Compilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos

Transcripción

1 olígonos Un polígono es l región del plno limitd por tres o más segmentos. lementos de un polígono Ldos: on los segmentos que lo limitn. Vértices: on los puntos donde concurren dos ldos. Ángulos interiores de un polígono: on los determindos por dos ldos consecutivos. um de ángulos interiores de un polígono i n es el número de ldos de un polígono: um de ángulos de un polígono = (n 2) 180 igonl: on los segmentos que determinn dos vértices no consecutivos Número de digonles de un polígono, si n es el número de ldos de un polígono: Número de digonles = n (n 3) : 2 4 (4 3) : 2 = 2 5 (5 3) : 2 = 5 6 (6 3) : 2 = 9 IO OLÍGONO. egún sus ldos riángulos 3 ldos. udriláteros 4 ldos. entágonos 5 ldos. egún sus ángulos onveos odos sus ángulos menores que 180. ods sus digonles son interiores. óncvos i un ángulo mide más de 180. i un de sus digonles es eterior. lementos de un polígono regulr Un polígono regulr es el que tiene sus ángulos igules y sus ldos igules. entro (): unto interior que equidist de cd vértice dio(r): s el segmento que v del centro cd vértice. potem(): istnci del centro l punto medio de un ldo. Ángulos de un polígono regulr - Ángulo centrl de un polígono regulr: s el formdo por dos rdios consecutivos. i n es el número de ldos de un polígono: Ángulo centrl = 360 : n ompildo por VI: entro de ducción de dultos

2 Ángulo centrl del pentágono regulr = 360 : 5 = 72º - Ángulo interior de un polígono regulr s el formdo por dos ldos consecutivos. Ángulo interior del pentágono regulr = º = 108º Ángulo interior = 180 Ángulo centrl - Ángulo eterior de un polígono regulr: s el formdo por un ldo y l prolongción de un ldo consecutivo. VIFI U 1) Los ángulos eteriores e interiores son suplementrios, es decir, que sumn 180º. 2) Ángulo eterior = Ángulo centrl OLÏGONO INIO Y IUNIO. Un polígono está inscrito en un circunferenci si todos sus vértices están contenidos en ell. ircunferenci circunscrit s l que toc cd vértice del polígono u centro equidist de todos los vértices. u rdio es el rdio del polígono. ircunferenci inscrit s l que toc l polígono en el punto medio de cd ldo. u centro equidist de todos los ldos. u rdio es l potem del polígono IÁNGULO Un triángulo es un polígono de tres ldos. Vértices:,, Ldos: = c, =, = Ángulos Interiores: < = α (lf) < = β (et) < = γ (gm) Ángulos teriores: φ, ω, θ lsificción egún ls longitudes de sus ldos riángulo equilátero: si sus tres ldos tienen l mism longitud (los tres ángulos internos miden 60 grdos riángulo isósceles: si tiene dos ldos de l mism longitud. Los ángulos que se oponen estos ldos tienen l mism medid. riángulo escleno: si todos sus ldos tienen longitudes diferentes. n un triángulo escleno no hy ángulos con l mism medid. ompildo por VI: entro de ducción de dultos

3 egún l mplitud de sus ángulos riángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90 ). los dos ldos que conformn el ángulo rect o se les denomin ctetos y l otro ldo hipotenus. riángulo otusángulo: si uno de sus ángulos es otuso (myor de 90 ); los otros dos son gudos (menor de 90 ). riángulo cutángulo: cundo sus tres ángulos son menores 90 ; el triángulo equilátero es un cso p rticulr de triángulo cutángulo. Línes y puntos notles en un tringulo ltur es el segmento perpendiculr comprendido entre un vértice y el ldo opuesto. Ortocentro es el punto de intersección de ls tres lturs de un triángulo. Medin es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del ldo opuesto. ricentro es el punto de intersección de ls tres medins de un triángulo. l segmento que une el ricentro con el vértice mide el dole que el segmento que une ricentro con el punto medio del ldo opuesto. G = 2G isectriz es l semirrect que divide un ángulo en dos prtes igules. Incentro es el punto de intersección de ls tres isectrices de un triángulo. s el centro de l circunferenci inscrit. Meditriz de un segmento es l rect perpendiculr l mismo en su punto medio. ircuncentro es el punto de intersección de ls tres meditrices de un triángulo. s el centro de l circunferenci circunscrit. OI 1. L sum de los ángulos internos de todo triángulo es L sum de los ángulos eternos de todo triángulo es igul Un ángulo eterno de un triángulo es igul l sum de los ángulos internos no dycentes. 4. od rect prlel uno de los ldos de un triángulo divide los otros dos en prtes proporcionles. ompildo por VI: entro de ducción de dultos

