ÁNGULOS DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS PROPIEDADES. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE; PROPIEDADES.

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1 ITULO1: ÁNGULOS FINIIÓN Y LSIFIIÓN ÁNGULOS OIS. ÁNGULOS FOMOS O OS TS LLS Y UN SNT; OIS. ÁNGULO: efinición: s l figur geométric determind por l reunión de dos ryos no linedos que tienen el mismo origen. O lementos: º Vértice: O Ldos: O y O Ángulo obtuso Notción: Ángulo O: <O, Ô Medid del ángulo O: m<o=º, m Ô=º lsificción de los ángulos por su medid: Ángulo llno Ángulo gudo Ángulo conveo Ángulo recto Los ángulos de menor mplitud que el ángulo llno se llmn conveo, los de myor mplitud que el llno se llmn cóncvos. Los ángulos gudos, rectos y obtusos son conveos. Ángulo completo

2 isectriz de un ángulo: Ángulos dycentes suplementrios: Ángulos dycentes: Ángulos opuestos por el vértice: Ángulos complementrios: Ángulos suplementrios:

3 Ángulos internos: c, d, e, f Ángulos eternos:, b, g, h Ángulos formdos por dos rects prlels y un secnte: Si: L 1// L Ángulos lternos internos: e y d; c y f Ángulos lternos eternos: y h; g y b Ángulos conjugdos internos: c y e; d y f Ángulos conjugdos eternos: y g; b y h L 1 Ángulos correspondientes: y e; b y f; c y g; d y h. L ropieddes: 1) Los ángulos correspondientes miden igul. ) Los ángulos conjugdos son Suplementrios. 3) Los ángulos lternos miden igul. Si: L 1// L y b L 1 c z L ntonces: º+bº+cº=º+yº+zº

4 JIIOS OUSTOS 1. Se tienen los ángulos consecutivos O y O, cuys medids se diferencin en 40. lculr l medid del ángulo que formn O y l bisectriz del ángulo O ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 ) 30. L sum de ls medids del complemento de un ángulo y el suplemento de otro ángulo es 140. Hlle el suplemento de l sum de ls medids de mbos ángulos. ) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) Se tienen los ángulos consecutivos O, O y O tl que: l medid del ángulo O ms l medid del ángulo O es igul 100 y los ángulos O y O son igules. Hlle l medid del ángulo O. ) 10 ) 15 ) 50 ) 0 ) 5 lcule l medid del ángulo que formn el ldo común dichos ángulos con l bisectriz del ángulo que formn ls bisectrices de estos ángulos. ) 0,4 ) 0,5 ) 0,33 ) ) 0,5 6. Ls medids de los ángulos consecutivos O, O, O y O, están en progresión geométric de rzón igul. lcule el complemento del ángulo determindo por ls bisectrices de los ángulos O y O, si m< O = 90. ) 30 ) 34 ) 36 ) 40 ) n cuánto ecede l medid del suplemento de un ángulo gudo, l medid del complemento del mismo ángulo? ) 45 ) 60 ) 75 ) 90 ) n l figur mostrd, clcule si ls rects: L 1//L //L Si el suplemento del complemento de l mitd del myor ángulo que form l bisectriz del ángulo dycente suplementrio un ángulo y el ldo no común es 140. lcule el ángulo. L 1 L L ) 10 ) 0 ) 30 ) 40 ) Ls medids de dos ángulos dycentes se diferencin en. ) 1 ) 5 ) 10 ) 15 ) 7 9. n l figur mostrd, clcule.

5 ) 30 ) 40 ) 50 ) 0 ) n l figur mostrd se cumple que: m < OX 11 = ; OX es l bisectriz m < XO 9 del <O ; lcule,m<o si m<o=180 y O es ortogonl. X 13. Si:L 1// L, + b = 0, hlle )10 ) 40 ) 0 ) 5 ) n l figur L 1// L, Hlle el vlor de b L 1 O 3 L 1 ) 10 ) 0 ) 30 ) 40 ) Si l complemento de un ángulo le umentmos el suplemento de otro, result 16º. Hllr l sum de l medid de dichos ángulos. ) 10º ) 130º ) 134º ) 144º ) 140º 1. Se tiene los ángulos dycentes Q y QS, si l m<q=º. lculr l medid del ángulo formdo por ls bisectrices de los ángulos QS y QS. ) 45 ) 30 ) 60 ) 50 ) n l figur L 1 // L. lcule, si ls medids de los ángulos mostrdos están en progresión ritmétic L 1 L ) / ) ) /3 ) ) /3 5 ) 4 ) 8 ) 6 ) 9 ) 10 L

6 ITULO : FINIIÓN Y LSIFIIÓN TIÁNGULOS, OIS FUNMNTLS. TIÄNGULO efinición: prticulr, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo cutángulo. Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). los dos ldos que formn un ángulo recto se les denomin ctetos y l ldo restnte hipotenus. Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (myor de 90º) Triángulo oblicuángulo: undo no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que se obtusángulo o cutángulo. lsificción de triángulos: Según sus ángulos Triángulo equilátero: Sus tres ldos tienen l mism longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60º) Triángulo isósceles: Tiene dos ldos igules Triángulo escleno: Todos sus ldos y todos sus ángulos son distintos. or l medid de sus ángulos: Triángulo cutángulo: s quel cuyos tres ángulos son gudos. n

7 orolrios: n todo triángulo, cd ángulo es igul 180º menos l sum de los otros dos ángulos. Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restntes son gudos. Si dos triángulos tienen dos ángulos igules, los terceros tmbién son igules. ropiedd del ángulo eterior Teorem: ropieddes fundmentles: ropiedd de l sum de los ángulos interiores de un triángulo Todo ángulo eterior de un triángulo es igul l sum de los dos ángulos interiores no dycentes. Teorem: L sum de los ángulos interiores de un triángulo es igul 180º. isponiendo los ángulos del triángulo en form consecutiv se obtiene un ángulo llno. orolrio:

8 n todo triángulo, cd ángulo eterior es myor que culquier de los ángulos interiores. Se trz por un rect prlel l ldo, quedndo determindos los ángulos y. Teorem de los ángulos interiores Hipótesis Tesis emostrción 1. n l figur mostrd, L 1//L. Hlle el menor vlor entero de, si θ es l medid de un ángulo gudo. JIIOS OUSTOS β β L 1 θ L ) 4u ) 3u ) 5u ) 7u ) 8u ) 40 ) 43 ) 46 ) 49 ) 5. Si: m//n. lculr m 4. el gráfico, clcule. ) 60 ) 70 ) 75 ) 80 ) n ) 30 ) 60 ) 35 ) 53 ) Según el gráfico =, = 3u y = 6u, clcule el máimo vlor entero de F. 5. el gráfico, clcule 80º θ θ F F

