ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

Transcripción

1 ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍ (La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre elementos) PUNTO : es una posición y no tiene dimensiones. B RECT Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos. Por un punto pasan infinitas rectas. Por dos puntos pasa una única recta. Posiciones relativas de dos rectas en el plano RECTS SECNTES: tienen un solo punto en común. (Si al cortarse dividen al plano en cuatro partes iguales se denominan PERPENDICULRES) RECTS PRLELS: no tienen ningún punto en común. RECTS COINCIDENTES: tienen todos puntos comunes. SEMIRRECT: es cada una de las dos partes en las que un punto divide una recta, reciiendo ese punto el nomre de ORIGEN DE LS SEMIRRECTS SEGMENTO Un segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos de la misma, los cuales recien el nomre de EXTREMOS DEL SEGMENTO. La DISTNCI entre dos puntos y B es la longitud del segmento que los une. Si varios segmentos están unidos entre si por extremos, pueden ser: SEGMENTOS CONSECUTIVOS: todos pertenecen a una misma recta. SEGMENTOS CONCTENDOS: no pertenecen a una misma recta. PLNO: es una superficie en la que se puede diujar una recta en cualquier dirección. Un plano es ilimitado y se representa mediante un paralelogramo. SEMIPLNO: l trazar una recta en un plano este queda dividido en dos partes; cada una de estas partes es un semiplano. ÁNGULO: (1) Región del plano limitada por dos semirrectas (LDOS DEL ÁNGULO) que tienen el mismo origen (VÉRTICE DEL ÁNGULO). () Región del plano generada por una semirrecta que gira respecto de su origen.

2 tendiendo a la región del plano que ocupan CONVEXO: ángulo que sólo aarca una de las cuatro regiones del plano determinadas al prolongar lados (ángulo menor de 180º). CÓNCVO: ángulo que aarca tres de las cuatro regiones del plano determinadas al prolongar lados (ángulo mayor de 180º). CLSIFICCIÓN DE ÁNGULOS tendiendo a las posiciones inicial y final de la semirrecta generatriz tendiendo a su aertura NULO: cuando la semirrecta generatriz no se mueve de la posición inicial (0º). RECTO: cuando las posiciones inicial y final de la semirrecta generatriz son perpendiculares (90º). LLNO: cuando las posiciones inicial y final de la semirrecta generatriz están sore una misma recta, pero no coinciden (180º). COMPLETO: cuando las posiciones inicial y final de la semirrecta generatriz coinciden (360º). GUDO: ángulo con una aertura inferior a la de un ángulo recto (< 90º). OBTUSO: ángulo con una aertura superior a la de un ángulo recto (> 90º). Posición relativa de dos ángulos IGULES: dos ángulos son iguales si comparten el vértice y amos lados. COMPLEMENTRIOS: dos ángulos son complementarios si suman 90º. SUPLEMENTRIOS: dos ángulos son suplementarios si suman 180º. CONSECUTIVOS: son los ángulos que tienen en común el vértice y un lado. DYCENTES: son ángulos consecutivos tales que lados no comunes forman entre si un ángulo plano. OPUESTOS POR EL VÉRTICE: son dos ángulos que tienen el vértice en común y, además, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

3 Elementos de un polígono LDOS: segmentos que delimitan el polígono. VÉRTICES: puntos donde se unen dos lados. DIGONLES: segmentos que unen dos vértices no consecutivos. ÁNGULOS INTERIORES: ángulos formados en el interior del polígono por dos lados contiguos. ángulos CONVEXO: polígono que tiene todos ángulos menores de 180º. CÓNCVO: polígono que tiene alguno de ángulos mayor de 180º. POLÍGONOS (Un POLÍGONO es una porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada) Clasificación de polígonos Elementos de un polígono regular lados y ángulos el número de lados EQUILÁTERO: polígono que tiene todos lados iguales. EQUIÁNGULO: polígono que tiene todos ángulos iguales. REGULR: polígono que tiene todos lados y ángulos iguales. IRREGULR: polígono que tiene algún lado o ángulo distinto. TRIÁNGULO (3 lados), CUDRILÁTERO (4 lados), PENTÁGONO (5 lados), HEXÁGONO (6 lados), HEPTÁGONO (7 lados), OCTÓGONO (8 lados), ENEÁGONO (9 lados), DECÁGONO (10 lados),... CENTRO: punto interior del polígono que está a la misma distancia de todos vértices. POTEM: cada segmento que unen el centro del polígono con el punto medio de cualquier lado. ÁNGULO CENTRL: cada uno de los ángulos con vértice el centro del polígono y lados las semirrectas que pasan por dos vértices adyacentes. Llamamos PERÍMETRO de un polígono a la suma de las longitudes de lados. Dos polígonos son iguales si tienen iguales los lados y los ángulos correspondientes. La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es igual a 180º (n-). El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a n (n-3)/. Un POLÍGONO está INSCRITO en una circunferencia si todos vértices son puntos de dicha circunferencia; y, está CIRCUNSCRITO a una circunferencia si todos lados son tangentes a dicha circunferencia. En un polígono regular de n lados la medida de un ángulo central es 360º/n y la de un ángulo interior es 180º (n-)/n.

