1. Ejercicios Primera parte. 1. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ Progrm de Perfeccionmiento pr Profesores de Mtemátics del Nivel Secundrio Curso Piloto-Etp distnci 1. Ejercicios 1.1. Primer prte 1. Clsifique en verddero (V) o flso (F): ) Por un punto psn infinits rects. b) Por dos puntos distintos ps un rect. c) Un ret contiene dos puntos distintos. d) Dos puntos distintos determinn un solo un rect. e) Por tres puntos ddos ps un sol rect. 2. Clsifique en verddero (V) o flso (F): ) Tres puntos distintos son siempre colineles. b) Tres puntos distintos son siempre coplnres. c) cutro puntos todos distintos determinn dos rects. d) Por cutro puntos todos distintos pode psr un sol ret. e) Tres puntos pertenecientes un plno son siempre colineles. 3. Usndo cutro puntos todos distintos, siendo tres de ellos colineles, cunts rects que psen l menos por dos puntos podemos construir? 4. Clsifique en verddero (V) o flso (F): ) Si dos ángulos son complementrios, entonces mbos son gudos. b) Todo ángulo es congruente si mismo. c) Dos ángulos rectos culesquier son congruentes. 5. Clsifique en verddero (V) o flso (F): ) Todo triángulo isósceles es equilátero. b) Todo triángulo equilátero es isósceles. c) Un triángulo escleno pode ser isósceles. d) Todo triángulo isósceles es triángulo cutángulo. e) Todo triángulo rectángulo es triángulo escleno. f ) Existe triángulo rectángulo e isósceles. g) Existe triángulo isósceles obtusángulo. h) Todo triángulo cutángulo o es isósceles o es equilátero 6. Clsifique en verddero (V) o flso (F):

2 ) Todos los triángulos isósceles son congruentes. b) Todos los triángulos equiláteros son congruentes. c) Todos los triángulos rectángulos son congruentes. d) Todos los triángulos rectángulos isósceles son congruentes. e) Todos los triángulos cutángulos son congruentes. 7. Si el ABC es isósceles de bse BC, determine x e y. 2x-40 y x El teorem del triángulo isósceles. Si dos ldos de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos estos ldos son congruentes, O de otro modo: Se d el ABC. Si AB = AC, entonces LB = LC. 9. Todo triángulo equilátero es equiángulo. 10. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los ldos opuestos estos ángulos son congruentes O de otro modo: Se d el ABC. Si LB = LC, entonces AB = AC. 11. Todo triángulo equiángulo es equilátero. 12. Con segmentos de 8 cm, 5 cm y 18 cm se puede construir un triángulo? Porqué? 13. Dos ldos, AB y BC, de un triángulo ABC miden respectivmente 8cm y 21 cm. Cunto puede medir el tercero ldo, sbiendo que es múltiplo de 6?

3 14. El ldo AB de un triángulo ABC es expresdo por un número entero. Determine su vlor máximo, sbiendo que los ldos AC y BC miden respectivmente 27 cm y 16 cm y que C < A < B. 15. Demuestre que todo triángulo posee por lo menos dos ángulos internos gudos. 16. Si dos rects distints son perpendiculres un tercer, entonces no se interceptn. Triángulos Demuestre que en todo triángulo equilátero cd ángulo mide 60 Roy Wil Sánchez G Usndo En el el vértice teorem P : del s = ángulo w + v. externo muestre que el triángulo rectángulo tiene dos ángulos gudos. 19. Muestre En consecuenci, que l hipotenus de t = v de + 2w un triángulo t > v. rectángulo es myor que cd uno de los ctetos. 20. En Teorem todo triángulo, En l sum todo triángulo, de ls distncis l sum de ls un distncis punto quedepertenece un punto que l pertenece región interior l hci los región vértices interior de dicho hcitriángulo los vértices de menor dichoque triángulo l longitud es menor delque perímetro l longitud y myor del perímetro que l mitd y de este. myor Se el que ABC, l mitdfigur de este. 1, Se el teorem el ABC, firm: figur 1.10, el teorem firm: + b b + + c c < < m m + n + + n l + < l < + b + cb + c 22 B c n A m P b l C Figur Figur1: 1.10: Distncis Distncis de de un un punto puntointerior los vértices Prueb. Se P un punto en l región tringulr. Se cumple ls desigulddes 21. Demuestre que l sum de los dos ángulos gudos de un triángulo rectángulo son complementrios. 22. Dos rects L 1 y L 2 situds m + en n < un + mismo b, m plno + l < y + prlels c n + l < un b + ctercer rect L 3, son prlels entre sí. Entonces 9. Se l siguiente figur m + n + l < + b + c (1.7.1) Por el teorem 1.11 Sumdo AP C : b < m + l, AP B : c < m + n, BP C : < n + l + b + c 2 De ls ecuciones (1.7.1) y (1.7.2), se obtiene m b n < m + n + l (1.7.2) Demuestre que m + n < + b + b + c 2 < m + n + l < + b + c 13

