1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

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1 1.4. Sucesión de funciones continus ( ) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D: Pr demostrrlo hemos de probr que, pr todo punto de I, se cumple ε > 0 δ > 0 / 0 < x < δ = f(x) f() < ε. Por l convergenci uniforme de l sucesión {f n } n N en I tenemos que ε > 0 n 0 (ε) / f m (x) f(x) < ε/3, m n 0, x I. Por l continuidd de ls funciones f n en I podemos segurr que, I, ε > 0 δ > 0 / 0 < x < δ = f m (x) f m () < ε/3, m N. Entonces, ddo ε obtenemos n 0 (ε) y elegimos un m culquier (m n 0 ). Tommos hor l función f m y el ε nterior y, fijdo el punto, obtenemos δ. Así pues, ddo ε, existen m, δ tles que se cumplen ls dos condiciones l tiempo, resultndo que, si 0 < x < δ, donde f(x) f() = (f(x) f m (x)) + (f m (x) f m ()) + (f m () f()) f(x) f m (x) + f }{{} m (x) f m () + f }{{} m () f() < ε }{{} 3 + ε 3 + ε 3 = ε. (1) (2) (3) - (1) y (3) son menores que ε/3 por l continuidd uniforme de {f n }. - (2) es menor que ε/3 por l continuidd de f m en.

2 2.5. Serie de funciones continus ( ) Se I = [, b]. Si un serie f n, de funciones continus en I, converge uniformemente F en I, F es continu en I. D: Sbemos que si un sucesión de funciones continus converge uniformemente su función límite f, ést es continu (pdo. 1.4). Entonces, si ls f n son continus en I, l sum prcil F n = n 1 f i es tmbién continu en I, por ser un sum de funciones continus. Como F n converge uniformemente su función sum F en I, F es continu en I Integrción de un serie de funciones ( ) Se I = [, b]. Si un serie f n, de funciones integrbles en I, converge uniformemente F en I, F es integrble en I y su integrl es l sum de l serie de integrles. f i (x) c.u. = F (x) = f i (t)dt c.u. = f i (t)dt, x [, b] Dicho de otr form, si un serie de funciones integrbles, converge uniformemente F, l serie de ls integrles converge uniformemente l integrl de F. D: Lo demostrremos pr el cso de funciones f n continus (por tnto integrbles). Se l serie f n, de f n continus, que converge uniformemente F en I. Tnto F n = n 1 f i como F son funciones continus (pdo. 2.5), luego el resto R n = F F n será tmbién continu y por tnto integrble. Entonces F (t)dt = F n (t)dt + R n (t)dt, x I Al ser F n un sum de funciones integrbles, su integrl será l sum de ls integrles. Escribiendo demás F como sum de l serie, l expresión nterior se convierte en f i (t)dt = n f i (t)dt + R n (t)dt (1) Queremos demostrr que l integrl de l sum de l serie f n es l sum de l serie de ls integrles de ls f n, es decir el límite de l sum prcil, cundo n. Pr ello vemos que l integrl de R n tiende 0 cundo n. En efecto, como F n converge uniformemente F, se cumple con lo que ε n(ε) / R n (t) = F (t) F n (t) < R n (t)dt R n (t)dt < ε b ε b dt = Por lo tnto, tomndo límites en (1) obtenemos ( ) ( x n lím f i (t)dt = lím f i (t)dt + (2) ε (x ) ε b R n (t)dt ) = f i (t)dt

3 Y como el término entre préntesis del primer miembro no depende de n, f i (t)dt = f i (t)dt Not: obsérvese que el n clculdo en (2) depende sólo de ε, por lo que l serie de ls integrles converge uniformemente l integrl de l sum de l serie Derivción de un serie de funciones ( ) Se I = [, b]. Dd un serie f n, de funciones derivbles en I, que converge en un punto de I, tl que f n converge uniformemente en I, entonces f n c. u. en I F, que es derivble en I y su derivd es l sum de l serie de derivds. f n (x 0 ) = F (x 0 ) y f n(x) c.u. = G(x) = f n (x) c.u. = F (x) y F (x) = G(x) D: Lo demostrremos pr el cso de funciones f n con derivd f n continu. Se l serie f n, de f n derivbles, tles que ls f n son continus. Como f n converge uniformemente en I G, ést será continu (pdo. 2.5). Al ser ls f n continus, son integrbles. Entonces, prtir de lo visto en el pdo. 2.6, G es integrble y su integrl es l sum de l serie de ls integrles. Por lo tnto, ddo x 0 I, x I se cumplirá G(t)dt c.u. = x 0 x 0 f n(t)dt = (f n (x) f n (x 0 )) Al ser G integrble, l serie (f n (x) f n (x 0 )) converge (uniformemente) l integrl de G. Por otro ldo, l ser convergente l serie numéric f n (x 0 ), convergerá tmbién l serie sum de mbs f n (x). Llmndo F (x) l sum de est últim, result x 0 G(t)dt = f n (x) f n (x 0 ) = F (x) F (x 0 ) Derivndo hor respecto x y plicndo el Primer Teorem Fundmentl del Cálculo result d x G(t)dt = G(x) = (F (x) F (x 0 )) = F (x) dx x 0 O, lo que es lo mismo ( f n(x) = f n (x) )

