Curvas en el plano y en el espacio
|
|
- Soledad Peña Escobar
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que puede ser un semirrect o todo R. Esto signific que si α(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), entonces ls funciones x i (t) son de clse C. L vrible t recibe el nombre de prámetro de l curv. L imgen α(i) se denomin trz de l curv. Este curso estudiremos únicmente curvs en el plno y en el espcio. Ejemplo No hy que identificr l curv (un plicción) con su trz (un subconjunto del plno o el espcio). Ls dos curvs α(t) = (sen t, cos t) y β(t) = (cos t, sen t), son diferentes y, sin embrgo tienen l mism trz (l circunferenci unidd). (sen t, cos t) (cos t, sen t) Figur 1.1: Dos curvs con un mism trz. 1
2 2 CAPÍTULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 2. L rect, en su conocid form prmétric, α(t) = (p 1 + tv 1, p 2 + tv 2, p 3 + tv 3 ) 3. Un curv no es necesrimente inyectiv, es decir, puede tener utointersecciones. Así, l curv prmetrizd α(t) = (t 3 4t, t 2 4) line Figur 1.2: Un curv puede tener utointersecciones. 4. Un curv prmetrizd no es, necesrimente diferencible; por ejemplo α(t) = (t, t ), y que t no es diferencible en t =..8 line Figur 1.3: Un curv no es, necesrimente diferencible Sin embrgo hy curvs diferencibles, cuy trz tiene picos ; por ejemplo α(t) = (t 3, t 2 ). line 1 Figur 1.4: -1 Curv diferencible, con specto engñoso Definición (Vector tngente o vector velocidd). Al vector α (t) = (x (t), y (t), z (t)) se le llm vector tngente l curv α, pr t I o vector velocidd. L velocidd es α (t). Llmremos rect tngente l curv α en el punto α(t) l rect que ps por dicho punto y tiene como vector director l vector tngente l curv en tl punto. Observemos que si α (t) = pr lgún t I, entonces no podemos clculr l rect tngente. A los puntos de l curv α cuyo vector tngente es cero, se les llm puntos singulres. En l curv del ejemplo (5) nterior, α() es un punto singulr.
3 1.1. CURVAS PARAMETRIZADAS 3 Definición (Curv regulr). Un curv prmétric diferencible α : I R 3 es un curv regulr si α (t) pr cd t I. Ejercicios Un curv cisoide es l generd por l sum de los vectores de posición de dos curvs fijs. L cisoide de Diocles es l curv generd por l diferenci entre el vector de posición de los puntos de un rect prlel l eje Y que ps por el punto (2, ) y el vector de posición de l circunferenci de rdio centrd en (, ) como muestr l figur. Encuentre un prmetrizción de dich curv. Figur 1.5: Cisoide de Diocles. 2. L epicicloide es l curv pln generd por el movimiento de un punto de un circunferenci que rued, sin deslizmiento, sobre otr circunferenci. q r P (r,) 1,16 cm 1,23 cm Figur 1.6: Epicicloide. ) Determine un prmetrizción de l epicicloide generd por un punto P un circunferenci de rdio r que que gir sobre un circunferenci de rdio r centrd en el origen, suponiendo que l posición inicil de P es (r, ). b) Supong que r = 3 y r = 1. Encuentre los puntos singulres de l curv y represéntel gráficmente.
