Cálculo integral: aplicaciones

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1 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones 9. INTEGRLES DEFINIDS 9. INTEGRLES DEFINIDS Y ÁRES 9. MÉTODOS DE PROXIMCIÓN 9. PLICCIONES DEL CÁLCULO INTEGRL 9. CÁLCULO INTEGRL Y PROBBILIDD (OPCIONL) Términos y conceptos clve Fórmuls importntes Ejercicios dicionles Evlución del cpítulo Minicso: El dilem de l seguridd socil: un prolem de solvenci

2 OBJETIVOS DEL CPÍTULO Ofrecer un introducción l integrl definid. Ilustrr l plicción de l integrl definid en el cálculo de áres. Presentr un grn vriedd de plicciones del cálculo integrl. Dr ejemplos de l relción que hy entre el cálculo integrl y l teorí de l proilidd.

3 9 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones ESCENRIO DE MOTIVCIÓN: dministrción del nco de sngre El nco de sngre de un hospitl llev co un cmpñ de donción de sngre pr reponer sus reservs. El hospitl estim que l sngre se donrá un ts de d(t) uniddes o pints por dí ( pint equivle.7 litros en Estdos Unidos y.7 litros en el Reino Unido; N. del T.), donde d(t) = e -.t y l t represent l durción de l cmpñ en dís. Si el ojetivo de l cmpñ de donción de sngre es otener uniddes ( pints ), los dministrdores del hospitl desen ser cuánto les tomrá lcnzr es met (ejemplo ). Este cpítulo se centr en l plicción del cálculo integrl. En prticulr, se eplicrá l integrl definid, el uso de ls integrles definids en el cálculo de áres dejo y entre ls curvs, diverss plicciones que se vlen del cálculo integrl y su plicción l teorí de l proilidd. 9. Integrles definids En l presente sección se eplicrá l integrl definid, que constituye el fundmento de muchs plicciones del cálculo integrl. L integrl definid L integrl definid puede interpretrse como un áre y como un límite. Emínese tentmente l gráfic de l función f (),, que prece en l figur 9.. Supóngse que se dese determinr el áre somred dejo de l curv comprendid entre y. Un procedimiento consiste en proimr el áre clculndo ls superficies de un conjunto de rectángulos que están contenidos en l región somred. En l figur 9. se hn trzdo dos rectángulos dentro del áre de interés. El ncho de cd uno es, y sus lturs respectivs son f () y f (). Si se us l sum de ls áres de los dos rectángulos pr proimr l que se dese conocer, se tendrá * f() () f() () () () () () ()() ()() donde * es el áre proimd. Nótese que en est proimción se suestim el áre rel. El error introducido se represent con ls zons somreds más ligermente. En l figur 9. se hn trzdo cutro rectángulos dentro del áre de interés. Su ncho es de -, y l superficie totl de los cutro rectángulos se clcul medinte l ecución * f() (.) f(.) (.) f() (.) f(.) (.) () (.) (.) (.) () (.) (.) (.) ()(.) (.)(.) ()(.) (6.)(.)

4 9. Integrles definids 9 f() f() f() = f() = Error en l proimción proimción del áre 6 6 f() Figur 9. Figur 9. proimción medinte dos rectángulos. f() En comprción con l figur 9., el empleo de cutro rectángulos en vez de dos d un mejor proimción del áre rel. El áre somred más ligermente es menor en l figur 9.. En l figur 9. se trzron ocho rectángulos, cd uno con un ncho igul.. Su superficie se clcul medinte l ecución * f() (.) f(.) (.) f(.7) (.) () (.) (.) (.) (.7) (.) ()(.) (.6)(.) (7.6)(.) Osérvese que est proimción es mejor que ls otrs. De hecho, si se sigue sudividiendo el intervlo entre y, hciendo cd vez más pequeñ l se de cd rectángulo, l proimción se cercrá más y más l áre rel (que, según se determinrá, es de 8 - ). continución se estudirá este proceso desde un perspectiv más mpli. Tómese, por ejemplo, l función de l figur 9.. Supóngse que se dese determinr el áre dejo de l curv, pero por rri del eje de ls entre y. Supóngse, demás, que el intervlo se hy sudividido en n rectángulos. simismo, que el ncho del rectángulo i es i y que su ltur es f ( i ). No es necesrio dr por hecho que el ncho de cd rectángulo

