5.-CÁLCULO DE VOLÚMENES DE ROTACIÓN.

Transcripción

1 65 ) Clculr el áre interior de l stroide = cos t = sen t, t De l figur, el áre totl uscd A será cutro veces el áre curd: A = (sen t)(cos t)( sent) dt A = sen t cos t dt. Pero: cos sen = ; + cos cos =, A = cos t + cost dt = ( cos t + cos t cost)dt A = t (t + sen t cos t + (sen t sen t sen t)) = // 5.-CÁLCULO DE VOLÚMENES DE ROTACIÓN. Ejercicios Resueltos (A) Método de ls secciones trnsversles. Si V es el volumen entre = = de un sólido de revolución en torno del eje OX, generdo por un curv pln f(), entonces f() V = f () d d ( que el elemento de volumen dv del disco sólido somredo es

2 66 dv = (rdio) (espesor) = f () d ). ) Clculr el volumen del tronco de cono generdo por l rotción, en torno del eje OX, de l región encerrd por = + ; = ; = ; =. El gráfico muestr l región curd, que gir en torno del eje OX generndo el tronco de cono. El volumen sí engendrdo será V = d = ( + ) d rect = + = + + = 9 // ) L región del plno encerrd por =, =, = gir en torno de cd eje. Clculr el volumen generdo en cd cso. = = Giro en torno Giro en torno del eje OX del eje OY Entonces, V V 6 V = d = d = 7 7 = 7 //

3 67 V = = r d V = d = ( 5 5 ) = 6 // 5 ) Clculr el volumen del toroide generdo por l rotción del círculo ( 5) + en torno del eje OY. i) Gráfico del toroide R = 5 + d R 5 = 5 R = 5 +, R = 5 ii) El volumen V del toroide es el volumen generdo por el círculo somredo l girr en torno del eje OY. Por consiguiente, será igul l volumen del "cilindro" sólido de rdio R menos el volumen del "cilindro" sólido de rdio R (pues el toroide está vcío en su centro). Así, V toroide = V(R ) V(R ) = (R ) (R ) V = ( 5+ ) d ( ) 5 d

4 6 V = ( 5+ ) d ( ) 5 d V = d = + rcsen( ) = = // ) Clcule el volumen por rotción de l región : ) OAB en torno del eje OX = C (,) A (,) ) OAB en torno del eje OY c) OAB en torno de AB d) OAB en torno de CA e) OAC en torno del eje OY f) OAC en torno de CA g) OAC en torno de AB O B (,) X ) OAC en torno del eje OX ) V = dv = V = d= d = 6 // dv = d ) V = V cilindro sólido V proloide interior V = d V = d = 7 7 = 5 7 //

5 69 c) V = ( ) d = V = (6 + ) d ( ) d V = = = 5 // d) V = V cilindro sólido V proloide interior V = ( ) d V = 56 ( ) d V = 56 (6 6 + )d = = 7 5 // e) V = d = d V = 7 7 = 7 // f) V = ( ) d = ( ) d = (6 6 + )d 5 V = = // g) V = V = ( ) d = V = (6 + ) d ( ) d

6 7 V = = = 56 5 // ) V = V = = d = 56 6 V = 9 // (B) Método de ls cps cilíndrics. () Si dv es un elemento de volumen del cilindro verticl, entonces dv = (áre tir lnc) (ltur cilindro) dv = (longitud espesor) (ltur cilindro) dv = ( d) ( ) () dv = ( ) d Luego, el volumen totl V del cilindro será V = ( )d d () () Si dv es un elemento de volumen del cilindro orizontl, entonces dv = (áre tir lnc) (lrgo cilindro) dv = (longitud espesor) (lrgo cilindro) d dv = ( d) ( ) dv = ( ) d Luego, el volumen totl V del cilindro será () ()

7 7 V = ( )d Ejemplos ) L región cotd por ls curvs = ; = gir en torno de los ejes OY OX. Hllr los volúmenes sí generdos en mos csos. ) Girndo sore el eje OY = = V = ( )d = = 5 // ) Girndo sore el eje OX V = ( )d = 7 V = 7 = 5 // ( )d = = ) L mism región gir sore ls rects = ; =. Hllr los volúmenes. ) Gir sore =. V = ( )( )d = ( + )d r = 5 5 V = = // = = ) Gir sore =. V = ( )( )d = ( + )d = = 7 V = + 7 = // r =

