Tema 11. La integral definida

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1 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 Integrl definid: áre jo un curv Tem L integrl definid L integrl definid permite clculr el áre del recinto limitdo, en su prte superior por l gráfic de un función f (), continu y no negtiv, en su prte inferior por el eje OX, y en los lterles por ls rects y Esto es, el áre S del recinto coloredo en l figur djunt En l ntigüedd est áre se clcul, de mner proimd, sumndo ls superficies de muchos rectángulos de se muy pequeñ y de ltur el mínimo (o el máimo) de l función en cd uno de los suintervlos en los que se divide el intervlo [, ], tl y como puede oservrse en ls siguientes figurs L sum de ls áres de los rectángulos interiores se llm sum inferior; puede denotrse por s Evidentemente est sum es menor que l superficie S: s < S L sum de ls áres de los rectángulos eteriores se llm sum superior; puede denotrse por S Evidentemente est sum es myor que l superficie S: S < S Cundo se divide el intervlo en otros más pequeños se dice que se hce un prtición del intervlo Aquí se divide en n intervlos que pueden ser de l mism mplitud, o no Si se prte por los puntos,,,, i,, n, n, ls ses de los rectángulos considerdos serán:,,, i i,, n n Si l ltur mínim de l función en el intervlo [, i i] es m i, l sum de ls superficies de los rectángulos interiores será: n m + m + + m + + m m s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i n n n i i i i, i i Si l ltur máim de l función en el intervlo [ ] es M i, l sum de ls superficies de los rectángulos eteriores será: n M + M + + M + + M M S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i n n n i i i i wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

2 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 Si se divide el intervlo en más prtes, ms sums se proimrán más l superficie rel S En l sum inferior se gnn los trozos somredos en color más clro Si se denot por s est sum se cumple que s < s < S En l sum superior se pierden los trozos somredos en color más clro Si se denot por S est sum se cumple que S < S < S Si este proceso de sudivisión se repitiese muchs veces, se otendrín dos sucesiones, { s i } y { S i }, un creciente y otr decreciente, que irín encjndo l superficie uscd Esto es: s s s i S S i S S Se trt, pues, de un proceso de pso l límite Cumpliéndose que lim n { s} S lim{ S } i Al vlor de este límite se le llm integrl definid de f() entre y y se escrie como sigue: f ( ) d Oservciones: El signo es en relidd un ese (S de sum) estird Los números y son los límites (en el sentido de ordes) de integrción L función f () se llm integrndo Así pues, f ( ) d indic que hy que integrr (sumr) f () desde el punto hst el punto Este proceso de notción puede indicrse como sigue: n i i ( i i- ) i ( i i- ) i i i - m - f( ) f( ) d f( ) d i El símolo d se lee diferencil de, siendo l vrile independiente de l función f Est vrile puede designrse con culquier letr, por ejemplo t Esto es, f ( ) d f () t dt L epresión f ( ) d puede considerrse el áre del rectángulo señldo l derech, cuy se es d y su ltur, f () ; mos vriles, con d pequeñ L integrl sí definid suele denominrse de Riemnn Ejemplo: L superficie somred en l figur djunt, donde l gráfic es l de f( ), viene dd por d n i wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

3 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 A continución se verá cómo puede procederse pr clculr un áre medinte ls sucesivs prticiones del intervlo Ejemplo: Cálculo del áre del recinto plno limitdo por f( ) +, el eje OX y ls rect y Se trt de un trpecio de ltur y de ses f () + y f (5) Su áre puede hllrse sin yud del cálculo integrl; vle S u Si se plic el proceso de susdivisión del intervlo se otiene Primer prtición: Se divide el intervlo [, 5] por los puntos de scis,,, y 5 Por tnto, ls ses de los rectángulos vlen (El número de rectángulos es ) Ls lturs inferiores vlen: f () +, 5 ; f () ; f (),5 ; f () L sum inferior será: s,5 + +, 5 + Ls lturs superiores vlen: f () ; f (),5 ; f () ; f (5),5 L sum superior será: S +, 5 + +,5 5 Ningun de ess sums d el áre uscd S, pero es evidente que < S < 5 Segund prtición: Se divide el intervlo [, 5] por los puntos de scis,,5,,,5,,,5,,,5 y 5 En este cso ls ses de los rectángulos vlen,5 (El número de rectángulos es 8) Ls lturs inferiores serán: f (), 5 ; f (,5),75 ; f () ; f (,5), 5 ; f (),5 ; f (,5), 75 ; f () ; f (,5), 5 wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

