1.4. Sucesión de funciones continuas ( )
|
|
- Miguel del Río Rubio
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 1.4. Sucesión de funciones continus ( ) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D: Pr demostrrlo hemos de probr que, pr todo punto de I, se cumple ε > 0 δ > 0 / 0 < x < δ = f(x) f() < ε. Por l convergenci uniforme de l sucesión {f n } n N en I tenemos que ε > 0 n 0 (ε) / f m (x) f(x) < ε/3, m n 0, x I. Por l continuidd de ls funciones f n en I podemos segurr que, I, ε > 0 δ > 0 / 0 < x < δ = f m (x) f m () < ε/3, m N. Entonces, ddo ε obtenemos n 0 (ε) y elegimos un m culquier (m n 0 ). Tommos hor l función f m y el ε nterior y, fijdo el punto, obtenemos δ. Así pues, ddo ε, existen m, δ tles que se cumplen ls dos condiciones l tiempo, resultndo que, si 0 < x < δ, donde f(x) f() = (f(x) f m (x)) + (f m (x) f m ()) + (f m () f()) f(x) f m (x) + f }{{} m (x) f m () + f }{{} m () f() < ε }{{} 3 + ε 3 + ε 3 = ε. (1) (2) (3) - (1) y (3) son menores que ε/3 por l continuidd uniforme de {f n }. - (2) es menor que ε/3 por l continuidd de f m en.
2 2.5. Serie de funciones continus ( ) Se I = [, b]. Si un serie f n, de funciones continus en I, converge uniformemente F en I, F es continu en I. D: Sbemos que si un sucesión de funciones continus converge uniformemente su función límite f, ést es continu (pdo. 1.4). Entonces, si ls f n son continus en I, l sum prcil F n = n 1 f i es tmbién continu en I, por ser un sum de funciones continus. Como F n converge uniformemente su función sum F en I, F es continu en I Integrción de un serie de funciones ( ) Se I = [, b]. Si un serie f n, de funciones integrbles en I, converge uniformemente F en I, F es integrble en I y su integrl es l sum de l serie de integrles. f i (x) c.u. = F (x) = f i (t)dt c.u. = f i (t)dt, x [, b] Dicho de otr form, si un serie de funciones integrbles, converge uniformemente F, l serie de ls integrles converge uniformemente l integrl de F. D: Lo demostrremos pr el cso de funciones f n continus (por tnto integrbles). Se l serie f n, de f n continus, que converge uniformemente F en I. Tnto F n = n 1 f i como F son funciones continus (pdo. 2.5), luego el resto R n = F F n será tmbién continu y por tnto integrble. Entonces F (t)dt = F n (t)dt + R n (t)dt, x I Al ser F n un sum de funciones integrbles, su integrl será l sum de ls integrles. Escribiendo demás F como sum de l serie, l expresión nterior se convierte en f i (t)dt = n f i (t)dt + R n (t)dt (1) Queremos demostrr que l integrl de l sum de l serie f n es l sum de l serie de ls integrles de ls f n, es decir el límite de l sum prcil, cundo n. Pr ello vemos que l integrl de R n tiende 0 cundo n. En efecto, como F n converge uniformemente F, se cumple con lo que ε n(ε) / R n (t) = F (t) F n (t) < R n (t)dt R n (t)dt < ε b ε b dt = Por lo tnto, tomndo límites en (1) obtenemos ( ) ( x n lím f i (t)dt = lím f i (t)dt + (2) ε (x ) ε b R n (t)dt ) = f i (t)dt
