MATEMÁTICA V SEMESTRE. Autores: Lic. Armando Sandoval Torres Lic. Zulema Cuadrado González Lic. Emma García Enis.

Transcripción

1 MATEMÁTICA V SEMESTRE. Autores: Lic. Armndo Sndovl Torres Lic. Zulem Cudrdo González Lic. Emm Grcí Enis.

2 Índice Repso de l líne rect / Cpítulo. Curvs de segudo grdo. Secciones cónics /.. Circunferenci /.. Elipse /.3. Hipérbol /.. Prábol /.5. Sistemtizción de los conocimientos / Cpítulo. Geometrí del espcio /

3 Repso de l líne rect Antes de comenzr el estudio de est unidd será útil recordr los contenidos del cpítulo 3 de Mtemátic IV referente l estudio nlítico de l líne rect. Presentmos un resumen de fórmuls y proponemos lgunos ejercicios y problems pr el repso. Formulrio. Distnci entre dos puntos del plno: Sen los puntos A( ; y ) y B ( ; y ) de un plno, l distnci entre los mismos se clcul medinte l epresión: ( ) + ( y y ) ( ) + ( y ) d ( A, B) y. Coordend del punto medio de un segmento: Sen los puntos A( ; y ) y B ( ; y ), y M(; y) punto medio de AB, entonces: + y y + y y o se: + y + M ; y 3. Pendiente de l rect que ps por dos puntos: Se l rect r determind por los puntos A( ; y ) y B ( ; y ), l pendiente m de r, se clcul medinte l epresión m ( ). Ángulo de inclinción de un rect r Es el ángulo (α) que form l rect r con el semieje positivo de ls bsciss. y y y y

4 L pendiente de l rect puede clculrse medinte l epresión: m tn α. 5. Ecución de l rect r de pendiente m y que ps por el punto P 0 ( 0 ; y 0 ) y y0 m o y y 0 m ( 0 ) (Form punto o pendiente de l rect) 0 6. Ecución generl de l rect: A + B + C 0 (A y B no son nulos l vez). En este cso l pendiente de l rect viene dd por: A m B Si prtimos de l form generl y despejmos l vrible y, se obtiene l denomind ecución eplícit de l rect (y m + n), en l que el coeficiente de es m, epres l pendiente de l rect. 7. Posiciones reltivs de dos rects del plno. Sen ls rect r y r dds por sus ecuciones: r: A + By + C 0 r : A + B y + C 0 Ls posiciones reltivs de r y r son: Prlels (no se cortn). No tienen puntos comunes. Secntes (se cortn en un punto). Coincidentes o idéntics. Tienen todos sus puntos comunes. Pr determinr ls posiciones reltivs de r y r se debe plnter el sistem de ecuciones siguiente:

5 A + By + C 0 A' + B' y + C' 0 Si este sistem es imposible, o se, no tiene solución entonces r y r son prlels, si el sistem es posible, ls rects se cortn en un punto cuys coordends es l solución del sistem. Si el sistem es indetermindo, o se, tiene infinits soluciones, ls rects son coincidentes, es decir, r y r representn l mism rect. 8. Condiciones de prlelismo y perpendiculridd de dos rects en función de ls pendientes. Sen ls rects r y r, cuys pendientes son m y m (m 0, m 0). Result que: Si r r entonces m m. Si r r, entonces m m ', o se, m m' 9. Distnci de un punto un rect. Se un punto P 0 ( 0 ; y 0 ) y un rect r dd por l ecución: A + By + C 0, l distnci del punto P 0 r, viene dd por: d (P 0 ; r ) A 0 + By A 0 + B + C Ejemplos resueltos. Sen los puntos: A (-; ), B (-6; -) y C (; -3): ) Represent gráficmente en un sistem de coordends en el plno l triángulo ABC. b) Clcul l longitud de l medin correspondiente l ldo AB. 7 c) Determin nlíticmente si el punto D( ; ), pertenece l rect BC. Solución:

6 ) b) L medin correspondiente l ldo AB, es el segmento que une el vértice opuesto C l ldo AB con su punto medio M. Hllemos ls coordends de M. + + ; M y y A (-; ) B (-6; -) ; 6 M M (-; ), C (; -3) ( ) ( ) ( ) C, M y y d + ( ) ( ) ( ) 3 C, M + + d ( ) , uniddes lineles. c) Hllemos l ecución de l rect BC.

7 m BC m BC y y ( ) y - y 0 m( 0 ) B (-6; -); m BC y ( 6) 7 (y + ) - 6 7y y Luego l ecución de l rect BC es: + 7y Vemos si el punto D ; 7 pertenece BC: - y y Luego D Є BC. Sen ls rects: r : 3 + y 0 r r r r r : y : y : y : 3 5y : 3 5y Determin nlíticmente ls posiciones reltivs entre:

8 ) r y r b) r 3 y r c) r 5 y r 6 Soluciones: ) Plnteemos un sistem con ls ecuciones correspondientes ls rects r y r : 3 + y 0 y ) ) Resolvmos este sistem sumndo ls ecuciones y Sustituyendo en result: 3 ( ) 6 + y 0 y 8 + y 0 Como el sistem es comptible o posible, r y r se cortn en el punto P (-; 8). b) Result el sistem: y y ) ) Resolvmos este sistem de ecuciones y y y 6 0 y y ) ) 3) ) ( ) 0 + 0y 0 Es un iguldd que se cumple pr todos los pres ordendos (; y), luego es un sistem con infinits soluciones, por lo tnto r 3 y r son rects coincidentes.

9 c) Por último formemos un sistem de ecuciones lineles con 5 y 6, pr determinr ls posiciones reltivs de r 5 y r 6 3 5y 3 5y Es evidente que este sistem es imposible, o se, no tiene solución, pues el sistem nterior crece de soluciones o ríces, y que si 3 5y no puede drse 3 5y, esto es contrdictorio, vemos l resolución del sistem nterior: 3 5y ( ) 3 5y 3 + 5y 3 5y 0 + 0y (contrdicción) Entonces r 5 y r 6 son prlels, o se, no tienen ningún punto en común. 3. En un sistem de coordends crtesins en el plno se h representdo el rectángulo ABCD. Se conoce que A(0; ), B(3; ) y C(; ). ) Demuestr que ABCD es un cudrdo. b) Escribe un ecución de l rect AD. c) Hll ls coordends del vértice D. Solución: ) Hgmos un figur de nálisis:

10 Como ABCD es un rectángulo por dto, pr demostrr que es un cudrdo bst demostrr que igules: AB BC, o se que ls longitudes de dos ldos consecutivos son d ( A; B) ( ) + ( y y ) ( A; B) ( 0 3) + ( + ) d ul. B (3; ) y C (; ) 3 ( B; C) ( 3 ) + ( ) d ul. AB BC, luego ABCD es un cudrdo. b) Como ABCD es un cudrdo, entonces BAD es rect y m m de AB CD donde m AD m AB m AB y ( ) y m AB Luego m AD 3, tenemos un punto de l rect AD, que es el punto A (0; ), entonces podemos escribir su ecución crtesin: y y y m ( ) 0 0 ( ) 3( 0)

11 y + 3 AD: 3 y 0 c) Se tiene que AD DC { D }, luego como y tenemos l ecución de AD, necesitmos obtener l ecución de DC, como: AB CD, entonces m m, o se, como m AB CD AB 3, result que m CD y 3 por otr prte C (; ) Є CD, podemos escribir l ecución de CD: y 3 ( ) ( y ) ( ) 3 3 y 3 + CD: + 3y 7 0 Resolvmos hor el sistem de ecuciones siguiente: 3 y 0 + 3y y ) ) + 3y 7 0 ) ) 3 Sustituyendo en () result: 3() y 0 y y Luego ls coordends del punto D son (; ) Muchs de ls propieddes y teorems estudidos en l Geometrí pln sintétic pueden ser demostrdos con menores dificultdes y de form más breve plicndo los conocimientos de l Geometrí nlític, vemos continución un ejemplo de esto:. Demuestr que el segmento que une los puntos medios de dos ldos un triángulo (prlel o bse medi), es prlelo l tercero, e igul su mitd.