9 ) 15 ) 0 ) 18 ) 30 ) n el gráfico hlle ) 0 ;70 ) 45 ;45 ) 30 ;60 ) 37 ; Según el gráfico clcule +y ) 30 ) 60 ) 45 ) 53 ) el gráfico H = 1m. lcule M. H )14m ) 16m ) 18m ) 0m ) 4m M 8. n un triángulo, l medid del ángulo formdo por l bisectriz interior del ángulo, y l bisectriz eterior del ángulo es siete veces l medid del ángulo. lculr l medid del ángulo. ) 1º ) 18º ) 4º ) 36º ) 3º y θ θ ) 80 ) 70 ) 90 ) 60 ) Los ldos de un triángulo miden (b+); (b+4) y 9. lculr el menor vlor entero que puede tomr b pr que el triángulo eist ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 1. Los ldos de un triángulo isósceles miden 5 y 13. lculr su perímetro ) 3 ) 31 ) 6 y 31 ) 18 ) n un triángulo, sobre l prolongción del ldo se ubic el punto Q, tl que l medid del suplemento del ángulo Q es el doble de l medid del ángulo. lculr Q. Si: Q=9 y =7. ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 9. n l figur mostrd, es bisectriz; es prlelo. Hlle l medid de los ángulos y si m < = 8. ) 56 ; Si el perímetro de un triángulo es 16, clculr el myor vlor entero que podrí tomr un ldo de dicho triángulo. ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) Si ls medids de los ángulos internos de un triángulo son proporcionles los números: ; 3 y 4; e que nturlez es el triángulo? ) Isósceles

10 ) cutángulo ) ectángulo ) Obtusángulo ) quilátero ITULO 3: LÍNS Y UNTOS NOTLS N L TIÁNGULO. ONGUNI TIÁNGULOS evin: s el segmento que une un vértice con un punto culquier de su ldo opuesto o de su prolongción Meditriz: s l rect perpendiculr un ldo, trzd desde su punto medio. O: circuncentro, centro de l circunferenci circunscrit. ltur: s l rect perpendiculr trzd desde un vértice l ldo opuesto

11 O O: Ortocentro O: incentro, centro de l circunferenci inscrit. Medin: s l rect que une el vértice con el punto medio del ldo opuesto. riterios de iguldd de triángulos rimer criterio: os triángulos que tienen dos ldos y el ángulo comprendido entre estos respectivmente igules, son igules. G: bricentro o tmbién llmdo grvicentro y que es el centro de grvedd de un figur tringulr. l bricentro divide cd medin en dos segmentos que están en relción de 1, como en l figur: G=G G=G G=G Segundo criterio: os triángulos que tienen dos ángulos y un ldo respectivmente igules, son igules. isectriz: s l rect que prte de un vértice y divide el ángulo en dos ángulos igules. Tercer criterio: os triángulos que tienen sus tres ldos respectivmente igules,

12 son igules. urto criterio: os triángulos que tienen dos ldos y el ángulo opuesto l ldo myor respectivmente igules, son igules. JIIOS OUSTOS 1. n l figur: y M son medins del triángulo rectángulo, y =30. ntonces, ls longitudes e y en metros son respectivmente: y ) 11 y 4 ) 9 y 6 ) 10 y 5 ) 18 y 7 ) 9,5 y 5,5. r determinr en un plno l posición de un punto equidistnte de tres puntos, y (que no pertenecen un líne rect), se busc l intersección de: M ) Ls bisectrices de los ángulos y. ) Ls meditrices de y. ) L bisectriz de y l meditriz de ) L meditriz de y l bisectriz del ángulo. ) L ltur y l meditriz de y. 3. L distnci entre el centro de l circunferenci circunscrit un triángulo rectángulo y el punto de intersección de sus tres lturs es igul : ) os tercios del cteto myor. ) Un tercio del cteto myor.

13 ) Un tercio de l ltur reltiv l hipotenus. ) L semisum de los ctetos. ) L mitd de l hipotenus. 4. Se un triángulo inscrito en un circunferenci y sen los puntos, y los puntos medios de los rcos, y respectivmente. Qué punto notble es el incentro del triángulo pr el triángulo? ) Ortocentro ) Incentro ) ircuncentro ) ricentro ) centro 5. n un cudrdo en los ldos y se ubicn los puntos medios M y N, tl que l intersección de M y N es el punto. Qué punto notble es el centro del cudrdo respecto l triángulo N? )30 )53 )37 )60 )45 9. el gráfico, clcule, si =4 y =7 60º+ O ) Ortocentro ) Incentro ) ircuncentro ) ricentro ) centro Ø Ø ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 ) 7 6. Si el perímetro del cudrdo es 40m y M=8m, hlle l distnci del vértice l ect L. 10. n un triángulo rectángulo se trzn l ltur H y l bisectriz del ángulo H que cort en M. Hllr M. Si =5u y =1u ) 7u ) 6u ) 8u ) 9u ) 10u M L ) 11m )1m )14m )16m )17m. 11. n un triángulo, =9u y =13u, por el vértice se trz un rect prlel que cort ls bisectrices eteriores de < y < en los puntos y Q. Hllr Q ) 1u ) 3u ) u ) 4u ) 0u 7. n un triángulo rectángulo, l m<=6 ; luego se trzn l bisectriz del ángulo recto y l meditriz de, que se cortn en Q. Hllr l medid del menor ángulo que se formn en Q. 1. n un triángulo cutángulo l m<=8, ls meditrices de y interceptn en y F respectivmente. lculr l m<f ) 41 ) ) 18 ) 16 ) 4 ) 18 )19 )0 )1 )17 8. n l figur hlle, si: O= (O)

14 13. Según el gráfico, =, MN=6m y N=4m, clcule el vlor de H. M ) 130º ) 135º ) 140º ) 145º ) 150º N 14. n el gráfico N= y H H=HM, clcule N M H ) 8 ) 30 ) 3 ) 38 ) do un triángulo, H y G son lturs, ls cules se intersecn en O ; si m<=40º, clculr m<o. ) 6m )7m )8m )9m )10m ITULO 4: TOM L ISTIZ, MITIZ, L S MI Y L MIN LTIV L HIOTNUS OI L ISTIZ UN ÁNGULO: Todo punto que pertenece l bisectriz de un ángulo, equidist de los ldos de dicho ángulo.. O M N

15 triángulo es prlelo l tercer ldo y mide l mitd de su longitud. M = N demás: OM = ON OI L MITIZ: Todo punto situdo sobre l meditriz de un segmento equidist de los etremos del segmento. MN: bse medi, MN//. ntonces: MN = TOM L MNO MIN N L TINGULO TNGULO: L medin, respecto l hipotenus, de un triángulo rectángulo, es igul l mitd de l hipotenus. = M TOM L S MI UN TINGULO: l segmento que une los puntos medios de dos ldos de un M = JIIOS OUSTOS 1. n un triángulo rectángulo, recto en l hipotenus mide 19. lculr el myor vlor entero que podrá tener l ltur reltiv l hipotenus ) 7 )8 )9 ) 10 ) 11. en un triángulo se trzn ls lturs y F que se intersecn en. Si el ángulo es 15º. uánto mide el ángulo? ) 70º ) 50º ) 75º ) 55º ) 80º 3. n l figur mostrd, si M es medin y =10u. Hlle el vlor de MH.