3 Y como el término entre préntesis del primer miembro no depende de n, f i (t)dt = f i (t)dt Not: obsérvese que el n clculdo en (2) depende sólo de ε, por lo que l serie de ls integrles converge uniformemente l integrl de l sum de l serie Derivción de un serie de funciones ( ) Se I = [, b]. Dd un serie f n, de funciones derivbles en I, que converge en un punto de I, tl que f n converge uniformemente en I, entonces f n c. u. en I F, que es derivble en I y su derivd es l sum de l serie de derivds. f n (x 0 ) = F (x 0 ) y f n(x) c.u. = G(x) = f n (x) c.u. = F (x) y F (x) = G(x) D: Lo demostrremos pr el cso de funciones f n con derivd f n continu. Se l serie f n, de f n derivbles, tles que ls f n son continus. Como f n converge uniformemente en I G, ést será continu (pdo. 2.5). Al ser ls f n continus, son integrbles. Entonces, prtir de lo visto en el pdo. 2.6, G es integrble y su integrl es l sum de l serie de ls integrles. Por lo tnto, ddo x 0 I, x I se cumplirá G(t)dt c.u. = x 0 x 0 f n(t)dt = (f n (x) f n (x 0 )) Al ser G integrble, l serie (f n (x) f n (x 0 )) converge (uniformemente) l integrl de G. Por otro ldo, l ser convergente l serie numéric f n (x 0 ), convergerá tmbién l serie sum de mbs f n (x). Llmndo F (x) l sum de est últim, result x 0 G(t)dt = f n (x) f n (x 0 ) = F (x) F (x 0 ) Derivndo hor respecto x y plicndo el Primer Teorem Fundmentl del Cálculo result d x G(t)dt = G(x) = (F (x) F (x 0 )) = F (x) dx x 0 O, lo que es lo mismo ( f n(x) = f n (x) )
4 3.1. Teorem de Cuchy-Hdmrd ( ) Pr tod serie de potencis, existe un r / 0 r (rdio de convergenci) tl que: - Si x < r, l serie es bsolutmente convergente. - Si x > r, l serie no es convergente. D: Vimos en series numérics que l convergenci bsolut es equivlente l incondicionl, por lo que plicmos el criterio de l ríz n-ésim n x n. lím n n x n = lím n n n x n = lím n n x = l x. Si l 0 y l, se cumple: - Si x < 1 l = l x < 1 = n x n convergente = n x n convergente. - Si x > 1 n = l x > 1 = lím n x l n > 1 = n 0 / n n x n > 1 n n 0 = n x n > 1 n n 0, por lo que no se cumple l cond. necesri de convergenci. Si l = 0 = l x < 1 x = r =. Si l = = lím n n x < 1 sólo en x = 0 = r = 0. Es decir, comprobmos que existe un r que cumple l condición del enuncido. Si l = lím n n =, r es nulo; si l es nulo, r vle. En los restntes csos, r = 1 l. Nots: ) Pr x = r, el teorem no firm nd, por lo que l serie puede ser convergente o no y hemos de estudir l serie numéric que result pr x = ±r. b) Se dice que α R, o α, es un límite de oscilción de {α n } si existe lgun subsucesión de {α n } que tiene límite α (o, lo que es equivlente, si en todo entorno de α hy infinitos elementos de {α n }). Esto puede ocurrir, por ejemplo, si α n no tiene un expresión únic, sino que es distinto pr términos pres e impres. Un sucesión de números reles no tiene por qué tener límite, pero siempre tendrá lgún límite de oscilción, finito o infinito (J. Burgos, p. 73). Si demás está cotd, tendrá un límite de oscilción finito (T. de Bolzno-Weierstrss pr sucesiones). En el cso n n, tomremos pr l el myor de esos vlores: l = lím n n (límite superior de oscilción). c) Otr form de clculr l es como lím n+1 n y vle lo mismo. ; pues, si existe lím n+1 n, existe lím n n d) A prtir de este teorem, result que el cmpo de convergenci C de ls series de potencis dopt siempre un de ests cutro forms: ( r, r), ( r, r], [ r, r), [ r, r]. Ejemplos propuestos (con solución). Clculr el cmpo de convergenci de: 1) n!x n ; C = {0}. 2) x n n! ; C = R. 3) 2x+2x x x ; C = ( 1 2, 1 2 ).