12 Solución: Cundo queremos demostrr un propiedd geométric, l posición de los ejes no influye en los resultdos y, por tnto, se trt de seleccionrlo lo más convenientemente posible. En este cso escogemos un vértice del triángulo en el origen de coordends y un ldo coincidiendo con el eje X M N Sen los puntos A (0; 0), B (b; 0) y C (c; d) los vértices del triángulo ABC, sen M y N los puntos medios de los ldos AC y BC respectivmente. Hy que demostrr que: ) MN AB AB b) MN ) MN AB si m MN m AB, o se, si ls pendientes de ls rects MN y AB son igules. L pendiente de un rect se clcul por l epresión: m r y y ( ) necesitmos hllr ls coordends de M y N que son puntos medios de + y + y AC y BC, sus coordends se clculn por l epresión: ; Ls coordends de M son c ; d c d, o se: ; b + c d + 0 b + c d ;, o se: ;, entonces l pendiente de MN es: y ls de N

13 m MN d d b c b + c c b c b b Clculemos l pendiente de AB : m b b AB 0 m m 0, luego MN AB ( c. q. d) MN AB b) d ( ) ( ) + ( y ) M, N y ( 0) c d M ; y b + c d N ; d ( M, N) c b + c d d + d c b c ( M, N) + 0 d d ( M, N) ( M, N) b b b d ( M, N) b MN b ul. A (0; 0) y B (b; 0) d ( ) ( ) ( ) A, B 0 b 0 0 d ( A, B) b b AB Como b MN b, entonces AB MN (c. q. d.)

14 5. Hll l proyección del punto P ( 6; ) sobre l rect r que ps por los puntos C ( ; ) y D (8; 7) Solución: L proyección de un punto sobre un rect, es el pie de l perpendiculr trzd desde el punto l rect Los puntos C y D determinn l rect r y PP r, luego Proy r P P, result que r r I PP' { P' }. Luego pr hllr ls coordends de P se necesit hllr ls ecuciones de ls rects r y PP, pr formr un sistem con ests ecuciones Ecución de l rect r C ( ; ) y D ( 8; 7) y m m r y y - y m 8 0 ( ) 0 0 y ( ) 5 y r : 5y + 3 ( I) 5 Ecución de l rect PP

15 mpp' (PP r) m r 5 mpp' y P ( 6; ) y 5 + ( 6) y r PP' : 5 + y + 0 ( II) Formndo hor el sistem de ecuciones con I y II: 5y y + 0 ( I) ( II) 5y y 5 6 0y 5 + 0y Sustituyendo en (I): ( ) 5y y y y 5 y 5 5 L proyección del punto P sobre r es el punto P ( ; ) Denominremos lugr geométrico un subconjunto L de puntos de un plno que cumplen un ciert propiedd P, de mner que si un punto A Є L entonces A cumple l propiedd P, si B L entonces B no cumple l propiedd P en cuestión. En l Geometrí pln estudiste lgunos lugres geométricos, por ejemplo:

16 . L meditriz de un segmento, o se, l perpendiculr l segmento que ps por su punto medio. Todo punto de l meditriz equidist de los etremos del segmento.. L bisectriz de un ángulo, o se, l semirrect que divide l ángulo en dos prtes igules, todo punto P de l bisectriz de un ángulo equidist de sus ldos. Uno de los problems fundmentles de l Geometrí nlític es determinr l ecución de un lugr geométrico dd un figur o l propiedd que deben cumplir sus puntos. Más delnte estudiremos otros importntes lugres geométricos. 6. Hll el lugr geométrico de un punto P del plno que se mueve de form tl que equidist de los puntos A (3; ) y B ( ; 5) Solución: Se el punto P (; y) perteneciente l plno α, l condición dd es que P equidist de A y B, o se, está l mism distnci de estos puntos, luego: PA PB

17 Entonces d (P, A) d (P, B) d ( ) + ( y ) y d ( 3 ) + ( y + ) y d ( + ) + ( y ) (P, A) Result l ecución en rdicles: ( 3) + ( y + ) ( + ) + ( y 5 ) (P, B) 5 Elevndo mbos miembros l cudrdo pr eliminr los rdicles (rdiclizción) ( 3) + (y + ) ( + ) + (y 5) y + y y 0y + 5 Simplificndo medinte reducción de términos semejntes result: + y 8 0 (dividiendo mbos miembros por ) y 0 L ecución del lugr corresponde un rect, est es l meditriz del segmento cuyos etremos son los puntos A y B. 7. Sen los puntos M (0; ) y N ( 3; ): ) Determin el lugr geométrico L de los puntos P del plno tles que l pendiente de l rect r que ps por los puntos ddos, se igul l pendiente de l rect r que ps por los puntos M y P. b) Determin tres puntos que pertenezcn l lugr. c) Si Q ; y L, clcul y. 3 Solución: ) Se P (; y) un punto del plno α que cumple l condición descrit en el problem: L pendiente de l rect r determind por M y N es igul l pendiente de l rect MP. Pendiente de r M (0; ) y N ( 3; )

18 m r m r y y Pendiente de l rect MP: M (0; ) y P (; y) y + m 0 y + m y + Entonces: y + + y + 0 (Ecución del lugr que es un rect) b) De + y + 0, despejmos y, result: y ( I ) Debemos obtener tres soluciones de est ecución: y 0 3 Los tres puntos que pertenecen l lugr son A (0; ), B ( ; 3) y C ( ; ) c) Si Q ; y L entonces, sustituyendo en ( I ) result: 3 3 y 3 y 3 0 y 3

19 8. Si se conoce que: ABC es rectángulo en A e isósceles, o se isorrectángulo. A (; ) y B (; ) ABC está contenido en el primer cudrnte. Hll ls ecuciones de ls rects que contienen los ldos del triángulo ABC. Solución: Representemos l ABC en un sistem de coordends en el plno Pr determinr l ecución de l rect que contiene l ldo AB contmos con dos puntos, A (; ) y B (; ), clculemos su pendiente: y m m AB y y y m ( ) 3 ( ) 0 0 y ( ) (pendiente: 3 ( y ) ( ) 3 3 y 6 + AB : + 3y 7 0 punto (; )) 3 Determinemos l ecución de l rect que contiene l ldo AC :

20 AB AC (El ABC es rectángulo en A) m AC m AB m m AB 3 ( ) AC 3 ( ) y y m (pendiente: 3 punto A (; )) 0 0 ( ) y 3 y 3 AC: 3 y + 0 Pr determinr l ecución de l rect que contiene el ldo BC necesitmos determinr ls coordends del punto C ( 0 ; y 0 ). ABC es rectángulo e isósceles. d AB ( ) + ( y y ) A (; ) y B (; ) d ( ) + ( ) 0 AB Entonces AB AC 0 u l. BC AB + AC (Pitágors) ( 0) + ( 0) 0 5 BC ul Result que: d ( ) + ( ) 5 BC 0 y 0 Elevndo mbos miembros l cudrdo: y0 y y y 5 0 (I) Es necesrio buscr otr ecución en dos vribles 0 y y 0 pr formr un sistem de ecuciones. L distnci del punto C ( 0 ; y 0 ) l rect AB: + 3y 7 0 es AC 0 ul, y que el triángulo es rectángulo en A:

