Capítulo " 2 La elipse y la hipérbola
|
|
- Clara Peña Giménez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Cpítulo " 2 L elipse l hipérol 12. " Definición. Se llm elipse, l lugr geométrico de los puntos de un plno cu sum de distncis dos puntos fijos del mismo plno es constnte. Los puntos fijos se costumrn llmr focos. P(, ) F ( c, ) F ( c, ) 1 o 2 o Ecución: Considerndo los focos sore el eje \ l distnci constnte l denotremos por ß!ß se T ÐBß CÑ un punto culquier que pertenece dicho lugr geométrico sen J" -ß! J -ß! ß -!ß ls coordends de los focosß entonces de l definición se tiene de donde se otiene l ecución TJ TJ œ " ÈÐB -Ñ C ÈÐB -Ñ C œ % - B œ B - C " Nótese que en el triángulo JTJ " se tiene que TJ TJ J J Ê - " " Ahor de " result À Ð - ÑB C œ Ð - Ñ se, œ - Í -, en tl cso,b C œ, de quí
2 Discusión de l ecución B C œ ", gráfico Intersecciones con los ejes coordendos Intersección con el eje \ß Bœ de donde Z" Ð ß!Ñ Z Ðß!Ñson ls coordends de los vértices, l longitud del eje mor que es Þ Intersección con el eje ] ß C œ, de donde F "!ß, F!ß, son ls coordends de los etremos del eje menor, cu longitud es,þ Simetrís Al sustituir B por Bß l ecución no vrí lo que indic que l curv tiene simetrí con respecto l eje ]ß nlogmente si se sustitue C por Cß es decir l curv es simétric con el eje \ß lo mismo sucede cundo se sustituen l vez B por Be C por Cß l ecución no vrí, luego tiene simetrí con el origen de coordends, de quí que el origen recie el nomre de centro de simetrí. Dominio, Despejndo C en términos de Bß se tiene C œ È B ß lo que nos conduce : ŸBŸÞ Recorrido Despejndo B en términos de Cß se tiene B œ, C ß lo que nos conduce, È :,ŸCŸ,Þ Concvidd Nótese tmién que À si Ÿ B Ÿ Í, È B, Ð BÑß lo que nos indic que l curv es cóncv hci jo C!Þ B 2 V 1 F F1 2 V 2 c B 1 c
3 Elementos de un elipse: 1. Sen J" J los focos de l elipse, l rect que ps por los focos se suele llmr eje foclß en donde J -ß! J -ß! ß -!Þ " 2. El eje focl cort l curv en dos puntos Z" Z llmdos vértices, cus coordends son À Z ß! Z ß! " $ÞEl segmento del eje focl comprendido entre los vértices, ZZß " se llm eje mor cu longitud es Þ El vlor de se llm semieje mor. %Þ El punto medio G de l curvþ del segmento que une los focos, se llm centro de simetrí &Þ L rect que ps por G es perpendiculr l eje focl se llm eje norml. 6. El segmento del eje norml comprendido entre los puntos, FFß " se llm eje menor cu longitud es,þ El vlor de, se llm semieje menor. (Þ Culquier rect que ps por el centro de simetrí Gß se llm diámetro de l elipse. 8. El segmento que ps por un foco cort l elipse en los puntos E" E se llm cuerd focl. 9. Todo segmento comprendido entre un foco un punto de l elipse se llm rdio focl. 10. Un cuerd que ps por un foco es perpendiculr l eje focl se llm ldo recto, su longitud es igul, B C ""Þ Por convenio, tomremos siempre,ß si es el cso œ ", los, B C vértices de l elipse cen sore el eje \ß si fuese œ "ß los vértices se, encuentrn sore el eje ]Þ "Þ Se define por ecentricidd de l elipse ß l cuociente entre l distnci desde un foco l centro de simetrí l longitud del semieje mor, es decir - /œ ß note que siempre / " Oserve que si /Ä! l elipse tiende un circunferenci si /Ä" l elipse tiende un trzo. " 2Þ2 Otr form de l ecución de un elipse
4 Se el punto Ð2ß 5Ñ el centro de simetrí de un elipse, por tnto ls ecuciones de w w trslción prlel de los ejes coordendos son: BœB 2e CœC 5ß l ecución de l elipse con respecto los nuevos ejes \] w w cuo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es: Osérvese que los vértices son: los focos: w w B C ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ œ " de donde œ ",, JÐ2 -ß5Ñ " ZÐ2 ß5Ñ " JÐ2 -ß5Ñ ZÐ2 ß5Ñ F F1 2 V 1 V 2 k c c h Anlogmente pr el cso de cuo gráfico es ÐC 5Ñ ÐB 2Ñ, œ " h O k
5 12.3 Definición. Se llm hipérol, l lugr geométrico de los puntos de un plno cu diferenci de distncis dos puntos fijos del mismo plno es constnte. Los puntos fijos se costumrn llmr focos. P(, ) F ( c, ) F ( c, ) 1 o 2 o Ecución: Considerndo los focos sore el eje \ l distnci constnte l denotremos por ß!ß se T ÐBß CÑ un punto culquier que pertenece dicho lugr geométrico sen J" -ß! J -ß! ß -!ß ls coordends de los focosß entonces de l definición se tiene de donde se otiene l ecución TJ" TJ œ ¹ ÈÐB -Ñ C ÈÐB -Ñ C ¹ œ % - B œ B - C " Nótese que en el triángulo JTJ " se tiene que ltj TJ l JJ Ê- " " Ahor, de " result À Ð- ÑB C œ Ð- Ñ se, œ- Í- -, en tl cso,b C œ, de quí Discusión de l ecución B C œ ", gráfico Intersecciones con los ejes coordendos Intersección con el eje \ß Bœ de donde Z" Ð ß!Ñ Z Ðß!Ñson ls coordends de los vértices.