8 7 Volúmenes en coordends prmétrics polres Recordemos que si un figur dd en coordends prmétrics = (t), = (t) gir en torno del eje OX, el volumen V generdo está ddo por V = (t) '(t)dt si gir en torno del eje OY, el volumen V generdo está ddo por d V = (t) (t)dt ' c Ejemplos ) Hllr el volumen que gener un rco de l cicloide (t) = (t sen t) (t) = ( cos t) ; t cundo éste gir en torno del eje OX. Un cicloide es un curv generd por un punto situdo en el orde de un disco cundo éste rued, sin reslr. Entonces el volumen V uscdo es V = (t) '(t)dt elemento de volumen dv V = ( cost) ( cost)dt = ( cos t + cos t cos t)dt V = t sent + (t + sent cost) sent + sen t V = 5 //

9 7 ) Dd l esfer en form prmétric, clculr su volumen: = R cos t = Rsen t ; t V = (t) '(t)dt V = (R cos t)( R sent)dt V = R sen t dt = R [ ] sent sent dt = R cost + cos t d R d = ' dt = R [ + ] = R [ 6 ] = R //

10 7 VOLUMEN DE CUERPOS DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONOCIDA Son cuerpos cu sección trnsversl es un figur de mgnitudes vriles, pero siempre de l mism form. Por ejemplo: dv A() Si dv es un elementop de volumen, entonces dv = (áre curd) (espesor) = A() d, por lo que el volumen totl V ser V = A() d ; ó V = d A() d c Clculr el volumen del sólido de form pirmidl, cu se es un triángulo rectángulo isósceles de cteto de sección en form de tringulr semejnte l se, de ltur. En l figur, se OC = = ltur de l pirámide OD = = distnci del elemento dv z l se de l pirámide C Entonces, BD = AO ( ) D = = d DC OC dv B El elemento de volumen dv es O A dv = (áre ) (espesor) = d Así, el volumen totl uscdo V será V = dv = d = = ( ) d ( + )d = 6 //

11 75 ) Clculr el volumen de un pirámide de se cudrd de ldo ltur. En l figur, se dv un elemento de volumen, de ldo sl ltur d. Entonces, dv = d ( ) Por otro ldo, por triángulos semejntes: =. Luego, =. Reemplzndo en ( ), dv = V = d = = // dv d ) Clculr el volumen del sólido, de se el círculo + =, en que l sección generd por plnos perpendiculres l se l eje OX es un triángulo equilátero cuo ldo es l cuerd en el círculo. C C A A B d A B = B De + = AB = se del triángulo = = ; ltur del triángulo =. Un elemento de volumen dv será, de l tercer figur, dv = (áre Δ ABC) d = (se) (ltur) d = ( ) ( ) d V = V = ( )d = ) = // ( )d

12 76 ) L se de un sólido es l región cotd por =, = ; ls secciones trnsversles son trángulos rectángulos isósceles cu ipotenus está en el plno XY, su plno es l plno XY. Hllr el volumen del sólido sí formdo. z z = = 5º 5º d dv Es clro, de l ª fig., que =. Si dv es un elemento de volumen, si d es el espesor de este elemento (ver ª figur), entonces dv = (áre triángulo) (espesor) = ( se ltur) (d) = ( ) d = d Luego, el volumen uscdo V será V = d = // ) L mism se del prolem nterior, or ls secciones trnsversles son semicírculos en vez de triángulos rectángulos isósceles. Hllr el volumen. Aor el elemento de volumen dv es dv = (áre semicírculo) (espesor) = ( ) d V = d = //

13 77 5) L se de un sólido es un triángulo rectángulo isósceles de ldo.l sección del sólido es un semicírculo cuo plno que lo contiene es uno de los ldos de este triángulo l se. Hllr el volumen del sólido. z dv d + = + = d De ls figurs, vemos que un elemento de volumen dv del sólido está ddo por dv = (áre semicírculo) (espesor) = ( ) d = d = ( ) d V = ( ) d = + ) V = // 6) De un tronco, en form de cilindro recto circulr de rdio, se cort un cuñ medinte un corte verticl otro olicuo en 5º, de modo que l intersección de ellos se produce en el centro generndo un diámetro. Hllr l volumen de l cuñ. z + z = = z (pues 5º) dv z d 5º De l fig., vemos que el elemento de volumen dv es dv = (áre ) (espesor) = ( z) d dv = ( z ) d = ( ) d