4 3.1. Teorem de Cuchy-Hdmrd ( ) Pr tod serie de potencis, existe un r / 0 r (rdio de convergenci) tl que: - Si x < r, l serie es bsolutmente convergente. - Si x > r, l serie no es convergente. D: Vimos en series numérics que l convergenci bsolut es equivlente l incondicionl, por lo que plicmos el criterio de l ríz n-ésim n x n. lím n n x n = lím n n n x n = lím n n x = l x. Si l 0 y l, se cumple: - Si x < 1 l = l x < 1 = n x n convergente = n x n convergente. - Si x > 1 n = l x > 1 = lím n x l n > 1 = n 0 / n n x n > 1 n n 0 = n x n > 1 n n 0, por lo que no se cumple l cond. necesri de convergenci. Si l = 0 = l x < 1 x = r =. Si l = = lím n n x < 1 sólo en x = 0 = r = 0. Es decir, comprobmos que existe un r que cumple l condición del enuncido. Si l = lím n n =, r es nulo; si l es nulo, r vle. En los restntes csos, r = 1 l. Nots: ) Pr x = r, el teorem no firm nd, por lo que l serie puede ser convergente o no y hemos de estudir l serie numéric que result pr x = ±r. b) Se dice que α R, o α, es un límite de oscilción de {α n } si existe lgun subsucesión de {α n } que tiene límite α (o, lo que es equivlente, si en todo entorno de α hy infinitos elementos de {α n }). Esto puede ocurrir, por ejemplo, si α n no tiene un expresión únic, sino que es distinto pr términos pres e impres. Un sucesión de números reles no tiene por qué tener límite, pero siempre tendrá lgún límite de oscilción, finito o infinito (J. Burgos, p. 73). Si demás está cotd, tendrá un límite de oscilción finito (T. de Bolzno-Weierstrss pr sucesiones). En el cso n n, tomremos pr l el myor de esos vlores: l = lím n n (límite superior de oscilción). c) Otr form de clculr l es como lím n+1 n y vle lo mismo. ; pues, si existe lím n+1 n, existe lím n n d) A prtir de este teorem, result que el cmpo de convergenci C de ls series de potencis dopt siempre un de ests cutro forms: ( r, r), ( r, r], [ r, r), [ r, r]. Ejemplos propuestos (con solución). Clculr el cmpo de convergenci de: 1) n!x n ; C = {0}. 2) x n n! ; C = R. 3) 2x+2x x x ; C = ( 1 2, 1 2 ).

5 3.2. Continuidd, derivción e integrción ( ) Se n x n, de rdio de convergenci r > 0, y se S(x) su sum. Se cumple: ) S(x) es continu en todo x ( r, r). b) S(x) es derivble en todo x ( r, r) siendo su derivd S (x) = n n x n 1 c) S(x) es integrble en [0, x], x ( r, r). Su integrl es 0 S(t)dt = n n + 1 xn+1 Es decir, ls series de potencis pueden derivrse e integrrse término término y el rdio de convergenci se mntiene. D: ) Lo demostrremos en dos prtes..1) n x n converge uniformemente en todo compcto [ ρ, ρ] ( r, r). En efecto, l ser 0 < ρ < r, l serie converge bsolutmente pr x = ρ, es decir n ρ n es convergente (T. de Cuchy-Hdmrd). Entonces, x/ x < ρ, se cumple n x n n ρ n, por lo que n x n tiene como myornte un serie numéric de términos positivos convergente. Luego, por el teorem de Weierstrss, es uniformemente convergente en [ ρ, ρ]..2) Pr todo x ( r, r) podemos encontrr un ρ / r < ρ < x < ρ < r (por ej., si x > 0, ρ = (x + r)/2). Como cbmos de ver, l serie n x n converge uniformemente en [ ρ, ρ]. Al ser ls funciones n x n continus x R, l sum S(x) será continu en todo x ( r, r) (ver 2.5. Serie de funciones continus). Not: Como se verá (T. de Abel), si los puntos x = r ó x = r pertenecen l cmpo de convergenci, l serie es uniformemente convergente tmbién en ellos, por lo que S(x) es continu, no sólo en ( r, r), sino en todo su cmpo de convergenci. b) Se l serie de derivds n n x n 1. Como n lím nn = lím n n n n = lím n n vemos que su rdio de convergenci coincide con el de n x n, por lo que convergen uniformemente en los mismos intervlos. Como n x n converge l menos en x = 0 y sus sumndos son funciones derivbles, entonces l sum S(x) de n x n es derivble en ( r, r) y se cumple S (x) = n n x n 1 (ver 2.7. Derivción). c) Se l serie de primitivs n n + 1 xn+1. Como el rdio de convergenci de su serie derivd n x n es r, el suyo será tmbién r (pdo. b). Como n x n converge uniformemente en [0, x], x ( r, r) (pdo..1) y sus sumndos son funciones integrbles, entonces l función sum S(x) es integrble en [0, x], x x ( r, r) y se cumple S(t)dt = n n + 1 xn+1 (ver 2.6. Integrción). 0