4 23. Demostrr que l sum de distncis desde un punto de l bse de un triángulo isósceles los otros dos ldos, es constnte. 24. Ddo un triángulo ABC, hllr un punto X sobre AB y otro Y sobre AC, de modo que XY = BX + CY, siendo XY prlel BC. 25. En l siguiente figur hlle el vlor de x 60-u x u 2u 26. En l siguiente figur hlle el vlor de v v 2u 60-u u 27. En l siguiente figur hlle el vlor de Y en términos de u. 90+u u u Y 28. En l siguiente figur hlle el vlor de u

5 3u 7u 4u 29. En l siguiente figur hlle el vlor de x 4x 2x x 1.2. Segund prte 1. Demuestr que cd punto de l bisectriz de un ángulo está l mism distnci de cd uno de los ldos del ángulo. 2. Demuestr que ls tres bisectrices de un triángulo se cortn en un mismo punto. 3. Demuestr que ls tres meditrices de un triángulo se cortn en un solo punto. 4. Demuestr que el punto medio de l hipotenus de un triángulo rectángulo equidist de los tres vértices del triángulo. 5. Demuestr que ls tres lturs de un triángulo se cortn en un mismo punto. 6. En todo triángulo rectángulo, el cudrdo de l longitud de un cteto es igul l producto de ls longitudes de l hipotenus y l proyección ortogonl de dicho cteto respecto l hipotenus. En el triángulo rectángulo ABC, c 2 = bm, 2 = bn.

6 1.10. Relciones métrics en el triángulo rectángulo En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figur 1.16, se dn importntes resultdos. B c v h A m H b n v C Figur 2: Relciones métrics en un triángulo rectángulo Figur 1.16: Relciones métrics en un triángulo rectángulo 7. En el triángulo rectángulo ABC, b 2 = 2 + c En todo Teorem triángulo rectángulo, En todo triángulo el producto rectángulo, de ls el cudrdo longitudes de de l longitud sus ctetos de un escteto igul l es producto igul de ls longitudes l producto de ls hipotenus longitudes dey l lhipotenus ltur reltiv y proyección dich hipotenus. ortogonl de En dicho elcteto triángulo respecto rectángulo ABC, lfigur hipotenus. 2, c En = bh. el triángulo rectángulo ABC, c 2 = bm, 2 = bn. 9. En Prueb. todo triángulo Por semejnz rectángulo, de losltriángulos invers ABC del cudrdo AHBde l longitud de l ltur reltiv l hipotenus es igul l sumc de b = ls m c inverss de los c2 = bm, b = cudrdos n de ls longitudes de sus ctetos. En 2 = bn el triángulo rectángulo ABC, figur 2, Teorem 1.15 (Teorem de Pitágors). 1 En el triángulo rectángulo ABC, b 2 = 2 + c 2. Prueb. Del teorem 1.14, h 2 = 1 c En un triángulo rectánguloc 2 ABC = bm, (recto 2 = bn en B), 2 l+ meditriz c 2 = b(m + de n) AC = b 2 intersect BC y AC en los puntos E y D respectivmente. Si se cumple que AC = 20 y AB = 12, clcule el áre de l región ABED. Teorem En todo triángulo, el cudrdo de l longitud de l ltur reltiv l hipotenus es igul l producto de ls longitudes de ls proyecciones ortogonles de los ctetos respecto de 11. En un triángulo ABC, se trzn ls bisectrices interiores AM y CN, ls cules se intersectn en I. Si AB dich hipotenus. BC y NI = EnIM, el triángulo clcule rectángulo m ABC. ABC, figur 1.16, h 2 = mn. Prueb. Por semejnz de los triángulos AHB BHC 12. En un triángulo ABC de ortocentro H, m BAC = 70. En l región exterior y reltiv l ldo AC se ubic el punto P. Si m HP C = h m HBC. n = m h h2 = Clcule mn m AP H. 13. En un triángulo ABC isósceles de bse AC, se ubic el punto P en l región interior, tl que Teorem En todo triángulo rectángulo, el producto de ls longitudes de sus ctetos es m BCP = 20, m P CA = 50 y m AP C = 100. Clcule m AOP si O es circuncentro del igul l producto de ls longitudes de l hipotenus y l ltur reltiv dich hipotenus. En el triángulo ABP. triángulo rectángulo ABC, figur 1.16, c = bh. 14. En un triángulo ABC, se trz l cevin interior AM, luego se ubicn los puntos L y N en AM y AC respectivmente, MN LC = {T }, tl que17m ABM = m AMN, BM = NC, AB = MC, m MLC = m MT L. Indique que punto notble es L pr el triángulo ABC. 15. En un triángulo isósceles ABC de bse AC se trz l cevin interior AM, tl que MC=2(MB), en AM se ubic el punto L, tl que m BLC = 90, clcule m LBC, si m MAC = 42. Referencis [1] MOISE-DOWNS: Geometrí Modern. ADISSON WESLESY IBEROAMERICANA Únic Edición; [2] Osvldo Dolce-José Nicolu Pompeo: Fundmentos de mtemátic elementr 9 GEOMETRÍA PLA- NA. ATUAL EDITORA. 7 edición [3] Arujo, José: Are y Volumen en l geometrí elementl. Red Olímpic Argentin; 2000.