21 A0 + By 0 + C d ( P0 ; r ) (distnci de un punto un rect) A + B y (sustituyendo) 0 + 3y y 7 0 (Ver not clrtori finl) y 7 0 (II) Con I y II formemos el sistem de ecuciones cudrático: y + 3y y ( I) ( II) Resolvmos el sistem despejndo 0 en (II): 0 7 3y 0 Sustituyendo (III) en (II) result: ( 3y ) + y ( 7 3y ) y y y 0 + y y 0 y y 0 00 y y 0 0y (dividiendo por 0) ( )( y ) 0 y (descomponiendo en fctores) y 0 6 ó y 0 sustituyendo en (III) se obtiene: ( 6 ) (imposible, pues el triángulo está contenido en el primer cudrnte) ( ) 5 Luego el punto C tiene por coordends (5; ) L ecución de l rect que contiene l ldo BC puede ser obtenid hor pues conocemos B(; ) y C(5; ) m 5 BC

22 y ( ) y BC: y Not finl clrtori: Si dos puntos están en semiplnos diferentes, respecto un rect r: A + By + C 0, l sustituir sus coordends en el primer miembro de l ecución de l rect se obtienen dos números de signos distintos u opuestos. En el problem nterior el origen O de coordends y el punto C están en distintos semiplnos, respecto l rect AB: + 3 y 7, l sustituir ls coordends de origen en el primer miembro de l ecución result, , luego el signo de + 3y 7 l sustituir ls coordends de C es un número positivo, por estr en rzón se suprimió el signo de modelo en l ecución plnted. 9. Hll l ecución de l rect que ps por el punto P (; 6) y form con los ejes coordendos un triángulo de áre igul 8 cm. Solución: Hgmos un dibujo de l situción plnted: OA OB El triángulo AOB es rectángulo en O, su áre es igul. Los puntos A y B son los interceptos de l rect con los ejes coordendos. Sus coordends

23 son respectivmente cm, tendremos: n n m 8 n A ; 0 m y ( 0 ; n) B, como el áre del triángulo AOB es 8 m n 96 (I) por otr prte, como P (; 6) es un punto de l rect de ecución result l sustituir y y 6: 6 m + n (II) Con ls ecuciones (I) y (II) formmos el sistem cudrático: n 96 m m + n 6 (I) (II) Despejndo n en (II) result: n 6 m (III) Sustituyendo (III) en (I): ( 6 m) m 96 y m + n, 36 8m + 6m m m 6m 96m 6m + 8m m + m (dividiendo por ) ( + 3) 0 m (descomponiendo el trinomio cudrdo perfecto) m m 3 3 m Sustituyendo en (III) se tiene:

24 3 n 6 n Por lo tnto l ecución de l rect es: 3 y + ó 3 + y 0 Ejercicios y problems propuestos pr el trbjo independiente de los lumnos. Represent gráficmente en un sistem de coordends rectngulres en el plno ls rects dds por ls siguientes ecuciones: 3 ) y b) y c) 3 d) + y e) 3y 6 0 f) y 0 g) 0,,6y 3 0 h) 5 + y i) y 3. Determin cuáles de los puntos P (3; ), P (; 3), P 3 (3; ), P ( 3; 3) y P 5 (0;,5) pertenecen l rect 3y 3 0 y cuáles no pertenecen. 3. L rect r ps por los puntos A (3; ) y B ( 5; 5). ) Hll l ecución de l rect r. b) Clcul l distnci del punto C (; ) l rect r.. Ddos los puntos A ; 0), B (; 6) y C ( ; ): ) Represent gráficmente en un sistem de coordends rectngulres l triángulo ABC. b) Clcul l longitud de l medid correspondiente l myor ldo. c) Clcul el 80% del áre del triángulo representdo.

25 5. Determin el vlor de los coeficientes A y B de l ecución A By + 0 de un rect, si debe psr por los puntos C ( 3; ) y D (; 6). 6 Determin si el punto P ( ; ) pertenece l meditriz del segmento cuyos etremos son los puntos A (; ) y B (; ) 7. L meditriz del segmento AB, donde A ( ; ) y B (; 3) contiene uno de los ldos de un triángulo rectángulo, uno de cuyos vértices es el intercepto de l meditriz con eje y, y el otro, el punto B. Clcul el 80 % del áre de dicho triángulo. 8. Sen ls rects r y r ddos por ls ecuciones siguientes: r : k + ( k ) y 8 0 r : + 3y + 7 ) Determin el vlor de k pr que r r. b) Cuánto debe vler k pr que r r? 9. Ddos los vértices de un triángulo A (; ), B ( ; ) y C (3; 5), hll l ecución de l perpendiculr bjd desde el vértice A l medin trzd desde el vértice B. 0. Hll l ecución de l rect que ps por el punto P (3; ) y cort l eje 5 uniddes l derech del origen. Dónde intersec l rect l eje y?. ) Hll l ecución de l rect cuy pendiente es y que ps por el punto de intersección de ls rects dds por ls ecuciones + y 8 0 y 3 y b) Cuál es l pendiente de l rect que ps por el punto de intersección de ls rects nteriores y el origen de coordends?

26 . El ángulo θ entre dos rects r y r de pendientes m y m respectivmente, que se cortn, es el menor ángulo que forms ests rects. Demuestr que: m m tnθ + m m Not: Recuerd de tus estudios de trigonometrí que tn( + y ) tn + tn y tn tn y 3. Ddo el triángulo ABC de ldos (contenidos en ls rects) de ecuciones: r : + y 3 0 r r 3 : y : y ) Clcul ls coordends de los vértices. b) Clcul el 5 % de su áre. c) Clcul l mplitud del ABC.. Sen el cudrilátero conveo cuyos vértices son los puntos P (0; 0), Q (6; 0), R (8; ) y S ( ; 0) Demuestr que los puntos medios de los ldos del cudrilátero, determinn un prlelogrmo. 5. Si el áre del triángulo cuyos vértices son los puntos C (5; ), D (; ) y E (0; 3) es dm. Clcul los vlores de. 6. Demuestr de dos forms que los puntos A ( ; 0), B (; 3) y C (5; ) son los vértices de un triángulo recto y clcul el 75 % de su áre.

27 7. Comprueb que los puntos P (7; ), Q (3; 5) y R (; 5) son los vértices de un triángulo isósceles y clcul su áre. 8. ) Muestr que los puntos A (; ), B (; 5), C (0; 8) y D ( 3; ) son los vértices de un cudrdo y clcul l longitud de su digonl y su áre. b) Ddos los puntos A (; ) y B (5; 0), hll un punto C de l rect de ecución 3 y + 0 pr que el triángulo ABC se isósceles. 9. Sen los puntos M ( ; ), N (0; 3), P (5; ) y R (; 6) ) Muestr que el cudrilátero MNPR es un prlelogrmo. b) Clcul su áre. 0. Clcul el áre del pentágono cuyos vértices son los puntos A (3; 0), B (; 3), C ( ; ), D ( ; ) y E (0; 3).. L pendiente de l hipotenus de un triángulo isorrectángulo es 3. Cuál es l pendiente de sus ctetos?. Comprueb que si dos rects r y r, cuys pendientes son m y + m, se m intersecn, formn un ángulo de 5º. 3. Probr los siguientes teorems por procedimientos nlíticos: ) Ls digonles del rombo se cortn perpendiculrmente. b) El punto medio de l hipotenus de un triángulo rectángulo equidist de los vértices. c) El segmento determindo por los puntos medios de los ldos no prlelos de un trpecio es igul l semisum de los ldos prlelos. d) L sum de los cudrdos de ls longitudes de los ldos de un prlelogrmo es igul l sum de los cudrdos de ls longitudes de sus digonles.