4 4 CAPÍTULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 3. L hipocicloide es l curv pln generd por el movimiento de un punto de un circunferenci que rued, sin deslizmiento, por el interior de otr circunferenci. r 1,49 q P (r,) 1,46 Figur 1.7: Hipocicloide. 4. Un punto P de un circunferenci de rdio r en el plno XY que rued, sin deslizmiento sobre el eje X describe un curv que se llm cicloide. Obteng un prmetrizción pr l cicloide suponiendo que l Figur 1.8: Cicloide. circunferenci de rdio r prte de l posición en que su centro es el punto (, r) y que l posición de prtid de P es el origen. 5. L curv de Gergome es l curv determind por l intersección de dos cilindros perpendiculres. Sen los cilindros x 2 + (z 1) 2 = 1 y y 2 + z 2 = 1. Demuestre que α(t) = ( 2 cos t cos 2 t, sen t, cos t), con t ( π 2, π 2 ) es un prmetrizción diferencible, pero prcil de l curv de Gergome de los dos cilindros nteriores, tl que su trz contiene el punto (1,, 1). Encuentre otr prmetrizción diferencible tl que su trz conteng l punto (, 1, ) Reprmetrizciones. Longitud del rco Ejemplo Es fácil ver que ls curvs prmetrizds siguientes tienen como trz l circunferenci de centro el origen y rdio unidd: α(t) = (cos t, sen t), t R β(t) = (cos( t), sen ( t)), t R γ(t) = ( cos(t + π 2 ), sin (t + π 2 )), t R
5 1.2. REPARAMETRIZACIONES. LONGITUD DEL ARCO 5 Definición (Reprmetrizción). Se α : I R 3 un curv prmetrizd diferencible; y g : J I un difeomorfismo. Entonces l plicción β : J R 3 definid como β = α g, es clrmente un curv prmetrizd diferencible que se llm reprmetrizción de l curv α; l plicción g recibe el nombre de cmbio de prámetro Longitud del rco Se α : I R 3 un curv prmetrizd diferencible y un intervlo cerrdo [, b] I. Consideremos un prtición de dicho intervlo P = { = t < t 1 <... < t n = b}; dich prtición determin un líne (curv) poligonl inscrit en l trz de α, cuy longitud no es otr cos que (t ) 2 (t 1 ) (t 3 ) ()= (t ) (b)= (t 4 ) Figur 1.9: Un poligonl inscrit en l curv. l sum de ls longitudes de cd uno de los segmentos que l formn L b (P, α) = α(t k ) α(t k 1 ). Llmremos diámetro de un prtición P P = máx{t k t k 1 : t = 1,..., n}. Proposición Si α : I R 3 es un curv prmetrizd diferencible y [, b] I; entonces lím P L b (α, P ) = b α (t) dt. Demostrción. Vemos que pr cd ε >, existe δ > tl que si P < δ, entonces L (α, P ) α (t) dt < ε Si α(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces α (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 Por otr prte, por el teorem del vlor medio plicdo cd un de ls funciones x, y, z, tenemos que pr cd intervlo de l prtición existen k, b k, c k (t k 1, t k ) tles que x(t k ) x(t k 1 ) = x ( k )(t k t k 1 ) y(t k ) y(t k 1 ) = y (b k )(t k t k 1 ) z(t k ) z(t k 1 ) = z (c k )(t k t k 1 )
6 6 CAPÍTULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO En definitiv tenemos L b (α, P ) = α(t k ) α(t k 1 ) = (x ( k ), y (b k ), z (c k )) (t k t k 1 ) Si hor considermos l integrl y plicmos el teorem del vlor intermedio, existen ξ k (t k 1, t k ), pr cd k = 1,..., n tles que Entonces tenemos b α (t) dt = L (α, P ) α (t) dt = tk t k 1 α (t) dt = α (ξ k ) (t k t k 1 ). (x ( k ), y (b k ), z (c k )) (t k t k 1 ) α (ξ k ) (t k t k 1 ) = ( (x ( k ), y (b k ), z (c k )) x (ξ k ), y (ξ k ), z (ξ k )) ) (t k t k 1 ). (1.1) Ahor podemos considerr l función f(t 1, t 2, t 3 ) = (x (t 1 )) 2 + (y (t 2 )) 2 + (z (t 3 )) 2, definid entre I 3 y R que, es clrmente continu y por tnto, uniformemente continu en el compcto [, b] 3 I 3. Esto signific que ddo ε >, existe δ > tl que si. (t 1, t 2, t 3 ), (t 1, t 2, t 3) [, b] 3 y t i t i < δ pr i = 1, 2, 3, entonces f(t 1, t 2, t 3 ) f(t 1, t 2, t 3) < ε b Por tnto si tommos un prtición P tl que P < δ, ddo que k, b k, c k, ξ k [t k 1, t k ], se cumple l condición nterior pr los puntos ( k, b k, c k ) y (ξ k, ξ k, ξ k ); y teniendo en cuent l iguldd qued Lb (α, P ) b α (t) dt n ε b ( f( k, b k, c k ) f(ξ k, ξ k, ξ k ) )(t k t k 1 ) < (t k t k 1 ) = ε. (1.2) Después de l proposición nterior podemos definir l longitud de un rco de curv del siguiente modo. Definición (Longitud del rco). Dd un curv prmetrizd diferencible α : I R 3 y un intervlo [, b] I, definimos l longitud del rco de curv α([, b]) como L b (α) = b α (t) dt.
