Contenido: Integral definida: (1º) Aplicación: Área entre dos curvas. Matemática II Sección F Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contenido: Integrl definid: (1º) Aplicción: Áre entre dos curvs. Mtemátic II Sección F Semestre Lcdo Eliezer Montoy En los problems 1 l 1.Representr l gráfic de cd función y hllr el áre entre l gráfic y el eje x con respecto ls rects x = y x = b 1. f ( x) = 1 x ; = 1, b = 1 Sol:A=4/u 5. G( x) = x =, b = Sol.A = 8u ( x x ) 9. f ( x) = ; = 1, b =. g( x) = x ; = 0, b = 1 6. H ( x) = x 6x + 5 = 1, b = n 10. f ( x) = x ; = 0, b = 1 donde n 1. h( x) = x x = 1, b = 1 Sol. A=1/ u 7. f ( x) = x 4x + x = 0, b = Sol. A=/ u 11. f ( x) = sin x ; π = 0, b = Sol. A= 1 u 4. F( x) = x 9 =, b = Sol. A =6 u 8. g( x) = x 6x + 8x = 0, b = 4 Sol.A = 8 u 1. ( ) cos x g x = ; = 0, b = π En los problems 1 l 1 () Hllr los puntos de intersección de ls dos grfics. (b) Trzr l gráfic de ls dos ecuciones (c) Hllr el áre de l región formd por ls dos gráfics 1. f ( x) = f ( x) = x 4 y g( x ) = = x y g( x) x 5 f ( x) x 4x = + y g( x) = x 18. y = x y 7x y = 0 4 f ( x) = x y g( x) = x x = ( y ) y x = y y = x y y = x 0 x = 6y y x + y = 0 π π f ( x) = cos x y g( x) = 1 cos( x) pr x ver grfico djunto 1. ( ) Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

2 En los problems del l 6. () Representr l grfic de l función f (conocid como función por prtes o trozos) (b) Hllr el áre entr l gráfic de f el eje x desde b x= hst x = b y hllr f ( x ) dx. x x pr 1 x pr 1 < x 4 f ( x) = ; = y b = 1 10 x pr 4 < x 7 x 18 pr 7 < x 1 b Sol.A= /1 uniddes de áre y f ( x ) dx =5/1 x pr 5 x <. f x x x x b pr 1 < x 4 ( ) = + 1 pr - 1 ; = 5 y = x + x x 6 7 pr 7 6 f x x x x b x 5 pr 0 < x 8 ( ) = pr - 6 < 0 ; = 7 y = 8 b Sol. A= 4/6 uniddes de áre y f ( x ) dx =10/ 5.- x x x x pr - < x 0 4 pr f ( x) = ; = y b = 6 x pr 0 < x 4 x + 1 pr 4 < x x + pr x 0 4 f x x x x b 16 4x pr < x 5 ( ) = pr 0 < ; = y = 5 b Sol A = 7/6 uniddes de áre y f ( x ) dx =/ Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

3 Ayud pr el estudinte, grfics elbord con un softwre funciones pr Windows y grphmtics Pr el problem 0-Ver problem J Lrson de clculo con geometrí nlític) ( ) tomo I 0. x = 6y y x + y = x = ( y ) y x = y Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

4 14.- y = x y 7x y = f ( x) = x y g( x) = x Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

5 15. f x ( ) x 4 = y g( x ) = () y x y x = = y y = x Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

6 y (b) y = x x = y x =y 1 f ( x) = x y g( x) = x Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

7 Ejemplo 01 Con l yud grfic, clcul el áre limitd por y x x = y el eje x Verifiquemos ls ríces vists en el gráfico x 7x + 10 = 0 x1 = 5 ( x 5)( x ) = 0 Ls rices son: x = Son los límites de integrción usr, por tnto l integrl desrrollr es: 5 5 x 7 5 7(5 ) A = ( x 7x + 10) dx = x + 10x = + 10( 5 ) = = + 0 = = = = 4,5 u ( ) 9 x 7x + 10 dx = u. Ejemplo Clculr el áre entre l prábol y x x = y l rect y = x (ptos) Anlíticmente l intersección entre ls dos curvs viene dd por: Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

8 = + = 0 = 0 ( ) = 0 x x x x x x x x x x x donde ls rices son x = 0 y = = y = ( ) ( ) Áre = x x x dx = x x dx = 0 0 x x () = = = = = = u. 6 6 Ejemplo Clculr el áre entre l prábol 0 x = y y y el eje y y = 0 x = y y,si x = 0 0 = y y = y( y 1) ls rices son y = y y Áre : ( y y) dy = = = = u El áre es 1/ 6 0 Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

9 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contenido: (º) Aplicción de Integrl definid: Clculr el Volumen formdo por l región de un curv l girr sobre un rect, formndo un sólido de revolución usndo el método de discos circulres y/o el método de nillos circulres o rndels Mtemátic II Sección F Semestre Lcdo Eliezer Montoy En los problems 1 l 8, Encuentre el volumen del sólido generdo girndo l región bjo curv o grfic de cd función sobre el intervlo indicdo sobre el eje de x 1. f ( x) x 4. G( x) = ; [ 1,]. g( x) = x ;[ 1,4 ]. h( x) 9 = x ;[,1] g( x) sec x = ;[ 0, 4] F( x) = + x ;[ ] π 8. f ( x) tn x 1, 4 6. = ;[ 0, π ] = x ; [ 1,] = [, ] f ( x) x * En los problems 9 l 16, hllr el volumen del sólido generdo girndo l región limitd por los gráficos de ls ecuciones dds sobre el eje y y = x, y = 8 y x = y x y x y x y x =, = 4 y = = +, = 8 y = 0 (I cudrnte) 1. y x y x = 4, = 4 y = 0 y = x, y = 8 y x = 0 =, = y = ( π ) y x y x 16. ( π ) x = csc y 6, y = 1 y y = x = cos y 4, y = 0 y y = 1 En los problems 17 l 0, encuentre el volumen del sólido generdo girndo l región limitd por los gráficos de ls curvs dds sobre el eje indicdo. Use el método de discos o el de rndels y = x, y = x sobre el eje x 18. y = x, y = x sobre el eje y 0 y x, y x = = sobre el eje x y x y x = + 4, = sobre el eje y y = x, x = y el eje x sobre el eje y. y = x, y = x y x+ y = 6 sobre el eje x y = 4x + 16, y el eje y sobre el eje y 4. y = x, y = x y x+ y = 8 sobre el eje y y x, y x = = sobre l rect x = 1 6. y = x, x = 0 y y = 8 sobre l rect y =8 7. y = 4x x y y = x sobre l rect x = 8 y = x x y y = x sobre l rect y=4 9. y = cos x y y = sin x, x = 0 y x = π 4 sobre el eje x. Recuerde que: cos x = ( 1+ cos x) y sin x = ( 1 cos x) x = cos y + sin y y x = cos y sin y, y = 0 y y = π sobre el eje y Lcdo. Eliezer Montoy Aplicciones de l Integrl Definid Myo 010

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