4 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 Y ls lturs superiores: f (,5), 75 ; f () ; f (,5), 5 ; f (),5 ; f (,5), 75 ; f () ; f (,5), 5; f (5),5 Por tnto, ls nuevs sums vlen: (,5 +, 5 ) 8 s,5 (,5 +, , 5 +,5 +, , 5),5,5 (,75 +,5 ) 8 S,5 (, , 5 +,5 +, , 5 +,5),5,5 Ams sums se hn hecho teniendo en cuent que se trt de progresiones ritmétics Prtición genéric: Si el intervlo [, 5] se divide en n prtes igules, tods ells de mplitud, por los puntos: n, +, +,, + ( n ) n n, n Ls lturs inferiores vldrán: + n 5 n f (), 5 ; f + + +,5 + ; f +,5 + ; n n n n n f + ( n ), 5 + ( n ) n n L sum del áre de todos los rectángulos interiores vldrá: sn,5,5,5,5 ( n ) n n n n Operndo: 8 ( + n ) ( n ) n n sn,5 n+ ( ( n ) ) + + n n n n n n Psndo l límite: S lim + + n n L sum de ls áres de todos los rectángulos eteriores (el lector interesdo determinrá los detlles) es: Sn,5,5,5 ( n ),5 n n n n n n Operndo: 8 ( + n) n n + n Sn,5 n+ ( ( n ) + n) + + n n n n n + n Psndo l límite: S lim + + n n Puede verse que dos límites tienden 5 En definitiv, se tiene que S + d Oservción: El lector hrá comprodo que este método es lento y puede que complicdo Est dificultd se susn plicndo ls técnics de integrción que se detllrán más delnte wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

5 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 55 Propieddes de l integrl definid Eisten un serie de propieddes que permiten clculr el vlor de l integrl definid prtir de l integrl indefinid L más importnte recie el nomre de teorem fundmentl del cálculo integrl, siendo su plicción más utilizd l llmd regl de Brrow Otrs de ess propieddes son: L integrl definid de un número por un función es igul l número por l integrl de l función: k f ( ) d k f ( ) d En prticulr, si k, ( f ( ) ) d f ( ) d L integrl definid de un sum de funciones es igul l sum de ls integrles definids de cd un de ess funciones: ± [ f ( ) ± g( ) ] d f ( ) d g( ) d El intercmio de los límites de integrción cmi el signo de l integrl definid: f ( ) d f ( ) d Por consiguiente, si, f ( ) d (El número es el único que es igul su opuesto) Si k es un constnte, kd k ( ) (Es el áre de un rectángulo de se y ltur k 5 Si f () es un función continu en el intervlo [, ] y < c <, se cumple que c + f ( ) d f ( ) d f ( ) d c En el cso de f ( ) > en [, ], l interpretción de l integrl como áre permite un compresión inmedit de est propiedd: el áre desde hst es igul l áre desde hst c más el áre desde c hst 6 Teorem del vlor medio del cálculo integrl Si f () es un función continu en [, ], eiste un número c [, ] tl que ( ) f () d () f c Esto es, eiste un rectángulo de se y ltur f() c que tiene l mism áre que l determind por l integrl A f() c se le llm vlor medio de f () en el intervlo [, ] L demostrción de est propiedd se s en l considerción de que l función áre es continu y está comprendid entre wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