28 . En un sistem de coordends rectngulres, se h tomdo como unidd cm en cd eje y se hn representdo l triángulo cuyos vértices son los puntos S ( ; 3), R (6; 3) y T ( ; 5). Entonces el áre del triángulo mide: ) 80 cm c) 0 cm e) ninguno de los números ddos. b) 0 cm d) 0 cm 5. Los vértices de un triángulo son S (; ), R (0; ) y T (; 8). M y N son puntos medios respectivmente de los ldos ST y RT del triángulo. Se firm que:. El ldo ST es perpendiculr RT.. L rect MN tiene por ecución: y 7 3. El ángulo de inclinción de l prlel medi MN mide proimdmente º.. El triángulo SRT es rectángulo. De ls firmciones nteriores son verdders: ) Solo. b) Solo. c) Solo 3. d) Los cutro. e) Solo y 3. f) Solo. 6. Sen ls rects: r r : 3 y : + 5y 8 Señl cuál de ls firmciones siguientes es verdder. ) r y r son coincidentes. b) r y r son prlels. c) r y r son perpendiculres. d) El punto de intersección de r y r es P( ; )

29 7. Ddos los puntos A (0; 0) y B ( 3; ) y l rect r cuy pendiente es igul y 5 que ps por el punto C ( 0; 7), cuál de ls firmciones siguientes es verdders: ) A es un punto de l rect r. b) B es un punto de l rect r. c) El triángulo ABC es rectángulo. d) Los puntos A y B están en el mismo semiplno respecto r. e) Los puntos A y B están en semiplnos distintos l rect r. 8. Comprueb ls rects: r : 3 y + 0 y r :,5 y son prlels y clcul l distnci entre mbs. 9. Sen ls rects: r r : 3 + y + 0 : 5y + 0 Al cortrse ests rects formn un ángulo α. ) Determin el punto de intersección. b) Clcul l mplitud de α. c) Comprueb que l rect r : 3 y + 0 es l bisectriz de α Hll un punto de coordends igules, tl que su distnci l punto P ( ; ) se 0 uniddes lineles. 3. Hll un punto del eje y cuy distnci l punto M ( ; 5) se Hllr un punto del eje cuy distnci l punto S ( ; 5) se ) Dos vértices opuestos de un cudrdo son los puntos (0; 3) y (, ).

30 Hll los otros dos vértices, el perímetro y el áre del cudrdo. b) Sen los vértices del triángulo ABC: A ( 5; ), B ( ; ) y C (3; ) Si por el vértice A se trz un prlel l ldo BC y por el vértice B un perpendiculr l eje, hll medinte cálculos ls coordends del punto de intersección de ls rects trzds. 3. El bricentro de un triángulo equilátero es el punto G ( ; 0), l ltur mide 3 uniddes lineles, uno de los ldos es perpendiculr l eje de ls ordends, y un vértice está en el primer cudrnte. Clcul ls coordends de los vértices del triángulo y su áre. 35. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (; 0) y B ( ; ). Clcul ls coordends del bricentro del triángulo. b) Ddos los puntos A (0; ), B (0; ), C (0; ) y D (; 3), y l rect de ecución y 0. Hll un punto P de l rect, tl que los triángulos PAB y PCD tengn l mism áre. 36. Se ABCD un cudrdo, si A (; ) y C (3; 7) son vértices opuestos y l rect que contiene l ldo CD está representd por l ecución: y + 0. Determin: ) Ls ecuciones de ls rects d y d que contienen ls digonles del cudrdo ddo. b) L ecución de l rect k que contiene l ldo AB. c) Ls coordends de los vértices B y D. 37. El incentro de un triángulo equilátero es el origen de coordends y un vértice es el punto A (; ). Hllr los otros vértices del triángulo y el 60% del áre. 38. En el triángulo rectángulo en A se conoce que B (; ) y que ls rects que contienen los ldos BC y AC son:

31 r r BC AC : 3 y 0 : y + 0 ) Hll ls coordends de los vértices A y C. b) Clcul el 75% del áre del triángulo ABC. c) Determin el perímetro del triángulo ddo. 39. ) Hllr el lugr geométrico del punto P del plno que se mueve de tl form que equidist de los puntos A (; ) y B ( ; 0). b) Se el triángulo ABC. L ecución de l meditriz del triángulo correspondiente l ldo AB, es l rect r dd por l ecución + y El punto de intersección de l rect m y el ldo AB, es un punto situdo en el eje y l rect que contiene l ldo AC tiene por ecución 3 y 0. Determin ls coordends de los vértices A y B. 0. Sen los puntos A (0; ) y B (; 5) ) Determin el lugr geométrico L de los puntos P del plno tles que l pendiente de l rect r que ps por los puntos ddos, se igul l pendiente de l rect r que ps por los puntos B y P. b) Dí si son verdders o flss ls firmciones siguientes:. ; 0 L. ; L 3. ( ; 7) L

32 Cpítulo. Curvs de segundo grdo. Secciones cónics Como y conoces en l Geometrí Anlític se estudin ls figurs geométrics, introduciendo sistems de coordends y plicndo el cálculo lgebrico, el objetivo de est rm de l mtemátic es: Dd un ecución, determinr su gráfic y, recíprocmente dd un gráfic deducir su ecución. En el tercer semestre vimos que l ecución A + By + C 0, donde A y B no son nulos l vez, o se, ( A B ) 0) + tiene por representción gráfic un rect del plno y recíprocmente tod rect del plno tiene como ecución un del tipo nterior. L ecución generl de segundo grdo o cudrátic, en dos vribles tiene l form: A + By + Cy + D + Ey + F 0 (I) Donde los números A, B, C, D, E y F son reles, tles que A, B y C no son nulos simultánemente, o se ( A B + C ) 0 +. Los puntos P(; y) del plno, cuys coordends stisfcen l ecución (I), formn un figur denominds secciones cónics o simplemente cónic. Est denominción se debe que ests figurs plns pueden obtenerse medinte l intersección de un plno con un cono circulr recto prolongdo, completo o de dos mntos, como veremos más delnte. Este hecho er conocido por los mtemáticos griegos desde el ño 300 ne. Aquí solo estudiremos csos prticulres de l ecución (I), dndo lugr l estudio de ls cónics: circunferenci, elipse, hipérbol y prábol. El estudio sistemático de ls secciones cónics se debe l mtemático griego Menecmo que vivió en el siglo IV ne. Posteriormente el mtemático griego Apolunio de Perg ( 70 ne) relizó un estudio más completo de ls misms.

