La elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ

Transcripción

1 Definiión. L elipse Est Guí tiene..todas...ls respuests MALAS Se llm elipse, l lugr geométrio de los puntos de un plno u sum de distnis dos puntos fijos del mismo plno es onstnte. Los puntos fijos se ostumrn llmr foos. Euión: B, Disusión de l euión gráfio Interseiones on los ejes oordendos Interseión on el eje \ß Bœ de donde Z" Ð ß!Ñ Z Ðß!Ñson ls oordends de los vérties, l longitud del eje mor que es Þ Interseión on el eje ] ß œ, de donde F "!ß, F!ß, son ls oordends de los extremos del eje menor, u longitud es,þ Simetrís Al sustituir B por Bß l euión no vrí lo que indi que l urv tiene simetrí on respeto l eje ]ß nlogmente si se sustitue por ß es deir l urv es simétri on el eje \ß lo mismo suede undo se sustituen l vez B por Be por ß l euión no vrí, luego tiene simetrí on el origen de oordends, de quí que el origen reie el nomre de entro de simetrí. Dominio, Despejndo en términos de Bß se tiene œ È B ß lo que nos ondue : ŸBŸÞ Reorrido Despejndo B en términos de ß se tiene B œ, ß lo que nos ondue, È :,ŸŸ,Þ onvidd Nótese tmién que À si Ÿ B Ÿ Í, È B, Ð BÑß lo que nos indi que l urv es ónv hi jo!þ B 2 V 1 F F1 2 V 2 x 1/6 B 1 Prof. rlos Est Fuentes

2 Elementos de un elipse: 1. Sen J" J los foos de l elipse, l ret que ps por los foos se suele llmr eje folß en donde J -ß! J -ß! ß -!Þ " 2. El eje fol ort l urv en dos puntos Z" Z llmdos vérties, us oordends son À Z ß! Z ß! " $ÞEl segmento del eje fol omprendido entre los vérties, ZZß " se llm eje mor u longitud es Þ El vlor de se llm semieje mor. %Þ El punto medio G de l urvþ del segmento que une los foos, se llm entro de simetrí &Þ L ret que ps por G es perpendiulr l eje fol se llm eje norml. 6. El segmento del eje norml omprendido entre los puntos, FFß " se llm eje menor u longitud es,þ El vlor de, se llm semieje menor. (Þ ulquier ret que ps por el entro de simetrí Gß se llm diámetro de l elipse. 8. El segmento que ps por un foo ort l elipse en los puntos E" E se llm uerd fol. 9. Todo segmento omprendido entre un foo un punto de l elipse se llm rdio fol. 10. Un uerd que ps por un foo es perpendiulr l eje fol se llm ldo reto, su longitud es igul, B ""Þ Por onvenio, tomremos siempre,ß si es el so, los, B vérties de l elipse en sore el eje \ß si fuese ß los vérties se, enuentrn sore el eje ]Þ Otr form de l euión de un elipse "Þ Se define por exentriidd de l elipse ß l uoiente entre l distni desde un foo l entro de simetrí l longitud del semieje mor, es deir - /œ ß note que siempre / " Oserve que si /Ä! l elipse tiende un irunfereni si /Ä" l elipse tiende un trzo. Se el punto Ð2ß 5Ñ el entro de simetrí de un elipse, por tnto ls euiones de w w trslión prlel de los ejes oordendos son: BœB 2e œ 5ß l euión de l elipse on respeto los nuevos ejes \] w w uo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es: w w B ÐB 2Ñ Ð 5Ñ de donde,, 2/6 Prof. rlos Est Fuentes

3 Osérvese que los vérties son: los foos: JÐ2 -ß5Ñ " ZÐ2 ß5Ñ " JÐ2 -ß5Ñ ZÐ2 ß5Ñ Anlogmente pr el so de V 1 F1 2 F V 2 Ð 5Ñ ÐB 2Ñ, uo gráfio es k h h x O k x Tngeni. L euión de l tngente l elipse o hipérol TÐBßÑ!!! de ell es B! B!, B en el punto, B!! En efeto, TÐBßÑ!!! pertenee ests urvs entones ", se! œ7ðb B! Ñ l euión de l tngente en uestión, entones efetundo l interseión de est tngente on ls urvs result, B Ò! 7ÐB B! ÑÓ œ,, B! imponiendo l ondiión de tngeni? œ!ßresult 7œ ßpor tnto de, B se tiene!! œ ÐB B Ñ de quí oupndo " se otiene!! B! B!, por supuesto que el signo " " pr l elipse el " " pr l hipérol! Pr los sos de ÐB 2Ñ Ð 5Ñ, ls euiones de ls tngentes en TÐBßÑ!!! son ßrespetívmente ÐB! 2ÑÐB 2Ñ Ð 5ÑÐ 5Ñ!, l demostrión se dej propuest. 3/6 Prof. rlos Est Fuentes