14 7 Luego, V = ( )d = = // 7) L se del sólido de l figur es el círculo + =. Clculr su volumen cundo ls secciones trnsversles son triángulos isósceles con se en el plno XY, de ltur igul l se. z d + = dv d Vemos que un elemento de volumen dv está ddo por dv = se ltur espesor. Entonces del enuncido, se = ltur =. Así dv = () () d = d = ( ) d V = ( )d = ( )d V = // ) L se de un sólido es l región del plno XY cotd por =, =. Clcule el volumen del sólido si ls secciones trnsversles l eje OX son cudrdos. z = = d dv d =

15 79 El elemento de volumen dv es dv = (áre cudrdo) (espesor) = ( ) d = ( ) d Entonces, el volumen V uscdo será V = V = V = ( ) d ( ) d (6 + )d V = = 5 // 9) Clculr el volumen de un prism de se rectngulr, de ldos, ltur. z dv dz z De l ª figur, un elemento de volumen dv está ddo por dv = (áre rectángulo elementl) (espesor) = ( ) (d) = d Hllemos or un relción entre l ltur de l pirámide un ldo de ell. Por semejnz de triángulos: z = = z.

16 Luego, dv = z d V = z dz = z V = //

17 6.-LONGITUD DE UNA CURVA Ejercicios Resueltos Recordemos: ) Si un curv C está dd en coordends rectngulres = (), entonces su longitud L C, entre =, =, está dd por '() d () L C = + [ ] ) Si un curv C está dd en coordends prmétrics = (t), = (t) entonces su longitud L C, entre t t, está dd por t '(t) '(t) dt t t t () t L C = [ ] + [ ] c) Si un curv C está dd en coordends polres ρ = ρ(θ), entonces su longitud L C, entre θ = α, θ = β, está dd por β ρ' ρ θ α θ β () α L C = [ ] + d ) Clculr l longitud de un rco de l curv = 7 si. Podemos usr l fórmul (). Pr esto, llemos primero ['()].De = 7 tenemos =. Luego, ' = 9, ['] = 6. Reemplzndo en (), L C = 6 + d = 6 + d = + 6 d Hciendo el cmio de vrile u = 6 +, se tiene udu = d udu = d.

18 + 6 d = u du = u = + 6 L C = + 6 = (5) (97) // 79 ) Clculr l longitud de un rco de = +, Usndo l relción () L C = + [ ] '() d, tenemos L C = + d = + d 6 + = + d = = // ) Hllr l longitud de l crdioide ρ = ( + cos θ), θ β Pr usr l relción () L C = [ ] ρ' + ρ d θ, llemos primero [ ] + α [ ] ρ' + ρ = [ sen ] [ ( cos )] θ + + θ = senθ+ + cosθ + cosθ ρ' ρ : Entonces, = + cos θ = + cosθ = ( cos θ ) = cos θ. β ρ' ρ θ = cos θ dθ = cos θ dθ α ( ) L C = [ ] + d = sen θ = // ) Clculr, medinte integrción, el perímetro de un circunferenci de rdio R. L ecución de l de l figur es ρ = R. Entonces, ρ' =. R Usndo l relción (), se tiene

19 β L C = [ ] ρ' + ρ d θ = [ ] α = + R dθ Rdθ = R () = R // 5) L posición de un punto móvil P(,) en culquier instnte t está dd por = t = 9 (6 + 9)/, t. Clculr el espcio recorrido por el punto desde t = st t =. Se L el espcio recorrido. Entonces, ' = t ; ' = 9 [ (6 + 9)/ 6] = (6 + 9) /. Así, usndo l relción () pr coordends prmétrics, t ' ' t L = [ ] + [ ] (t) (t) dt tenemos: L = [] t + (6t+ 9) dt = t + 6t+ 9dt = (t + ) dt = t + t = // 6) Clculr l longitud de un rco de l cicloide, cus ecuciones prmétrics son = (t sen t) Hllemos primero, '. ' = ( cos t) ' = sen t. Entonces, usndo l relción () t '(t) '(t) dt, se tiene t L = [ ] + [ ] = ( cos t), t L t

20 ( cos t sent dt = L = [ ] + [ ] costdt = costdt = sen t dt = cos t = // 7.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Ejercicios Resueltos Si A(s) es el áre generd por un curv = () que gir en torno del eje Y, entonces un elemento de áre da es da = (longitud de l tir curd) (nco tir) da = ( ()) (ds) = (()) ( + [ '() ] d) Luego, () '() d A(s) = + [ ] da z () Curv () ds = + [ '() ] d Si l curv gir en torno del eje X, tenemos () '() d A(s) = + [ ] z Curv () ) Hllr el áre A de l superficie generd por l rotción de l curv =,, en torno del eje OX.