16 M H Θ Θ ) 3µ ) 5µ ) 6µ ) 8µ ) 9µ 7. n un triángulo, se ubic los puntos medios M y N de y respectivmente. l segmento que une los puntos medios de M y N mide u. lculr. ) u ) 1u ) 10u ) 8u ) 6u ) 3m ).5m ) 5m ) 9m ) 10m 4. el gráfico, clculr Q, si: =6 y =8; Q=Q. Q ) 1 ) 1,5 ) ),5 ) 3 8. n el gráfico hlle Q si: m<=m<; Q es bisectriz, =10µ y Q = µ. Q ) 3,8µ ) 4µ ) 5µ ) 7µ ) 7,5µ 9. n un triángulo cutángulo se trz l ltur H y l medin M, clcule l longitud del segmento que une los puntos medios de H y M si: = 6µ. ) 1µ ) 1,5µ ) µ ).5µ ) 3µ 5. el gráfico hlle el vlor de si: = = 7 5 ) 30 ) 45 ) 37 ) 53 ) n un triángulo se trz l meditriz de que intersect l ldo en N, luego N cort l ltur H en F. Hlle N sbiendo que: F = 5µ y =17µ. 10. n un triángulo, l meditriz de ps por el pie de l bisectriz interior y form 10º con l prolongción de. lculr l medid del ángulo. ) 60º ) 30º ) 80º ) 40º ) 50º 11. Sobre el ldo de un triángulo se tom un punto ; luego se trzn ls meditrices de y ls cules cortn y en y F respectivmente. lculr l medid del ángulo F, sbiendo que el ángulo mide 80º. ) 60º ) 30º ) 80º ) 40º ) 50º

17 1. n un triángulo rectángulo, se trz l ltur F. Ls bisectrices de los ángulos F y F cortn l hipotenus en los puntos M y N. Si =6 y =8, hllr l longitud del segmento que une los puntos medios de M y N. ) 18º ) 0º ) 15º ) 1º ) 10º ) 3 ) 4 ) ) 1 ) Se el triángulo cuyos lñdos miden: =18, =16 y =0. esde se trzn F y G perpendiculres ls bisectrices interior de y eterior de respectivmente (f y G pertenecen dichs bisectrices). lcule FG. ) 1 ) 13 ) 14 ) 11 ) Se tiene un triángulo tl que: =7u, =9u. Se trz l medin M. Hlle el myor vlor entero de M. ) 4u ) 5u ) 6u ) 7u ) 8u 15. lcule si: M=M y N=3(N) M 7 N ITULO 5: 90º- FINIIÓN Y LSIFIIÓN OLÍGONOS. OIS FUNMNTLS. OLÍGONO

18 efinición: s l unión de un conjunto de segmentos coplnres, cd uno de los cules tiene por intersección con otros dos segmentos, los puntos etremos. onveos: Son quellos polígonos en los que un rect lo cort en un máimo de dos puntos. lementos de un polígono β No conveos: Son quellos polígonos, en los que un rect l trvesrlos puede cortrlos en más de dos puntos. lsificción de los polígonos ) or el número de sus ldos: quiláteros: Son polígonos que tienen sus ldos igules. - Triángulo: 3 ldos - udrilátero: 4 ldos - entágono: 5 ldos - Heágono: 6 ldos - Heptágono: 7 ldos quiángulos: Son polígonos que tiene sus ángulos igules. - Octógono: 8 ldos - neágono: 9 ldos - ecágono: 10 ldos - ndecágono: 11 ldos - odecágono: 1 ldos - entdecágono: 15 ldos - Icoságono: 0 ldos egulres: Son polígonos que tiene ángulos y ldos igules entre si. ) or l form de su contorno: los polígonos se clsificn en: Irregulres: Son los polígonos que tiene sus ángulos y ldos desigules

19 OIS: n: Número de ldos 1. L sum de los ángulos de un polígono conveo de n ldos es igul 180º(n-) S =180º(n-). l vlor de un solo ángulo interno de un polígono conveo regulr de n ldos es: =180º(n-)/n 3. L sum de ángulos eteriores de un polígono conveo es igul 360º. S β =360º 4. l vlor de un solo ángulo eterior de un polígono regulr conveo de n ldos es: β=360º/n 5. L sum de los ángulos centrles de un polígono conveo GUL es igul 360º S θ =360º 6. l vlor de un solo ángulo centrl de un polígono conveo regulr de n ldos. igonles θ θ=360º/n 7. l número de digonles que pueden trzrse desde un vértice de un polígono es igul l número de ldos menos 3. d=n-3 8. l número totl de digonles de un polígono (t) es: t=n(n-3)/ 9. l número totl de digonles medis de un polígono (m) es: Ángulo centrl de un polígono conveo regulr: m=n(n-1)/ 10. l número de digonles trzds desde V vértices consecutivos en un polígono de n ldos es: n V = nv ( V + 1)( V + ) JIIOS OUSTOS