5 9 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones f() f() = f() f() = Error en l proimción proimción del áre f(.7) Error en l proimción proimción del áre 6 f(.) 6 f(.) f(.) f() f(.) f(.7) f(.) f(.) f(.) Figur 9. proimción medinte cutro rectángulos. f() Figur 9. proimción con ocho rectángulos. f() f() f( n ) f( n ) f( n ) f f( ) f( ) f( ) f( ) Error en l proimción proimción del áre Figur 9. proimción con n rectángulos. = n n n

6 9. Integrles definids 9 se igul. Se puede proimr el áre de interés sumndo ls áres de n rectángulos, es decir, * f( ) f( ) f( n ) n n i f( i ) i Como se dijo en cunto l función f (), l proimción siempre se vuelve más ect l irse reduciendo el ncho de los rectángulos y, por lo tnto, conforme el número de rectángulos se torn simultánemente más grnde. Est oservción puede formlizrse l firmr que cundo eiste el límite, n lím f(i) i n é i (9.) Es decir, el áre rel jo l curv es el vlor límite de l sum de ls áres de los n rectángulos inscritos, medid que el número de rectángulos se cerc l infinito (y el ncho i de cd uno se proim ). Del mismo modo que el signo de l sumtori se plic cundo se dese sumr elementos discretos, tmién l integrl definid implic l sum de funciones continus. Definición: Integrl definid Si f es un función cotd en el intervlo [, ], se definirá l integrl definid de f en los siguientes términos: f() d lím né n i f( i ) i (9.) condición de que eist este límite, medid que el tmño de todos los intervlos de l sudivisión tiend cero y, por lo tnto, el número de intervlos n se proime l infinito. El ldo izquierdo de l ecución (9.) muestr l notción de l integrl definid. Los vlores y que precen, respectivmente, dejo y rri del signo de l integrl se llmn límites de integrción. Ellímite inferior de integrción es, y el límite superior de integrción es. L notción puede descriirse como l integrl definid de f entre un límite inferior y un límite superior, o más simple, l integrl de f entre y. Evlución de ls integrles definids f() d L evlución de ls integrles definids se fcilit con el siguiente teorem de grn importnci.

7 96 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones Teorem fundmentl del cálculo integrl Si un función f es continu sore un intervlo y F es culquier ntiderivd de f, entonces pr culquier punto y en el intervlo, donde, f() d F() F() (9.) Conforme l teorem fundmentl del cálculo integrl, l integrl definid puede evlurse y se: ) determinndo l integrl indefinid F() C, y ) clculndo F() F(), lguns veces denotd con F()]. Como se verá en el siguiente ejemplo, no hy necesidd de incluir l constnte de integrción l evlur ls integrles definids. Ejemplo Pr evlur d, l integrl indefinid es F() d C hor ien, d C C 9 C C 9 C Cundo se evlún integrles definids, siempre se rest el vlor de l integrl indefinid en el límite inferior de integrción, l vlor del límite superior de integrción. L constnte de integrción invrilemente desprece en este cálculo, como sucedió en el ejemplo. Por lo tnto, no se necesit incluir l constnte l evlur ls integrles definids. Ejemplo Pr evlur ( ) d, F() ( ) d Por lo tnto,

8 9. Integrles definids 97 ( ) d () () () () () () ( 8 ) ( ) 7 Ejercicio de práctic Evlúe ( ) d. Respuest:. Ejemplo Pr evlur e d, F() e d e Por consiguiente, e d e e e o, según l tl, e e Ejemplo Pr evlur d, F() d d y de cuerdo con l regl 9, F() ln( ) En consecuenci, d ln( ) ln( ) ln( ) ln ln Según l tl, d (.78) (.986)..9.87

