INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

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1 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii) segmento prólico,. iii) círculo +. iv) círculo +. D Si diujmos ls gráfics despejmos cd un de ls vriles con respecto l otr, tenemos: + i) f(, ) f(, ) + f(, ). ii) iii) iv) / / f(, ) f(, ). f(, ) f(, ). (+ 4 )/ ( 4 )/ f(, ) f(, ). 7. Cmir el orden de integrción en ls integrles siguientes: ) ) c) d) e) 6 e 5 4/ f(, ). f(, ). 4 f(, ). ln f(, ). f(, ), >.

2 f) f(, ) + f(, ). ) L región de integrción, indicd en l figur, es l que verific el sistem, 4/ 5. 4 Como el punto (, 4) es l intersección entre l circunferenci l rect, l nuev integrl se escriirá como 5 f(, ) 4/ 4 /4 f(, ) f(, ). ) Se trt de l región comprendid entre l práol /4 l rect. 8-6 Al invertir el orden de integrción, l integrl se descompone sí: + f(, ) + + f(, ). + c) L región de integrción es el segmento de circunferenci ( ) + limitdo por l rect +. L integrl se puede escriir como: + f(, ).

3 d) Pr invertir el orden de integrción, st despejr en l ecución ln. Tenemos sí: e f(, ). e e) Si oservmos l región de integrción, l cmir el orden de integrción deemos descomponer l integrl en tres sumndos: f + / + f + f. / f) L sum de ls dos integrles dds origin l región dd por l figur. 8 8 Al cmir el orden de integrción, qued sencillmente: f(, ). / 8. Clculr ls siguientes integrles: () () (c) +. e +..

4 (d) (e) /4 ( + ). e. () Bst resolver directmente ls integrles iterds pr otener: ( ( + ) ) () ( ) () Clculmos primero l integrl respecto l vrile : e + e + (e + e ). Ahor descomponemos l integrl simple en sum de dos integrles pr sustituir el vlor soluto: (e + e ) ( e ) + ( e ) e + e + e. (e e ) ( ) e + e (c) Integrmos primero respecto pr lo cul hcemos el cmio de vrile sen t /. De este modo: π 4 π/ ( ) ( ) cos t dt ( ) t sen t + 4 ( ) π 4 π/ ( ) π 6. (d) El dominio de integrción es l región ilustrd en l figur. 4

5 - - Integrmos primero respecto después descomponemos el intervlo [, ] en dos suintervlos pr clculr l integrl respecto : ( ) + + ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ). (e) L región de integrción es l que se ilustr en l figur djunt. 8 4 Intercmindo el orden de integrción se otiene 4 e e e + (4e e ) e e4 5. (Aplicr el método de integrción por prtes en l segund integrl.) 5

6 9. Clculr f(, ) en los siguientes csos: D i) f(, ), D el recinto limitdo por p p/ (p > ). ii) f(, ) +, D el prlelogrmo limitdo por, +,,. iii) f(, ) +, D está limitdo por, + 4, +. i) Escriimos l integrl dole en form de integrles iterds result: p/ p p p/ p p p/ (p) / p5. ii) Si oservmos el prlelogrmo de l figur, oservmos que es más conveniente relizr primero l integrl respecto. Así, ( + ) ( ) iii) Teniendo en cuent l form de l región de integrción, si integrmos primero respecto, l integrl se descompone en dos sumndos Así pues, 4 ( + ) + ( / ( + 8 (4 ) ( ) ) ( + ) + /)

7 Otr posiilidd serí restr l integrl sore l región comprendid entre l práol l rect + l integrl sore l región comprendid entre l práol l rect Clculr f(, ) en los siguientes csos: D i) f(, ), D {(, : /π sen }. ii) f(, ) +, D recinto limitdo por,,. iii) f(, ), D es el primer cudrnte del círculo + 4. iv) f(, ), D {(, ) : >, +,, }. i) Los puntos de intersección de ls curvs sen, /π son (, ) (π/, ). L integrl se clcul entonces de form direct: π/ sen π/ /π ii) L figur djunt muestr l región dd. 4 sen (/π) π 4. Pr clculr l integrl podemos seguir dos métodos: ) Integrndo como región de tipo. ( + ) ( + /) ( / /)

8 ) Integrndo como región de tipo. 4 4 ( + ) ( / + ) 4 (8/ + / / 5/ ) 6 5. iii) A prtir de l figur djunt otenemos los límites de integrción. De este modo, l integrl se epres como: 4 (4 4 ) / [ ] 5. iv) L intersección de + con d ( ), el recinto S es el indicdo en l figur. Teniendo en cuent l figur, l integrl se escrie como ( ) ( ) ( ) 6 (4 5).. Si llmmos A e t dt e 8 e, pror que A + e.

9 L región de integrción es el triángulo de l figur. Intercmindo el orden de integrción en I, tenemos: e (e e ) (e ) A + e A + e e. e + e. Pror que ( f()f() f() ). Por un prte, ( ( ) ( ) f() ) f() f() f()f(). S S Descomponiendo el cudrdo en dos triángulos como indic l figur, result: f()f() + S f()f() S f()f() + f()f() 9 f()f(),

10 pues en el segundo sumndo se pueden intercmir ls letrs e.. Hllr el áre limitd por el lzo de ( ). Oservndo l figur se otiene directmente: A 4 (z z 4 ) dz 5. (sustitución z ) 4. Hllr el volumen de l región limitd por los plnos z +, z 6,,, z. L región dd es el tetredro de l figur. z Si oservmos que, cundo vrí entre 6, vrí entre z, con z 6, el volumen uscdo es: V [6 ( + )] (6 ) 6 6 (6 ) 6.

11 5. Hllr el volumen del sólido limitdo por el proloide + 4 z, el plno z los cilindros,. L proección de l figur sore el plno z es l región limitd por ls práols,. Así pues, cundo vrí entre, vrí entre. z El volumen qued hor V ( + 4 ) ( 5/ + 4 / ) Hllr el volumen de l porción del cilindro 4 + comprendid entre los plnos z z m. En primer lugr, oservmos que el sólido es simétrico respecto l rect z. Por otr prte, l se del sólido es l elipse 4 +, de modo que, cundo vrí entre / /, vrí entre 4. z

12 Teniendo en cuent lo nterior, el volumen qued: / 4 V m m / / / ( 4 ) m.

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