Desafío. Guía Congruencia y semejanza de triángulos GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA GUICEN025MT22-A17V1

Transcripción

1 PROGRM NTRNMINTO Guí ongruenci y semejnz de triángulos esfío n l figur djunt, el triángulo es rectángulo en y l rect L es simetrl del ldo. Si = 6 y = 8, entonces el perímetro del cudrilátero QP mide GUÍ JRITIÓN VNZ ) 16,5 ) 17,75 ) 18 ) 19 ) 1 P L Q GUIN05MT-17V1 Resolución Mis observciones 1

2 Progrm ntrenmiento - Mtemátic Mrco teórico ongruenci de triángulos os triángulos son congruentes si cumplen con lguno de estos criterios riterio LLL (ldo, ldo, ldo) riterio LL (ldo, ángulo, ldo) riterio L (ángulo, ldo, ángulo) riterio LL (ldo, ldo, ángulo) Si tienen sus tres ldos respectivmente congruentes. Si tienen dos ldos y el ángulo entre ellos respectivmente congruentes. Si tienen dos ángulos y el ldo entre ellos respectivmente congruentes. Si tienen dos ldos y el ángulo opuesto l myor de ellos respectivmente congruentes. b b

3 GUÍ JRITIÓN VNZ Semejnz de triángulos os triángulos son semejntes si cumplen con lguno de estos criterios: riterio LLL (ldo, ldo, ldo) riterio LL (ldo, ángulo, ldo) riterio (ángulo, ángulo) riterio LL (ldo, ldo, ángulo) Si tienen sus tres ldos respectivmente proporcionles. Si tienen dos ldos respectivmente proporcionles y el ángulo entre ellos congruente. Si tienen dos ángulos respectivmente congruentes. Si tienen dos ldos respectivmente proporcionles y el ángulo opuesto l myor de ellos congruente. b 1 1,5 1 1,5 b 1,5 n triángulos semejntes se cumplen ls misms condiciones que en tods ls figurs semejntes. l mencionrse l semejnz (o congruenci) entre dos triángulos, los vértices correspondientes deben escribirse en el mismo orden. L rzón entre los perímetros de dos triángulos semejntes es igul l rzón entre los ldos homólogos. L rzón entre ls áres de dos triángulos semejntes es igul l cudrdo de l rzón entre los ldos homólogos. os triángulos congruentes son siempre semejntes, pero no necesrimente dos triángulos semejntes son congruentes. L rzón entre los elementos secundrios homólogos de dos triángulos semejntes, es igul l rzón entre los ldos homólogos.

4 Progrm ntrenmiento - Mtemátic jercicios PSU continución, se presentn los siguientes ejercicios, de los cules sugerimos responder el máximo posible y luego, junto tu profesor(), revisr detlldmente ls pregunts más representtivs, correspondientes cd grdo de dificultd estimd. Solicit tu profesor() que resuelv quellos ejercicios que te hyn resultdo más complejos. 1. os triángulos rectángulos son siempre congruentes si tienen ) un cteto respectivmente congruente. ) l hipotenus congruente. ) dos ángulos respectivmente congruentes. ) dos ldos homólogos respectivmente congruentes. ) un ángulo congruente.. Si en un triángulo equilátero se dibuj un de sus trnsversles de grvedd, se formn dos triángulos ) equiláteros congruentes. ) cutángulos congruentes. ) cutángulos esclenos congruentes. ) isósceles rectángulos congruentes. ) esclenos rectángulos congruentes.. n el triángulo escleno de l figur djunt, se dibuj l medin. uál de ls siguientes firmciones es siempre verdder? ) F ) ) F F F ) F ) Δ Δ F

5 GUÍ JRITIÓN VNZ. n l figur djunt, es un trpecio isósceles, con y digonles que se intersectn en. uál de ls siguientes firmciones es FLS? ) ) ) ) ) 5. n l figur djunt, los triángulos, y son congruentes entre sí. Si : = 1 : y el segmento = 5 cm, cuál es el perímetro del polígono? ) 5 cm ) 6 5 cm ) ( + 6 5) cm ) ( + 6 5) cm ) ( + 5) cm 6. n l figur djunt, el triángulo F es isósceles en. Si H HF, entonces cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) HF H F II) III) H F H FH H ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II ) Solo II y III ) I, II y III 5