33 El estudio de ls secciones cónics requiere un grn dominio del cálculo lgebrico y l resolución de ecuciones y sistems de ecuciones, sí como conocimientos de l Geometrí pln sintétic, por lo que este cpítulo tiene un crácter sistemtizdor. Son diverss ls plicciones que tienen ls secciones cónics, son un importnte medio pr ls investigciones ctules en el espcio eterior y pr el comportmiento de ls prtículs tómics. De l Físic se conoce que si un prtícul se mueve bjo l influenci de un cmpo de fuerz proporcionl l inverso del cudrdo de l distnci, entonces su tryectori puede ser descrit medinte un cónic. En los cmpos grvitcionl y electrostático se present este cso. Ls órbits que describen los plnets en su movimiento lrededor del Sol son elíptics. Los espejos que son utilizdos pr l cptción de energí solr son prbólicos. L tryectori de un prtícul lf en el cmpo eléctrico de un núcleo tómico es un prábol. Ls secciones cónics se emplen en el diseño de un grn vriedd de estructurs rquitectónics, en cbret, slones de bile y tetros, el uso de techos elípticos fvorece l cústic, un ejemplo de estos techos se encuentr en el fmoso cbret Tropicn en el municipio de Mrino de nuestr cpitl. Son muchos los ejemplos que pudiérmos citr de ls plicciones de ls secciones cónics y que son muy fmilires pr los lumnos pues se presentn visiblemente en el mundo que nos rode, un rued (circunferenci), un bndej (elipse), l sombr sobre un pred de un luz proveniente de un lámpr de form cilíndric (hipérbol), l tryectori descrit por el gu l slir de un mnguer (prábol)... Circunferenci. Definición: L circunferenci es un lugr geométrico, que se define como: El conjunto de los puntos P del plno cuy distnci un punto fijo C, del mismo plno, es un cntidd constnte r ( R ) * + r.

34 Al punto fijo C se le denomin centro de l circunferenci y l número r rel no negtivo, se le llm rdio. O se, los puntos de l circunferenci equidistn del centro. Un circunferenci está determind cundo se conoce su centro C y su rdio r. Como y conoces l circunferenci es un sección cónic, l mism se obtiene cundo un plno cortnte α intersec un mnto u hoj de un cono circulr recto de form que: ) El plno α no pse por el vértice del cono. b) El plno α es perpendiculr l eje del cono, o se, el plno α es prlelo l plno que contiene l bse del cono. L circunferenci encuentr en l vid práctic innumerbles plicciones, l rued, en rquitectur como diseño, el rco de medio punto de mucho uso en construcciones de css y puentes no es más que un semicircunferenci.. Ecución crtesin de un circunferenci:

35 Teorem: L circunferenci de centro C (h; k) y rdio r tiene por ecución ( h) + ( y k ) r ( r 0) Demostrción: Representemos el centro C (h; k) de l circunferenci coordends rectngulres en el plno: en un sistem de Un punto P (; y) pertenece l circunferenci sí y solo sí se cumple que d (C ; P) r pr todo punto P. ( h) + ( y k ) r (distnci entre los puntos C y P del plno) ( h) + ( y k ) r (elevndo mbos miembros l cudrdo, pr eliminr el rdicl) A l ecución nterior se le denomin ecución ordinri. Hemos demostrdo el teorem que es un consecuenci de l definición de l circunferenci como lugr geométrico y l distnci de dos puntos distintos del plno. Si el centro C (h; k) de l circunferenci coincide con el origen de coordends O, se tiene que h 0 y k 0 y l ecución nterior se trnsform en l ecución: ( 0) + ( y 0) r + y r Ecución cnónic de l circunferenci, por ser l más simple.

36 Si CP r, entonces P Γ, si CP r, P Γ siendo un punto interior l circunferenci y si CP r, P Γ y es un punto eterior de l circunferenci. Ejercicios resueltos:. Escribe l ecución de l circunferenci de centro C, rdio r y diámetro d en cd cso: ) C (; ) r 3 u l 3 b) d AB, diendo A (3; 6) y B ( ; ) c) C: origen de coordends 3 d dm Solución: ) Prtiendo de l ecución ordinri: ( h) + ( y k ) r quí h, k y r 3 u l 3 Result: 3 ( ) + y + ( 3) 3 ( ) + y + b) No tenemos el centro C de l circunferenci, ni el rdio, como A (3; 6) y B ( ; ) son los etremos del diámetro de l circunferenci, C es el punto medio de AB, luego sus coordends son: + y + ; y C C ;

37 ( ; ) C Entonces r AC BC r ( ) + ( y ) y A (3; 6) y C (; ) r ( 3 ) + ( 6 + ) r ( ) + r u l Result que l ecución de l circunferenci es: ( h) ( y k ) r ( ) + ( y + ) 0 c) Si el centro de l circunferenci coincide con el origen de coordends, su ecución es + y r. Si 3 d dm, el rdio es l mitd 6 luego l ecución de l circunferenci es + y. 6 3 r dm, 8. Determin el centro, rdio y diámetro (en cm) de ls circunferencis dds por ls ecuciones: C : ( ) + y C : + ( y 0,7 ) 0, 005 C 3 : + y C : ( 0,5) + y 0

38 Soluciones: Presentremos ls soluciones en el siguiente cudro: Circunferenci Centro Rdio (cm) Diámetro (cm) C (; ) C 0,05 0, ; 0, 7 5 C 3 0 ; 8 8 C (0,5; 0) Observ que el segundo miembro de l ecución es el cudrdo del rdio, luego el rdio es l ríz cudrd ritmétic del segundo miembro, sí en l ecución de l circunferenci C el segundo miembro es 00, luego r 00, de donde r 00 0 cm, y el diámetro es el duplo del rdio, luego d 0 cm 0 cm. 3. Un circunferenci de rdio r dm ps por el origen de un sistem de coordends rectngulres y su centro se encuentr en l bisectriz del primer y tercer cudrnte. Hll l ecución de l circunferenci. Solución: Se l ecución de l circunferenci: ( h) + ( y k ) r. El rdio es r dm, entonces result: ( h) + ( y k) ( ) ( h) + ( y k ) 8 ()

39 Como l circunferenci pr por el origen, o se, por O (0; 0), ls coordends de este punto stisfcen l ecución (), donde 0 y y 0, resultndo: ( 0 h ) + ( 0 k ) 8 h + k 8 () L bisectriz del primer y tercer cudrnte, es l rect de ecución y, o se, todos los puntos de ests rects tienen sus coordends igules, y como el centro está en est bisectriz, h k, sustituyendo en (): h + h 8 h 8 h h ± h ± Se deduce que eisten dos circunferencis que stisfcen ls condiciones dds, ests son: ( ) + ( y ) 8 ( + ) + ( y + ) 8. En un sistem de coordends en el plno se h representdo un cudrdo cuyos vértices son los puntos O (0; 0), A (; 0), B (; ) y C (0; ) ( 0) cul el cudrdo se h inscrito un circunferenci de centro M y rdio MN. ) Escribe l ecución de l circunferenci., en el

40 b) Muestr que el áre de l región ryd es ( π) r uniddes lineles. El centro de l circunferenci es el punto de intersección de ls digonles OB y AC del cudrdo que se cortn en su punto medio M de l digonl OB es: M ; M ; El rdio de l circunferenci es es: r l, luego l ecución de l circunferenci ( h) + ( y k ) r + y b) ( ) ( ) oabc círculo r (diferenci de áres) ( oabc ) l (áre del cudrdo) ( círculo) π (áre del círculo) ( círculo) luego, r r π π π