6 Intersección con el eje ]ß no tiene. Simetrís Al sustituir B por Bß l ecución no vrí lo que indic que l curv tiene simetrí con respecto l eje ]ß nlogmente si se sustitue C por Cß es decir l curv es simétric con el eje \ß lo mismo sucede cundo se sustituen l vez B por Be C por Cß l ecución no vrí, luego tiene simetrí con el origen de coordends, de quí que el origen recie el nomre de centro de simetrí. Dominio, Despejndo C en términos de Bß se tiene C œ È B ß lo que nos conduce : BŸ B Recorrido Despejndo B en términos de Cß se tiene B œ, C ß lo que nos conduce, È : _ŸCŸ_Þ Concvidd Nótese tmién que À si B Ÿ B Í, È B, ÐB Ñß lo que nos indic que l curv es cóncv hci jo C!Þ = F1 V1 V2 F2 c c = Elementos de un hipérol: 1. Sen J" J los focos de l hipérol, l rect que ps por los focos se suele llmr eje rel o trsversoß en donde J -ß! J -ß! ß -!Þ " 2. El eje rel cort l curv en dos puntos Z" Z llmdos vértices, cus coordends son À Z ß! Z ß! "
7 $Þ El vlor de se llm semieje rel. El vlor de, se conoce por semieje conjugdo o imginrio. %Þ El punto medio G de l curvþ del segmento que une los focos, se llm centro de simetrí &Þ L rect que ps por G es perpendiculr l eje rel se llm eje imginrio. 6Þ Culquier rect que ps por el centro de simetrí Gß se llm diámetro de l hipérol. 7. El segmento que ps por un foco cort l hipérol en los puntos E se llm cuerd focl. E " 8. Todo segmento comprendido entre un foco un punto de l hipérol se llm rdio focl. 9. Un cuerd que ps por un foco es perpendiculr l eje focl se llm ldo recto, su longitud es igul, "Þ 0 Si es el cso B C œ", los vértices de l hipérol cen sore el eje \ß, C B si fuese los vértices se encuentrn sore el eje, œ "ß ]Þ "Þ 1 Se define por ecentricidd de l hipérol ß l cuociente entre l distnci desde un foco l centro de simetrí l longitud del semieje mor, es decir - /œ ß note que siempre / ", B C "Þ 2 Ls rects Cœ Bßse llmn síntots de l hipérol œ", en, tnto que Cœ Bß son ls síntots de l hipérol C B œ",, 12Þ2 Otr form de l ecución de un hipérol Se el punto Ð2ß 5Ñ el centro de simetrí de un hipérol, por tnto ls ecuciones de trslción prlel de los ejes coordendos son: w BœB 2 e w CœC 5ß
8 l ecución de l hipérol con respecto los nuevos ejes \] w w cuo origen es el punto Ð2ß 5Ñ, es: Osérvese que los vértices son: los focos: w w B C ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ œ " de donde œ ",, JÐ2 -ß5Ñ " ZÐ2 ß5Ñ " JÐ2 -ß5Ñ ZÐ2 ß5Ñ k = ( h) F1 V1 V2 F2 k c c k = ( h) h Note que ls ecuciones de sus síntots son en este cso Anlogmente pr el cso de C 5œ, ÐB 2Ñ cuo gráfico es ÐC 5Ñ ÐB 2Ñ, œ " F 1 k = ( h) c V 1 c V 2 k F 2 k = ( h) h
9 12.3 Tngenci. L ecución de l tngente l elipse o hipérol TÐBßCÑ!!! de ell es B! B C! C œ ", B C en el punto, œ " B! C! En efecto, TÐBßCÑ!!! pertenece ests curvs entonces œ " ", se C C! œ7ðb B! Ñ l ecución de l tngente en cuestión, entonces efectundo l intersección de est tngente con ls curvs result, B ÒC! 7ÐB B! ÑÓ œ,, B! imponiendo l condición de tngenci? œ!ßresult 7œ ßpor tnto de C, B se tiene C C!! œ ÐB B Ñ de quí ocupndo " se otiene C!! B! B C! C œ ", por supuesto que el signo " " pr l elipse el " " pr l hipérol! Pr los csos de ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ, œ " ls ecuciones de ls tngentes en TÐBßCÑ!!! son ßrespectívmente ÐB! 2ÑÐB 2Ñ ÐC 5ÑÐC 5Ñ!, œ " l demostrción se dej propuest Ecución generl Un ecución de l form EB GC HB IC J œ! "
10 Represent el lugr geométrico de un elipse rel, si solo si H I EG! con E Á G J ß %E %G note que si EœG %EJ H I ßel lugr, es el de un circunferenci H I EG! con E Á G J œ ß entonces el lugr se resume un punto %E %G H I EG! con E Á G J ß entonces se dice que no h un lugr %E %G geométrico rel Pr el cso de un hipérol, H I EG! J Á ß entonces el lugr geométrico es el de un hipérol %E %G rel H I EG! J œ ß entonces el lugr geométrico es el de rects que %E %G se cortn. L demostrción de ests firmciones, se dej l estudinte. 12Þ5 Ejercicios Resueltos 1. Determine: vértices, focos ls ecuciónes de ls síntots de l hipérol Solución. B C )B C $œ! ÐB Ñ ÐC "Ñ Completndo cudrdos se otiene œ " de quí se % deducen: œ Èß,œ -œ È' con lo que Z Ð Èß "Ñß Z Ð Èß "Ñ ß J Ð È'ß "Ñ J Ð È'ß "Ñ " " ls ecuciónes de sus síntots C "œ ÈÐB Ñ 2. Hllr l ecución de l elipse que ps por el punto Š ß$ ß tiene su centro en el origen, su eje menor coincide con el eje \ l longitud de su eje mor es el dole de l de su eje menor. È (