9 98 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones Ejercicio de práctic Evlúe: ) e d y ) Respuest: ) 7., ).696. d. Propieddes de ls integrles definids Eisten diverss propieddes que pueden ser de yud l evlur ls integrles definids. Se incluyen continución, junto con ejemplos que ls eplicn. Propiedd Si f está definid y es continu en el intervlo (, ), f () d f () d (9.) Ejemplo Considere l función f (). d d () ( ) 6 ( ) () 6 Por consiguiente, d d Propiedd f () d (9.) Ejemplo 6 e d e e e

10 9. Integrles definids 99 Propiedd Si f es continu en el intervlo (, c) y c, f () d c f () d c f () d (9.6) Ejemplo 7 Demuestre que d d d SOLUCIÓN d () () 6 d d [() () ] [() () ] (8 ) (6 8) 6 Por lo tnto, d d d o ien 6 6 Ejercicio de práctic Demuestre que d d d Propiedd cf() d c f () d (9.7) donde c es constnte.

11 9 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones Ejemplo 8 Demuestre que pr l función del ejemplo 7, d d SOLUCIÓN En el ejemplo 7 se proó que d es igul 6. Se necesit evlur d. d () () 6 6 Propiedd Si f() d y g() d eeisten, [ f() g()] d f() d g() d (9.8) Ejemplo 9 Supong que se dese evlur ( ) d ( 6) d Deido que los límites de l integrción son los mismos, l ecución (9.8) indic que los integrndos pueden cominrse lgericmente con un integrl definid, es decir, ( ) d ( 6) d [( ) ( 6)] d ( ) d [ () ] [ () ] 6

12 9. Integrles definids 9 Ejercicio de práctic Evlúe ( ) d ( 6) d utilizndo ls dos integrles definids y verifique que l sum se igul. Sección 9. Ejercicios de seguimiento Evlúe ls siguientes integrles definids d. d. d 6. ( ) d 8. d. (d/). ()e d. d 6. 6 d 8. ( ) d. d. ( ) d. ( 6) d 6. 9 d 8. e d. 9 c c 6 9 ( ) d 8 d 8 d ( ) d e d ( d/) ( )e d d d d d d d e d e d

13 9 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones (d/). ( ) d. e d 6. ( ) d 8. d ( 6 ) d e 6 d 6( ) d (6 d/). ( d/) 6 d. d 6 6 d. 6 d 6. 8 (m ) d 8. d. ( ) d (6 ) d ( ) d ( ) d ( 8) d ( 8) d ( ) d ( 8 ) d e d ( d/) ( 7 ) d ( 8) d (8 6 ) d ( 6) d e d ( ) d ( d/) ( ) d ( ) d (8 8) d d d ( c) d 6 d

14 9. Integrles definids y áres 9 9. Integrles definids y áres Un de ls plicciones práctics del cálculo integrl es el hecho de que ls integrles definids pueden emplerse pr determinr áres. Puede trtrse de superficies que están cotds por curvs, ls cules representn funciones, los ejes de coordends, o mos. En l sección 9. se estudirán situciones donde ess áres tienen un significdo especil en el prolem en que se usn. Áres entre un función y el eje de ls Ls integrles definids pueden servir pr otener el áre situd entre l curv que represent un función y el eje de ls. Se pueden presentr diversos csos. Su trtmiento es vrile y se eplicrá en seguid. Cso : (f ( ) > ) Cundo el vlor de un función f continu es positivo en el intervlo (es decir, que l gráfic de f se encuentre por rri del eje de ls ), el áre que está cotd por f, el eje de ls, y se determin medinte f () d En l figur 9.6 se descrie est situción. f() f = f() d Figur 9.6 Determinción de áres sore el eje de ls. Ejemplo Encuentre el áre dejo de f () y por rri del eje de ls, entre y. SOLUCIÓN Est áre se indicó ntes en l figur 9.. Se clcul sí