7 1.2. REPARAMETRIZACIONES. LONGITUD DEL ARCO Curvs prmetrizds por l longitud del rco Observción Se ve fácilmente que si α (t) = 1 pr todo t I, entonces L t (α) = t, es decir l longitud del rco coincide con con l del segmento [, t]; y recíprocmente, si ocurre esto último, entonces α (t) = 1. Además si =, entonces L t (α) = t. Definición (Curv prmetrizd por l longitud del rco). Se α : I R 3 es un curv prmetrizd diferencible, diremos que dich curv está prmetrizd por l longitud del rco si α (t) = 1. Proposición Tod curv α : I R 3 prmetrizd diferencible y regulr, se puede prmetrizr por l longitud del rco. Demostrción. Ddo t I, podemos definir l función L : I : R como L(t) = L t t (α) = t t α (s) ds; l función α (s) es, en generl, únicmente continu, luego l función L es derivble con L (t) = α (t) ; pero l ser α regulr tenemos que L es de clse C y creciente, por tnto, si J = L(I), L : I J es un biyección y su invers g : J I, es de clse C, es decir, se trt de un difeomorfismo, con lo cul β = α g es un reprmentrizción de α. Vemos que β es un prmetrizción por l longitud del rco. En efecto, observemos que g(l(t)) = t, luego si derivmos g (L(t))L (t) = 1; y por tnto g (L(t)) = 1 L (t) = 1 α (t) Entonces β (s) = α (g(s))g (s) = de donde se deduce que β (s) = 1, con lo que y lo tenemos. Ejemplo α (g(s)) α (g(s)) 1. Se α(θ) = (r cos θ, r sen θ), con r >, entonces α (θ) = ( r sen θ, r cos θ) y, por tnto α (θ) = r. Entonces L(t) = rt, con lo que l invers es g(s) = s r. Entonces ( β(s) = r cos s r, r sen r ) s es un reprmetrizción por l longitud del rco. 2. Consideremos hor l curv α(t) = (t, t 2 ), entonces α (t) = (1, 2t) y por tnto α (t) = 1 + 4t 2. Entonces t L(t) = 1 + 4s2 ds = 1 (2t 4 ln + ) 1 + 4t t 1 + 4t 2, pero no podemos despejr t con lo que no podemos encontrr explícitmente l reprmetrizción por l longitud del rco. Aunque son muchos los csos en los que l prmetrizción por l longitud del rco no se puede encontrr, en nuestro estudio de ls curvs supondremos, csi siempre, que ls curvs vienen prmetrizds por l longitud del rco. Ejercicios Cuáles son los cmbios de prámetro en el ejemplo nterior? Qué ocurre con l velocidd en cd uno de ellos?