11 Solución. B C L ecución pedid es de l form œ "ß donde œ, entonces, B C œ " como el punto, %, ( % È( pertenece l elipse se dee tener ß$ * B C œ " Ê, œ %ß con lo que œ ", %, % "' 3. Los vértices de un hipérol son los puntos "ß$ $ß$ su ecentricidd $ es. Hllr l ecución de l hipérol, ls coordends de sus focos ls longitudes de sus ejes trnsverso, conjugdo de cd ldo recto. Solución. Nótese que su centro de simetrí es el punto "ß $ entonces su ecución es de l form ÐB "Ñ ÐC $Ñ, donde, œ " œ % È como /œ - œ, œ $ Ê, œ&ßentonces ÐB "Ñ ÐC $Ñ œ" % & Ahor como - œ$ê J Ð ß$Ñ J Ð%ß$Ñ " Longitud del eje trsverso œ %ß longitud del eje conjugdo, œ È& l longitud de cd ldo recto, œ& %Þ Hllr l ecución de l hipérol que tiene por focos vértices los vértices focos B C de l elipse œ ", luego encuentre ls ecuciones de sus síntots. & * Solución = V1 V2 5 5 = 3 4 Pr l elipse œ &, œ * Ê - œ "'
12 Pr l hipérol œ 16 - œ * Ê, œ "' Por tnto l ecución pedid es C œ " B "' * Ls ecuciones de sus síntots son Cœ 5. Demostrr que el triángulo formdo por un tngente culquier un hipérol sus síntots tiene un áre constnte $ B % Demostrción. Sin perder generlidd se puede tomr l hipérol de ecución B C œ ", A = F 1 V 1 O B P 0 F 2 c Se T!?ß@ que pertenece l hipérol, entonces œ " ", L ecución de l tngente en T está dd œ,!, Ls ecuciones de ls síntots son: Cœ B $ Resolviendo el sistem formdo por $ ß otenemos ls coordends de E Fß es decir À EÐ, ß, Ñ FÐ, Ahor, el áre del triángulo SEF está ddo por E</ œ!! " ",, $ $ @,, â pero de " œ, con lo que finlmente E</ œ,
13 6. Demuestre que l norml un elipse en uno culquier de sus puntos, es isectriz del ángulo formdo por los rdios vectores de ese punto. Solución. No se pierde generlidd l tomr l elipse cu ecución es,b C œ, " Se ( l norml l elipse en un punto T!?ß@ de l curv. η P 0 α β F1 F2 Sen! el ángulo formdo por JT "! ( ß " el ángulo entre JT! (, vmos demostrr que! œ " Þ Semos que l ecución de l tngente en Tß! está dd por en que su pendiente es 7 œ,? por tnto 7 Por otr prte ls pendientes de los rdios vectores JT "! respectivmente À ß entonces? >1 œ? -,?,?@?@ -@! -,? imponiendo l relción - œ, l œ, -@ simplificndo result >1! œ ", -@ Anlogmente se otiene tmién que >1 " œ, Por tnto por " se tiene! œ " Þ 7. Demostrr que ls tngentes l elipse,b C œ, l circunferenci B C œ en T! Ð?ß@ " Ñ U!?ß@? Á! respectivmente, se cortn en un mismo punto sore el eje \Þ Demostrción. Ls tngentes respectivs en los puntos indicdos son.
14 ,?B " intersecndo cd un con el eje \ß se otiene el punto Ð ß!Ñ en mos csos.? 8. Demostrr que ls tngentes l elipse,b C œ, en un dirección 7 son: Cœ7B È 7, Demostrción. Se el hz de rects tngentes dds por: Cœ7B 8ß dd se tiene Ð, 7 ÑB 78 B Ð8, Ñ œ! intersecndo con l elipse Ahor, imponiendo l condición de tngenci œ! result % %7 8 %Ð, 7 Ñ Ð8, Ñœ! de donde resolviendo pr 8ß se otiene 8 œ È 7, luego l tngente es È Cœ7B 7,. 9. Determine el lugr geométrico de los puntos desde donde se puedn trzr tngentes perpendiculres entre si l elipse,b C œ,. Solución. Sen Cœ7B È 7, ls tngentes l elipse dd en ciert dirección B 7ß con 7 Á! sus perpendiculres serán de l form C œ Ê, 7 7 Eliminndo el prámetro 7 entre ms fmilis, otenemos los puntos de intersección, que es el lugr geométrico en cuestión De l primer se otiene C 7Bœ È 7, De l segund se otiene B 7Cœ È 7, De donde elevndo l cudrdo cd un sumndo miemro miemro se tiene Ð" 7 ÑC Ð" 7 ÑB œ Ð" 7 Ñ, Ð" 7 Ñ de quí result l circunferenci con centro en el origen rdio decir B C œ, ß que es l ecución del lugr geométrico pedido. È, es 10. Encontrr l ecución del lugr geométrico de ls proecciones de los focos de l elipse,b C œ, sore ls tngentes l mism en un dirección 7ß con 7Á! dd.
15 Solución. Semos que l fmili de tngentes l elipse dd en ciert dirección dds por 7ß están Cœ7B È7, ÍC 7BC 7 B œ 7, ß " Ls perpendiculres ests tngentes porlos focos, están dds por " Cœ ÐB -Ñ Í7C Bœ -Í7 C 7BC B œ- œ, 7 Eliminndo el prámetro 7 entre est últim ecución " se otiene l ecución del lugr geométrico pedido, que result ser À B C œ Þ 11. El punto medio de l cuerd de un elipse es &ß Þ Hllr l ecución de l cuerd, si l elipse tiene por ecución B %C 'B )C $ œ!þ Solución. Se C œ7ðb &Ñl ecución de l cuerd en cuestión, intersecndo con l ecución de l elipse dd, otenemos: Ð" %7 ÑB Ð)7 %!7 'ÑB "!!7 %!7 $ œ! semos que si B B son ls ríces de ést últim ecución, se cumple que " )7 %!7 ' B " B œ ß por otr prte tmién B B œ 10 " %7 " entonces, ' %!7 )7 œ "!Ð" %7 Ñ de quí se otiene 7 œ " por " tnto l ecución de l cuerd result ser C œ ÐB &ÑÞ 12. Se 6 l tngente en T?ß@ l elipse, B C œ,. Sen X" X ls intersecciones de 6 con ls tngentes trzds desde los vértices de l elipse. Demostrr que l circunferenci que tiene por diámetro el trzo XX " ps por los focos Demostrción. T 1 F F1 2 P( u, v) T 2