15 9 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones d 9 8 El áre (ect) es 8 - uniddes cudrds. Ejemplo Determine el áre indicd en l figur 9.7. SOLUCIÓN Demos por nticipdo l respuest usndo fórmuls muy conocids con ls cules se otienen ls áres de un rectángulo y de un triángulo. Como se dvierte en l figur 9.8, el áre de interés puede considerrse compuest por un rectángulo de superficie y un triángulo de superficie. Por lo tnto, f() f() = + Figur 9.7 f() f() = + = + f() f( ) = 8 = f( ) = Figur 9.8

16 9. Integrles definids y áres 9 h lw ()() ()(). 7. uniddes cudrds l empler l integrl definid, ( ) d () () ( ) ( ) ( 9 ) ( ) 9. ( 8) 7. uniddes cudrds Ejercicio de práctic Pr l función en l figur 9.7, determine el áre entre l curv y el eje de ls, l cul se encuentr cotd l izquierd por y l derech por 6. Respuest: 6. Cso : (f ( ) < ) Cundo el vlor de un función continu f es negtivo en el intervlo (es decir, l gráfic de f se hll por dejo del eje de ls ), el áre que está cotd por f, el eje de ls, y se determin medinte f() d Sin emrgo, l integrl definid evlú el áre como negtiv si se encuentr dejo del eje de ls. Puesto que el áre es solut (o positiv), se clculrá como f() d Ejemplo Clcule el áre indicd en l figur 9.9. SOLUCIÓN Ddo que f es un función negtiv,.. d

17 96 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones f()... = d. Figur 9.9 f() = 8.. (.) 8 (.) 8 [ (.888)] [.87].87 uniddes cudrds Ejercicio de práctic En l figur 9.9 encuentre el áre entre f y el eje de ls, cotd l izquierd y l derech por y por, respectivmente. Respuest: 69/8, o ien Cso : (f ( ) < y f ( ) > ) Cundo el vlor de un función continu f es positivo en l prte del intervlo y negtivo en el resto del mismo (prte del áre comprendid entre f y el eje de ls se hll rri del eje de ls y prte dejo de él), entonces f() d clcule el áre net. En otrs plrs, ls áres situds por rri del eje de ls se evlún como positivs y ls que están dejo como negtivs. Se cominn lgericmente pr otener el vlor neto. Ejemplo Evlúe ( ) d pr clculr el áre net, l cul se muestr en l figur 9.. SOLUCIÓN Un vez más, se puede nticipr l respuest plicndo l fórmul con que se mide l superficie de un triángulo. Recuérdese que el áre dejo del eje de ls ( ) se evlurá como negtiv cundo se hg l integrción; entonces se tendrá

18 9. Integrles definids y áres 97 f() f() = Figur 9. ()() ()(). 7. uniddes cudrds l evlur l integrl definid, ( ) d () () (. 7) 7. uniddes cudrds () Otención de áres entre curvs En los siguientes ejemplos se descrien los procedimientos con que se clculn ls áres comprendids entre curvs. Ejemplo Determine el áre somred entre f y g indicd en l figur 9.. SOLUCIÓN fin de determinr el áre, es preciso eminr su composición. No es posile clculrl integrndo sólo un de ls funciones. Un mner de clculrl se dvierte en l figur 9.. Si g se integr entre y, el áre resultnte incluye pero tmién un superficie dicionl que no form prte de. Por her soreestimdo, hrá que restr el ecedente. Est áre result ser l que se encuentr dejo de f, entre y. En consecuenci, puede determinrse como

19 98 CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones f() f() (, 9) g()d f()d Figur 9. g () 7 f() f() f() f() g() 7 f() Ecedente g() 7 Figur 9. g () d f () d g() d f() d o ien ( 7) d d Si se plic l propiedd, ( 7) d 7 [ () 7()] [ () 7()] 7 8 uniddes cudrds