CAPÍTULO 3: ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO (III)
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- Esteban Molina de la Fuente
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1 PÍTULO 3: LGUNS PROPIEDDES DEL TRIÁNGULO (III) Dnte Guerrero-hnduví Piur, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems
2 PÍTULO 3: LGUNS PROPIEDDES DEL TRIÁNGULO (III) Est or está jo un lieni retive ommons triuión- Noomeril-SinDerivds 2.5 Perú Repositorio instituionl PIRHU Universidd de Piur 2
3 UNIVERSIDD DE PIUR pítulo 3: lguns Propieddes del Triángulo (III). Ejeriios GEOMETRÍ FUNDMENTL Y TRIGONOMETRÍ LSES Elordo por Dr. Ing. Dnte Guerrero Universidd de Piur. 16 dipositivs
4 . EJERIIOS NOTIÓN Pr ls onstruiones gráfis se supondrá que sólo se usn l regl y el ompás, lápiz, orrdor y trjdor.,, Ldos,, Vérties,, Ángulos h. h, h m, m, m lturs Medins Dr. Ing. Dnte Guerrero 1
5 MÉTODO El método de los lugres geométrios, onsiste en determinr dos lugres geométrios en los que dee hllrse un punto usdo (onoidos por ls ondiiones que dee umplir diho punto). En l interseión de los dos lugres geométrios dee hllrse el punto que se us. MÉTODO LUGRES GEOMÉTRIOS Prolem Geométrio Soluión Geométri MÉTODO nálisis Figurs uxilires Síntesis onstruión Dr. Ing. Dnte Guerrero 2
6 MÉTODO Se supone el prolem resuelto Se identifin ls reliones entre los elementos NO NO Se visulizn lterntivs de soluión SI Se elige l soluión SI on ls reliones identifids se onstruye pso pso l soluión Figurs uxilires onstruión EJEMPLOS onstruir un triángulo onoiendo,, y. nálisis Podemos olor ritrrimente está distni de. Es deir, está en un irunfereni de entro y rdio. Primer lugr geométrio de. nálogmente, está tmién en otr irunfereni de entro y rdio. Segundo lugr geométrio de. omo 2 irunferenis sentes se ortn en 2 puntos, hrá 2 soluiones Dr. Ing. Dnte Guerrero 3
7 EJEMPLOS onstruir un triángulo onoiendo,, y. Síntesis 1 1. Elegimos ritrrimente los dtos siguientes: olomos en posiión; sus dos extremos son y 3. Desde trzmos un irunfereni de rdio Desde otr de rdio ; en su interseión está 2 5. Otenemos dos soluiones: 1 y el 2. EJEMPLOS onstruir un triángulo onoiendo, y nálisis Podemos olor () ritrrimente y opir el ángulo en. está en el 2º ldo del ángulo. Un ret, primer lugr geométrio de. está distni de. Es deir, en un irunfereni de entro y rdio. El segundo lugr geométrio de. Donde se orten dih ret y irunfereni, estrá el punto. Dr. Ing. Dnte Guerrero 4
8 EJEMPLOS onstruir un triángulo onoiendo, y Síntesis 1. Elegimos ritrrimente los dtos siguientes: olomos en posiión; sus dos extremos son y 3. Sore el extremo opimos el ángulo Trzmos un irunfereni de entro y rdio 5. En l interseión on l ret está ( 1, 2 ) Dr. Ing. Dnte Guerrero 5
9 NÁLISIS 1. onstruir gráfimente un triángulo, onoiendo, m y h olomos ritrrimente. h m Figur uxilir El vértie se enuentr un distni h de. Entones, trzmos un ret prlel que diste h de l mism. Este es el primer lugr geométrio de. Uimos el punto medio de y on este punto omo entro trzmos un irunfereni de rdio m Este es el segundo lugr geométrio de. En l interseión de l ret y de l irunfereni está el punto. omo l irunfereni ort l ret en 2 puntos, hrá 2 soluiones. SINTESIS Elegimos ritrrimente: 1 m 2 h m h olomos ritrrimente. Trzmos un ret prlel un distni h. on entro en el punto medio de, se trz un ro de irunfereni de rdio m. En l interseión de l ret on l irunfereni enontrmos ( 1, 2 ) Dr. Ing. Dnte Guerrero 6
10 FIGUR UXILIR 2. onstruir gráfimente un triángulo, onoiendo, y h. uánts soluiones puede her omo máximo? Podemos olor ritrrimente. h Figur uxilir El vértie se enuentr un distni del vértie. Entones, trzmos un irunfereni de entro en y rdio. Est irunfereni es el primer lugr geométrio de. demás, el vértie está un distni h de. Por lo tnto, trzmos un ret que diste h de. Est ret es el segundo lugr geométrio de. omo l irunfereni ort l ret en 2 puntos, hrá 2 soluiones. SINTESIS Elegimos ritrrimente: 2 1 h olomos ritrrimente. Trzmos un irunfereni de entro en y rdio. Trzmos un ret que diste h de. Ls interseión de l ret on l irunfereni uin los puntos 1 y 2 h Finlmente unimos on y on Dr. Ing. Dnte Guerrero 7
11 FIGUR UXILIR 3. onstruir gráfimente un triángulo, onoiendo,, +. Podemos onoer perfetmente el triángulo. Pr lo ul, olomos ritrrimente el segmento + ( ). Es el primer lugr geométrio. El vértie se enuentr en el segundo ldo del ángulo. Figur uxilir El es isóseles y l ltur on respeto es tmién su medin y meditriz. Por tnto si trzmos l meditriz de. Est ret es el segundo lugr geométrio de. L interseión de on l meditriz de, ui el punto. SINTESIS Elegimos ritrrimente: + Uimos ritrrimente () Trzmos el en el vértie, y uimos l distni += + Unimos on y otenemos el + Trzmos l meditriz de L interseión de l meditriz on el segmento +, señl el vértie Finlmente se trz el segmento y se define el Dr. Ing. Dnte Guerrero 8
