Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Transcripción

1 pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo elegido (ritrrimente) un unidd, todo segmento le corresponde el número rel de su medid con respecto dich unidd. En lo que sigue, supondremos que hemos fijdo un unidd y entenderemos l expresión D como el producto de ls medids con respecto l unidd elegid de los segmentos y D Rects ntiprlels s r O Figur 1 Sen y dos rects secntes en O. Sen r y s rects secntes en los puntos, y, ls rects y respectivmente, de modo que los pres y estén un mismo ldo o distinto ldo de O, y que el ángulo O se igul O. Diremos que ls rects r y s son ntiprlels respecto de y. Tmién son igules los ángulos 137

2 138 PÍTULO 16. TEOREM DE PITÁGORS s O Figur 2 r O y O por ser suplementrios de l sum de los nteriores con O. L rect r form sí con cd un de ls rects y, ángulos igules los que su ntiprlel s form con ests. Se sigue que el ntiprlelismo es un relción recíproc, esto es: Ls rects y son tmién ntiprlels respecto de r y s. Los triángulos O y O son semejntes porque tienen, respectivmente igules los ángulos homólogos en este orden. Por tnto O O = O O, (16.1) O O = O O. (16.2) Dos rects concurrentes en O son cortds por dos ntiprlels respecto de ells en puntos cuyo producto de distncis O es el mismo en ms rects Reciprocmente, si se verific (16.2), o equivlentemente se verific (16.1) y los ángulos O y O son igules, los triángulos O y O son semejntes y ls rects y son ntiprlels de ls rects O y O. De (16.1) tmién se desperende que O = O O O, (16.3) s r de modo que ls rects y tmién son ntiprlels de O y O. Si coincide con tendremos O ' Figur 3 O O = (O) 2. Diremos que el segmento O es medio proporcionl entre los segmentos O y O.

3 16.1. RETS NTIPRLELS Triángulo rectángulo onsideremos el triángulo rectángulo, con ángulo recto en. Se l ltur del vértice. Tenemos que el cteto y l ltur son ntiprlels de l hipotenus y el otro cteto. Similrmente, l ltur y el cteto son ntiprlels del otro cteto y l hipotenus. Se sigue que () 2 = (16.4) () 2 = (16.5) d cteto de un triángulo rectángulo es medio proporcionl entre l hipotenus Figur 4 y su proyección sore ell. De l semejnz de los triángulos y se desprende que = de donde = ()2 (16.6) L ltur sore l hipotenus de un triángulo rectángulo es medi proporcionl entre los segmentos en que quell divide est. El recíproco tmién es cierto: Si l ltur de un triángulo verific l ecución (16.6) entonces el triángulo es rectángulo. y En efecto, (16.6) prue que el los triángulos y son semejntes = = 90 de donde = + = onstrucciones de medis proporcionles Los teorems nteriores permiten l construcción del segmento x medio proporcionl dos segmentos y ddos. En l figur de l izquierd se h

4 140 PÍTULO 16. TEOREM DE PITÁGORS x x Figur 5 construido el segmento = +, l semicircunferenci de diámetro y el punto tl que =. L ltur del triángulo es el segmento uscdo. En l figur de l derech, se h construido el segmento =, l semicircunferenci con dicho diámetro y el punto de form tl que =. El cteto cuy proyección es es el segmento uscdo. Tmién tenemos el siguiente Teorem (Pitágors) El cudrdo de l longitud de l hipotenus de un triángulo rectángulo es igul l de ls longitudes l cudrdo de los ctetos sumds. En efecto, st sumr ls ecuciones (4) y (5) pr otenter () 2 + () 2 = + = ( + ) = () Generlizción del teorem de Pitágors c n Figur 6 m h c Sen un triángulo, l medid del ldo, c l medid del ldo y l medid del ldo. Trcemos por l ltur h c y sen m y n ls medids en vlor soluto de los segmentos y respectivmente. En ls figurs 6 y 7 tendremos 2 = m 2 + h 2 c = (c n) n 2

5 16.1. RETS NTIPRLELS 141 = 2 + c 2 2nc c n h c Figur 7 m y en l figur 8 2 = m 2 + h 2 c = (c + n) n 2 = 2 + c 2 + 2nc De modo que 2 = 2 + c 2 2nc si < 90 y 2 = 2 + c 2 + 2nc si > 90. Si = 90 entonces h c n c m Figur 8 n = 0. Según este teorem, dds ls medids de los tres ldos de un triángulo se puede reconocer si es cutángulo, recto o otusángulo sin contruirle, comprondo si el cudrdo del ldo myor es menor, igul o myor que l sum de los cudrdos de los otros dos Sum y diferenci de los cudrdos de los ldos de un triángulo pliquemos el teorem nterior pr expresr los cudrdos de dos ldos y ( > ) de un triángulo en función de l mitd del tercer ldo y

6 142 PÍTULO 16. TEOREM DE PITÁGORS de l medin correspondiente m c. En el triángulo M tendremos M m c c 2 = (c/2) 2 + m 2 c + 2 c/2 M. nálogmente, en el triángulo M tendremos 2 = (c/2) 2 + m 2 c 2 c/2 M. Figur 9 Sumndo otenemos ( c ) = m 2 c (16.7) 2 y restndo 2 2 = c M (16.8) 2 Ls ecuciones (7) y (8) nos permiten hcer el siguiente nálisis. Supongmos los puntos y fijos. Podemos 1. llr el lugr geométrico de puntos en el plno cuys distncis l cudrdo los puntos y sumd es contnte. Puesto que l longitud = c es fij, l ecución (7) nos dice que dicho lugr geométrico es l circunferenci cuyo centro es el punto medio del segmento y pr que tl lugr exist es necesrio y suficiente que > c 2 /2 = () 2 /2 2. llr el lugr geométrico de puntos en el plno cuys distncis l cudrdo los puntos y restds es constnte. En este cso l ecución (8) nos dice que los puntos que stisfcen l condición hn de tener l mism proyección sore el segmento. El lugr geométrico result ser un rect perpendiculr l rect. Ejercicios. 1. Sen,, r y s dos pres de rects ntiprlels (vénse ls figurs 1, 2, o 3). Sen, y los puntos de intersección de ests rects, tl como precen en ls figurs refierids. Muestre que dichos puntos se hlln sore un cirunferenci.

7 16.1. RETS NTIPRLELS Pr el triángulo de l figur 9 muestre que si = entonces M = 0 3. Referiéndonos l figur 9, si > c 2 hlle el rdio de l circunferenci cuy distnci los puntos y es