16 Primero ß determinmos ls coordends de X" X ß intersecndo l ecución de l tngente en Tß que está dd con Bœ ßde donde resultn: X ß, "? X ß, "? " Œ Š Por otr prte l ecución de l circunferenci que ps por los puntos dimetrlmente opuestos, est dd por,?,? ÐB ÑÐB Ñ ÒC Š " ÓÒC Š " Est circunferenci cundo cort l eje B se dee tener C œ!ß sí result % X X ",? B " œ!ß pero como T?ß@ stisfce l ecución de elipse, œ, Í" œ sí se tiene, B, œ! Í B œ, œ - Í B œ -ß luego l circunferenci ps por los focos. 13. Demuestre que el producto de ls distncis desde los focos de un elipse, un tngente culquier de ell, es constnte. Demostrción. P( u, v) F1 OA F2 Semos que l ecución de l tngente en el punto TÐ?ß@Ñ de l elipse, está dd por tnto ls distncis.". desde los focos J -ß! J -ß! son: " Así, l -?,, l l-?,, l." œ. 2 œ % % % % % % % l-?,, l.. " œ ß pero?, œ, - œ, Entonces,
17 % % % l-? l l-? l l-? l.. " œ, œ, %?,? Ð" Ñ %?,? %, % l-? l % -? % % œ, œ, œ,? Ð, Ñ -? 14. Determinr ls ecuciones de ls tngentes trzds desde el punto $ß " l elipse cu ecución es: B $C B C & œ!þ Solución. Ls ecuciónes de l tngentes mencionds son de l form C "œ7ðb $Ñßintersecndo con l elipse se otiene: Ð $7 ÑB Ð ")7 (7 "ÑB (7 "7 " œ! Imponiendo l condición de tngenci œ!ê Ð ")7 (7 "Ñ %Ð $7 ÑÐ(7 "7 "Ñ œ! resolviendo pr 7 se otiene: 7 œ " 7 œ * " con lo que resultn "*" B C œ! *B "*"C ") œ! 15. Los etremos de l se de un triánguloson los puntos E!ß! F $ß! ÞHllr l ecución del lugr geométrico del vértice G si se mueve de modo que el ángulo de l se GFE es siempre igul l dole del ángulo GEF Solución. C(, ) α 2α A B De l figur se tiene que: Eliminndo el prámetro vértice GÞ Semos que À >1! C C œ >1 œ ß Á! prámetro B! $ B!! se otendrá l ecución del lugr geométrico del >1 C C >1 œ Í œ B! C! Í ÐB "Ñ œ " " >1! $ B $ " C B Se trt de un hipérol centrd en el punto "ß!
18 16. Pror que l norml l hipérol equiláter B C œ œ?@þ Prue. L tngente está dd por l œ por tnto su pendiente es 7 œ? > entonces l pendiente de l norml en dicho 7( œ Por tnto l ecución de l norml en dicho punto es ÐB?Ñde quí? se œ?@þ 17. Demostrr que en un hipérol equiláter l distnci de un punto de ell, l centro de simetrí es medi proporcionl geométric entre sus distncis focles. Demostrción. P(, ) F o 1 F2 = c = L ecución de l hipérol es De l figur À ST œ B C, B C œ se cumple que - œ " T J " T J œ ÖÒÐB -Ñ C ÓÒÐB -Ñ C Ó " % œ ÒÐB C Ñ - - ÐB C ÑÓ % œb C œ ST ß pues - - ÐB C Ñœ! 18. Demostrr que l prte de l norml de un hipérol comprendid entre los ejes coordendos qued dividid por l curv en l rzón, Demostrción.
19 A P P( u, v) 1 O B Vmos demostrr que TE T" E œ œ TF T S, " Determinemos ls coordends de Eß pr lo cul otenemos l ecución de l norml en el punto de tngenci T?ß@ ß que B?, C œ?@ð, Ñ intersecndo con el eje Cß result, E ß por otr prte note que T Ð!ß@Ñentonces se tiene, @ TE " ßTSœ@ßluego œ " ",, T S, " 19. L tngente en un punto T de l hipérol, B C œ, cort l eje trnsversl en Xß l rect ST cort en V l tngente en Eß demostrr que VX es prlel TEÞ Solución. R P( u, v) O T A Semos que l tngente en T?ß@ l hipérol está dd por,
20 ßintersecndo con el eje Bse tiene XŒ ß! intersecndo Bœ con l rect ST cu ecución es Cœ V ß ß 7 Š entonces VX œ œ 7 ß VXllTEÞ?? por tnto EX? 20. Se un cuerd cuo punto medio es %ß " de l hipérol B $C œ ', Hllr su ecución. Solución. Se l ecución de l cuerd tiene: C "œ7b % " $7 B Ð%7 '7ÑB %)7 %7 * œ! intersecndo con l hipérol se %7 '7 " de quí se se que B " B œ de donde ÐB B Ñ œ %ß luego " $7 " %œ "7 $7 Í7œ % ßpor tnto C "œ % B % es l ecución en " $7 $ $ cuestión. 21. Desde el foco de l hipérol,b C œ, se trz un perpendiculr un de sus síntots. Demostrr que su pie tiene ls distncis, l centro de simetrí l foco de l hipérol respectivmente. Demostrción. O d 1 d 2 F 1 ( c,0) L ecución de l síntot que se muestr en l figur es l, -!l,-. œ œ œ, È, - L rect por el foco perpendiculr l síntot es otenemos B,C - œ!ß con lo que,b C œ!ß por tnto Cœ ÐB -Ñ, de quí
21 l!,! -l -." œ œ œ È, Desde el foco de un hipérol, como centro se descrie un circunferenci con rdio igul l semieje conjugdo. Demostrr que ést circunferenci es tngente ls síntots en los puntos que cortn l directriz. Demostrción. L ecución de l circunferenci menciond es B - C œ, ls, ecuciones de ls síntots son: Cœ Bßefectundo l intersección con l, circunferenci se tiene B - B œ, resolviendo Bœ Ê -, Cœ ßsolo dos interseccciones un por cd síntot demás es tngente en - los puntos de intersección con l directriz pues recordemos que su ecución es Bœ Bjo que ángulos se cortn l hipérol equiláter B C œ l circunferenci B C œ * Þ Solución. Efectundo l intersección de ms curvs otenemos 4 puntos, que son: T Š È&ß ß T Š È&ß ß T Š È&ß T Š È&ß " $ % st considerr Tß " determinmos ls tngentes ms curvs en este punto, es decir > À È " " &B C œ Ê 7" œ È& > À È " &B C œ * Ê 7 œ È& Luego el ángulo en cuestión estrá ddo por >1 œ 7 7 " ) œ % È& Ê ) œ )$ß ' " 7 7" 24. Demostrr que el producto de ls distncis de culquier punto de l hipérol B C œ sus síntots es constnte. Solución. Se T B ßC!!! un punto culquier de l hipérol, entonces: lb! CllB!! Cl! lb! C! l ".. " œ œ œ ßpues È È T! pertenece l hipérol.