6 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 56 ( ) m y ( ) M, siendo m y M los vlores mínimo y máimo de f () en el intervlo Por tnto, l función áre, l integrl, tom todos los vlores intermedios; luego será igul l áre de un rectángulo cuy ltur esté entre m y M: m f() c M Teorem fundmentl del cálculo integrl El teorem fundmentl del cálculo integrl dice: Si f () es un función continu en [, ] y F () se define como F ( ) f ( t) dt, entonces F () es derivle en [, ] y su derivd es F ( ) f ( ) Aclrción: Si se oserv l figur djunt, cundo f () es positiv, l función F () determin el áre por dejo de l curv de f () desde hst Un punte pr l demostrción de este teorem es lo que sigue Aplicndo l definición de derivd l función F () se tiene que: F( + h) F( ) F ( ) lim h h + h + h + h Como F( + h) F( ) f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt F( + h) F( ) f() t d t L últim integrl corresponde l áre del recinto estrecho señldo en l figur Pero en ese intervlo [, + h], l tender h, se tendrá que el mínimo y el máimo de f () tienden ser igules y vler lo mismo que f () Además, por el teorem del vlor medio del cálculo + h integrl: f ( t) dt f ( c) h ; pero si c f() c f() + h f ( t) dt f ( ) h Luego, F ( ) lim lim f ( ) h h h h Esto signific que l integrl definid de un función, f ( ) d, puede hllrse encontrndo otr función F (), tl que f( ) F ( ) ; esto es, encontrndo un primitiv de f () En definitiv, l integrl definid y l indefinid están relcionds Regl de Brrow Si F( ) f () t dt, y conociendo que F ( ) f ( ), culquier otr primitiv, G (), de f (), se diferencirá de F () en un constnte; esto es, F ( ) G( ) c O lo que es lo mismo: F ( ) G( ) + c ; o ien, F( ) f ( t) dt G( ) + c, pr todo de su dominio Eligiendo los vlores y, se tendrá que: F( ) f ( t) dt G( ) + c ; F( ) f t dt G + c ( ) ( ) wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

7 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 57 Como F ( ) G( ) + c c G() Y por tnto, F( ) f ( t) dt G( ) G( ) Por consiguiente, el vlor de l integrl definid es f () t dt G( ) G( ), siendo G () culquier primitiv de f () Resumiendo: Si F () es un primitiv de f (), esto es f ( ) d F( ), entonces f ( ) d F( ) F( ) Est regl suele escriirse sí: f ( ) d ( F( ) ) F( ) F( ), siendo F ( ) f ( ) Ejemplos: ) L superficie somred en l figur djunt, donde f ( ) + +, viene dd por l integrl ( + + ) d u 6 Not L unidd de medid de est áre (u ) será l correspondiente cd cso: m, dm o l que se Si suponemos que l vrile viene dd en cm, el resultdo de este ejemplo serí / cm ) Alguns veces suele pedirse clculr l superficie encerrd entre un curv y f () y el eje OX En estos csos no se dn los etremos y del intervlo, sino que hy que determinrlos Pr ello, st con resolver l ecución f ( ), pues y son los puntos de corte de l gráfic con el eje OX Así, si se dese clculr l superficie encerrd entre l curv f ( ) + + y el eje OX, los límites de integrción se otienen resolviendo l ecución + + (En l figur nterior se oserv que esos puntos son y ) Por tnto, el áre pedid vendrá dd por l integrl ( + + ) d d Su vlor es: ( + + ) u 6 6 c) Conviene ser que l integrl definid no siempre está relciond con un áre y que, por tnto, podrí plnterse sin más, el cálculo de, por ejemplo: ( e ) d Su vlor es ( e ) d ( e ) e ( ) e wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