20 1. n un polígono conveo l sum de los ángulos internos ecede en 70 l sum de los ángulos eteriores. lcule su número de digonles. ) 7 ) 35 ) 44 ) 14 ) 0. Hlle el número de vértices del polígono cuyo número de digonles ms el número de ldos es 105. ) 1 ) 13 ) 15 ) 14 ) Si l relción del ángulo interior y eterior de un polígono regulr es de 7. Hllr el número totl de sus digonles ) 7 ) 0 ) 35 ) 44 ) n el gráfico hllr, m<q, si es un pentágono regulr y Q es un cudrdo 7. Se tiene un nonágono regulr FGHI. Hlle el menor ángulo que formn ls prolongciones de y. ) 80 ) 70 ) 50 ) 40 ) n l figur L 1 // L. lcule, si ls medids de los ángulos mostrdos están en progresión ritmétic L 1 ) 4 ) 8 ) 6 ) 9 ) l Heágono y el pentágono son figurs regulres, hlle L Q ) 1 ) 10 ) 9 ) 8 ) Hllr el perímetro de un heágono equiángulo F. Siendo = 1u, =u, F =3u y = 4u. )14u )15u )16u )18u )0u 6. Se tiene un octógono equiángulo FGH. n el cul: = u, = 1/ u y = 3u. Hllr. ) 8u ) 6u ) 5u ) 7u ) 10u ) 4 ) 46 ) 48 ) 5 ) n un heágono regulr l digonl myor mide 6u, clcule l medid de l menor digonl. ) 4u ) 3 3u ) 3u ) 3u ) 6u 11. Se tiene un heágono equiángulo F, hlle F si =8cm., =6cm y =5cm. ) 7cm ) 10cm ) 6cm ) 4cm ) 9cm 1. n un polígono de n ldos desde l mitd de vértices consecutivos se

21 trzn 9 digonles. uánts digonles tiene el polígono? ) 7 ) 44 ) 54 ) 60 ) Si cd uno de los ángulos interiores de un polígono regulr se le disminuye 0, el número de ldos de dicho polígono qued disminuido en l mitd. Hlle el número de ldos del polígono originl. ) 18 ) 9 ) 8 ) 36 ) n un polígono conveo, el número de digonles medis es 15. uánts digonles se podrá trzr desde tres vértices consecutivos? ) 4 ) 6 ) 8 ) 10 ) Hllr si F y QF son polígonos regulres. F Q )30 ) 38 ) 40 ) 60 ) 45

22 ITULO 6: UILÁTO, FINIIÓN, LMNTOS, LSIFIIÓN. OIS FUNMNTLS. UILÁTOS efinición: Son quells figurs determinds l trzr cutro rects secntes y coplnres, que se intersectn dos dos. Los segmentos que se determinn son sus ldos y los puntos de intersección son sus vértices. lsificción: ) udrilátero conveo: Un rect lo cort lo ms en dos puntos. UILTOS ONVXOS I. LLOGMOS: udriláteros que tiene los ldos opuestos prlelos y congruentes entre sí. n ellos se cumplen ls siguientes propieddes: ) Sus ángulos opuestos son congruentes. b) Sus ángulos consecutivos sumn 180º c) Sus digonles se bisecn(se interceptn en su punto medio) Los prlelogrmos se dividen en: ) omboide: ) udrilátero no conveo: Un rect lo cort en ms de dos ldos. ) ombo: 4 ldos igules y ángulos opuestos igules. ) udrilátero cruzdo: cundo dos de sus ldos se cortn

23 ) ectángulo: 4 ángulos rectos y sus ldos opuestos igules dos dos. ) Trpecio isósceles: cundo los ldos no prlelos son igules ) Trpecio rectngulr: quel que tiene ángulos rectos. ) udrdo: 4 ángulos rectos y 4 ldos igules. ropieddes: Medin del trpecio (MN): Medin de un trpecio es l líne que une los puntos medios de los ldos no prlelos y mide l semisum de ls bses b ropieddes de los prlelogrmos: M N igonles de un rectángulo son igules. igonles de un rombo son perpendiculres entre sí y bisectrices de sus ángulos. Ls digonles de un cudrdo son igules, perpendiculres y bisectrices de sus ángulos. II. TIOS: son cudriláteros conveos que tienen un pr de ldos prlelos los que se les llm bses y dos ldos no prlelos. Los trpecios se clsificn en: MN////b b + MN = Segmento que une los puntos medios de ls digonles (Q): el segmento que une los puntos medios de ls digonles de un trpecio es igul l semidiferenci de ls bses. Q Є MN; Q////b b ) Trpecio escleno: undo los ldos no prlelos son de diferente longitud. M Q N b Q =

24 III. TZOIS: Son los cudriláteros que no tienen ldos prlelos y se clsificn en : ) Trpezoide simétrico: es quel en el cul se cumple que un digonl es l meditriz de l otr. b b ) Trpezoide simétrico: es quel trpezoide donde no se cumple que un digonl es l meditriz de l otr. Teorem de uler: L sumtori de los cudrdos de ls medids de los ldos de culquier cudrilátero conveo es igul l sumtori de los cudrdos de sus digonles más cutro veces el cudrdo de l medid del segmento MN que une los puntos medios de sus digonles. M N = + +4 MN

25 JIIOS OUSTOS 1. lculr θ en l figur mostrd, si: es un cudrdo y M y N son puntos medios. )135º )143º )17º )10º )115º θ N 17 ) 53 ) 137 ) 37 ) 45 ). Si es un trpecio hlle. ) 17 ) 18 ) 19 ) 0 ) M n l figur es un prlelogrmo, MH=1u, m<=45. Hlle ) u ) 5 u ) 3u ) u )5/u M H 3. Si es un cudrdo, clcule. ) 50 0 ) 36 ) 53 ) 40 ) Si es un cudrdo, hlle. Si M= y M=3. ) 0,5 ) 1 ) ) ) 1, n el rectángulo hlle OM, si M=(M), =1u y =4u. ) u ) 5 u ) 3u ) u )5/u M 8. Hlle si es un rectángulo y O=O=O )50 M )55 )60 )65 O 5 )70 O 5. Hlle, proimdmente el vlor de, si es un cudrdo.

26 9. n l figur es un romboide. Hlle m<mn, si N=N y MN=M ) 30 ) 6 30 ) 5 ) 0 ) n un cudrilátero, =18u, m<=90 y =. lculr l medid del segmento que une los puntos medios de ls digonles del cudrilátero. M N 14. n un trpecio l bse menor mide 10u y el segmento que une los puntos medios de ls digonles mide 4u. Hllr l bse myor. ) 75 ) 50 ) 60 ) 55 ) n un cudrilátero : m<=θº; m<=m<=θº y m<=3θº. Hllr l m<. ) 75 ) 90 ) 60 ) 7 ) 135 )6u )9u )9 u )1u ) 6 u 11. Ls digonles de un trpecio miden 10u y 1u. lculr el máimo vlor entero que puede tomr l medin. )11u )1u )13u )10u ) 10.5u 1. Si l figur es un romboide. demás Q=1m y F=30m. Hlle l longitud del segmento L. L Q F ) 9m. )8m. ) 10m. ) 7m. ) m. 13. n l figur, es un cudrdo. Hlle. ) 75 ) 50 ) 60 ) 55 )