22 25. Determine l ecución de l hipérol siendo que sus síntots son ls rects B C "œ!ß C B $œ!ß cuo eje rel es prlelo l eje ] que ps por el punto!ß % Þ Solución. El centro de simetrí de l hipérol en cuestión, está en l intersección de sus síntots, ddo por l solución de que result ser "ß B C "œ! C B $œ! sí l ecución pedid es ÐC Ñ ÐB "Ñ, œ " pero como CœB $Ê œ"íœ,, como l hipérol ps por el punto, Ð% Ñ Ð! "Ñ!ß % Ê œ " Í, œ $Þ Así result l ecución dd por,, ÐC Ñ ÐB "Ñ œ " $ $ 26. Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve de tl mner que su distnci l eje ] es siempre igul l mitd de su distnci l punto $ß Þ Grfique l curv. Solución. Y Y P(, ) 2 2 O 3 X 1 X TBßC dee cumplir " ÐB "Ñ ÐC Ñ lbl œ ÈÐB $Ñ ÐC Ñ Í œ " % " Se trt de un hipérol de centro de simetrí G "ß
23 12Þ6 Ejercicios Propuestos $ 1. Hllr l ecución de l elipse que ps por el punto Œ"ß È$ tiene un ecentricidd de È& Þ %B!C œ "$* 2. Los puntos $ß! $ß! son los focos de un elipse l longitud de culquier de sus ldos rectos es *Þ Hllr l ecución del elipse. (B $'C œ "!&$ 3. Si TÐ?ß@Ñ es un punto culquier de l elipse, B C œ, Þ Demostrr que los rdios vectores son: < œ /? < œ /?Þ " %Þ Hllr l ecución del lugr geométrico de los puntos que dividen ls ordends de los puntos de l circunferenci B C œ "' en l rzón " À %Þ B &C œ "'. 5. Un elipse está centrd en el origen su eje mor coincide con el eje BÞ Hllr su ecución siendo que ps por los puntos Š È'ß " Š ß È Þ B C œ ). 6. L se de un triángulo es de longitud fij, siendo sus etremos los puntos!ß! 'ß! Þ Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico del vértice opuesto que se mueve de modo que el producto de ls tngentes de los ángulos de ls ses es siempre igul %Þ %B C %B œ!. 7. Los etremos de un diámetro de l elipse,b C œ, son T" TÞ Si J es uno de los focos de l elipse. Demostrr que l sum de los rdios vectores JT " JT es igul l longitud del eje mor.
24 8. Si 5 es un número positivo. Demostrr que l ecución $B %C œ 5 represent " un fmili de elipses, cu ecentricidd es. 9. El centro de un elipse es el punto ß % ß el vértice el foco de un mismo ldo del centro son los puntos ß % "ß % respectivmente. Hllr l ecución de l elipse, su ecentricidd, l longitud de su eje menor l de cd ldo recto. ( B "' C % œ ""ß / œ!þ(&ß, œ È(ß 10. Dd l elipse B %C 'B "'C " œ!ß determine: L ecución cnónic, su centro de simetrí, vértices, focos, longitudes de sus ejes mor menor, longitud de su ldo recto ecentricidd. B $ % C œ%à $ß à &ß ßÐ"ß Ñà Š $ È$ß ß È Š È $ $ $ß à % à "à Þ 11. Desde cd punto de l circunferenci B C %B %C ) œ! se trz un perpendiculr l diámetro prlelo l eje BÞ Hllr l ecución del lugr gemétrico de los puntos medios de ests perpendiculres. B %C %B "'C % œ! 12. Demostrr que ls tngentes un elipse trzds desde los etremos de un diámetro culquier son prlels entre si. 13. Desde el punto ß ( ß se trzn prlels l elipse B C B $C œ!þ Hllr ls coordends de los puntos de contcto. "$ * "ß " à Œ ß * * 14. Hllr ls ecuciones de ls tngentes elipse $B C %B C $œ! que son perpendiculres l rect B C &œ!þ B C " œ!à $B $C "$ œ! ( 15. Hllr l ecución de l tngente trzd desde el l elipse
25 ,B C œ,ß Note que?ß@ no pertenece l 16. Demostrr que ls tngentes un elipse en dos puntos dimetrlmente opuestos, son prlels. 17. Pr que vlores del prámetro >ß los puntos de l form " >ß > se encuentrn en el interior de l elipse. "Ÿ>Ÿ % & 18. Dds: l elipse, B C œ,, l circunferenci B C œ, l rect C :œ!ßést ultim intersec l eje Cen el punto Rß l circunferenci en U RT l elipse en TÞDemostrr que se verific œ Þ RU, 19. Si U son puntos de ls circunferencis inscrit einscrit un elipse, de modo que un punto T de l elipse tiene l ordend de U l scis de U w Þ Demostrr que l rect UU w ps por el origen de coordends. U w 20. El punto medio de un cuerd de l elipse,b C œ, es?ß@ Encontrr l ecución de l cuerd.,? 21. Demostrr que el módulo de l pendiente, de ls tngentes trzds desde el punto donde un ldo recto cort l elipse es igul su ecentricidd. 22. El ldo recto de un elipse cort ell en Vß se trz un cuerd por el foco J"-ß! por el punto Ð!ß,Ñ que cort en T dich elipse. Demostrr que siendo J el otro foco. JT œ JF JV JV " " " 23. Demostrr que en tod elipse, l sum de los cudrdos de dos semidiámetros conjugdos es igul l sum de los cudrdos de los dos semiejes. 24. Un segmento EF de longitud ' uniddes se desliz de form que sus etremos se pon sore los ejes crtesinos rectngulres. Entre los puntos E F se elige un punto tl que TE œ TFÞ Determine el lugr geométrico descrito por TÞ
26 "'B %C œ '% 25. Desde un punto culquier de un elipse se trzn ls rects que l unen los w w vértices E E ÞEsts rects cortn l eje FF en los puntos Q RÞPror que SQ SR œ,. 26. Hllr l ecución de l hipérol que ps por los puntos $ß (ß ' ß tiene su centro en el origen el eje trnsverso coincide con el eje BÞ %B &C œ "'Þ 27. Los vértices de un hipérol son los puntos ß! ß! si sus focos son $ß! $ß! Þ hllr su ecución su ecentricidd. &B %C œ!à "Þ& 28. Los vértices de un hipérol son los puntos ß ß % l longitud de su ldo recto es ÞHllr su ecución, ls coordends de sus focos su ecentricidd. $ C " * B œ (à Ð ß " È$Ñà Ð ß " È$Ñà È$ $ 29. Dd l hipérol &B $'C œ *!! Determine: los focos, sus síntots el áre del triángulo determindo por ls síntots l tngente en el vértice Z Ð'ß!ÑÞ J Ð È'"ß!Ñß J Ð È'"ß!Ñà 'C œ &Bà $!Þ " 30 Þ Dd l hipérol B %C 'B "'C " œ!ß determine: Su ecución cnónic, su centro de simetrí, vértices, focos, síntots, longitud de su ldo recto ecentricidd. % C B $ œ"'à $ß à $ß! ßÐ"ß Ñà Š $ß È& ß Š $ß È& à C %œ ÐB $Ñà %à È& 31. Si 5 es un número positivo. Demostrr que l ecución $B $C œ 5 represent un fmili de hipérols, cu ecentricidd es È.
