UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro)
|
|
- Marta Iglesias Pérez
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo el áre somred de l figur siguiente, que es el áre limitd por l función f ( ) = entre = y = y el eje OX Lo que vmos hcer es trocer el intervlo en suintervlos, y esto lo llmmos un prtición del intervlo. Definición.- Ddo un intervlo cerrdo [, ], diremos que un conjunto ordendo y finito de números reles P = {,,,..., n, } es un PARTICIÖN del intervlo [, ] si se cumple que = < < <... < n < n =, con lo que los (n+) números reles dividen l intervlo [, ] en n suintervlos. Gráficmente quedrí sí: Aquí en el diujo hemos hecho los suintervlos de l mism mplitud pero no es necesrio, pueden tenerl diferente. Consideremos hor que queremos clculr el áre siguiente: el determindo por l función y = f() y el eje OX entre y UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
2 Vmos tomr un prtición del intervlo P = {,,,..., n, } cumpliendo que = < < <... < n < = Y en cd suintervlo de l form, ], tommos el mínimo soluto que lcnz l función en ese [ i i+ intervlo y lo llmmos m i y podemos construir medinte rectángulos un proimción por defecto del áre determinr, como podemos oservr en el diujo siguiente: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
3 El áre de cd rectángulo es se por ltur: ( i+ i ) mi+ con i n y si los summos tods ls áres de los rectángulos otenemos l proimción del áre que queremos clculr. A est sum l llmmos sums inferiores socid l prtición P y se represent por s(p). Así: s(p) = ( ) m + ( ) m + ( ) m +.+ ( n n ) mn + ( n n ) mn Que revindo con el signo sumtorio nos qued: s(p) = i i i+ i= Análogmente pr l mism prtición P podemos hor tomr los máimos solutos en cd intervlo [ i, i+ ] y los notmos por M i. Podemos otener un proimción por eceso del áre determinr, como podemos oservr en el diujo siguiente: n ( ) m + El áre de cd rectángulo es se por ltur: ( i+ i ) M i+ con i n y si summos tods ls áres de los rectángulos otenemos l proimción del áre que queremos clculr. A est sum l llmmos sums superiores socid l prtición P y se represent por S(P). Así: S(P) = ( ) M + ( ) M + ( ) M +.+ ( n n ) M n + ( n n ) M n Que revindo con el signo sumtorio nos qued: S(P) = i= n ( i ) M i+ Fácilmente se oserv que: s( P) Áre S( P). Esto es pr est prtición, supongmos que l prtición l vmos hciendo much más fin (umentmos n, el nº de puntos en que dividimos el intervlo), es más, i+ UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
4 hcemos lím s(p) n + y lím S(P). Estos límites drán como resultdo el áre pedid, y podemos concluir n + que: lím s( P) = Áre = lím S( P) n + n + El ejemplo de función que hemos usdo es continu, creciente y positiv en [, ] pero funcion igul pr funciones que sen continus en [, ], lo único que ps que si es negtiv, el resultdo puede tener signo positivo o negtivo Definición.- Dd un función f continu en un intervlo cerrdo [, ], se define l integrl definid de l función f en el intervlo [, ] que se represent como f ( ) d = lím s( P) = lím S( P) n + n + f ) d ( l siguiente vlor: Al nº se le llm límite superior de integrción y l nº se le llm límite inferior de integrción NOTAS: Pr clculr el áre tenemos que tener muy en cuent el signo de l función, como vemos continución ) Si l función es positiv en el intervlo [, ], entonces Áre = f ( ) d ) Si l función es definid negtiv en el intervlo [, ], entonces Áre = por l definición f ( ) d f ) d (, pues tenemos que UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
5 ) Si l función cmi de signo en el intervlo [, ], entonces tenemos que trocer l integrl (vése el diujo) seprndo ls prtes positivs de ls negtivs: Áre = Áre- + Áre- + Áre- = c d f ( ) d + con el eje OX c f ( ) d d f ) d (. Por tnto será necesrio conocer los puntos de corte de l función Propieddes de l integrl indefinid:.- Si los límites de integrción son igules, l integrl definid es nul f ( ) d =.- Si y = f () es positiv en el intervlo [, ], entonces f ( ) d >, y coincide con el áre del recinto..- Si y = f () es negtiv en el intervlo [, ], entonces f ( ) d <, y coincide con el áre del recinto pero de signo opuesto. c.- Si c.es un punto interior del intervlo [, ], se cumple que: + c f ( ) d f ( ) d = f ( ) d 5.- Al intercmir los límites de integrción, l integrl cmi de signo: ( ) d = 6.- Linelidd de l integrl indefinid: f f ( ) d 5 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