4 TRIÁNGULOS (Polígonos de tres lados) Los triángulos tienen una propiedad que los caracteriza y los diferencia del resto de polígonos: son indeformales. Clasificación de triángulos Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo lados ángulos EQUILÁTERO: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales. ISÓSCELES: tiene dos lados y dos ángulos iguales. ESCLENO: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales. RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto. CUTÁNGULO: tiene los tres ángulos agudos. OBTUSÁNGULO: tiene un ángulo otuso. (1) Cualquier lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. () Cualquier lado de un triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos. (3) La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º. Dos triángulos son iguales si se cumple una de las tres condiciones siguientes: Rectas y puntos notales de un triángulo (1) Tienen los tres lados iguales. () Tienen igual un lado y dos ángulos contiguos. (3) Tienen iguales dos lados y el ángulo que forman. MEDINS: son las rectas que se otienen al unir cada vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en un punto llamado BRICENTRO. MEDITRICES: son las rectas perpendiculares a lados que pasan por puntos medios. Se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO. BISECTRICES: son las rectas que dividen cada uno de ángulos en dos partes iguales. Se cortan en un punto llamado INCENTRO. LTURS: son las rectas perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto. Se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. TEOREM DE PITÁGORS : En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a: hipotenusa, c: catetos a c

5 RECTÁNGULOS (y los cuatro ángulos rectos) 5. Diagonales iguales. 6. Tienen dos ejes de simetría. PRLELOGRMOS (con los lados paralelos dos a dos) ROMBOS (y los cuatro lados iguales) 5. Diagonales perpendiculares. 6. Tienen dos ejes de simetría. CUDRILÁTEROS (Polígonos de cuatro lados) 1. Lados opuestos iguales.. Ángulos opuestos iguales y ángulos contiguos suplementarios. 3. Sus diagonales se cortan por puntos medios. 4. La suma de ángulos es 360º. CUDRDOS (y los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos) 5. Diagonales iguales y perpendiculares en puntos medios. 6. Tienen cuatro ejes de simetría. ROMBOIDES (y los lados y ángulos iguales, dos a dos, y no tiene ángulos rectos) TRPECIO RECTÁNGULO (tiene dos ángulos rectos) NO PRLELOGRMOS TRPECIOS (con dos lados paralelos y los otros dos no paralelos) TRPECIO ISÓSCELES (tiene los lados no paralelos iguales) TRPECIO ESCLENO (no tiene lados iguales ni ángulos rectos) TRPEZOIDES (que no tienen ningún par de lados paralelos)

6 Elementos de la circunferencia CENTRO: es el punto del cual equidistan todos los puntos que forman la circunferencia. RDIO: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. CUERD: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. DIÁMETRO: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. RCO: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos de puntos. cada cuerda le corresponden dos arcos. Si la cuerda coincide con el diámetro, las longitudes de los dos arcos son iguales y el arco se llama SEMICIRCUNFERENCI. CIRCUNFERENCI Punto y circunferencia Punto INTERIOR: el punto está dentro de la circunferencia. Punto DE L CIRCUNFERENCI: el punto está sore la circunferencia. Punto EXTERIOR: el punto está fuera de la circunferencia (Curva cerrada y plana con puntos situados a la misma distancia de otro punto llamado centro) Posiciones relativas Recta y circunferencia Recta SECNTE a la circunferencia: la recta corta a la circunferencia en dos puntos. Recta TNGENTE a la circunferencia: la recta y la circunferencia tienen un único punto en común. Recta EXTERIOR a la circunferencia: la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común. Oservación: Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que va desde el centro al punto de tangencia. EXTERIORES: No tienen ningún punto en común. Dos circunferencias INTERIORES: Tienen distinto centro y ningún punto en común. CONCÉNTRICS: Tienen el mismo centro y ningún punto en común. SECNTES: Tienen dos puntos en común. TNGENTES INTERIORES: Tienen un solo punto en común. TNGENTES EXTERIORES: Tienen un solo punto en común.

7 ÁRES y PERÍMETROS RECTÁNGULO CUDRDO PRLELOGRMO ROMBO PERÍMETRO a l h D d El perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de todos lados. TRPECIO B h TRIÁNGULO h POLÍGONO REGULR P a POLÍGONO CULQUIER El área de una figura plana cualquiera se calcula descomponiéndola en otras figuras de las que saemos calcular su área. a TEOREM DE PITÁGORS c CÍRCULO SECTOR CIRCULR CORON CIRCULR CIRCUNFERENCI RCO DE CIRCUNFERENCI π r π r 360 n π R π r L π r L πrn 360 Notación: : área a: apotema a, h: altura l: lado B, : ase D, d: diagonales R, r: radio P: perímetro n: nº de grados L: longitud