8 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 58 Aplicción de l integrl definid l cálculo de áres de recintos plnos Pueden presentrse los siguientes csos: Cso I L función f ( ) en todo el intervlo de integrción El áre S viene dd por: S f ( ) d El ejemplo ) visto nteriormente sirve de clrción Cso II L función es negtiv en todo el intervlo de cálculo: f ( ) pr todo [, ]: S f ( ) d Es evidente que el recinto por dejo del eje, limitdo por f () es y ls rects y es igul l recinto superior, limitdo por f () y ls rects y Ejemplo: El áre del recinto limitdo por l función f ( ) y el eje OX viene dd por: 8 S ( ) d + Cso III L función cort l eje OX en el intervlo de integrción El punto c, de corte, se otiene resolviendo l ecución f ( ) c S S + S f ( ) d f ( ) c d Ejemplos: ) El áre encerrd entre l gráfic de f ( ) y el eje OX, en el intervlo [, ] viene dd por: ( ) ( ) S S + S d + d Dee oservrse que f ( ) cort l eje OX en l scis ; que l curv qued por dejo del eje OX entre y ; y por rri del eje entre y Pr ello result conveniente hcer un representción gráfic wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

9 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 59 ) El áre limitd por l gráfic de f ( ) cos y el eje OX en el intervlo [, π], viene dd por l sum: S S + S + S π / cos d π / π / cos d + π cos d π / Por l simetrí de l curv, el áre es / π / π S cos sin sin sin π d Cso IV Si el recinto viene limitdo por dos curvs, con f ( ) g( ) pr todo [, ]: ( f ) g( ) S ( ) d En prticulr, cundo se pretende hllr el áre comprendid entre dos curvs, hrá que determinr ls sciss y : se otienen resolviendo l ecución f ( ) g( ) Ejemplo: El áre del recinto cotdo, limitdo por ls gráfics de f ( ) + + y g ( ) +, que es el representdo en l figur djunt, viene dd por S ( + + ( + ) ) d ( + ) ) d + Los límites de integrción, y, se otienen resolviendo l ecución: Cso V Si ls curvs se cortn en c [, ]: S + S c c ( f ( ) g( ) ) d + ( g( ) f ( ) S ) El punto c se hll resolviendo l ecución f ( ) g( ) Ejemplo: El áre del recinto cotdo, limitdo por ls gráfics de ls funciones f ( ) y g( ), que es el somredo en l figur djunt, viene dd por ( ) ( ) ( d + ) ( ) ( + ) d + ( + ) d S d Los puntos de corte de ls curvs se hlln resolviendo l ecución f ( ) g( ) d Se otienen:, y (Hy que ver qué curv v por encim) wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

10 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 6 Aplicción de l integrl definid l cálculo de volúmenes de sólidos de revolución Cundo un recinto plno gir sore un eje se otiene un sólido de revolución Algunos ejemplos sencillos son: l girr un semicircunferenci sore su diámetro se otiene un esfer; l girr un triángulo sore uno de sus ctetos se otiene un cono; l girr un rectángulo sore uno de sus ldos se otiene un cilindro Igulmente, l girr un recinto plno, limitdo por l gráfic de f (), el eje OX y ls rects y, tmién se otiene un sólido de revolución π El volumen de este sólido viene ddo por l integrl: V ( f ( ) ) L justificción de este resultdo se fundment en l siguiente considerción: El volumen de un sólido de revolución puede otenerse como l sum de los volúmenes de un número cd vez myor de rodjs (cilindros de ltur infinitesiml, d i, y rdio de su se el vlor de f ( i ), donde i (, ) ; vése l figur de rri) Como el volumen de un cilindro es V πr h, el de cd un de ess rodjs vldrá π ( f ( i )) di Por tnto, y de cuerdo con el concepto de integrl definid, el límite de l sum de todos los volúmenes de esos cilindros, cundo d i, puede escriirse como π ( f ( ) ) d Ejemplos: ) El volumen del sólido de revolución que se otiene l girr l curv de ecución f ( ) +, lrededor del eje OX, en el intervlo [, ], viene ddo por l integrl V π ( + ) d π ( + + ) d 5 π π π + + u 5 5 d wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