6 [ ( ) ± g( ) ] d = f ( ) d f ± g( ) d k f ( ) d = k f ( ) d 7.- Si f ( ) g( ) en el intervlo [, ], entonces ( ) d f g( ) d Ejemplo.- Con los dtos del diujo, que represent un función y el áre de determinds regiones con el eje OX, vemos que:: ) f ( ) d = 7 ) d) f ( ) d = 7 e) 5 f ( ) d = 5 5 c) f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d = ( ) + 7 = 5 f ( ) d = + 7 = f) f ( ) d = = 6 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
7 . TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL. REGLA DE BARROW Teorem fundmentl del cálculo integrl: Dd un función y = f () continu en un intervlo cerrdo [, ] y considermos l función socid G ) = f ( t) dt ( con [, ], entonces se tiene que: - G es derivle en [, ] - G es un primitiv de f, es decir, G '( ) = f ( ) [, ] Regl de Brrow: L integrl definid de un función f continu en un intervlo cerrdo [, ] es igul l diferenci de los vlores que tom un primitiv culquier F de f de los etremos superior e inferior del intervlo [, ] Se denot por: [ F( ) ] = F( ) F( ) f ( ) d = Resumiendo, pr clculr integrles definids f ) d ( hcemos los siguientes psos:. Clculmos l integrl indefinid correspondiente I = f ( ) d. Tommos un primitiv culquier, normlmente se tom pr C =.. Aplicmos l Regl de Brrow es primitiv. Ejemplo.- Clculr ( + ) d Clculmos l integrl indefinid correspondiente: I = ( + ) d = + + C Tommos un de ls primitivs (por ejemplo pr C = ) Aplicmos l Regl de Brrow: F( ) = + = ( + ) d ( + ) d = = = ( ) ( ) ( ) = UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
8 8 Ejemplo.- Clculr d + Clculmos l integrl indefinid: I = d medinte sustitución o cmio de vrile. + = t Hcemos el cmio: t = + y sustituimos. d = t dt I = t dt = dt y nos result otr integrl que hemos de hcer por descomposición en ( t ) t ( t ) frcciones simples, como ovimente: t = ( t )( t + ), tenemos que poner: A B A( t + ) + B( t ) = + = = A ( t + ) + B( t ) ( t ) t t + ( t ) ( t )( t + ) Dmos vlores: Pr t = = A A = Pr t = = B ( ) B = t + I = ( + ) d = ln t + ln t + + C I = ln + C Por último, deshcemos el cmio, pues como t t + t t = + t = + : + + I = ln + C Tommos l primitiv con C = F ( ) = ln + Por último plicmos l regl de Brrow: 8 + d = ln = ln ln = ln ln= ln VER: Ejercicios resueltos del liro de teto de l págin 7 EJERCICIOS: De l págin 86, el ejercicio, 5, 6, 7 y 8. 8 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
9 . ÁREA ENCERRADA BAJO UNA CURVA Vmos clculr en este punto el áre determind por un función y = f (), el eje OX y ls rects verticles = y = Pr poder relizr este cálculo deemos de: - Representr gráficmente l función y = f () (especilmente en el intervlo [, ]). - Delimitr el recinto cuy áre queremos clculr. - Tener en cuent el signo de l función. Si es negtiv, l integrl indefinid sldrá negtiv y le tendremos que cmir el signo pr dr el resultdo correcto del áre. - Además, si l función cmi de signo en el intervlo, hemos de dividir el cálculo del áre en prtes con signo constnte pr tener en cuent los signos de ls integrles. - Tener en cuent posiles simetrís del recinto pr no hcer cálculos innecesrios. NOTA: Ver págin 7 del liro de teto pr que nos quede clro ls preciciones nteriores Vemos ejemplos donde pliquemos lo dicho: Ejemplo.- Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y = y ls rects de ecuciones = - y = Lo primero que hemos de hcer es representr gráficmente l función, que en este cso por ser un práol es fácilmente representle como podéis oservr en el diujo. Lo que nos piden es el áre somred, y como l función es positiv, podemos poner que: Áre = d = = 8 = u 9 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