4 5. i un rect divide dos ldos de un triángulo en prtes proporcionles, es prlel l tercer ldo. = 6. L líne que une los puntos medios de dos ldos de un triángulo es prlel l tercer ldo e igul su mitd. = y = y = 2 7. L isectriz de un ángulo culquier de un triángulo divide el ldo opuesto en prtes proporcionles los otros dos ldos. < 1 = < 2 M = M 8. n un triángulo rectángulo, el cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos (teorem de itágors) c c 2 = MJNZ. Figurs semejntes. os figurs son semejntes, cundo tienen sus ángulos respectivmente congruentes comprendidos entre ldos proporcionles. < = < ', < = <', < = <,' < = <', < = <' = ' ' ' ' isten lguns figurs que teniendo sus ángulos congruentes sus ldos pueden no ser proporcionles. ompildo por VI: entro de ducción de dultos

5 Otrs figurs pesr de tener sus ldos proporcionles no tienen sus ángulos congruentes. e lo nterior deducimos que sólo son semejntes quells figurs que cumplen con ls dos condiciones y estlecids. eorem 1 (). i dos triángulos son mutumente equiángulos, son semejntes. ` < = <, < = < y < = < eorem 2 (LL). i dos triángulos tienen un ángulo igul comprendido entre ldos proporcionles, los dos triángulos son semejntes. = ' ' ' ' eorem 3 (LLL). i los tres ldos de un triángulo son respectivmente proporcionles los de otro, los dos triángulos son semejntes. = ' ' = ' ' ' ' Á UN IÁNGULO. l áre de un triángulo en generl es: h c n m h = 2 ompildo por VI: entro de ducción de dultos

6 i se conocen ls longitudes de los tres ldos,, c, el áre se puede clculr medinte l siguiente epresión llmd fórmul de Herón: ( + + c) = s( s )( s )( s c), donde s = es el semi perímetro. 2 eorem del cteto proyección sore ell: odo cteto es medio proporcionl entre l hipotenus y su n = c m = c eorem de l ltur. L ltur reltiv l hipotenus es medi proporcionl entre los segmentos que determin su pie sore l hipotenus: h m = n h 1. IUNFNI IUNI UN IÁNGULO ÁNGULO emos que l medid de un ángulo inscrito en un circunferenci es igul l mitd del rco que rcn sus ldos. or est rzón, si el triángulo es rectángulo, el rco que rcn los dos ctetos es de 180º or tnto, se cumplirá: ) L hipotenus es el diámetro de l circunferenci. ) l triángulo rectángulo de myor áre cuy hipotenus mide c es el isósceles de se c. c) L medin reltiv l hipotenus es igul l mitd de l hipotenus plique ls propieddes y definiciones ls siguientes situciones y determine lo que en cd cso se solicite: 1) < =? 2) < =? 80º 72º 40º 125º ompildo por VI: entro de ducción de dultos

7 3) =? 4) =? 158º 136º 72º 67º 5) =? 6) =? 81º 87º 70º 32º 7) =? 8) =? 132º 9) perpendiculr con ; 10) perpendiculr con ; < =? + =? 30º 11) MN = ON; < =? 12) = ; < =? O M N 115º 115º 13) + - c =? 14) + = 245º; =? 8 c 4 6 ompildo por VI: entro de ducción de dultos

8 15) ltur; < + < =? 16) // ; =? 80º 70º 117º 17) =? 18) U isectriz del <. <U =? 2 150º 22º 73º U 19) α : β : γ = 5 : 3 : 1; α =? 20) = ; < =? β α γ ) =, 22) HI isectriz del <FHG; <FHI =? H 35º F I 15º G 23) = ; =? 24) = ; α : β = 1 : 2 < =? 5-15 β α 25) M y O son lturs; =? 26) = ; < =? O 120 M 55 N 30 ompildo por VI: entro de ducción de dultos

9 27) // ; + y =? 28) ltur; < =? 60 y ) MN // ; NO // ; 30) ltur; isectriz del <; MO // ; =? < =? M O N ) = = ; < =? 32) F = F; // ; + y =? y F 33) // ; // F; 34) = ; = 2; =? // F; < =? F α 10 β 35 35) isectriz del <; 36) isectriz del <; isectriz del <; isectriz del <; : = 1 : 2; < = < =? F β α ompildo por VI: entro de ducción de dultos

10 37) - =? 38) Los ángulos, d y c son congruentes; <O =? O d c c M c N 39) =? 40) + = 160º; L 1 // ; L 2 // ; =? L 1 L 2 40 ompildo por VI: entro de ducción de dultos