6 Progrm ntrenmiento - Mtemátic 7. n l figur djunt, los triángulos y son isósceles congruentes de bses y, respectivmente. Si F en F, entonces cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? F I) F F II) III) F ) Solo I ) Solo I y II ) Solo I y III ) Solo II y III ) I, II y III 8. uál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) Si ls áres de dos rectángulos miden lo mismo, entonces estos son congruentes entre sí. II) n todo triángulo equilátero, l trzr culquier de sus lturs se formn dos triángulos congruentes. III) Todo rombo se puede dividir en cutro triángulos rectángulos isósceles y congruentes entre sí. ) Solo II ) Solo I y II ) Solo I y III ) Solo II y III ) I, II y III 9. Se puede determinr que dos triángulos son congruentes, si: (1) Tienen sus tres ángulos respectivmente congruentes. () Tienen sus tres ldos respectivmente congruentes. ) (1) por sí sol. ) () por sí sol. ) mbs junts, (1) y (). ) d un por sí sol, (1) ó (). ) Se requiere informción dicionl. 6

7 GUÍ JRITIÓN VNZ 10. n l figur djunt, se puede determinr que Δ Δ, si: (1) // y () // y ) (1) por sí sol. ) () por sí sol. ) mbs junts, (1) y (). ) d un por sí sol, (1) ó (). ) Se requiere informción dicionl. 11. n l figur djunt, FGH es un polígono de cm de perímetro, formdo por dos cudrdos congruentes. Si G es el punto medio del segmento F, cuál es el áre de l figur? ) 6 cm ) 18 cm ) 6 cm ) cm ) 7 cm H G F 1. n l figur djunt,. Si = 17 cm y = 8 cm, entonces cuánto mide el perímetro del cudrilátero? ) 80 cm ) 7 cm ) 6 cm ) 6 cm ) 9 cm 7

8 Progrm ntrenmiento - Mtemátic 1. n l figur djunt, los triángulos y son congruentes, donde es homólogo con y es homólogo con. Si los puntos,, y son colineles, entonces l medid del ángulo, en función de α, es ) α ) 5º + α ) 90º + α ) 90º + α α ) 90º + α strtegi de síntesis Un profesor dese elborr un pregunt de suficienci de dtos sobre criterios de congruenci de triángulos. Hst el momento, tiene credo lo siguiente: n l figur, se puede determinr que los triángulos PQR y STU son congruentes, si: (1) () R U ) (1) por sí sol. ) () por sí sol. ) mbs junts, (1) y (). ) d un por sí sol, (1) ó (). ) Se requiere informción dicionl. P 70º Q S cm T scoge lgun de ls cinco opciones (,,, o ) y complet los dtos fltntes en (1) y () pr que l respuest se coherente con l opción que escogiste. 8

9 GUÍ JRITIÓN VNZ 1. uál de ls siguientes condiciones permite segurr que dos triángulos, y F, rectángulos en y respectivmente, son semejntes entre sí? ) F ) () + () = () + (F) ) = F ) y F son esclenos. ) Ls áres de mbos triángulos son igules. 15. Se un triángulo MNP isósceles en N, cuy bse mide 10 cm. Si MN = 8 cm, cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejnte(s) l triángulo MNP? I) Un triángulo RST, isósceles en S, cuy bse mide 5 cm. II) Un triángulo FGH, con FG = GH = cm y HF =,5 cm. III) Un triángulo, isósceles en, con PNM. ) Solo II ) Solo I y III ) Solo II y III ) I, II y III ) Ninguno de ellos. 16. n l figur djunt, es l digonl del rectángulo. uál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? I) T T II) T III) T T ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) Solo II y III ) I, II y III 0º 50º 17. n l figur djunt, QPR = α, RQP = β y PRQ = γ. Se puede determinr l medid del trzo UT, si: (1) TSU = α y SUT = γ () UTS = β R U ) (1) por sí sol. ) () por sí sol. ) mbs junts, (1) y (). ) d un por sí sol, (1) ó (). ) Se requiere informción dicionl. 10 cm P Q S 5 cm T 9