41 π r (scndo fctor común) π r (efectundo l rest) r ( π ) uniddes cudrds Ecución generl de l circunferenci L form ordinri de l ecución de un circunferenci ( ) ( ) h + y k r, nos permite por simple inspección determinr ls coordends de su centro C (h; k) y su rdio r, sin embrgo no siempre l ecución de un circunferenci viene dd en su form ordinri. Se l circunferenci de ecución ( ) ( ) Efectuemos los cudrdos: h + h + y k y + k r h + y k r () Trnsponiendo r h + h + y k y + k r 0 () Reduzcmos est últim ecución l form de un ecución de segundo grdo en dos vribles: A + By + Cy + D + Ey + F 0 (3) Retomemos l ecución () ( h + k ) 0 + y h k y + r () donde: A, B 0, C, D h, E k y F ()puede entonces escribirse en l form: h + k r, result que l ecución + y + D + E y + F 0 (5)

42 Est ecución (5) obtenid es llmd form generl de l ecución de l circunferenci y es un cso prticulr de l ecución (3). Tod ecución ordinri correspondiente un circunferenci puede ser epresd en l form generl, sin embrgo el recíproco de est firmción no es verddero como veremos más delnte. Ejercicios resueltos. Escrib l ecución generl de ls circunferencis dds: ) ( ) + ( y + 5) b) C ; 8 diámetro: 6, 0 dm Solución: ) ( ) + ( y + 5) y + y 8 + 0y y A B D 8 E 0 F b) Centro ; 8 Rdio d 6,0dm 3,0 dm L ecución ordinri de l circunferenci es: ( k ) + ( y k ) r y y y

43 5 + y 3 + y A, B, C 3, D y F 6. Dí si ls ecuciones dds representn un circunferenci. Fundment tu respuest: ) + y + 6y b) + y 0 + 6y 5 0 c) 3y d) + y 8 + 6y Soluciones: ) Podrí pensrse que por el hecho que l ecución + y + 6y 5 0 tiene l form + y + D + Ey + F 0 donde A, B, D, E 6 y F 9, l mism represent un circunferenci, y no es sí y que l ecución dd solo represent un circunferenci, si es posible epresrl en l form ordinri: ( h) + ( y k ) r ( 0) r () Observ que el miembro izquiedo de l ecución nterior es l sum de dos binomios el cudrdo, esto sugiere que pr epresr l ecución dd en l form (), es necesrio grupr convenientemente en el miembro izquierdo y relizr completmientos cudráticos con el fin de obtener dos trinomios cudrdos perfectos. Es necesrio recordr que si tenemos un binomio de l form: + m su complemento cudrático (CC), o se, el término que hy que ñdirle pr convertirlo en un trinomio cudrdo perfecto, es igul l cudrdo de m l mitd del coeficiente del término en, result que CC : + y + 6y + 9 0

44 ( ) + ( y + 6y ) 9 (grupndo convenientemente) Clculndo los complementos cudráticos: CC 6 y CC 9 Sumndo estos complementos cudráticos mbos miembros e l iguldd nterior: ( + ) + ( y + 6y + 9) Descomponiendo los trinomios cudrdos perfectos formdos y reduciendo términos semejntes ( ) + ( y + 3) Est ecución responde l form: ( h) + ( y k ) r Luego represent un ecución de centro C (; 3) y rdio r uniddes lineles. b) + y 0 + 6y 5 0 Dividmos por mbos miembros: 5 + y 5 + 3y 0 Procediendo nálogmente como en el ejemplo nterior: ( 5) + ( y + 3y ) 5 Clculndo los complementos cudráticos: CC ; CC y 9 + 3y

45 5 3 + y + 6 Luego l ecución dd represent un circunferenci cuyo centro es C 5 3 C ; y cuyo rdio mide uniddes lineles. c) + y 8 + 6y Trtemos de reducir est ecución l form ordinri: ( 8) + ( y + 6y ) 9 complementos cudráticos: 8 6 CC 6 CC 9 ( 8 + 6) + ( y + 6y + 9) ( ) + ( y + 3) Est iguldd es imposible y que l sum de dos cudrdos no puede ser un número negtivo, luego l ecución dd no represent ningún lugr geométrico rel, podrímos llegr igul conclusión rzonndo sí: r, de donde r que no está definid en R. No eiste ningún punto del plno cuys coordends stisfgn l ecución dd. d) 3y Evidentemente est ecución no corresponde un circunferenci, puesto que los coeficientes de los términos de segundo grdos y 3 son diferentes. e) + y +,75 3 ( 3) + y, 75 Solo es necesrio relizr un solo completmiento: CC 3 9

46 y, y 0, 75 L iguldd nterior solo es verdder si ls bses igules cero, o se, pr 3 y y de ls potencis son 3 y y 0.Geométricmente eiste un solo punto cuys coordends stisfcen l ecución. El punto es 3 ; 0. Posiciones reltivs de un circunferenci y un rect En el plno dd un circunferenci de centro O y rdio r y un rect, sus posiciones reltivs son: ) Secnte: (L rect s cort l circunferenci en dos puntos) b) Tngente: (L rect s cort l circunferenci en un solo punto). c) Eterior: (L rect s no cort l circunferenci). Si se conocen ls ecuciones crtesins de un circunferenci y un rect, sus posiciones reltivs se determinn resolviendo el sistem cudrático formdo por ests ecuciones:

47 ( ) ( ) ) ( 0 C B A ) ( y r k y h L ecución () represent l circunferenci y l () un líne rect. Si este sistem tiene soluciones, entonces l rect y l circunferenci son secntes, si el sistem tiene un solución, l rect es tngente l circunferenci y si el sistem no tiene solución, l rect es eterior l circunferenci. Ejercicios resueltos. Sen: s l rect que ps por los puntos: A (; 3) y B ( 5; ) Circunferenci de ecución y y Determin medinte cálculo ls posiciones reltivs de l circunferenci y l rect dd. Solución: Hllemos l ecución de l rect s. ( ) y y m A (; 3) y B ( 5; ) s m ( ) 0 0 m y y 3 y s: 0 y Plntendo un sistem compuesto por l ecución de l circunferenci y l rect: ( ) ( ) y y y

48 Despejndo y en (): y + ( 3) Sustituyendo (3) en () ( + ) 6 ( + ) (dividiendo mbos miembros por ) ( 3 )( ) 0 3; Sustituyendo en (3): y y Por tnto l rect s cort l circunferenci en los puntos A (3; ) y B (; ), luego l rect s es secnte l circunferenci.. Sen: Γ: + y 3 + y + k 0 r: y + 0 Determin el vlor de k sbiendo que l rect r es tngente l circunferenci Γ. Clcul ls coordends del punto T de tngenci. Solución: Formemos un sistem cudrático con ls ecuciones dds: + y 3 + y + k 0 y + 0 ( ) ( ) Resolvmos este sistem. Despejndo y en ():

49 y + ( 3) Sustituyendo (3)en (): k k 0 ( + ) 0 + k () Se h obtenido un ecución cudrátic incomplet donde y c k +, como l rect es tngente l circunferenci el sistem plntedo h de tener un sol solución, o se, el discriminnte de l ecución ( D b c) cero: ( )( + ) 0 0 k debe ser igul 8 k k 6; k 8 O se, k debe ser igul pr que r se tngente Γ, o se, l cort en un punto T, pr hllr sus coordends, sustituimos k en l ecución ()resultndo que + ( + ) 0, 0 ; 0, sustituyendo en ()se obtiene y 0 +, luego el punto T tiene coordends (0; ). 3. Se un circunferenci de centro en el punto C (3; ) y l cul es tngente l rect r de ecución y ) Determin l ecución de l circunferenci. b) Dí si A ( ; ) es un punto interior o eterior l circunferenci. Fundment tu respuest. Solución: ) L ecución de l circunferenci de centro C (h; k) y rdio r es ( h) + ( y k ) r

