Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Transcripción

1 Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres.

2 Contenidos Introducción 1 Introducción Interpretción geométric de ls integrles definids 5 6

3 Outline Introducción 1 Introducción Interpretción geométric de ls integrles definids 5 6

4 Introducción: Ecuciones diferenciles En tems nteriores hemos estudido expresiones del tipo: dy dx = f (x) Este tipo de expresiones se denominn ecuciones diferenciles. Pr resolver este tipo de ecuciones, es necesrio encontrr funciones y que cumpln que y = f (x). Si es posible encontrr dich función, entonces existe un fmili complet de funciones con est propiedd. Tods ells estrán relcionds por un trslción verticl.

5 Introducción: Ecuciones diferenciles Pr seleccionr un de ests funciones, será necesrio especificr un condición inicil, que consiste en un punto (x 0, y 0 ) de l gráfic de l función. Est función selecciond, se denominrá solución del problem de vlor inicil.. dy dx = f (x), con y = y 0 cundo x = x 0

6 Introducción: Definición Un función F se denomin primitiv de f en un intervlo l si F (x) = f (x) pr x l. Corolrio Si f es continu en el intervlo cerrdo [, b] y derivble en el intervlo bierto (, b), con f (x) = 0 pr todo x (, b), entonces f (x) es constnte en [, b].

7 Introducción: Corolrio Si F (x) y G(x) son primitivs de l función continu f (x) en un intervlo I, entonces existe un constnte C, tl que G(x) = F (x) + C, x I

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9 Pequeñ colección de primitivs Función Primitiv kf (x) kf (x) f (x) + g(x) F (x) + G(x) x n, n x e x n+1 x n+1 ln x ex sin(x) 1 cos(x) 1 cos(x) sin(x)

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11 Sums finits Introducción Definición Sen 1, 2,..., n números reles y n un número entero positivo. Entonces, n k = n Propieddes k=1 1 Regl del vlor constnte: n k=1 1 = n. 2 Regl de l constnte multiplictiv: n k=1 c k = c n k=1 k, siendo c un constnte que no depende de k. 3 Regl de l sum: n k=1 ( k + b k ) = n k=1 b k + n k=1 k

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13 Integrl definid Introducción Interpretción geométric de ls integrles definids Definición Se P = [x 0, x 1, x 2,..., x n ], n = 1, 2, 3,... un secuenci de prticiones de [, b] con P 0. Se x k = x k x k 1 y c k [x k 1, x k ]. L integrl indefinid de f entre y b es, b f (x)dx = ĺım P 0 k=1 n f (c k ) x k Si el ĺımite existe, en cuyo cso se dice que f es integrble (en el sentido de Riemnn), en el intervlo [, b].

14 Integrl definid Introducción Interpretción geométric de ls integrles definids Teorem Tods ls funciones continus son integrbles en el sentido de Riemnn. Es decir, si f (x) es continu en [, b], entonces existe. b f (x)dx

15 Interpretción geométric de ls integrles definids Interpretción geométric de ls integrles definids Observciones Si f es integrble en [, b] y f (x) 0 en [, b], entonces b f (x)dx = el re de l región entre l gráfic de f y el eje x desde hst b. Si f es integrble en [, b], entonces b f (x)dx = [áre por encim del eje x]-[áre por debjo del eje x].

16 Propieddes de l integrl de Riemnn Interpretción geométric de ls integrles definids Si sumimos que f es integrble en el intervlo [, b]. Entonces, Propieddes f (x)dx = 0 y b f (x)dx = b f (x)dx

17 Propieddes de l integrl de Riemnn Propieddes Interpretción geométric de ls integrles definids Asummos que f y g son integrles en el intervlo [, b] Si k es un constnte, entonces b kf (x)dx = k b f (x)dx b [f (x) + g(x)]dx = b f (x)dx + b g(x)dx Si f es integrble en un intervlo que contiene los tres números, b y c, entonces b f (x)dx = c b f (x)dx + f (x)dx c

18 Propieddes de l integrl de Riemnn Interpretción geométric de ls integrles definids Propieddes Asummos que f y g son integrles en el intervlo [, b] Si f (x) 0 en [, b], entonces b f (x)dx 0. Si f (x) g(x) en [, b], entonces b f (x)dx b g(x)dx. Si m f (x) M en [, b], entonces m(b ) b f (x)dx M(b )

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20 I Teorem Si f es continu en el intervlo [, b], entonces l función F definid como F (x) = x f (u)du, x b Es continu en [, b] y derivble en (, b), y se cumple que d F (x) = f (x) dx

21 II Regl de Brrow Supongmos que f es un función continu en el intervlo [, b], entonces b f (x)dx = F (b) F () Siendo F (x) un primitiv de f (x), es decir F (x) = f (x).

22 Regl de Leibniz Introducción Regl de Leibniz Si g(x) y h(x) son funciones derivbles y f (u) es continu, con u entre g(x) y h(x), entonces d dx h(x) g(x) f (u)du = f [h(x)]h (x) f [g(x)]g (x)

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24 Cálculo de áres Introducción Si f (x) y g(x) son funciones continus en el intervlo [, b] con f (x) > g(x), x [, b], entonces el áre de l región comprendid entre ls curvs y = f (x) e y = g(x) desde hst b es igul Áre= b [f (x) g(x)]dx

25 Cmbio cumultivo Consideremos un poblción cuy dinámic de credimiento viene dd por el problem de vlor inicil dn dt = f (t), con N(0) = N 0, de donde podemos decir que N(t) = t 0 f (u)du + C. Resolviendo el problem de vlor inicil, obtenemos N(t) N(0) = t 0 dn du du, que podemos interpretr como el cmbio cumultivo o neto del tmño de l poblción entre 0 y t.

26 Vlor Medio Introducción Supongmos que f (x) es un función continu en el intervlo [, b]. El vlor medio de f en el intervlo [, b] es VM(f ) = 1 b f (x)dx b Teorem del Vlor medio pr integrles definids Se f (x) un función continu en el intervlo [, b]. Existe un número c [, b], tl que f (c)(b ) = b f (x)dx

27 Cludi Neuhser. Mtemátics pr ciencis. Ed. Person- Prentice Hll.