27 32. Hllr los puntos de intersección de l rect B *C " œ! con ls síntots de l hipérol %B *C œ ""Þ $ß à "Þ&ß " 33. Demostrr que si ls síntots de un hipérol son perpendiculres entre si, l hipérol es equiláter. 34. Hllr l ecución de un hipérol equiláter que ps por el punto "ß & tiene por síntots los ejes coordendos. BC œ & 35. Demostrr que l distnci de culquier punto de un hipérol equiláter su centro es medi proporcionl geométric entre ls longitudes de los rdios vectores del punto. 36. L ecentridd de l hipérol,b C œ, es /Þ " Si l ecentricidd de su hipérol conjugd es / Þ Demostrr que / À / œ, À Þ " 37. Si! es el ángulo gudo de inclinción de un síntot de l hipérol,b C œ,. Demostrr que su ecentricidd es igul =/-Þ 38. Demostrr que si un rect es prlel un síntot de un hipérol, cort l curv solmente en un punto. 39. L se de un triángulo es de longitud fij, siendo sus etremos los puntos!ß! %ß! Þ Hllr e identificr el lugr geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de l se es siempre igul l dole del otro. $B C "'B "' œ!à $B C )B œ!þ 40. Hllr ls ecuciones de ls tngentes l hipérol B C %B )C ' œ! que son prlels l rect %B %C "" œ!þ B C "œ!à B C "œ! 41. Hllr el ángulo formdo por ls tngentes trzds desde el punto $ß ' l hipérol B C %B C & œ!þ $ $'.
28 42. Demostrr que l elipse B C œ "! l hipérol %C B œ % son ortogonles entre sí, en sus puntos de intersección. 43. Demostrr que l pendiente de l tngente un hipérol en culquier etremo de sus ldos rectos, es numericmente igul su ecentricidd. 44. Demostrr que el punto de contcto de culquier tngente un hipérol es el punto medio del segmento de tngente comprendido entre ls síntots. 45. En culquier punto Tß ecepto uno de sus vértices de un hipérol equiláter, se trz un norml que cort l eje focl en el punto UÞ Si S es el centro de simetrí de l hipérol, demostrr que lstl œ ltulþ 46. Demostrr que en un hipérol equiláter dos diámetros ortogonles tienen longitudes igules. 47. Por un punto T de un hipérol se trz un rect 6ß prlel l eje trnsversl ést rect cort ls síntots en los puntos U Vß demuestre que se cumple que TU TV œ cuno 6 es prlel l eje conjugdo se verific TU TV œ, Þ 48. Sen dos hipérols equiláters concéntrics de modo que los ejes de un de ells sen ls síntots de l otr. Demostrr que ls hipérols se cortn ortogonlmente. 49. Estudir pr que vlores de ß,ß - l ecución BC B,C - œ! represent un hipérol con síntots prlels los ejes coordendosþ 50. Determinr el áre de un rectángulo formdo por ls perpendiculres jds desde los focos de l hipérol,b C œ, un tngente culquier de ell. 51. Un tngente un hipérol se prolong hst sus puntos de intersección con sus síntots. Encuentre l mgnitud ST " ST siendo T" T los puntos de intersección S el centro de l hipérol. 52. Si ls síntots de un hipérol formn un ángulo de =, demuestre que donde / es su ecentricidd. >1 = œ È / " 53. Hllr l ecución de l hipérol que tiene por focos vértices los vértices focos de l elipse %B *C %)B (C "%% œ! respectívmente. Encuentre ls síntots de l mism. Grfique ms cónics. 54. Determine l ecución de l elipse que tiene por vértices los puntos de intersección de ls síntots de l hipérol *B %C $'B $C '% œ! con el eje ] ß $ È$ que ps por el punto Ð ß$Ñ Þ 55. Determine ls coordends de los puntos, en los cules l tngente l elipse: B %C œ % se prlel l rect C œ BÞ
29 % " B! œ ß C! œ È& È& 56. Por el punto T ß( se trzn tngentes l elipse B C B $Cœ Hllr ls coordends de los puntos de contcto. "$ * "ß " ß Œ ß * * 57. Hllr ls ecuciones de ls tngentes l elipse $B C %B C $œ! que son perpendiculres l rect B C &œ! B C "à $B $C "$ œ! 58. Ddos los focos J "ß$ J ß" l longitud del eje mor que es 8, otener l ecución los elementos de l elipse. "B %BC "&C )B '!C ""' œ! 59. Un circunferenci móvil es tngente ls circunferencis: G" À B C %B œ!; G À B C "'B $' œ! Identifique el lugr geométrico que descrie el centro de l circunferenci móvil. $B %C $!B $$ œ! 60. Encuentre l ecución de l tngente l hipérol B C B )C $ œ! en el punto "ß % Þ Determine tmién ls ecuciones de sus síntots. B C (œ!à C %œ È B " Þ
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Más detallesPROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB 9 6 5 5 BC 6 9 5 5 AD 9 6 5 5 CD
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
Más detallesHl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES
4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen
LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols
Más detalles2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto
Más detallesAplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
Más detallesINSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Más detalles2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
Más detallesFunciones & Cónicas. José Alfredo Martínez Valdés
Funciones & Cónics José Alfredo Mrtínez Vldés Funciones & Cónics José Alfredo Mrtínez Vldés TABLA DE CONTENIDO Pág. Función:... 7 Dominio y rngo de un función... 7 Iguldd de funciones... 8 Funciones pres
Más detallesAplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS
u r s o : Mtemátic Mteril N 13 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: GOMTRÍ POLÍGONOS URILÁTROS POLÍGONOS FINIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesLos elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área.