21 5 () '() d = A = + [ ] + d = + 9 d = (6 d) + = ( 9 ) = ( 7 ) 7 // ) Clculr el áre de l superficie del cuerpo generdo por l rotción de l stroide / + / = en torno del eje X. El áre totl uscd A(s) será el dole del áre de l zon PQR de l figur. Así, () '() d A(s) = + [ ] Hllemos primero + (') : / + / = () = ( ) '() = ( ) ( ) R Q P + (') = + ( )( ) = + = + =. [ '() ] Luego, A(s) = Hciendo cmio de vrile: u = ( ) () d = ( ) d ; u du = se tiene, (en que = u = ; = u = ) d d = u du, d = u ( udu) = A(s) = ( ) A(s) = u 5 5 = 5 // u du

22 6 ) Clculr el áre de l stroide, dd en coordends prmétrics (t) = cos t (t) = sen t, cundo gir en torno del eje OY. Como gir en torno del eje OY, usmos () '() d A(s) = + [ ] (t) '(t) '(t) dt ; A(s) = [ ] + [ ] t Pero, '(t) = cos t sent ; '(t) = sen t cost. Luego, A(s) = A(s) = cos t cos t sent + sen t cos t dt cos t cos t sen t + sen t cos t dt A(s) = cos t sent dt = 5 cos t 5 = 5 // ) Clculr el áre de un esfer de rdio R. En coordends prmétrics, un ecución de l esfer es (t) = R cos t (t) = R sen t Entonces R

23 7 (t) '(t) '(t) dt A(s) = [ ] + [ ] R cos t Rsent Rcos t dt A(s) = [ ] + [ ] A(s) = R cos t R sen t + cos t dt A(s) = R cos t dt A(s) = R [ sent] = R // ÁREA DE LA SUPERFICIE EN PÒLARES ρ = ρ(θ) ) En torno del eje polr: β A(s) = ρθ ( ) sen( θ) ( ρ ') + ( ρ) dθ α ds eje polr ) En torno de l verticl: De mner similr, cundo gir en torno del eje verticl, el áre A(s) está dd por β A(s) = ρ( θ ) cos( θ) ( ρ ') +ρ ( ) dθ α Ejemplos: ) Clculr el áre de l superficie que se otiene por rotción en torno del eje polr de l crdiode ρ(θ) = ( + cos θ)

24 Usndo l relción ) nterior, tenemos β A = ρθ ( ) sen( θ) ( ρ ') + ( ρ) dθ α θ ( + cos θ) senθ senθ + ( + cos θ) dθ A = [ ] [ ] A = (+ cos θ) senθ + cosθ dθ = (+ cos θ) d(cos θ) A = [ ] cos θ = 5 5/ = 7 5 // ) L curv ρ = sen θ gir sore su eje polr. Hllr el áre de su superficie. El gráfico de l curv dd es l circunferenci mostrd en l figur. Como gir en torno del eje polr, usmos β A(s) = ρθ ( ) sen( θ) ( ρ ') + ( ρ) dθ α sen θ cos θ + sen θ) dθ A(s) = [ ] [ ] A(s) = sen θdθ = [ sen cos ] θ + θ θ = // θ MOMENTOS DE INERCIA Y CENTRO DE MASA DE UNA LÁMINA Recordemos lguns fórmuls pr otener l ms m de un lámin, sus momentos M, M, su Centro de Grvedd (ó Centro de Ms) X, Y : ) Ms: m = δ f() d ; densidd δ = ms unidd de áre

25 9 ) Momentos: M = δ M = δ f () d f() d c) Centro de Grvedd G (X,Y): X = M m ; Y = M m, esto es: X = f()d f() d ; Y = f ()d f() d Ejemplo: Hllr ls coordends del Centroide o Centro de Grvedd de l lámin pln omogéne (es decir, de densidd constnte), cotd por = ; = Se k = densidd de l lámin. Entonces ) m = δ f() d = k ( ) d d G m = k. ) M = = k (6 + ) d = 56 5 k. k ( ) d M = k ( ) d = k = k =.

26 9 c) X = f()d f() d = k = Y = f ()d f() d = 56 k 5 k = 5 Por consiguiente, el Centro de Grvedd tiene coordends G = (X, Y) = (, 5 ) // GUÍA # Ejercicios Propuestos:.-Clculr el áre de l región pln limitd por ls curvs: ) = : = ) = : = 5 c) = : = + d) = : + = : = + 6 e) = : = f) = : = 6 g) = : = + ) = e : = e : =..- Hllr el áre entre el eje l cicloide: = t ( Sent) = ( Cost)..- Clculr el áre d encerrd por un ond de l curv: = t Sent = Cost, Y l tngente ell en su punto inferior (=)..- Hllr el áre encerrd por l curv: t t = = + t + t 5.- Clculr el áre encerrd por ls curvs en polres: ) ρ = Senθ ) ρ = Senθ c) ρ = 5( + Senθ ) d) ρ = + Senθ.