10 Progrm ntrenmiento - Mtemátic 18. n l figur djunt, intersect en el punto M, tl que M : M = m, con m un número rel positivo. Se puede firmr que el triángulo M es semejnte con el triángulo M, si: (1) // () m = ) (1) por sí sol. ) () por sí sol. ) mbs junts, (1) y () ) d un por si sol, (1) ó () ) Se requiere informción dicionl. M 19. n l figur djunt, y : = :. Si el perímetro del triángulo es 6 cm, entonces cuál es el perímetro del triángulo? ) cm ) 9 cm ) ) 8 cm 7 cm ) Indeterminble con los dtos ddos. 0. n l figur djunt, es un triángulo equilátero que está dividido en cutro triángulos semejntes él. Si los segmentos y están en l rzón : 1, y el áre del triángulo es 81 cm, cuál es el perímetro del triángulo F? ) 18 cm ) 9 cm ) 7 cm ) cm ) 6 cm F 1. L rzón de semejnz entre dos triángulos equiláteros es :. Si el ldo del triángulo menor mide 0 cm, cuánto mide el perímetro del triángulo myor? ) 0 cm ) 5 cm ) 60 cm ) 90 cm ) 15 cm 10

11 GUÍ JRITIÓN VNZ. n los triángulos y de l figur djunt, y. uál es el perímetro del polígono? ) 81 ) 8 ) 86 ) 99 ) Ninguno de los vlores nteriores n l figur djunt, Δ PQS Δ SRQ. uál es l medid de SR? ) ) ) P S 6 Q R ) ). n el triángulo PQR de l figur djunt, QPR TSR, RS = y SP = 9. uál es l rzón entre ls áres de los triángulos RST y RPQ? ) ) ) ) ) P S R T Q 11

12 Progrm ntrenmiento - Mtemátic 5. n l figur djunt, ~ F. Si el áre del triángulo F mide 6 cm, el áre del triángulo mide ) 8 cm F ) 6 cm ) 96 cm ) 19 cm ) ningun de ls medids nteriores. 6. n el triángulo de l figur djunt, el vlor de x es igul ) ) 1 ) 1 ) 7 α x α ) 8 7. Un cs que mide metros de ltur proyect un sombr de 8 metros de lrgo. Si es mism hor y en ese mismo lugr, un edificio proyect un sombr de metros, cuál es l ltur del edificio? ) 16 metros ) metros ) 8 metros ) metros ) 6 metros 8. n l figur djunt, el perímetro del triángulo mide cm y //. Si = 6 cm y = cm, entonces el perímetro del triángulo es ) 8 cm ) 1 cm ) 6 cm ) 7 cm ) indeterminble con los dtos ddos. 1

13 GUÍ JRITIÓN VNZ 9. n l figur djunt, el triángulo es semejnte con el triángulo. Si =, = 6 y F = 16, entonces cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? G I) G = II) III) Áre Δ Áre Δ = 16 1 ) Solo I ) Solo III ) Solo I y III ) I, II y III ) Ningun de ells. F 0. uál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? I) Todos los triángulos equiláteros son semejntes. II) Todos los triángulos rectángulos son semejntes. III) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejntes. ) Solo I ) Solo I y II ) Solo I y III ) Solo II y III ) I, II y III 1