27 ITULO 7 FINIIÓN, LMNTOS Y OIS FUNMNTLS L IUNFNI. NGULOS N L IUNFNI. OSIIONS LTIVS N LS IUNFNIS. IUNFNI efinición: onjunto de puntos que están en el mismo plno y que equidistn de otro punto del mismo plno llmdo centro. osiciones reltivs de dos circunferencis ubicds en un mismo plno. 1. ircunferencis tngentes eteriores: uerd Q Y Flech o sgit iámetro ( ) N O M unto de tngenci dio entro T Q ect secnte rco Q X ect tngente istnci entre los centros (d) d = + r r unto de tngenci r lementos de l circunferenci: s l porción interior de plno limitdo por un circunferenci.. ircunferencis tngentes interiores O : entro de l circunferenci T : unto de tngenci unto de tngenci O : dio r Q : uerd d NQ : rco MN : Flech d = - r d: istnci entre los centros : iámetro Y : ect secnte X : ect tngente 3. ircunferencis concéntrics

28 r r d = ero ;; d :: distnci istnci entre los centros (d) 4. ircunferencis secntes d d = + r r istnci entre los centros (d) ( r ) < d < (( + r ) 5. ircunferencis ortogonles Ángulos en l circunferenci 1. Ángulo centrl:

29 r r δ = m 4. Ángulo interior:. Ángulo inscrito: β θ 5. Ángulo eterior: θ O 3. Ángulo seminscrito:

30 β O Ls cuerds equidistn del centro O + m = 180 ropieddes: ropiedd de ls tngentes: M N Q =

31 L JIIOS OUSTOS 1. Siendo:, Q y T puntos de tngenci =3u y Q= 14u. Hllr. ) 7u ) 8u ) 9u ) 6u ) 10u. Si T es punto de tngenci y T=r. Hllr. T O ) 10 ) 135 ) 150 ) 17 ) 143 Q T r ) 4u ) 5u )6u )7u )8u 4. l perímetro del triángulo es 38u. Hlle F, si: =6u y =9u. F ) 3,5u ) u ) 3u ) 4u ) 5u H O r 3. Hllr OH. Si: =16u y r =10u.

32 9. Hllr, si =9 y =1. 5. n l figur hlle ) )30 )4 )35 )53 6. lcule l medid de uno de los ángulos internos de un trpecio isósceles, sbiendo que l medid del rdio de l circunferenci que se inscribe en el, es l 1/16 de su perímetro. ) 15 ) 16 ) 18 ) 0 ) 10. n l figur y son puntos de tngenci, l medid del rco es 140º, //N y //M. lculr l medid del rco. ) 50º ) 0º ) 30º ) 60º ) 45º 11. n l figur m<t=76º, es un punto de tngenci. Hllr l m<s N M O )110 )10 )135 )150 )160 T 7. Si: +b=6, clculr +b ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) n l figur, clculr H, si =1m y l medid del rco es igul l medid del rco ) 4m ) 5m ) 5,5m ) 6m ) 4,5m +3 b+1 r O H )76 )96 )114 )104 ) n l figur ; ; y son puntos de tngenci. Hllr S F 3 )36 )45 )5 )30 )0

33 13. n l figur, T es punto de tngenci. lculr l medid del ángulo TGM si l medid del ángulo T es 80º y l medid del rco M es 30º. M ) 60 ) 50 ) 65 ) 55 ) n l figur:,,,, y F son puntos de tngenci. Si l m<=84º, hllr l medid del ángulo GF. T G ) 60 ) 50 ) 65 ) 55 ) n l figur mostrd, se cumple que: T es perpendiculr T, m<=0º. Hlle ) 168 ) 134 ) 114 ) 118 ) 111 G F T ITULO 8 TOM ONLT, TOM ITOT, UILÁTO INSITIL, UILÁTO INSITO.. TOMS LIONOS L IUNFNI 1. Teorem de oncelet:n todo triángulo rectángulo, l sum de ls medids de los ctetos es igul l sum de ls medids de l hipotenus y el diámetro de l circunferenci inscrit. r c Inrdio b ircunrdio + b = c + r + b = ( + r ). Teorem de itot: Si un cudrilátero está circunscrito en un circunferenci, l sum de ls medids de sus ldos opuestos son igules.

34 b udrilátero circunscrito c d b) Sus digonles deben formr con los ldos opuestos, ángulos congruentes. + c = b + d 3. udrilátero inscriptible: llmmos cudrilátero inscriptible, quel cudrilátero que se puede inscribir en un circunferenci. r que el cudrilátero se inscriptible, se debe cumplir culquier de ls siguientes condiciones: c) l ángulo interno mide igul l ángulo eterno opuesto el. ) Sus ángulos opuestos deben de ser suplementrios: JIIOS OUSTOS 1. n l figur =; hlle ) 71 ) 7 ) 73 ) 74 ) Hllr, si: = 9u, =, =1u y = +3 0 ø ø Q 78 ) u ) 3u ) 4u ) 5u ) 6u 3. Hlle l sum de l hipotenus y el inrdio de un triángulo rectángulo, si su semiperímetro es 0m. ) 10m ) 15m ) 0m ) 5m )30m

35 4. el gráfico hlle. Si: =6u, =5u y =15u )3 )4 )5 )6 )8 5. Según el gráfico, hlle l m Q )40 )30 )35 )45 )15 37º 9. Se tiene el trpecio isósceles de 10m de perímetro y circunscrito un circunferenci. Hllr l medin del trpecio. ) 10m ) 5m ),5m ) 3m )4m 10. n un triángulo rectángulo, l sum de los ctetos es 0u. lculr l sum del inrdio y del circunrdio. ) 0u ) 15u ) 10u ) 5u ) 1u 11. Hllr el perímetro de un triángulo rectángulo si el rdio de l circunferenci inscrit y l hipotenus sumn 1u. ) 1u ) 4u ) 0u ) 18u )16u 6. n un trpecio (//) circunscrito un circunferenci, en se ubic el punto M, tl que m<m=90, M//. Si =4u. Hlle el inrdio del triángulo M. )u )3u )4u )1u )1,5u 7. n l figur +b=50. Hlle )110 )10 )130 )140 )100 b 1. n l figur, hllr +y. Si =8u y =+ ) 8u ) 16u ) 1u ) 4u )6u 13. n l figur hllr º. y 80º 8. n el gráfico: =, m<=60º, clculr θ. θ )10 N )15 M )0 )5 )30 5θ ) 80º ) 60º ) 10º ) 100º )90º

36 14. Hllr T, si y T son puntos de tngenci. ) 44cm ) cm ) 11cm ) 1cm )13cm 13 T 6 ) 15 ) 17 ) 19 ) 1 ) 15. l rdio de l circunferenci y el perímetro de um triángulo rectángulo circunscrito dich circunferenci miden 3cm y 50cm respectivmente. ntonces, el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo rectángulo mide: ITULO 9 OOIONLI SGMNTOS: TOM THLS, TOM L ISTIZ INTIO Y XTIO. TOM L INNTO, TOM MNLO, TOM V. TOM OOIONLI: Tres o más prlels determinn en dos secntes culesquier segmentos proporcionles.