11 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 6 ) El volumen del sólido de revolución que se otiene l girr l curv de l función f( ) cos lrededor del eje OX, entre y π, viene ddo por l integrl: π π( cos ) V d π π cos d π + cos π d π π sin u + π 5 Otrs plicciones de l integrl definid Como es sido, dd un función totl, derivándol se otiene l función mrginl Así, si C () es l función de coste totl de uniddes de un determindo producto, su derivd dc( ) C ( ) es l función de coste mrginl, l ts de vrición instntáne de es función d Como l integrl es l operción invers de l derivd, se entiende que, prtiendo de l epresión que d l función mrginl (l ts de vrición de culquier fenómeno), puede hllrse, integrndo, l función totl Siguiendo con el ejemplo nterior, si C () es l función de coste mrginl se tendrá que l integrl C ( ) d C( ) + c es l función de coste totl L constnte c se determinrá prtir de lgun condición inicil Ejemplo: ) Si l función del ingreso mrginl que tiene un compñí por l vent de un producto es i( ), donde es el número de uniddes producids y vendids, entonces, l función de ingreso totl del producto vendrá dd por I ( ) ( ) d + c Como el ingreso por vender uniddes es nulo, se tendrá que I ( ) c Luego l función pedid será I( ) El ingreso totl es el áre (l del trpecio de ltur ) jo l curv de ingreso mrginl (figur djunt) Si vende uniddes, el ingreso será I ( ) 9, que se corresponde con el áre del trpecio estrecho ) Si el eneficio mrginl de un empresrio, por l fricción de un determindo producto, viene ddo por l función ( ) +, siendo el número de uniddes producids, el eneficio conseguido l umentr l producción de 5 uniddes viene ddo por l integrl 5 ( + ) d 6 +, 6, c) Supóngse que l polción de un determind ciudd crece, desde el momento ctul, un ritmo determindo por l función p( ) 5 +, donde viene ddo en meses Si l 5 wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

12 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 6 polción ctul es de 5 hitntes: cuál será l polción dentro de un ño?; en cuánto umentrá su polción durnte el segundo ño? L función que determin l polción es: / / P ( ) ( 5 + ) d ( 5 + ) d c / Como en el momento ctul,, P ( ) c 5, se tendrá que / P ( ) / / L polción dentro de un ño, meses, será P () / 578,5 579 El umento durnte el segundo ño, desde hst meses, viene ddo por l integrl / ( 5 + ) d 5 + 5,5 78,5 67 / Not: L integrl definid puede plicrse pr estudir múltiples procesos económicos Por ejemplo: prolems relciondos con l distriución de l rent; prolems de vlor ctul descontdo (Vése Mtemátics pr el nálisis económico, Sydseter, ª ed, págins 86 y ss y p y ss Tmién puede verse Métodos fundmentles de economí mtemátic, Ching, p 68 y ss) En el cálculo de proiliddes, si X es un vrile letori que tom vlores en el intervlo [, ], su función de densidd, f (), cumple que f ( ) d L función de distriución de proilidd, F () letori tome vlores desde hst, F ) P( X ), que mide l proilidd de que l vrile (, es F ( ) f ( t) dt Ejemplo: L vrile letori que mide el tiempo de esper en minutos pr ser tendido en un urger depende de l función de frecuenci de clientes (l función de cuntí o de densidd) Si est función es f ( ), con, se tendrá que: Su función de distriución de proilidd será F( ) t dt L proilidd de tener que esperr entre y 7 minutos, por ejemplo, viene dd por P( X 7) d,6 wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

13 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 6 6 Áre del círculo y volumen de l esfer Aplicndo el cálculo integrl se puede confirmr que l fórmul del áre del círculo de rdio r es S π r Igulmente se puede otener l fórmul del volumen de l esfer de rdio r: V π r 6 Áre del círculo Se l circunferenci centrd en el origen y de rdio r, cuy ecución es L superficie del círculo es cutro veces l del curto de círculo situdo en el primer cudrnte De + y r y r es l función que define l semicircunferenci superior Luego, el áre del circulo vendrá dd por: r S r d + y r Pr clculr est integrl hy que hcer dos cmios, mos de crácter trigonométrico: cos t ) rcost; ) sin t Si t π/ Si r t Hciendo el cmio de vrile rcost r rsin t d r sin tdt Sustituyendo: r S r d ( r sin t)( r sin tdt) r sin t dt π/ π/ cos t π r dt r sin r t t r π π/ π/ Oservción: El cmio rcost tiene un sentido geométrico clro, pues los puntos (, y) de l circunferenci de rdio r tmién pueden drse rcost medinte ls ecuciones, siendo t el ángulo que determin el y rsin t rdio correspondiente con el eje OX 6 Volumen de l esfer L esfer se otiene l girr el semicírculo lrededor del eje OX Por tnto, su volumen viene ddo por l integrl: r r V π y d π ( r ) d r r r r π r π r πr r wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