14 Progrm ntrenmiento - Mtemátic Torpedo Geometrí Ángulos L Si dos ángulos sumn 90º, entonces estos ángulos son complementrios. Si dos ángulos sumn 180º, entonces estos ángulos son suplementrios. L 1 L t e q s b g d Si L 1 y L son rects prlels entre sí, y L rect trnsversl, entonces se cumple que: = g = e = q b = d = t = s Polígonos Número de digonles desde un vértice: d = n ntidd totl de digonles: = n (n ) Sum de ángulos interiores: S = 180º (n ) Prlelogrmos udrdo Rectángulo Rombo Romboide Ldos opuestos prlelos ü ü ü ü Ldos opuestos congruentes ü ü ü ü Ángulos dycentes suplementrios ü ü ü ü Ángulos opuestos congruentes ü ü ü ü Todos los ldos congruentes ü ü Todos los ángulos congruentes ü ü igonles se dimidin ü ü ü ü igonles perpendiculres ü ü igonles congruentes ü ü igonles bisectrices ü ü Áre prlelógrmo = bse ltur Áre cudrdo/rombo = digonl 1 digonl Trpecio: posee solo un pr de ldos prlelos llmdos bses. Medin = bse + bse 1 Áre = ltur medin Trpezoide: no posee ldos prlelos. Un cso prticulr es el deltoide, donde: - Ls digonles son perpendiculres - L digonl que es bse se dimidi - L digonl que no es bse es bisectriz Áre = digonl 1 digonl 1

15 GUÍ JRITIÓN VNZ Triángulos lementos secundrios: ltur: segmento que prte desde un vértice y ce perpendiculrmente en l rect que contiene l ldo opuesto. isectriz: rect que divide un ángulo en dos ángulos congruentes. Simetrl: rect que ps por el punto medio de un ldo y es perpendiculr él. Trnversl de grvedd: segmento que une el vértice con el punto medio del ldo opuesto. Medin: segmento que une los puntos medios de dos ldos. Triángulo equilátero n un triángulo equilátero, l ltur, bisectriz, simetrl y trnsversl coinciden. ldo ltur (h) = ldo Áre triángulo equilátero = Triángulo rectángulo b Áre del triángulo = bse ltur Áre triángulo rectángulo = b c Teorem de Pitágors: + b = c Tríos pitgóricos: {,, 5}, {5, 1, 1}, {8, 15, 17} Relciones métrics 0º 5º 5 60º 5º 15

16 Progrm ntrenmiento - Mtemátic Generliddes de l circunferenci O L 1 L ircunferenci de centro O O y OF L 1 L Rdios iámetro uerd Rect secnte Rect tngente en G // // Áre = pr Áre sector circulr pr 60 F Perímetro = pr Longitud rco pr 60 donde r es el rdio de l circunferenci y el ángulo del centro. Recordr que p siempre se trbj de mner expresd, menos que se indique un proximción de este número en el ejercicio. 16

17 GUÍ JRITIÓN VNZ Tbl de corrección Ítem lterntiv Hbilidd ificultd estimd 1 omprensión Medi omprensión Medi omprensión Medi omprensión Fácil 5 plicción Medi 6 S Medi 7 S Medi 8 S Medi 9 S Medi 10 S Medi 11 omprensión Medi 1 plicción Medi 1 plicción Medi 1 omprensión Fácil 15 S Medi 16 S Medi 17 S Medi 18 S Fácil 19 omprensión ifícil 0 omprensión Medi 1 plicción Medi plicción Medi plicción ifícil plicción Medi 5 plicción Medi 6 plicción ifícil 7 plicción Medi 8 plicción Medi 9 S Medi 0 S Fácil 17

18 Progrm ntrenmiento - Mtemátic Mis puntes 18

19 GUÍ JRITIÓN VNZ Mis puntes 19

20 Hn colbordo en est edición: irector cdémic Pulin Núñez Lgos irector de esrrollo cdémico e Innovción Institucionl Ktherine González Terceros quipo ditoril Rodrigo ortés Rmírez Pblo cheverrí Silv ndrés Grndón Guzmán quipo Gráfico y igrmción Vni Muñoz íz Tni Muñoz Romero lizbeth Rojs lrcón quipo de orrección Idiomátic Pul Sntnder guirre Imágenes nco rchivo pech l grupo ditoril pech h puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes pr utilizr ls distints obrs con copyright que precen en est publicción. n cso de presentrse lgun omisión o error, será enmenddo en ls siguientes ediciones trvés de ls inclusiones o correcciones necesris. Registro de propiedd intelectul de pech. Prohibid su reproducción totl o prcil.