4 Euión generl Un euión de l form EB G HB I J œ! " Represent el lugr geométrio de un elipse rel, si solo si EG! on E Á G J ß note que si EœG %EJ H I ßel lugr, es el de un irunfereni EG! on E Á G J œ ß entones el lugr se resume un punto EG! on E Á G J ß entones se die que no h un lugr geométrio rel Pr el so de un hipérol, EG! J Á ß entones el lugr geométrio es el de un hipérol rel EG! J œ ß entones el lugr geométrio es el de rets que se ortn. L demostrión de ests firmiones, se dej l estudinte. Ejeriios Þ Propuestos $ 1. Hllr l euión de l elipse que ps por el punto Œ"ß È$ tiene un exentriidd de È& Þ %B! $* 2. Los puntos $ß! $ß! son los foos de un elipse l longitud de ulquier de sus ldos retos es *Þ Hllr l euión del elipse. (B $'!&$ 3. Un elipse está entrd en el origen su eje mor oinide on el eje su euión siendo que ps por los puntos Š È'ß " Š ß È Þ BÞ Hllr B œ ). 4/6 Prof. rlos Est Fuentes

5 4. Si 5 es un número positivo. Demostrr que l euión $B % œ 5 represent " un fmili de elipses, u exentriidd es. 5. El entro de un elipse es el punto ß % ß el vértie el foo de un mismo ldo del entro son los puntos ß % "ß % respetivmente. Hllr l euión de l elipse, su exentriidd, l longitud de su eje menor l de d ldo reto. ( B "' % "ß / œ!þ(&ß, œ È(ß 6. Dd l elipse B % 'B "' " œ!ßdetermine: L euión nóni, su entro de simetrí, vérties, foos, longitudes de sus ejes mor menor, longitud de su ldo reto exentriidd. B $ % œ%à $ß à &ß ßÐ"ß Ñà Š $ È$ß ß È Š È $ $ $ß à % à "à Þ 7. Desde el punto ß ( ß se trzn prlels l elipse B B $ œ!þ Hllr ls oordends de los puntos de ontto. "$ * "ß " à Œ ß * * 8. Hllr ls euiones de l s tngentes elipse que son perpendiulres l ret B &œ!þ B " œ!à $B $ "$ œ! ( $B %B $œ! 9. Hllr l euión de l tngente trzd desde el l elipse,b œ,ß Note que?ß@ no pertenee l 10. Por el punto T ß( se trzn tngentes l elipse B B $œ Hllr ls oordends de los puntos de ontto. "$ * "ß " ß Œ ß * * 11. Hllr ls euiones de ls tngentes l elipse son perpendiulres l ret B &œ! B "à $B $ "$ œ! $B %B $œ! que 5/6 Prof. rlos Est Fuentes

6 12. Determine l euión de l elipse que tiene por vérties los puntos de interseión de ls síntots de l hipérol *B % $'B $ '% œ! on el eje ] ß $ È$ que ps por el punto Ð ß$Ñ Þ 13. Ddos los foos J "ß$ J ß" l longitud del eje mor que es 8, otener l euión los elementos de l elipse. "B %B "& )B '! ""' œ! È 14. Hllr l euión de l elipse que ps por el punto Š ( ß$ ß tiene su entro en el origen, su eje menor oinide on el eje \ l longitud de su eje mor es el dole de l de su eje menor. 15. El punto medio de l uerd de un elipse es &ß Þ Hllr l euión de l uerd, si l elipse tiene por euión B % 'B ) $ œ!þ 16. Determinr ls euiones de ls tngentes trzds desde el punto elipse u euión es: B $ B & œ!þ $ß " l 6/6 Prof. rlos Est Fuentes