10 Ejemplo 5.- Clculr el áre del recinto limitdo por l curv = y = y ls rects de ecuciones = y Os dejo vosotros el estudio de l función pr su representción gráfic (dominio, puntos de corte, monotoní, etremos, curvtur, etc.). Os tiene que slir l siguiente gráfic: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
11 El áre que nos piden es: Como vemos l función entre y es negtiv, por tnto l integrl indefinid entre y sldrá negtiv. Así lo que tenemos es que: Áre = ( ) d cmimos el signo pr que nos de el áre. Vmos clculr l integrl indefinid y l resultdo le ( = + C Áre = -(-) u = u I = ) d = ( ) d = Ejemplo 6.- Dd l función f ( ) = limitd por l función y el eje OX si si si < <, se pide clculr el áre de l región Lo primero es hcer l representción gráfic de l función dd, que es definid trozos (cd uno es un porción de práol). Os lo dejo vosotros pero os tiene que slir esto: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
12 El áre pedid es l sum de ls áres, y : Áre- = ( ) f ( ) d = ( ) d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = u Áre- = f ( ) d = ( + ) d = + = + ( ) + ( ) = u Áre- = 6 6 f ( ) d = ( 8 + ) d = + 6 = = u Por tnto, Áre = + + u 68 = u VER: Ejercicios resueltos del liro de teto de l págin 75 EJERCICIOS: De l págin 86, el ejercicio 9,,,, 6, 7. UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
13 . ÁREA ENCERRADA POR DOS CURVAS Supongmos que tenemos dos funciones, y = f () e y = g(), y queremos clculr el áre del recinto limitdo por ls dos gráfics. Pr ello nos v hcer flt conocer los puntos de corte de ms funciones y diujrls pr ser cul de ells es myor que l otr. Si fuer como en el diujo siguiente, Tenemos que se cortn en = y en =, y el áre que tenemos que clculr (l somred) se otiene medinte l siguiente integrl indefinid: [ f ) g( ] Áre = ( ) d pues ( ) g ( ) f [, ] Aquí no import si un función es negtiv, lo que import es cul está por encim o por dejo. Ejemplo 7.- Clculr el áre del recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones f ( ) = y g( ) = Lo primero que hemos de hcer es l gráfic de cd un de ls funciones, que son fáciles y os l dejo vosotros (os tiene que slir sí) Vmos clculr los puntos de corte de ls dos funciones: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
14 y = = = (elevmos l cudrdo) = y = = = ( ) = = = Est solución no es válid por qué? Así que, Áre = d = + d = 6 + = + 6 Áre = u Ejemplo 8.- (Selectividd ) Consider l función f ( ) = 5 y l función g( ) = pr ) Esoz el recinto limitdo por ls gráfics de ess dos funciones indicndo sus puntos de corte. ) Clcul el áre de dicho recinto ) Son funciones fáciles de diujr pues f es un rect y g es l hipérol y = multiplicd por Vmos clculr los puntos de corte: y = 5 5 = y = = 5 = = = y = Por tnto los puntos = y = de corte son P (, ) y Q (,). El recinto es l zon somred: f [,] ) Como vemos ( ) g( ), por tnto el áre del recinto es: UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
15 5 d Áre = ( ) Áre = = (un primitiv es muy fácil de clculr pr plicr l regl de Brrow) 5 ln = [ ] 5 8 ln 5 Áre = ln u Ejemplo 9.- Consider ls funciones f : R R y g : R R definids por: f ( ) = e y g( ) = e ) Esoz ls gráfics de f y g y determin su punto de corte ) Clcul el áre del recinto limitdo por el eje OY y ls gráfics de f y g ) f es un función similr l eponencil y = e y g es similr y = e, que deemos conocer del ño psdo y demás estudimos sus crcterístics ásics (monotoní, etremos, dominio, etc.) El punto de corte y = e y = e e e = = y = e = P (, ) = Nos qued l siguiente gráfic y el recinto somredo es el áre que hy que clculr en el prtdo ) c) El áre pedid ddo que f es myor que g en el intervlo [,] es: Áre = [ ] e e Clculmos ls primitivs correspondientes: I = ( e e ) d = e e + C (hcedl vosotros, es fácil) Así: Áre = [ e e ] = ( e e ) ( e e ) e + e Áre = ( e ) u Áre = + e Ejemplo.- (Selectividd 6) El áre del recinto limitdo por ls curvs y = e y = con >, vle. Clcul el vlor de d 5 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