50 Conocemos el centro C (3; ), luego h 3 y k, como l rect de ecución y es tngente l circunferenci en P, result que PC r es perpendiculr l rect, luego el rdio es l distnci del punto C l rect r: y : A0 + By 0+ C r (Fórmul pr hllr l distnci de un punto un rect) A + B A, B, C 5, 0 3 y y 0 ( )( ) 3 + r + ( ) r 7 7 ul Entonces l ecución de l circunferenci es ( 3) + ( y ) 9 5 b) Vemos hor si el punto A ( ; ) es interior o eterior l circunferenci, hllemos l distnci del punto A ( ; ) l centro de l circunferenci C (3; ) y después compremos est distnci con el rdio de l circunferenci. d d ( ) ( ) ( ) A, C + y y ( ) ( ) ( ) A, C 3 + ( A, C) ( 5) + ( 3) d u l 5, 8 u l

51 r 7 ul ul 3,ul 5 d A,, luego C es eterior l circunferenci. ( C) r Not: Los puntos de un circunferenci y sus puntos interiores determinn en el plno un región denomind círculo.. Hll ls ecuciones de ls rects, tngentes l circunferenci de ecución + y + y 0 trzds desde el punto P (0; ) Solución: Desde un punto P eterior un circunferenci se pueden trzr dos rects tngentes l circunferenci, cuys longitudes son igules: En este cso l circunferenci tiene por ecución + y + y 0 y el punto eterior ell es P (0; ). Ls dos tngentes trzds desde el punto l circunferenci ddos son de l form: ( ) y m 0, o se, y m + (y que l ecución y y 0 m( 0 ), y 0 y 0 0) L intersección de ls dos rects que psn por P con l circunferenci, se obtiene resolviendo el sistem cudrático: ( ) y m + y + y 0 ( )

52 Sustituyendo ()en ()result: ( m + ) + ( + ) 0 + m + m + m + + m + 0 (Efectundo el cudrdo del binomio y l multiplicción) ( 6m ) m + (Agrupndo convenientemente y reduciendo términos semejntes) ( + m ) + ( 6m ) ( 3) Result un ecución cudrátic de l form + b + c 0 donde: + m, b 6 m y c 5. Como ls rects son tngentes l circunferenci ls soluciones de l ecución (3) deben ser reles e igules, o se, únic, pr ello su discriminnte D b c debe ser cero, luego ( 6 m ) ( + ) 5 0 D m 36m m + 0 0m 0 6m m 6 0 m 3m 0 (Dividiendo por 8) ( + )( m ) 0 m (Descomponiendo en fctores) m y m Luego ls ecuciones de ls dos rects tngentes l circunferenci dd, trzds desde el punto P (0; ) son: r : + 0 y r : + 0 Ejercicios y problems propuestos

53 . Se un circunferenci Γ de centro C, rdio r y diámetro d, escrib en cd cso l ecución de l mism: ) C (3; ) r, 0 cm b) C (0; ) r dm c) C ( ; ) d 8 cm d) Los puntos A (; 6) y B (3; ) son los etremos de un diámetro d. e) L circunferenci ps por el origen y tiene su centro en l rect de ecución y. f) L circunferenci es concéntric con l circunferenci de ecución 3 + y y su diámetro mide cm.. Hll l ecución de l circunferenci que ps por los puntos M ( ; ), N (; ) y P (3; ). (Resolver este problem por dos vís distints) 3. Hll l longitud de l circunferenci cuy ecución es + y ( y ) Determin l longitud de l cuerd de l circunferenci de ecución ( ) + ( y ) 0 que se divide l mitd por el punto A (; ) 5. Hll el lugr geométrico de los puntos del plno tles que l rzón entre l distribución dos puntos fijos A(0; 0) y B(6; 3) es igul. Solución: Se el punto P(; y) perteneciente l lugr geométrico Γ descrito, luego se cumple que:

54 PA PB () d ( ) + ( y ) (distnci entre dos puntos del plno) y Entonces si P(; y) y A(0; 0) ( 0) + ( y 0) y d + por otr prte si P(; y) y B(6; 3), result: d ( 6) + ( 3 ) y Sustituyendo ls distncis clculds en () se tiene: + y ( 6) + ( y 3) Un ecución con rdicles con dos vribles, elevndo mbos miembros l cudrdo: + y ( 6) + ( y 3) + y [ ( 6) + ( y 3) ] ( y 6 + 9) + y y + y y y y 8 y + 80 Dividiendo por 3 result + y 6 8y Aprentemente es un circunferenci, vemos: ( 6) + (y 8y) 60 ( 6 + 6) + (y 8y + 6) ( 8) + (y ) 0

55 Efectivmente el lugr geométrico es un circunferenci de centro C(8; ) y rdio r 0 5 ul. 6. En l figur se represent un circunferenci de centro C y diámetro AB, el eje y es tngente l mism en el punto B. determin: ) L ecución de l circunferenci en su form generl. b) Clcul el perímetro y el áre ryd. 7. Determin el áre ryd, teniendo en cuent los dtos que se dn: ) b) Γ : + y 5 AB : y Un diámetro de un circunferenci tiene por etremos los puntos donde l rect r : 3y cort los ejes coordendos. Hll l ecución de l circunferenci.

56 9. Un cuerd de l circunferenci dd por l ecución + y 5 es un segmento de l rect de ecución 7 y Determin: ) L longitud de l cuerd. b) L ecución de l meditriz m de dich cuerd. c) Si l meditriz m ps por el centro de l circunferenci. 0. Determin l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A (3; 0), B (5; ) y es tngente l rect que ps por los puntos C (; 5) y D ( ; 0).. L circunferenci Γ cumple ls condiciones siguientes: su rdio mide, 0 dm. Es tngente l circunferenci de ecución + y 6 0. Su centro es punto de l rect r : + y Ls coordends de los etremos del diámetro AB de un circunferenci son A ( ; ) y B ( ; 6). ) Clcul ls coordends del centro. b) Hll l longitud de l circunferenci. c) Escribe l ecución de l circunferenci. d) Qué vlor debe tener y pr que el punto P ( ; y), con y pertenezc l circunferenci? 3. Hll l ecución del lugr geométrico de un punto del plno, tles que los segmentos que determinn con los puntos A (0; ) y B (; ) permnecen siempre perpendiculres. Identific el lugr descrito.

57 . Escribe l ecución del diámetro de l circunferenci + y y 0 prlelo l eje y. 5. Cuál es l ecución de l circunferenci tngente ls tres rects de ecución: + y 0 ; y y y + 0? 6. Determin el lugr geométrico de los puntos de ls cuerds de l circunferenci de ecución + y, siendo uno de los etremos de l cuerd el punto fijo A (; 0). 7. Hll ls ecuciones de l circunferencis que cumplen con ls siguientes condiciones: ) Tiene centro C (; 3) y ps por P (7, 0) b) Tiene centro sobre el eje y ps por P ( ; 0) y Q (0; ). c) Tiene centro sobre el eje y ps por P (; ) y tiene diámetro d, 0 dm. d) Tiene rdio r, 0 km y es tngente l rect de ecución + y + 0 en el punto P ( ; ). 8. Sen ls circunferencis: C : ( ) + ( y + 3) 6 C : + y + 6y ) Comprueb que son concéntrics. b) Muestr que 75% del áre de l región comprendid entre ls circunferencis dds es igul 9π uniddes cudrds. 9. Di si son verdders o flss ls firmciones. Justific.