8 8 CAPÍTULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 7. Se β es un reprmetrizción de un curv prmetrizd diferencible α. ) Demuestre que β es regulr si, y sólo si α lo es. b) L rects tngentes en culquier punto coinciden. 8. Explique por qué δ(t) = (cos(t 3 ), sen(t 3 )) no es un reprmetrizción de α(t) = (cos t, sen t), t R. 9. L curv α : R R 3 definid como α(t) = ( e bt cos t, e bt sen t ) con >, b <, se llm espirl logrítmic (un curv curios y con histori). ) Clcule l función longitud del rco, pr t R, reltiv t. b) Reprmetrice est curv por l longitud del rco. c) Estudie su trz. line 1-1 Figur 1.1: Espirl logrítmic Demuestre que l longitud de un curv prmetrizd diferencible es invrinte por movimientos rígidos. 11. Si α : I R 3 es un curv prmetrizd diferencible y [, b]. Demuestre que α(b) α(b) L b (α) (Los segmentos de rect son ls curvs de menor longitud, entre ls que unen dos puntos) 12. Se α : I R 3 un curv prmetrizd diferencible. ) Si α no ps por el origen y α(t ) es el punto de l trz de α más cercno l origen y α (t ), demuestre que los vectores α(t ) y α (t ) son ortogonles. b) Si α (t) es idénticmente nul, que se puede decir sobre α? c) Si α (t) pr todo t I. Demuestre que α(t) es un constte no nul si, y sólo si α(t) y α (t) son ortogonles pr todo t I. 13. Cálcule l longitud de l cicloide correspondiente un rotción complet de l circunferenci. Prmetrice l cicloide por l longitud del rco.
Curvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesgeometria proyectiva primer cuatrimestre 2003 Práctica 5
geometri proyectiv primer cutrimestre 2003 Práctic 5 1. Encontrr un curv prmetrizd α cuy trz se el círculo x 2 + y 2 = 1, que lo recorr en el sentido de ls gujs del reloj y tl que α(0) = (0, 1). 2. Se
Más detallesCurvas en el espacio.
Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos
Más detallesFunciones Vectoriales
Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)
Más detallesCampos Vectoriales. = 2(x2 + y 2 ) = 1. θ = arc cos 2
Unidd Integrl de Líne. Integrl de funciones vectoriles Cmpos Vectoriles Denición. Un cmpo vectoril en el plno R es un función F : R R que sign cd vector x D R un único vector F (x) R con F (x) = P (x)i
Más detallesCURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO
CURVAS REGULARES. LONGITUD DE ARCO CÉSAR ROSALES. CURVAS Y SUPERFICIES Existen vris forms de presentr lo que intuitivmente entendemos por un curv. Vemos un ejemplo. Ddo p 0 R 2 y R > 0, l circunferenci
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detalles7 Integral triple de Riemann
Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]
Más detallesy se dice que dicha aplicación σ = σ(t) es una parametrización de la curva C.
Cpítulo I Concepto de curv 1. Curvs regulres Intuitivmente, un curv en R n es un conjunto C R n que puede describirse con un único prámetro que vrí en un intervlo I de l rect rel R. Dich descripción se
Más detallesIntegral de línea de campos escalares.
Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f
Más detalles6. Curvas en el espacio
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del rmo Mtemátics Aplicds, de Felipe Álvrez, Jun Diego Dávil, Roberto Cominetti y Héctor
Más detallesFunciones continuas. Mariano Suárez-Alvarez. 4 de junio, Índice
Funciones continus Mrino Suárez-Alvrez 4 de junio, 2013 Índice 1. Funciones continus................... 1 2. Alguns propieddes básics............ 3 3. Los teorems de Weierstrss y Bolzno... 6 4. Funciones
Más detallesIntegrales sobre caminos
Cpítulo 9 Integrles sobre cminos Hst hor hemos estudido integrción de funciones sobre conjuntos (con volumen) de R n. En este y los próximos cpítulos discutiremos l integrción de funciones sobre cminos
Más detallesSEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.
42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll
Más detallesdx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
Más detalles5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)
Más detallesLa Integral de Riemann
Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función
Más detallesIntegral de ĺınea. Tema Caminos y curvas en IR n.
Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en IR n. Definición 3.1 Se [, b] IR, diremos que α: [, b] IR n es un cmino en IR n si α es continu en [, b]. A los puntos α y αb de IR n los llmremos extremos del
Más detallesAplicaciones de la Integral.
Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)
Más detallesTeorema del punto fijo Rodrigo Vargas
Teorem del punto fijo Rodrigo Vrgs Definición 1. Un punto fijo de un plicción f : M M es un punto x M tl que f(x) = x. Definición 2. Sen M, N espcios métricos. Un plicción f : M N es un contrcción cundo
Más detallesContenidos. Tema 1. Geometría Diferencial. Producto Escalar y Vectorial Producto escalar.
Contenidos Tem 1. Geometrí Diferencil Curvs en el espcio Análisis Vectoril y Estdístico Preliminres Operciones con vectores en R 3 Producto esclr Producto Vectoril Deprtmento de Mtemátic Aplicd E.P.S.
Más detallesAplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre
Más detallesCALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales
mpos vectoriles ALULO VETORIAL Un cmpo vectoril o cmpo de vectores es un función que sign un vector un punto del plno o del espcio. Si M y N son funciones de vriles definids en un región R del plno, un
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detalles1 Métodos Matemáticos I. Parte: Integrales de ĺınea y superficie. I.T.I. en Mecánica
1 Métodos Mtemáticos I Prte II Integrles de ĺıne y superficie Prte: Integrles de ĺıne y superficie I.T.I. en Mecánic 2 Métodos Mtemáticos I : Integrl de ĺıne Tem 3 Integrl de ĺıne 3.1 minos y curvs en
Más detalles5. Aplicación de la Integral de Riemann
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción
Más detallesNotas de Integral de Riemann-Stieltjes
Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr
Más detalles1. Introducción: longitud de una curva
1. Introducción: longitud de un curv Integrles de L ide pr clculr l longitud de un curv contenid en el plno o en el espcio consiste en dividirl en segmentos pequeños, escogiendo un fmili finit de puntos
Más detallesLa Integral Definida
Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm
Más detalles4.6. Teorema Fundamental del Cálculo
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesSEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl
Más detalleses una dirección de movimiento en el tiempo t.
Algunos resultos sobre erivs e funciones vectoriles Definición: Si r(t) es un vector e posición e un prticul que se mueve lo lrgo e un curv suve en el espcio, entonces: ) l veloci es l eriv e l posición
Más detalles2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teoremas de punto fijo
2. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL EN R n. EXISTENCIA, UNICIDAD, DEPENDENCIA CONTINUA O DIFERENCIABLE DE LA CONDICIÓN INICIAL. Teorems de punto fijo Definición 1. Se X un espcio vectoril rel. Se dice que un
Más detallesINTEGRALES Curso , 2 tal que f(c) = k? ), para algún punto [a, b].
INTEGRALES Curso 9-.- ) Enuncir el Teorem del vlor medio integrl y dr un interpretción del mismo. Cundo f(), cómo puede interpretrse geométricmente? cos si [-, ] ) Se f () = 4 + sen si (, ] ) Hllr I =
Más detalles7.1. Definición de la Integral de Riemann
Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo
Más detalles2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos
1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos
Más detallesCÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-1. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Métodos numéricos en un vrible. Resumen de l lección..1. Método de Newton pr l resolución de ecuciones.
Más detallesZ ξ. g(t)dt y proceda como sigue:
Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)
Más detallesIntegrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas
Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos
Más detallesTema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesEl Teorema de Arzela-Ascoli Rodrigo Vargas
El Teorem de Arzel-Ascoli Rodrigo Vrgs Definición 1. Sen M, N espcios métricos y E un conjunto de plicciones f : M N. El conjunto E se dice equicontinuo en el punto M cundo, pr todo ε > eiste δ > tl que
Más detallesAplicaciones de la integral.
Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos
Más detallesTema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.
LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.
Más detalles2 Funciones vectoriales
2 Funciones vectoriles 2.1. Definición, dominio, imgen, gráfic Definición de función Un función de vlor vectoril o simplemente un función vectoril (en R n ) vectoril es un función cuyo dominio es un conjunto
Más detallesCURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda CURVAS. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco.
CURVAS. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco. 1.1 Definición de curva parametrizada espacial. Representación implícita. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco. 1.3 Curvatura y torsión. Triedro
Más detalles2.3.1 Cálculo de primitivas
Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl
Más detallesPrimitivas e Integrales
Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que
Más detallesLA INTEGRAL DE RIEMANN
LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.
INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre
Más detallesIntegración de funciones de una variable real
Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detalles2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e
Selectividd CCNN 5. [ANDA] [JUN-A] Se sbe que ls dos gráfics del dibujo corresponden l función f: definid por f() = e y su función derivd f'. ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l
Más detallesIntegrales de ĺınea complejas
Tem Integrles de ĺıne complejs. Integrles de líne.. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel llev socid un función vectoril de vrible rel, por lo que ls definiciones y resultdos
Más detallesSe traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.
Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos
Más detallesResumen Segundo Parcial, MM-502
Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L
Más detallesMatemáticas Empresariales I. Integral Definida
Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid
Más detallesGuía Semana 4 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
. RESUMEN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Vris Vriles 08- Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile Guí Semn 4 Grdiente. Sen Ω Ê N un ierto, f
Más detallesUTalca - Versión Preliminar
1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)
Más detallesExamen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016
Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.
Más detalles1.4. Sucesión de funciones continuas ( )
1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:
Más detallesEscuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno
Más detalles4. Definición: Convergencia uniforme de una sucesión de funciones
1. Teorem de l funcion invers Se A un ierto de R N, f : A R m un funcion de clse n (n 1), se A tl que det(jf()) 0. Entonces existe un entorno U de tl que U A tl que: (1). det(jf (x)) 0 pr todo x U (2).
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES
LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites
Más detalles2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesDERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES
DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesLeccion 6. Espacio tangente. Espacio cotangente.
Leccion 6. Espcio tngente. Espcio cotngente. Estudir: 1 14,20 25. 6.1. Introduccion 1. El objetivo de est leccion es probr que los vectores tngentes X en hcen justici su nombre, ie., que el conjunto T
Más detallesAplicaciones de la integral
5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle
Más detallesTeoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita
Teorems de l Función Invers y de l Función Impĺıcit Betriz Porrs 1 Introducción En el cpítulo nterior estudimos lguns propieddes de ls funciones diferencibles que tenín l diferencil nul El desrrollo de
Más detallesUniversidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales
Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr
Más detallesAREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA
GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesCURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Más detallesCÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS
ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesAnexo 3: Demostraciones
170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific
Más detallesTEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.
TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l
Más detallesPráctico 8 - Integrabilidad y Teorema Fundamental. 1. Integrales geometricas
Universidd de l Repúblic Cálculo Fcultd de Ingenierí - IMERL Segundo semestre 6 Práctico 8 - Integrbilidd y Teorem Fundmentl. Integrles geometrics En est sección se trbjr con l ide intuitiv de integrles,
Más detallesFunciones de una variable real II Integrales impropias
Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)
Más detallesFunciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto
Funciones de R n en R m Teorem de l Función Invers Funciones de R en R Se f(x) un función rel de vrible rel con derivd continu sobre un conjunto bierto A se x 0 un punto de A donde f (x 0 ) 0. Considere
Más detallesOptimización de funciones
Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesTema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales
Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs
Más detallesa x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detallesLa Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y
L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.
Más detallesIntegración. Capítulo 1. Problema 1.1 Sea f : [ 3, 6] IR denida por: e x 2 2 x 6. (i) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.
Cpítulo Integrción Problem. Se f : [, 6] IR denid por: + +
Más detallesAplicaciones de la integral
CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de
Más detallesTeorema de Green. 6.1 Introducción
SESIÓN 6 6.1 Introducción En est sesión se revis el primero de los 3 teorem clves del cálculo vectoril: el. Este teorem estblece que un integrl doble sobre un región del plno es igul un integrl de líne
Más detallesGuía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2
Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)
Más detallesTeorema de la Función Inversa
Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detallesMatemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1
GUÍ DE EJERITIÓN VNZD onceptos generles de triángulos rogrm Entrenmiento Desfío GUIEN023MT22-16V1 Mtemátic En l figur, RQ = 24 cm, RS SQ y RM SN. Si M es el punto medio de SQ y N es el punto medio de RQ,
Más detalles