6 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Test de Autoevlución (12 minutos) Not: Se mrcrán con V ls firmciones que se consideren corrects y con F ls considerds flss. Se punturán con +1 los ciertos, 1 los fllos y 0 ls respuests en blnco. 1.- En el espcio funcionl F b (I, IR), hemos definido l distnci entre dos funciones como el máximo de sus distncis punto punto. ( ) 2.- Se cumple lím x 1 + nx 2 + x = x. 3.- L sucesión funcionl f n (x) = cos n x, x [0, π 2 ] C. U. f(x) = { 1, x = 0 0, x Se f n definid en I. Si f n (x) tiene como myornte en I un serie numéric de términos positivos, convergente, f n es uniformemente convergente en I. 5.- Se { n x n 2 / n = n (, n impr 2 n 1. Su cmpo de convergenci es 1, n pr 2, 1 ) Se l serie de potencis x x2 2 x3 3 x4 4..., cuy sum vle ln(1 x), x < 1. Se cumple que l serie 1 x x 2 x 3... tiene como sum (x 1) 1, x < Un serie de potencis, su derivd y su primitiv tienen igul cmpo de convergenci. 8.- Se n x n, convergente en C. Se f : IR IR / n x n = f(x) en C. Se dice entonces que n x n es un desrrollo en serie de f(x), x IR. Not (sobre 8):.

7 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Test de Autoevlución (12 minutos) SOLUCIONES 1.- F. Se h definido como el supremo de sus distncis punto punto, el cul existe siempre, por trtrse de funciones cotds (propiedd del supremo), mientrs que el máximo puede no existir. Ej. Si f(x) = 2 x 1, g(x) = 1 y I = [1, ), el conjunto de ls distncis punto punto entre f y g no tiene máximo. El supremo vle 1 y se d cundo x. 2.- V. Pr x 0, el límite vle x. Pr x = 0, vle 0, es decir x F. Pues ls funciones f n son continus y f no lo es (ver pdo 1.4 del progrm). V. Por el criterio de l myornte o teorem de Weierstrss. 5.- V. Los límites de oscilción son 2 y 1 2, por lo que el límite superior de oscilción es 2 y su rdio de convergenci ρ = 2 1. Pero l serie es divergente tnto pr x = 1 2 como pr x = 2 1, por lo que el cmpo de convergenci no incluye los extremos del intervlo. 6.- V. L derivd de f(x) = ln(1 x) es f (x) = 1 (1 x) = (x 1) 1, cuyo desrrollo es l derivd del desrrollo de f, es decir 1 x x 2 x 3... Por lo tnto, est serie tiene como sum (x 1) 1 (ver pdo. 3.2 del progrm). 7.- F. Tienen igul rdio de convergenci (pdo. 3.2). Por ejemplo, l serie de l cuestión nterior tiene rdio r = 1 y C = [ 1, 1) (pues pr x = 1 result l rmónic lternd, cuy sum es S = ln 2). L serie derivd tiene el mismo rdio de convergenci, pero no converge en x = F. n x n es un desrrollo en serie de f(x), x C, no en todo IR.

8 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Cuestión de utoevlución (10 minutos) Cuestión. El desrrollo en serie de l función f(x) = ln(1 + x) es ( 1) n 1 n x n y su rdio de convergenci vle 1. Se pide, utilizndo el segundo Teorem de Abel, obtener l sum de l serie rmónic lternd

9 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Cuestión de utoevlución (10 minutos) Cuestión. El desrrollo en serie de l función f(x) = ln(1 + x) es ( 1) n 1 n x n y su rdio de convergenci vle 1. Se pide, utilizndo el segundo Teorem de Abel, obtener l sum de l serie rmónic lternd Solución. Según el enuncido, l serie dd tiene como sum l función S(x) = ln(1 + x), que es válid pr 1 < x < 1. En los extremos del intervlo de convergenci (x = ±1) puede converger o no y hy que estudirlo en cd cso. Puede comprobrse que pr x = 1 l serie diverge. Pr x = +1, se convierte en l serie numéric lternd , que es convergente, según el teorem de Leibnitz, pero en principio desconocemos su sum. En el segundo teorem de Abel se firm que si un serie de potencis n x n converge pr x = x 0, su sum es un función continu en [0, x 0 ]. Entonces l función S(x) es continu en [0, 1], por lo que l expresión ln(1 + x) es válid tmbién en x = 1 y l sum solicitd vle ln 2, es decir: S(x) continu en x = 1 S(1) = lím x 1 ln(1 + x) = ln(1 + 1) = ln 2

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