58 ) L ecución + y no represent un circunferenci. b) L circunferenci de ecución + y + 0 y l rect de ecución y son secntes. c) Ls circunferencis de ecuciones: + y y + y 0 se intersecn en los puntos A ; 3 y B 3 ;. d) Desde un punto interior de un circunferenci solo puede trzrse est un tngente. e) L ecución + y represent un circunferenci de centro en el origen y rdio igul 6 uniddes lineles. 0. El centro de un circunferenci de diámetro,0 cm es el punto de intersección de ls rects: r : Ps por los puntos A (; 3) y B ( 3; 5) r : y + 0 ) Determin el centro C de l circunferenci. b) Verific si el punto P (; 3) pertenece l circunferenci.. Mrc l respuest correct con un () El centro de l circunferenci representd de diámetro d 0 dm coinciden con el origen de coordends y los puntos P (; y) y P (; ) del primer cudrnte pertenecen l circunferenci dd. Entonces el áre ryd es: ) 3,5 dm ( ) b) dm ( ) c) 700 cm ( ) d) ninguno de los números ddos ( )

59 . L circunferenci Γ de centro C (; 0) y diámetro 6 cm y l rect r que ps por los puntos A ( ; 3) y B (; ). ) Escrib ls ecuciones de y r. b) Determin ls posiciones reltivs de l circunferenci y l rect. 3. ) Clcul el 80% del áre del triángulo cuyos vértices son el centro de l circunferenci C representd por l ecución + y + 8y y los puntos donde est cort l eje de ls bsciss. b) Determin l ecución de l líne de centros de l circunferenci C dd en el inciso nterior y l circunferenci C que cumple ls siguientes condiciones: El centro de C es el punto C (3; ). C cort l rect r: 5y en los puntos A y B tl que AB 6, 0 dm.. Determin l ecución del diámetro de un circunferenci de centro C ( 3; ) y rdio 5,0 dm, sbiendo que el mismo l cort en el punto P de bscis y ordend positiv.

60 5. Hll l ecución de l rect r que ps por el centro de l circunferenci representd por + y 6 y y que es perpendiculr l rect de ecución + 3y 6. L bse superior es inferior de un cilindro circulr recto cuy ltur es de 0 dm, viene representd por l ecución + y 0 + 6y Clcul el áre lterl y el volumen del cuerpo ddo. 7. ) Demuestr que el conjunto de los puntos P (; y) del plno pr los cules se cumple que l sum de los cudrdos de sus distncis dos puntos fijos A ( ; 0) y A (; 0) es un constnte k y se encuentrn en un circunferenci. b) Se l circunferenci de ecución ( ) ( ) h + y k r y un punto. P ( 0 ; y 0 ) eterior est circunferenci, obtén un fórmul pr clculr l longitud de l tngente trzd desde P l circunferenci en función de ls coordends de P, los coordends del centro de l circunferenci y su rdio. c) Aplic l fórmul obtenid en el inciso nterior y clcul l longitud de l tngente l circunferenci + y 6 + y 6 0 trzd desde el punto P ( ; 0). 8. L circunferenci Γ tiene por diámetro l prte de l rect de ecución y 8, correspondiente l curto cudrnte. ) Determin l ecución de l circunferenci. b) Cuál es l posición reltiv de l rect r que ps por los puntos A (; ) y B ( 3; ) y l circunferenci dd. 9. (*) Se l circunferenci de ecución + y 6 y y ls rects:

61 r r r 3 : 3 y 6 0 : 5 8y : 3 y 0 ) Cómo determinrí medinte un procedimiento nlítico, l posición reltiv de l circunferenci y ls rects r, r y r 3, sin plnter un sistem de ecuciones cudrático, integrdo por l ecución de l circunferenci y de cd rect? b) Determin plicndo el procedimiento del inciso nterior, ls posiciones reltivs de l circunferenci y ls rects dds.. Elipse Estudiremos hor l elipse, desde los primeros ños de tu vid como escolr est figur geométric fue conocid por ti con el nombre de óvlo, hor relizremos un estudio más completo de est curv. Definición de l elipse como un sección cónic L elipse es l intersección de un plno inclindo, (no prlelo un genertriz), con un cono circulr recto de modo que solo cort un mnto del cono completo. Definición de l elipse como lugr geométrico Un elipse es el lugr geométrico de los puntos de un plno, tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos F y F del mismo denomindos focos, es un constnte positiv k myor que l distnci entre los focos ( ) k F F. De l definición nterior surge l ide de cómo relizr el trzdo de un elipse:

62 Se fijn dos clvos, en dos puntos que son los focos. Se tom un hilo o cordel que no se estire y cuy longitud se myor que l distnci entre los focos y fijmos sus etremos en los clvos. Se estir el hilo con l punt de un lápiz y moviendo el mismo se obtiene l curv en cuestión (elipse). F y F: Focos El método descrito pr el trzdo de l elipse, se denomin método del jrdinero por ser utilizdo en l construcción de cnteros de flores. En dibujo eisten otros métodos más ectos pr el trzdo de elipses, unos de estos métodos consiste en obtener un determind cntidd de puntos de est curv, procediendo posteriormente unirlos medinte un líne continu, utilizndo pr ello un instrumento denomindo curvígrfo. Vemos hor lgunos elementos crcterísticos de l elipse: Focos: F y F Eje de simetrís: A A y B B Centro: L intersección de los ejes de simetrí. Semieje myor: CA CA

63 Semieje menor: CB CB b (b > ) Eje myor: Eje menor: A A B B b Distnci focl: F c ( c ) F Constnte de k de l elipse es, pues: ( k c) k F + A F A F + A F A Además, como B es un punto de l elipse, se cumple en virtud de l definición de est cónic: B F + BF F B F B El triángulo CF B rectángulo en C, luego: + b c (Teorem de Pitágors) Ldo recto (LR): El segmento C C que une dos puntos culesquier de un elipse se denomin cuerd. L cuerd D D que ps por los focos y el perpendiculr l eje myor o principl de l elipse se denomin ldo recto, evidentemente como un elipse tiene dos focos tendrá dos ldos rectos. A l longitud del ldo recto tmbién se le llm prámetro de l elipse. Otro elemento crcterístico de l elipse es l ecentricidd numéric. Pr un mismo vlor de, cunto myor se c más lrgd será l elipse, y cunto menor se c más se precerá un circunferenci. Pr medir hst qué punto se diferenci l form de un elipse de un circunferenci, pr esto se d l siguiente definición: Se llm ecentricidd numéric (e) de un elipse l cociente entre l distnci semifocl y l longitud del eje myor: c b e e ( c,luego ) L ecentricidd de un elipse es un número rel myor que 0 y menor que, o se: 0 e

64 Pr un mismo vlor de, cunto myor se c, más lrgd será l elipse, y cunto menor se c, más se precerá un circunferenci. Ests tres elipses tienen el mismo eje myor 3,0 cm y distints ecentriciddes numérics, mientrs más distn los focos (distnci focl c), myor es su ecentricidd, o se, más lrgd será l elipse, menos precerá un circunferenci e e e3. Podemos decir que l ecentricidd es l medid del grdo de ovlmiento de l elipse. Algunos utores mplín el rngo de vlores de c, y considern l circunferenci como un cso prticulr de l elipse, en tl cso los focos se confunden con el centro, o se, l distnci focl es cero, y por tnto l ecentricidd tmbién es cero. Ls órbits de los plnets son elipses, siendo el Sol uno de sus focos, continución presentmos un tbl donde precen l ecentricidd de ls tryectoris elíptics de lgunos plnets l girr lrededor del Sol.