Vemos: Con lo que otenemos: Y l summos l primer oteniéndose: -7y = -4 y = Reemplzr el vlor otenido de y en l primer euión: Y finlmente hllr el vlor de x: Ejeriio: Resuelve por este método: o Resoluión por determinnte. Semos que un determinnte se represent omo: d Este se lul de l siguiente mner: D = d Se el sistem: x + y = x + y = El vlor de x está ddo por: x = e y = 45

4 Mtemátis I Resolvmos el sistem: x = = = = = y = 4 8 = = = = 4 4 El punto de interseión de ls rets dds es {(4, )} o Método gráfio. Cd un de ls euiones que formn un sistem linel de dos euiones on dos inógnits es l de un funión de primer grdo, es deir, un ret. El método gráfio pr resolver este tipo de sistems onsiste, por tnto, en representr en unos ejes rtesinos, o sistem de oordends, ms rets y ompror si se ortn y, si es sí, dónde. Hy que tener en uent, que, en el plno, dos rets sólo pueden tener tres posiiones reltivs (entre sí): Se ortn en un punto, Si ls dos rets se ortn en un punto, ls oordends de éste son el pr (x, y) que onformn l úni soluión del sistem, Son prlels. Si ls dos rets son prlels, no tienen ningún punto en omún, por lo que no hy ningún pr de números que representen un punto que esté en ms rets Son oinidentes (l mism ret). si ms rets son oinidentes, hy infinitos puntos que perteneen ms, lo ul nos indi que hy infinits soluiones del sistem (todos los puntos de ls rets El proeso de resoluión de un sistem de euiones medinte el método gráfio se resume en ls siguientes fses: ) Se despej l inógnit y en ms euiones. ) Se onstruye, pr d un de ls dos funiones de primer grdo otenids, l tl de vlores orrespondientes. 3) Se representn gráfimente ms rets en los ejes oordendos. 4) En este último pso hy tres posiiliddes: i) Si ms rets se ortn, ls oordends del punto de orte son los únios vlores de ls inógnits x e y. Sistem omptile determindo. ii) Si ms rets son oinidentes, el sistem tiene infinits soluiones que son ls respetivs oordends de todos los puntos de es ret en l que oiniden ms. Sistem omptile indetermindo. iii) Si ms rets son prlels, el sistem no tiene soluión. Sistem inomptile. Ejemplo: Entre Aln y Jun tienen 600 timres, pero Jun tiene el dole de timres que Aln. Cuántos timres tiene d uno? Llmemos x l número de timres de Aln e y l de Jun. Vmos expresr ls ondiiones del prolem medinte euiones: Si los dos tienen 600 timres, esto nos proporion l euión x + 46

5 Mtemátis I y = 600. Si Jun tiene el dole de timres que Aln, tendremos que y = x. Ams euiones junts formn el siguiente sistem: x + y = 600x - y = 0 Pr resolver el sistem por el método gráfio despejmos l inógnit y en ms euiones y tendremos: y = -x + 600y = x Vmos hor, pr poder representr ms rets, lulr sus tls de vlores: y = -x y = x x y x y Con ests tls de vlores pr ls dos rets y eligiendo ls esls propids en los ejes OX y OY, podemos y representr gráfimente: Si oservmos l gráfi, vemos lrmente que ls dos rets se ortn en el punto (00, 400), luego l soluión del sistem es x = 00 e y = 400. Por tnto, l respuest l prolem plntedo es que Aln tiene 00 timres y Jun tiene 400 euros. V. ESTRATEGIAS CENTRADAS EN EL APRENDIZAJE: A. Trz en un gráfi e interpret el sistem: x y = 4 -- () x + y = () B. Resuelve por sum o rest y/o sustituión y/o igulión: x y = 4 -- () x - 3y = 7 -- () x + y = 5 -- () 3x + y = 5 -- () 3x - y = () 4x + y = 5 -- () x + 3y = 7 -- () 5x 3x = - () C. Resuelve el Prolem Reto. Resuelve: x + y + = () 3 4 x x - y = () 3 47

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