14 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 6 Integrles definids Prolems Propuestos Hll el vlor de: ) ( + ) d ) 7 c) + d 5 + d d) e + d Clcul l integrl e ln( ) d Utilizndo el cmio de vrile t ln clcul e d e ( + ln ) Clcul ls siguientes integrles definids: ) rcsin d ) ln ( + ) d 5 (Propuesto en Selectividd, Mdrid) Clcul rzondmente ls siguientes integrles definids: π / sin ) e cos d ) d π + cos Cálculo de áres de recintos plnos 6 Clcul el áre de l región limitd por y, el eje OX y ls rects, 7 Hll l superficie del recinto plno encerrdo entre l curv dd por l función f ( ) e y el eje OX, en el intervlo [, ] 8 Clcul el áre encerrd entre l curv de l función intervlo [, ] f ( ) + y el eje OX, en el 9 Hll el áre de l región pln limitd por l curv y sin y el eje OX en el intervlo [, π] Hll el áre de l región pln limitd por l curv y ( sin ) cos intervlo [, π/] y el eje OX en el Hll el áre encerrd entre l curv y y el eje OX, entre y e wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

15 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 65 Clcul el áre de l región limitd por l función puntos (, ) y (, ) y y l rect que ps por los Clcul el áre comprendid entre ls práols y + + e y Hll el áre del recinto plno comprendido entre ls gráfics y e y 5 Clcul el vlor de pr el que ls tngentes l curv y + en los puntos de scis de vlor soluto, psn por el origen de coordends Hll el áre del recinto limitdo por l curv y ls dos tngentes 6 Clcul el áre encerrd entre ls curvs dds por ls funciones g( ) + 7 Clcul el áre de l región cotd del plno limitd por l curv rect y f ( ) y y + y l 8 Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs de ecución y e y 9 De l función f ( ) + + c + d se se que tiene un máimo reltivo en, un 5 punto de infleión en (, ) y que f ( ) d Clcul,, c y d (Propuesto en Selectividd) Clcul el áre determind por ls curvs de ecuciones y e y, representds en el diujo djunto Clcul el áre del recinto plno limitdo por l práol y y por l rect y Clcul el áre encerrd entre l gráfic de l función eponencil l mism que une los puntos de sciss y f ( ) e y l cuerd Hll el áre de l región limitd por ls curvs y sin e y cos y ls rects π/ y 5π/ Diuj el recinto finito del plno limitdo por l rect, l práol 8 hipérol y Clcul su áre y y l wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

16 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 66 5 (Propuesto en Selectividd, Etremdur) ) Clcul los puntos de corte de l rect y y de l rect y con l rm hiperólic y, > ) Diuj el recinto plno limitdo por ls tres curvs del prtdo nterior c) Clcul el áre de dicho recinto 6 Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs y e +, y e y l rect 7 (Propuesto en Selectividd, Nvrr) Dds ls funciones f ( ) 5 y g ( ), clcul el áre de l región del plno encerrd entre ls gráfics de f () y g () Teorem fundmentl del cálculo integrl 8 Aplicndo el teorem fundmentl del cálculo, hll los vlores de ls constntes,, c y d, siendo que: ( t + ) ( ) t t e dt c d e 9 (Propuesto en Selectividd) Hll los puntos donde se nul l derivd de l función ( t t+ ) f ( ) + e dt Si f es un función continu en el intervlo [, ] tl que f () t dt f () t dt, se puede segurr que eisten dos números, y c pertenecientes [, ], tles que, c y f ( ) f ( c)? (Propuesto en Selectividd, Mdrid) Se l función t F( ) e dt ) Clcul F ( ), estudi el crecimiento de F( ) y hll sus máimos y mínimos ) Clcul F ( ) y estudi l concvidd y conveidd de F( ) Esoz l gráfic con los dtos otenidos (Propuesto en Selectividd, Mdrid) Se f un función rel de vrile rel, continu y positiv, tl que f ( t ) dt e + rctg + Determin el vlor de l constnte y hll f( ) plicndo el Teorem Fundmentl del Cálculo (Propuesto en Selectividd, L Rioj) sin t Se l función F( ) dt, definid pr t Hll sus máimos y mínimos reltivos wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