27 9 e) ρ = Senθ f) ρ = + Cosθ 6.- Clculr el áre encerrd : ) Dentro de ρ = + Cosθ fuer de ρ = ) Dentro de ρ = Cosθ fuer de ρ = Cosθ 7.- Clculr los volúmenes de los sólidos por rotción sore el eje de ls regiones cerrds: ) ) c) = ; = ; = = ; = ; = = ; = ; = t > ( lim t t ).- Medinte el método de ls secciones trnsversles clculr el volumen de los cuerpos de rotción de ls áres encerrds por: ) ) c) d) = ; = < < sore eje = = =, sore =. = = sore = 5 = = sore eje ; sore =; sore = 9.- Encontrr el volumen del sólido de rotción por giro sore el eje del áre limitd por: = (Oserve que el método de ls cps cilíndrics es más conveniente que el de ls secciones trnsversles.). Si gir sore el eje?.- L región cotd por : = ; =, gir sore el eje, encontrr el volumen por los dos métodos..- Hllr el volumen por rotción de l Astroide: coordendo. = Cos t = Sen t, l girr sore un eje

28 9.- Clculr el volumen del cudrdo vrile, cuo plno es perpendiculr l eje tiene dos vértices podo en ls práols. = 6 =,cuo ldo es l diferenci de ls ods ordends que se mueve entre = =. z.- Dentro de los cuerpos de sección conocid se tienen l Elipsoide: + + = el c z Hiperoloide: + =.Clculr el volumen de mos. c.- Clculr l longitud de rco de : ) ) c) / f( ) = ( + ). / / f( ) = ( ) ( ). f( ) = t dt. = (Cost Cos t) 5.- Clculr l longitud de l curv prmétric: = (Sent Sen t) = Cos t = Sen t 6.-Hllr l longitud totl de : ρ = ( + Cosθ ). 7.- Hllr el áre de l superficie del uso que result de girr un semi ond de =Sec lrededor del eje. Hllr el áre de l superficie de revolución de l Astroide. 9 Hllr el áre de l superficie del elipsoide (elipse que gir sore el eje ).- Hllr el áre de l superficie cundo gir un rco de cicloide sore el eje.ñ

29 9.- Hllr el áre de l superficie cundo gir l lemnisct: ρ = Cosθ.- INTEGRALES IMPROPIAS.- Ejercicios Resueltos Un integrl cundo el intervlo es de l form: (, ] ó [, ) ó (, ) ó en él l función no es cotd, decimos que se trt de un integrl impropi. Así por ejemplo l integrl f ( d ) es un integrl impropi pero si f ( d ) eiste tmién: lim f ( d ) =l, decimos que l integrl es convergente l denotmos f ( d ) = l, del mismo modo pr f ( d ) = lim f ( d ) f ( d ) = f( d ) + f( d ) convergente decimos que es divergente. Ejercicios resueltos:.- Clculemos: e d,, cundo l integrl no es e d = lim e d = lim e + =,por lo tnto l integrl es convergente por ello denotmos : e d =..- Clculemos: d

30 9 d. = lim = lim [ Ln Ln] = luego l integrl diverge. d.- Clculemos: d. p Solución d d Si p = lim lim p p = = p Si p p p >. d.-clculemos: + d + = d d lim + lim = lim + lim = [ ArcTg] [ ArcTg] + + = lim [ ArcTg] + lim [ ArcTg] = ( ) + = Otro tipo de integrl impropi es cundo l función no es cotd en el intervlo, sí si l función se ce infinit en ó en tendremos: ) f ( d ) = lim f( d ) ) f ( d ) = lim f( d ). Si ello ocurre en d [, ] + c c d f ( d ) = f( d ) + f( d ). d c c tendremos:

31 95 d 5.- Clculemos:. d d = lim = lim =. d 6.- Clculemos:. d d = =.L integrl diverge..= lim lim [ Ln Ln ] + + Oservción: En el cálculo pr Ingenierí tienen grn relevnci ls integrles impropis: p ) Γ ( p) = e d,función gmm ) L( p) = e f( ) d Trnsformd de Lplce. p Ejercicios propuestos..- Anlizr l convergenci de ls integrles impropis: ) e d d) d ) e) d + e d