37 OOLIO THLS: TOM L ISTIZ XTIO L TIÁNGULO: Si un rect prlel un ldo del triángulo intersect los otros dos ldos en puntos distintos, determin sobre ellos segmentos proporcionles. Si es bisectriz eterior, entonces: = = TOM L INNTO: Si I es incentro, entonces: TOM L ISTIZ INTIO L TIÁNGULO: Si, es bisectriz, entonces: = I I + = I = TOM V: Si en un triángulo se trzn tres cevins interiores concurrentes, se determinn

38 sobre los ldos 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igul l producto de los otros 3 restntes. Q= Q = e c b f d TOM MNLO: Si se trz un rect trnsversl los ldos del triángulo, se determinn sobre dichos ldos 6 segmentos, donde el producto de 3 de ellos no consecutivos es igul l producto de los otros 3 restntes. Y X Z = Y X Z JIIOS OUSTOS 1. Si ls rects: L 1// L // L 3. hllr )5 )6 )4 )7 )10 8 L Hllr Q. Si Q=1; L3= y l rect L//. 3 L Q L )9 )8 )7 )1 )10

39 3. Hllr.Si: =7 )8 )9 )9 )8 )6 ) 1 ) 10 θ θ 8 F 8. Hllr. Si =; Q=8m; Q=1m y =18m )10m )13m )1m )9m )8m Q 4. n el gráfico mostrdo, si =3m y =m. lcule Q. 9. n l figur, hlle ø ø Q 3 )5m )6m )9m )4m )10m 5. n un triángulo, se ubic en incentro I sobre l bisectriz M, de tl mner que: 3I=M. lculr si, si: +=4. )9 )8 )7 )1 )10 6. Si en l figur ls rects //b//c. Hllr +y )0,5u )1,5u )u )1u ),5u 10. L rzón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8 cm. más que el otro, cuánto mide el segmento menor? )11cm. )9cm. )1cm. )8cm. )13cm. 11. n l figur, hlle l medid de y b c β β 6 3 )30 )8 )33 )36 )4 7. n l figur, hllr )5 )6 )7 θ θ 1 9 )9u )7u )8u )10u )1u 1. Hllr en l figur θ θ F

40 )3)4 )5 )6 ) n el triángulo donde: = 5 se trz l bisectriz interior. Si: =3,5; cuánto mide? ),5 )1,5 )3 )3,5 ) 14. n un triángulo, es bisectriz interior y es el incentro. Si: 5=7 y +=1, clculr. )10 )19 )14 )1 )15 ITULO 10 SMJNZ TIÁNGULOS. FINIIÓN. SOS SMJNZ. SMJNZ efinición: os figurs son semejntes si tienen l mism form, y tmños distintos.

41 SMJNZ TIÁNGULOS os triángulos son semejntes si tienen sus ángulos respectivmente congruentes y sus ldos homólogos respectivmente proporcionles. rimer cso: os triángulos serán semejntes si tienen ángulos internos respectivmente de igul medid. β β b c Observciones: n dos triángulos semejntes, sus ldos homólogos, sí como sus elementos homólogos: lturs, bisectrices, inrdios, circunrdios, etc. son respectivmente proporcionles. k bk ck Segundo cso: os triángulos serán semejntes si tienen dos ldos respectivmente proporcionles y el ángulo comprendido entre dichos ldos congruentes. c H b b k bk f h F e Si los triángulos: y F son semejntes entonces se cumple: r d d c = f b = e H = h = r =... K Tercer cso: os triángulos serán semejntes, si sus tres ldos son respectivmente proporcionles. JIIOS OUSTOS 1. el gráfico clculr M, si =4, r=3, los puntos,, y son puntos de tngenci, demás ls circunferencis mostrds son ortogonles. r M )1 )13 )11 )1 )15. n el gráfico hllr 18 9 X 1

42 )10 )13 )13,5 )14 )16 3. Hlle, si Q=8m., Q=1m. y =36m. ) 18m. ) 4m ) 6m ) 3m ) 30m 4. n l figur, es un rectángulo y Q es un romboide =() y M=1. lcule. )u )3u )4u )5u )6u M ø Q Q ø ) 1 ) ) 3 ) 4 ) 5 7. n l figur hllr )1 )16 )10 )14 )11 8. n l figur, hllr, si: =; =1u y =30u )10u )9u )8u )6u )7u n l figur, hllr: y )1 )16 )10 )14 )18 3 y+5 6. n l figur clcule si F = ; =1; = 3 y = 6. F y 9. os triángulos son semejntes, en uno de ellos sus ldos miden 5u; 7u y 10u. Hllr el menor ldo del otro triángulo sbiendo que su perímetro es de 66u. ) 1 ) 30 ) 10 ) 0 ) n l figur mostrd, hllr. Si =10, Q=6 y Q//. )5 )6 )7 )8 )9 11. n l figur: =15. Hllr, si: G es bricentro del triángulo y L es prlel. Q )5 )10 )7,5 )8 G L

43 b )9 1. prtir de l figur, hllr el rdio de l circunferenci myor donde: O=5m, =4m. )1m )9m )4m )6m )5m 13. n el triángulo se trzn ls lturs y tl que: =1, =3; =5. lculr. O )1 )9 )8 )5 )6 16.Hlle, si Q=8m., Q=1m. y =36m. ) 18m. ) 4m. ) 6m. ) 3m. ) 30m. ) )3 )4 )5 )6 14. n un triángulo, se trz l cevin, de modo que: m<= m<, =5 y =7. lculr. ) 16 ) 15 ) 57 )4 5 ) or el bricentro de un región tringulr se trz un prlel un ldo, determinándose un triángulo prcil cuyo perímetro es 4. lculr el perímetro del triángulo inicil. ITULO 11 ø LIONS MÉTIS N UN TIÁNGULO TÁNGULO: c h LIONS MÉTIS N TIÁNGULOS TÁNGULOS Y TIÁNGULOS Q OLIUÁNGULOS. ø m n