17 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 67 (Propuesto en Selectividd, Andlucí) Se f un función continu en el intervlo [, ] y F un primitiv de f tl que F() y F(), clcul: ) ( 5 f ( ) 7)d ) f ( ) d c) ( F ( ) ) f ( ) d 5 (Propuesto en Selectividd, Mdrid) 8 Se f () un función continu tl que f ( u) du Hll f ( ) d Volúmenes 6 Clcul el volumen del cuerpo generdo l girr lrededor del eje OX de l superficie limitd por l curv y sin y el eje OX, entre y π 7 Hll el volumen generdo l girr lrededor del eje OX el recinto plno determindo por dicho eje y l curv y 8 Hll el volumen del cuerpo limitdo por l elipse + y 5 lrededor del eje OX l dr un vuelt complet 9 Se considern, en el plno, ls curvs de ecuciones y + e y Se pide: ) El áre del recinto finito determindo por dichs curvs ) El volumen del cuerpo de revolución otenido l girr dicho recinto lrededor del eje OX Otros prolems Hll el áre encerrd por l gráfic de l función f( ) sin y el eje de sciss entre el origen y el primer punto positivo donde f se nule (Propuesto en Selectividd) El número de psjeros que psn por l terminl de un eropuerto se just durnte un dí determindo l función P( t) t t, siendo t el tiempo en hors y P(t) el número de vijeros en el momento t ) Represent l gráfic de l función en el conteto del prolem Cuál fue l máim fluenci del dí y en qué momento se d? ) Qué cntidd de vijeros ps por es terminl desde ls hors hst ls 8 hors? El tiempo, en hors, que trd un utoús en hcer el recorrido entre dos ciuddes es un vrile letori con función de densidd: f ( ),( ), si [, ]; y en otro cso ) Clcul el tiempo medio que trd en hcer el tryecto ) Clcul l proilidd de que l durción del tryecto se inferior dos hors wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino

18 Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 68 Hll el áre limitd por l curv y e, el eje de sciss, y l rect, siendo l scis del punto máimo de l curv Se f( ) un función derivle en (, ) y continu en [, ], tl que f() y f ( ) d Utilizndo l fórmul de integrción por prtes hll f ( ) d 5 (Propuesto en Selectividd, Asturis) Se consider l curv de ecución y + ) Clcul l ecución de l rect tngente l gráfic de es curv en el origen ) Diuj un esquem del recinto limitdo por l gráfic de l curv y l rect hlld c) Clcul el áre de ese recinto ) 65 ) 8 c) 7 d) ( ) Soluciones 6 e e π ) ) ln ( ) + 5 ) ( e ) ) ln 5 6 ln 7 e 8 ln 9 6 ln 5 / 5 ln / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 f ( ) e 7 8ln u 5 c) ln 6 e e+ 7 / 8 ; ; c 5; d 9 ; Sí ) F ( ) e ; mínimo en ) PI en ; f( ) e + + Máimos: π, π, 5π, ; mínimos: π, π, 6π, ) ) c) 7/ 5 π 6π 6 7 u 5 π 9 ) 6 ) π u 5 π ) 7 ),8 ),65 e / 5 ) y c) / wwwmtemticsjmmmcom José Mrí Mrtínez Medino