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REPASO PARA EXAMEN SEMESTRAL DE MATEMÁTICAS III C D
REPASO PARA EXAMEN SEMESTRAL DE MATEMÁTCAS PRMER PARCAL PARTE A) LUGARES GEOMÉTRCOS ) Grfi ls siguientes funiones (tulr e - ): ) Enuentr tres prejs orens e funión (No grfir): B) DSTANCA ENTRE DOS PUNTOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
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CAPÍTULO 24: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS (IV)
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X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.
X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos
TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
INTROUIÓN L GEOMETRÍ GEOMETRÍ: Es un rm de ls mtemátis que se oup del estudio de propieddes de puntos, rets. polígonos, et.proviene del Griego GEO (tierr) METROS (medid). Podemos lsifir l Geometrí en dos
APUNTE: TRIGONOMETRIA
APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo
TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno
LSIFIION LOS TRINGULOS. TRINGULOS Los triángulos se lsifin según sus ldos y sus ángulos.. lsifiión de los triángulos según sus ldos.. Triángulo equilátero. s el que tiene sus tres ldos igules Sus tres
UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA
UNIDAD 1 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivos espeífios: 1. Reordrás
LA PROPORCIONALIDAD EN LOS TRIÁNGULOS
Proorionlidd en los triángulos Tles Mtemáti º Año Cód. 104-15 P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. D n i e l C n d i o P r o f. N o e m í L g r e P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z Dto. de
Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51
Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y
Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)
1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr
Triángulos congruentes
Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors
CAPÍTULO 24: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS (I)
ÍTUL 24: RESLUIÓ DE TRIÁGULS ESFÉRIS (I) Dnte Gueeo-hnduví iu, 2015 FULTD DE IGEIERÍ Áe Detmentl de Ingenieí Industil y de Sistems ÍTUL 24: RESLUIÓ DE TRIÁGULS ESFÉRIS (I) Est o está jo un lieni etive
b=c hipotenusa cateto
1. nstruir un triángul equiláter nid l ltur. 2. nstruir un triángul isóseles nid l ltur y ls lds igules y.. 1. Diujr un triángul equiláter ulquier n ld ulquier 2. Prlngr l ltur st 50 mm (punt ) 3. Prlngr
TRIGONOMETRÍA II = = ; procediendo igual que antes, pero con h : longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos).
TEMA: 1. TEOREMA DE LOS SENOS despejndo h de ms igulddes: En generl tendremos que resolver triángulos no retángulos, y, en ellos, no es posile plir ls definiiones de ls rzones trigonométris de sus ángulos.
Problemas de trigonometría
Prolems de trigonometrí Reliones trigonométris de un ángulo. Clulr ls rzones trigonométris de un ángulo α, que pertenee l primer udrnte, y siendo que 8 sin α. 7 sin α + os α 8 7 + os α os α 64 5 5 osα
AA = Eje menor La elipse.
3.. L elipse. 3... L elipse omo lugr geométrio. L elipse es el lugr geométrio del onjunto de puntos P(, ) u sum de ls distnis dos puntos fijos llmdos foos equivlen l dole de un onstnte (), l ul represent
4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.
9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
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α A TRIGONOMETRÍA PLANA
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ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.
GEOMETRÍA TRIÁNGULOS. 1. DEFINICIÓN: Si A, B y C son tres puntos no colineales entonces la unión de los segmentos
MISIÓN 2011-2 ONGRUENI E TRIÁNGULOS GEOMETRÍ TRIÁNGULOS 1. EFINIIÓN: Si, y son tres puntos no oinees entones unión de os segmentos, y se denomin triánguo y se denot omo. = /, y son puntos no oinees 1.1.
Trabajo Práctico N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
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Eje normal. P(x,y) LLR Eje focal
. L Hipérol...1 L Hipérol omo lugr geométrio. L hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos tles que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos es un onstnte. Los puntos fijos se
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Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles
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