44 I. b = + c II. c = b. m c h III. = b. n m n IV. c = m n b = b + c bm V. h. b =. c c = + b bn VI. h = m. n 1 c 1 1 h VII. + = LIONS MÉTIS N TIÁNGULOS OLIUÁNGULOS: I. TOM ULIS rimer cso: n todo triángulo oblicuángulo, el cudrdo de l longitud de un ldo opuesto un ángulo gudo, es igul l sum de los cudrdos de ls longitudes de los dos ldos restntes menos el doble del producto de l longitud de uno de ellos con l proyección del otro sobre él. Segundo cso: n todo triángulo oblicuángulo, el cudrdo de l longitud de un ldo opuesto un ángulo obtuso es igul l sum de cudrdos de los ldos restntes más el doble del producto de l longitud de uno de ellos con l proyección del otro sobre él. h c n = b + c + bn b JIIOS OUSTOS 1. n l figur, si : + b = 9m ; hlle MN N b )m ),5m )3m M

45 )3,5m )4m. Hllr, si =3m., =m.y =4m. ( es punto de tngenci) ) (() 1/ )/3 ) (() 1/ )/4 ) (3(33) 1/ )/ 6. n l figur,hllr 4m 9m ) 1,5m. ) 0,75m. ) 0,5m. )0,3m. ) 1.5m. 3. L bse de un rectángulo es el triple de su ltur, si su digonl mide 6(10) 1/ m. uál es su perímetro? )4m )40m )48m )36m )30m 4. n el gráfico es un cudrdo, O y son centros de l semicircunferenci y el rco respectivmente. Hlle )/ )/3 )/5 )/4 )/5 5. n l figur hlle l medid de h 5u h 8u 9u ) (3(11) 1/ )/ ) ((11) 1/ )/3 o )5m )6m )7m )8m )9m 7. do el triángulo de ldos: 3u, 5u y 6u. lcule proimdmente l proyección del ldo que mide 5u sobre el myor ldo. )1,5u ),5u )3u )3.5u )4,3u 8. n l figur, ls dos semicircunferencis son tngentes en, =9m y F=5m. Hlle ) 5m. ) 4m. ) 30m. )0m. ) 40m. 9. lcule l longitud de l cuerd Q si =4cm; QF=7cm ( es un cudrdo). ) 3cm ) 5cm ) 6cm ) 4cm ) 7cm 10. n un triángulo rectángulo, se ubic en el F punto de modo que =1u, =3u y =5u. lcule. )33 u )3 3u )3 5u )1u ) 3u 11. n un rombo, se tom el punto medio M de, clculr l longitud de F Q

46 un ldo del rombo. Si M=9u y M=13u. )1u )11u )13u )10u )14u ) 45 ) 30 ) 37 ) 53 ) n un prlelogrmo de ldos 9u y 13u. lculr l sum de los cudrdos de sus digonles. )50u )350 u )700 u )600 u )500 u 13. n el gráfico, hlle, si =4u, =3u y = ) 7u ) 6u ) 6u ) 5u ) 7u 14. n l figur mostrd, clcule l longitud del ldo del cudrdo, sbiendo que: + + = y y z 9. y. z = 7. z y ) 6 ) 8 ) 10 ) 9 ) n un triángulo de ldos, b y c se cumple que: = b + c bc 3. Hlle l medid del menor ángulo interior del triángulo. ITULO 1 LIONS MÉTIS N L IUNFNI.

47 OLÍGONOS GULS I. TOM LS US IV. UILÁTO INSITO c b d b y c d. b= c. d II. TOM LS SNTS y. y. c+ b. d = tolomeo d + bc b + cd = Viette. =. III. TOM L TNGNT T T =. JIIOS OUSTOS 1. n un circunferenci, un cuerd mide 1 cm y su respectiv flech mide cm. Hlle l longitud del diámetro de l circunferenci

48 )16cm )5cm )10cm )15cm )0cm. Hlle el vlor de en l figur, si es un rectángulo. 16u )5u )4u )6u )18u )30u 3. lcule l medid del rdio de un circunferenci, si desde un punto eterior se trzn ls secntes y tl que =10u; =6u; =4u y l medid del rco es de 60 )10u )16u )11u )1u )18u 4. Hlle l longitud del ldo del heptágono regulr FG, si =4m y =6m. )1m )m )3m )0,5m )1,5m 5. n l figur, y T son puntos de tngenci. lcule, si =3r y T=u. 9u T 3u r )13cm )15cm 7. n un circunferenci está inscrito un triángulo equilátero, se tom sobre l circunferenci un punto M de tl mner que M=5m y M=7m. Hlle M. ) 3m ) m ) 1m ) 4m ) 5m 8. Se tiene un cudrilátero inscrito en un circunferenci cuys digonles miden 6 y 10 uniddes. lcule l longitud del segmento que une los puntos medios de ls digonles, si se sbe que un de dichs digonles es el diámetro de l circunferenci. ) u ) 6 u ) 3 u ) 10 u ) 4u 9. n l figur mostrd, hlle, si ==3, siendo punto de tngenci. ) 4 3 ) 6 3 ) 9 3 ) 1 3 ) 18 3 )u )3u )4u )5u )6u 6. Según el gráfico, clcule, si L=3cm y = )10cm )11cm )1cm O L 10. Si: ==, hllr, si: =9 y r=7. )4 )8 )1 )9 )15 r

49 11. Un triángulo equilátero está inscrito en un circunferenci de rdio 6. Hllr el ldo del heágono regulr inscrito en el triángulo. ) ) 3 ) 5 ) ) 3 ) 34 ) 50 ) 31 ) 68 ) 6 1. n l figur, clculr )60º )53º )75º ) 58,5º ) 67,5º l 8 l n un mism circunferenci, el cociente del perímetro del heágono regulr circunscrito entre el perímetro del heágono regulr inscrito, es de: ) 3 )/3 ) 3/3 ) 3/3 ) 14. Si el ldo del dodecágono regulr FGHIJKL mide m. hllr l longitud. )1m )m )3m )4m )5m 15. Según el gráfico, r=3 y =T=1 clcule: ( Q ) + ( Q) + ( ). Q ITULO 13 O T ÁS GIONS OLIGONLS r

50 Á L GIÓN TINGUL Form ásic h. b. c = 4 b on los rdios b.h = Fórmul de Herón c r c b b =( p ) r = p( p )( p b )( p c ) =( p b ) r b onde: =( p c ) r c : Semiperímetro. Á N FUNIÓN LOS IOS on el Inrdio = r r r r = + + r r r r b c b c r c : Semiperímetro b Á L GION UNGUL = p. r rlelogrmo p: Semiperímetro on el ircunrdio h c b b