16 Ddo que ls curvs dds dependen de un prámetro, vmos intentr hcer uns gráfics proimds de ells. y = y = Se trt por tnto de un curv similr l práol cnónic y = multiplicd por un nº positivo luego tmién es U y ps por el punto (,) y = y =, es similr l curv y = multiplicd por un nº positivo Vemos dónde se cortn: y = = y = = y = = = y = Ls gráfics y el recinto nos quedrán sí. (elevndo l cudrdo) = = = Hy dos puntos de corte O (,) y P (, ). ( ) = Tenemos por tnto que el áre del recinto somredo es: Áre = d. Clculmos l integrl indefinid I = d d = ( ) Áre = d = = = ( ) = = VER: Ejercicios resueltos del liro de teto de l págin 77 EJERCICIOS: De l págin 86, el ejercicio, 5, 6, 7, 8,,,,,, 5. + C. = Como Áre = = = No válid 6 UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones
a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo
Más detallesAREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA
GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesD I F E R E N C I A L
D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.
INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES
LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x
en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este
Más detallesTeoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva
Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio,
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detallesb) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 1 e y x = e.
MsMtescom Integrles Selectividd CCNN Murci [] [EXT-A] ) Clcule l integrl indefinid rctgd, donde rctg denot l función rco-tngente de ) De tods ls primitivs de l función f() = rctg, encuentre l que ps por
Más detallesTALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida
Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función
Más detallesTEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.
TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l
Más detalles2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual
MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN al CÁLCULO de ÁREAS
INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES
Más detallesINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.
INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)
Más detallesSELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES
Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según
Más detalles1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)
Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv
Más detallesTema 11. La integral definida
Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 Integrl definid: áre jo un curv Tem L integrl definid L integrl definid permite clculr el áre del recinto limitdo, en su prte superior por
Más detallesIntegración de funciones de una variable real
Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.
Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detallesAplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
Más detallesLA INTEGRAL DE RIEMANN
LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,
Más detallesAplicaciones de la integral indefinida
Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos
Más detallesdx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
Más detallesZ ξ. g(t)dt y proceda como sigue:
Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)
Más detallesPRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene
Más detallesX = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)
rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo
Más detallesFórmulas de cuadratura.
PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detallesDescomposición elemental (ajustes por constantes)
Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid 007.. Otros problems se hn obtenido
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detalles6.1 Sumas de Riemann e integral definida
Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el
Más detallesINTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
Más detallesUnidad 12: LA INTEGRAL DEFINIDA. II. Consumo de energía eléctrica (gráfica potencia-tiempo)
Unidd : LA INTEGRAL DEFINIDA..- ÁREA BAJO UNA CURVA Significdo de lguns áres Hy infinidd de funciones etríds del mundo rel (científico, económico, ) pr ls cules tiene especil relevnci el áre jo su gráfic.