POLÍGONOS. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. Los elementos de un polígono son los ldos, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, ls digonles, el perímetro y el áre. LADO REGIÓN EXTERIOR A
Más detallesINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)
Más detallesBLOQUE III Geometría
LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40
Más detallesMATEMÁTICA. Unidad 4. Geometría analítica. Objetivos de la unidad:
MATEMÁTICA Unidd Geometrí nlític Objetivos de l unidd: Aplicrás correctmente l geometrí nlític: prábol, elipse e hipérbol l encontrr soluciones diverss problemátics del entorno. 55 Figurs cónics ests son
Más detallesR 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:
Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento
Más detallesVectores en R 2 y R 3
Vectores en R R 3 Vectores en R R 3 Mgnitudes esclres vectoriles H mgnitudes que quedn determinds dndo un solo número rel. Por ejemplo: l longitud de un regl, l ms de un cuerpo o el tiempo trnscurrido
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen
LA ELIPSE CONTENIDO. Ecución de l elipse horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Ldo recto 3. Ecentricidd de l elipse 4. Ecución de l elipse verticl con centro en el origen 4. Ejercicios
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
Más detallesE-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619
1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesCURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Más detalles8 - Ecuación de Dirichlet.
Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos
Más detallesEjercicios de optimización
Ejercicios de optimizción 1. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0, cuál es el de áre máxim? Función mximizr: A yh Relcionr vribles: Estudimos l función: h h y x h x y x y 0 x 0y 0 y 0 0y
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica
. Plno Crtesino Rects.... Producto Crtesino... 3 3. Distnci... 3 4. Gráfics de línes rects... 4 5. Ecución de l rect... 6 6. Prlelismo perpendiculridd... 8 7. Sistems de ecuciones lineles... 9 8. Distnci
Más detallesColegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso
Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n
Más detallesTema VII: Plano afín y espacio afín
Tem VII: Plno fín y espcio fín Hst hor el contexto en el que hemos trbjdo h sido fundmentlmente el de los espcios IR n, y de estos espcios nos h interesdo su estructur vectoril, es decir, por decirlo con
Más detallesResolución de triángulos
8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesREPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen
Más detallesAB CH. Área del PQR ABC AB CH. Área del ABC QR PA. Área del. El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos.
AREAS L noción de áre está socid l extensión o superficie de un figur. El áre es un número que nos dice que tn extens es un región y l expresmos en kilómetros cudrdos (Km ); metros cudrdos (m ); centímetros
Más detallesUNIDAD. Vectores y rectas
UNIDAD 6 Vectores y rects L os ectores fcilitn el estudio de los elementos del plno y los prolems que se pueden estlecer entre ellos En su origen, el concepto de ector prece en Físic pr crcterizr cierts
Más detallesPrimer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
Más detallesTutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática
12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesα = arctag ; como lo que hay que maximizar es α ya tenemos la función a
Prolems resueltos de máimos mínimos J.M. mos González Un oservdor se encuentr frente un cudro colgdo de un pred verticl. El orde inferior del cudro está situdo un distnci sore el nivel de los ojos del
Más detallesCAPÍTULO 1. Rectas y ángulos
ÍTUO 1 Elementos ásicos de l Geometrí Rects y ángulos 1.1 En Geometrí hy ides ásics que todos entendemos pero que no definimos. Ésts son ls ides de unto, Rect, lno y Espcio. Señlmos un punto con un mrc
Más detalles(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
PRODUCTOS NOTABLES. BINOMIO CUADRADO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cudrdo de l sum de dos cntiddes puede representrse geométricmente cundo los vlores son positivos.
Más detallesNOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007
NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,
Más detallesSISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Definición El siste de coordends crtesins en el plno está constituido por dos rects perpendiculres que se intersecn en un punto O l que se le ll el origen. Un de ls rects
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
Más detallesGeometría Analítica. Lección II. Cónicas en coordenadas cartesianas. Prof. Miguel Ángel De Carlo
Geometrí Anlític Prof. Miguel Ángel De Crlo Lección II Cónics en coordends crtesins M.A. De Crlo Índice 1.- Ls Cónics... 3. Circunferenci... 3.1. Ecución de l circunferenci.... 3.. Cálculo de los elementos
Más detallesResolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).
64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 70 EJERCICIOS Áres y perímetros de figurs sencills Hll el áre y el perímetro de ls figurs coloreds de los siguientes ejercicios: 1 ) b) 3 m 3 m 1,8 m 4 m 6 m ) S3 m3 m9 m b) S 6m 1,8 m 5,4
Más detalles1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60
Más detallesTrigonometría: ángulos / triángulos. matemática / arquitectura
Trigonometrí: ángulos / triángulos mtemátic / rquitectur Grn pirámide de Guiz. Egipto. 2750.C. (h=146,62m / l=230,35m) Pirámide del Museo Louvre. Pris. 1989. rq. Ieoh Ming Pei. (h=20m / l=35m) Grn pirámide
Más detalles(1) Representar gráficamente las siguientes funciones lineales o afínes (forma general ). Su gráfica es una línea recta. *( c )
Lcdo E. Monto & P.Perz Funciones Reles de Vrible Rel Repúblic Bolivrin de Venezuel Ministerio del Poder Populr pr l Educción Escuel Técnic Robinsonin P.S. S. S. Venezuel Brins Edo Brins Hoj de trbjo *III
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detallesCÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte
CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje
Más detallesRazones trigonométricas
LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesRelación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.
Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detalles1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)
Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics
Más detallesLos Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
Más detalles1.6 Perímetros y áreas
3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente
Más detallesRepaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores
Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesLos polígonos y la circunferencia
l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 =
Más detallesCristal. Estado Sólido. Estructura Cristalina. Red. Celdas. Red
Estdo Sólido Estructurs Cristlins Cristl Un cristl es un rreglo periódico de átomos o grupos de átomos que es construido por l repetición infinit de estructurs unitris idéntics en el espcio. L estructur
Más detallesLaboratorio de Física Universitaria 2: Lentes de aire delgadas junio 2006 Enrique Sánchez y Aguilera. Rodolfo Estrada Guerrero.
Lortorio de Físic Universitri : Lentes de ire delgds junio 006 LENTES DE AIRE DELGADAS: DISTANCIA FOCAL Y RADIOS DE CURVATURA OBJETIVO GENERAL: Entender el concepto de distnci ocl. Entender los conceptos
Más detallesUNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS CUADRILÁTEROS
u r s o : Mtemátic Mteril N 13 UÍ TÓRIO PRÁTI Nº 11 UNI: OMTRÍ POLÍONOS URILÁTROS POLÍONOS INIIÓN: Un polígono es un figur pln, cerrd, limitd por trzos llmdos ldos y que se intersectn sólo en sus puntos
Más detallesDESPLAZAMIENTO VECTORES
CAPÍTULO DESPLAZAMIENTO ECTORES Hemos indicdo que un cuerpo se mueve cundo cmi de posición en el espcio. Es mu importnte en Físic ser medir ese cmio de posición, introduciendo el concepto de desplzmiento.
Más detallesQué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa.
Qué es el movimiento rectilíneo uniformemente vrido? Es un movimiento mecánico que experiment un móvil donde l tryectori es rectilíne y l celerción es constnte. Qué es l celerción? Es un mgnitud vectoril
Más detallesFactorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel
Más detallesSecciones cónicas. Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola.
Prof. Enrique Mteus Nieves Doctorndo en Educción Mtemátic Secciones cónics Ls secciones cónics son curvs que pueden otenerse como l intersección de un cono circulr con un plno que no conteng l vértice
Más detalles2.3 POSICIONES RELATIVAS
. ECTA EN. PLANO. POICIONE ELATIVA. UPEFICIE.. UPEFICIE CILINDICA.. UPEFICIE DE EVOLUCIÓN.. CUADICA.5 COODENADA CILÍNDICA..6 COODENADA EFÉICA. Ojetivos. e persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones
Más detallesPresentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos
Más detallesVectores en el espacio. Producto escalar
Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,
Más detallesLaboratorio de Física Universitaria 2: Lentes de vidrio delgadas mayo 2006 Enrique Sánchez y Aguilera. Rodolfo Estrada Guerrero.
Enrique Sánchez y Aguiler. Rodolo Estrd Guerrero. LENTES DE VIDRIO DELGADAS: DISTANCIA FOCAL Y RADIOS DE CURVATURA OBJETIVO GENERAL: Entender el concepto de distnci ocl. Entender los conceptos de convergenci
Más detallesModelo 5 de sobrantes de Opción A
Ejercicio. [ puntos] Se f : R l función dd por Modelo de sobrntes de 6 - Opción. Ln f siendo Ln l función logrito neperino. Estudi l eistenci de síntot horiontl pr l gráfic de est función. En cso de que
Más detalles3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.
3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.
Más detalles51 EJERCICIOS DE VECTORES
51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesZ := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano
Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de
Más detallesMatemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz
Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo
Más detallesMATEMÁTICA V SEMESTRE. Autores: Lic. Armando Sandoval Torres Lic. Zulema Cuadrado González Lic. Emma García Enis.
MATEMÁTICA V SEMESTRE. Autores: Lic. Armndo Sndovl Torres Lic. Zulem Cudrdo González Lic. Emm Grcí Enis. Índice Repso de l líne rect / Cpítulo. Curvs de segudo grdo. Secciones cónics /.. Circunferenci
Más detalles2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de
Más detalles1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo
UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores.
Más detallesSuma de DOS vectores angulares o concurrentes
Suma de DOS vectores angulares o concurrentes y F 2 o a q=? F 1 x Suma de DOS vectores angulares o concurrentes Trángulo oblcuo: aquel que no tene nngún ángulo recto Ley de los Senos Ley de los Cosenos
Más detallesTALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida
Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función
Más detallesfig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 fig. 5 EJEMPLOS 1. Si el área de un cuadrado es 144 cm 2, entonces su perímetro mide
Profesor ln Rvnl S. UNI: GOMTRÍ PRÍMTROS Y ÁRS Perímetro de un polígono, es l sum de ls longitudes de todos sus ldos. l perímetro se denotrá por p. Áre es l medid que le corresponde tod l región poligonl.
Más detallesparamétricas y coordenadas polares
ecuciones prmétrics Cónics, coordends polres Durnte los Juegos Olímpicos de Invierno de precieron ilumindos, en lo lto de un montñ en Slt Lke Cit, los ros olímpicos. Al instlr ls luces de los ros se puso
Más detallesTEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42
TEMAS DE MATEMÁTIAS (OPOSIIONES DE SEUNDARIA) TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. Introducción. 2. Homotecis en el plno. 2.1. Propieddes de l homoteci en el plno. 2.2. Producto de homotecis. 2.2.1.
Más detallesSOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL Dinámica I: fuerza y leyes de Newton
SOLUCIORIO GUÍ ESTÁDR UL Dináic I: fuerz y leyes de ewton SGUICES016C3-16V1 Solucionrio guí Dináic I: fuerz y leyes de ewton Íte lterntiv Hbilidd 1 D Coprensión Coprensión 3 E plicción 4 D plicción 5 plicción
Más detallesRELACIONES GEOMÉTRICAS APUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA
RLIONS GOMÉTRIS PUNTS RLIZOS POR NTONIO UST I G U L FINIIÓN: Se dice que dos figurs plns son igules, cundo sus ldos y ángulos están dispuestos de modo que, superponiendo un sobre otr, coinciden exctmente
Más detallesVECTORES PLANO Y ESPACIO
TETO º 3 ECTOES PLAO ESPACIO Conceptos Básicos Ejercicios esueltos Ejercicios Propuestos Edict Arrigd D. ictor Perlt A Diciemre 008 Sede Mipú, Sntigo de Chile Introducción Este mteril h sido construido
Más detalles