51 = b h udrilátero inscrito b c b d =. Sen d = ( p )( p b )( p c )( p d ) onde : Semiperímetro Trpecio h b = ( + b).h ulquier udrilátero b JIIOS OUSTOS 1. n el gráfico; T es punto de tngenci. lcule el áre de l región tringulr T, si = T; T=6µ. T

52 ) 6µ ) 1 3µ ) 18 3µ ) 4µ ) 18µ. Si el ldo de un triángulo equilátero mide 4 m. Hlle l longitud de l prlel uno de los ldos que divid l triángulo en dos figurs equivlentes. ) m ) 4m ) 3m ) 3 m ) m 3. Hlle el áre de un triángulo sbiendo que: =9µ; =10µ y =11µ. ) 30 µ ) 0 µ 10 µ ) ) 15 µ ) 18 µ 4. L bse de un triángulo mide 40cm. y su ltur reltiv es los 3/8 de dich bse. l áre de l región tringulr es: ) 80cm ) 300cm ) 350cm ) 400cm ) 50cm 5. n un triángulo rectángulo de hipotenus 50cm. y donde un cteto es el doble del otro. lculr el áre de l región tringulr. ) 300cm ) 400cm ) 500cm ) 350cm ) 600cm 8. n un triángulo ; =4u, =9u y m<=53º. Hllr el áre de l región tringulr. )14,4u )16u )1u )8u )13u 9. l triángulo es equilátero. Hllr el áre de l región tringulr, si =5m y =13m. ) 18m ) 16m ) 15m ) 1m ) 10m 10. lculr el áre de un heágono regulr inscrito en un circunferenci de 4 cm. de rdio. ) 18 3cm ) 4 cm ) 0cm ) 4 3cm ) 16 6cm 11. n l figur, hlle el áre de l región sombred si se sbe que es un cudrdo de ldo 1m y demás M es punto medio. ) 1m ) 16m ) 18m ) 0m ) 4m M 1. n l figur, clcule el áre de l región tringulr ; si S= 16µ ; (F)=3(F) y 4()=3(). 6. lculr el áre de l región tringulr, cuyos ldos miden: 10m, 17m y 1m. )96m )80m )9m )84m )76m 7. n el problem nterior, clculr el rdio de l circunferenci inscrit. F S )m )3m ),5m )1,5m )3,5m ) 30µ ) 35µ ) 46µ ) 70µ ) 7µ.

53 13. n un triángulo rectángulo recto en ; = 6µ, = 8µ. lcule el áre de l región tringulr I, siendo I el incentro del triángulo. ) 6µ ) 0µ ) 5µ ) 10µ ) 15µ. 14. n l figur, = y = 3. lcule el áre del cudrnte O si es punto de tngenci. ) π/ ) π ) 3π ) 3π/ ) π 15. n l siguiente figur, =6µ, =1µ y = µ. lcule el áre de l región tringulr. θ θ ) 7,5µ ) 9µ ) 1 3 µ ) 6µ )4 µ. O ITULO 14 ÁS GIONS UVS I. STO IUL O º

54 π s = 360º II. SGMNTO IUL S =π ( r ) V. TIO IUL O º r O S = sec tor circulr O triángulo O III. FJ O ZON IUL Si: // π( r ) S = 360 O = seg. circulr seg. circulr IV. OON O NILLO IUL S O r JIIOS OUSTOS 1. n l figur mostrd, ()()=6m. lcule el áre de l coron circulr. ) 5πm. ) 6πm. ) 8πm. ) 9πm. ) 10πm.

55 . Hlle el áre sombred de l figur, si es el centro del sector circulr, demás = =8µ y m= el gráfico, clcule el áre de l región sombred, si O es centro y O=O=4. ) 4(π+) ) 8(π-) ) 4(π-1) ) (π+4) ) 4(π-) 3. or un punto, eterior un circunferenci de rdio, se trzn ls tngentes M y N de modo que el ángulomn mide 60º. lcule el áre de l región limitd por el rco MN y los segmentos M y N. π ) ) ) ( 3 π ) π ) ( ) ) π 4. n l figur mostrd;,q,,s,t y N son puntos de tngenci. Hlle el áre del círculo más pequeño. Q 3 N 6 ) π ) 3π ) O4π ) 6π ) 5π 7. n l figur se muestr un circunferenci de centro O y rdio 6u. lculr el áre de l región churd, sbiendo que l sum de ls medids de los rcos y es igul 60 (,, y son puntos de tngenci) o )πu )3πu )4πu )5πu )6πu 8. n l figur ls circunferencis se interceptn de modo que el ángulo mide 30 y =4cm. lculr el áre de l región sombred S T ) π ) 6π ) 4π ) 3π ) 5π ) (8π-1(3) 0.5 )/3 cm )(7π-1(3) 0.5 )/ cm ) (6π-1(3) 0.5 ) cm ) 5π-1(3) 0.5 cm

56 ) (4π-1(3) 0.5 )/ cm 9. lculr el áre de l región encerrd por un trpecio isósceles cuys digonles son perpendiculres entre si, y l bse medi mide 4 m. )1m )4m )15m )16m )18m 10. Hlle el áre limitd por dos circunferencis tngentes interiormente sbiendo que l distnci entre sus centros es de 10u y l sum de sus longitudes es de 100u ) 1m ) 0,5m ) m ) 3m ) 5m 11. Hllr el áre limitd por dos circunferencis tngentes interiormente sbiendo que l distnci entre sus centros es de 10u y l sum de sus longitudes es de 100u. )50u )100u )00u )500u )600u 1. Un triángulo equilátero cuyo ldo mide 4m, su región tiene igul áre que un círculo cuyo rdio mide. uál es el vlor de? ) 4 3 π ) 4 3π 4 3 ) π ) 3 π ) 4 3 π ) 4π- 8 m ) 8π-4 m ) 10π m )8π-5 m ) 8π- m 14. n l figur se muestr dos circunferencis secntes, de modo que los diámetros y son perpendiculres y =4 m. lculr el áre de l región sombred. ) 4π m ) 5π m ) 6π m ) 7π m ) 8π m 15. onsidere un círculo de rdio r, si incrementmos el rdio en h uniddes, el áre se incrementrá en: ) πrh,si h es bien pequeño ) πrh ) πrh ) πh ) Ningun F 13. n l figur se muestr un circunferenci de rdio 4 m, de modo que los diámetros y son perpendiculres. lculr el áre de l región sombred si los ángulos F y son congruentes

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