Más detallesf(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)
Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se
Más detallesRelación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.
Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo
Más detallesUNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD 4: INTEGRAL DEFINIDA ÍNDICE DE LA UNIDAD.- INTRODUCCIÓN.....- SUMAS SUPERIORES E INFERIORES....- LA INTEGRAL DEFINIDA.... 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA... 5.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
Más detallesLa hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Más detallesLa función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.
L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo
Más detalles2. Cálculo de primitivas
5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv
Más detallesIntegración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.
Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción
Más detallesTEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA
TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 7 Integración. Aplicaciones
Fundmentos mtemáticos Grdo en Ingenierí grícol y del medio rurl Tem 7 Integrción. Aplicciones José Brrios Grcí Deprtmento de Análisis Mtemático Universidd de L Lgun jrrios@ull.es 16 Licenci Cretive Commons
Más detallesLa Integral de Riemann
Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función
Más detallesMatemáticas Bachillerato
Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente
Más detallesEscuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un
Más detallesCAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva
CAPÍTULO 1 L integrl 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv etommos en est sección el prolem del cálculo de áres, introduciendo lguns simplificciones notciones que nos permitirán resolverlo.
Más detallesIntegración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014
Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl
Más detallesResolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006
Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesIntegral de Riemann. Introducción a la integración numérica.
Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre
Más detallesMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Integrales 171. Tema 8. Integrales. , es fácil hallar su derivada F (x)
Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 Concepto de integrl indefinid Tem 8 Integrles L derivd de un función permite conocer l ts de vrición (el cmio instntáneo) de un determindo
Más detallesDETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un
Más detallesSOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 4 a 21
TEMA. NÚMEROS REALES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. Págin. Actividd personl, por ejemplo:,...,...,...,9...,8.... ) No, pues un deciml puede tener un número limitdo de cifrs o ser periódico. Por ejemplo,,
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde
Más detallesConcepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( )
Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesRepartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detalles= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13
Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesTema 3. DETERMINANTES
Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesLa Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y
L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.
Más detallesDERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES
DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detalles3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener
Más detallesAplicaciones de la Integral.
Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detallesAnexo 3: Demostraciones
170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific
Más detallesTEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.
TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesINTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS
INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS Mtemátics º de Bchillerto Ciencis y Tecnologí Profesor: Jorge Escribno Colegio Inmculd Niñ Grnd www.coleinmculdnin.org TEMA 7.- INTEGRALES
Más detallesEJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS
EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS. Integrles impropis de primer especie. Clculr Pr n, n con >. F (b) = b n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesXI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus
Más detallesFundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso
Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de
Más detalles6. Variable aleatoria continua
6. Vrile letori continu Un diálogo entre C3PO y Hn Solo, en El Imperio Contrtc, cundo el Hlcón Milenrio se dispone entrr en un cmpo de steroides: - C3PO: Señor, l proilidd de sorevivir l pso por el cmpo
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detallesLos Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
Más detallesIntegración. Capítulo 1. Problema 1.1 Sea f : [ 3, 6] IR denida por: e x 2 2 x 6. (i) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.
Cpítulo Integrción Problem. Se f : [, 6] IR denid por: + +
Más detallesUNIDAD. integral. a integración y la derivación son las más potentes
UNIDAD L integrl integrción y l derivción son ls más potentes L herrmients de ls que jmás hyn dispuesto ls ciencis, tnto nturles como sociles, y ls ingenierís, pr l resolución de infinidd de prolems Ams
Más detallesTema 9 Cálculo integral de funciones reales de variable real
Tem 9 Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel Ojetivos: 1. Clculr funciones primitivs con wxmxim. 2. Prcticr con el concepto de función integrle y l integrl de un función. 3. Trjr con funciones
Más detalles7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge
Más detalles5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)
Más detallesEl conjunto de los números naturales tiene las siguientes características
CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesIntegrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas
Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos
Más detalles