5 3.2. Continuidd, derivción e integrción ( ) Se n x n, de rdio de convergenci r > 0, y se S(x) su sum. Se cumple: ) S(x) es continu en todo x ( r, r). b) S(x) es derivble en todo x ( r, r) siendo su derivd S (x) = n n x n 1 c) S(x) es integrble en [0, x], x ( r, r). Su integrl es 0 S(t)dt = n n + 1 xn+1 Es decir, ls series de potencis pueden derivrse e integrrse término término y el rdio de convergenci se mntiene. D: ) Lo demostrremos en dos prtes..1) n x n converge uniformemente en todo compcto [ ρ, ρ] ( r, r). En efecto, l ser 0 < ρ < r, l serie converge bsolutmente pr x = ρ, es decir n ρ n es convergente (T. de Cuchy-Hdmrd). Entonces, x/ x < ρ, se cumple n x n n ρ n, por lo que n x n tiene como myornte un serie numéric de términos positivos convergente. Luego, por el teorem de Weierstrss, es uniformemente convergente en [ ρ, ρ]..2) Pr todo x ( r, r) podemos encontrr un ρ / r < ρ < x < ρ < r (por ej., si x > 0, ρ = (x + r)/2). Como cbmos de ver, l serie n x n converge uniformemente en [ ρ, ρ]. Al ser ls funciones n x n continus x R, l sum S(x) será continu en todo x ( r, r) (ver 2.5. Serie de funciones continus). Not: Como se verá (T. de Abel), si los puntos x = r ó x = r pertenecen l cmpo de convergenci, l serie es uniformemente convergente tmbién en ellos, por lo que S(x) es continu, no sólo en ( r, r), sino en todo su cmpo de convergenci. b) Se l serie de derivds n n x n 1. Como n lím nn = lím n n n n = lím n n vemos que su rdio de convergenci coincide con el de n x n, por lo que convergen uniformemente en los mismos intervlos. Como n x n converge l menos en x = 0 y sus sumndos son funciones derivbles, entonces l sum S(x) de n x n es derivble en ( r, r) y se cumple S (x) = n n x n 1 (ver 2.7. Derivción). c) Se l serie de primitivs n n + 1 xn+1. Como el rdio de convergenci de su serie derivd n x n es r, el suyo será tmbién r (pdo. b). Como n x n converge uniformemente en [0, x], x ( r, r) (pdo..1) y sus sumndos son funciones integrbles, entonces l función sum S(x) es integrble en [0, x], x x ( r, r) y se cumple S(t)dt = n n + 1 xn+1 (ver 2.6. Integrción). 0
6 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Test de Autoevlución (12 minutos) Not: Se mrcrán con V ls firmciones que se consideren corrects y con F ls considerds flss. Se punturán con +1 los ciertos, 1 los fllos y 0 ls respuests en blnco. 1.- En el espcio funcionl F b (I, IR), hemos definido l distnci entre dos funciones como el máximo de sus distncis punto punto. ( ) 2.- Se cumple lím x 1 + nx 2 + x = x. 3.- L sucesión funcionl f n (x) = cos n x, x [0, π 2 ] C. U. f(x) = { 1, x = 0 0, x Se f n definid en I. Si f n (x) tiene como myornte en I un serie numéric de términos positivos, convergente, f n es uniformemente convergente en I. 5.- Se { n x n 2 / n = n (, n impr 2 n 1. Su cmpo de convergenci es 1, n pr 2, 1 ) Se l serie de potencis x x2 2 x3 3 x4 4..., cuy sum vle ln(1 x), x < 1. Se cumple que l serie 1 x x 2 x 3... tiene como sum (x 1) 1, x < Un serie de potencis, su derivd y su primitiv tienen igul cmpo de convergenci. 8.- Se n x n, convergente en C. Se f : IR IR / n x n = f(x) en C. Se dice entonces que n x n es un desrrollo en serie de f(x), x IR. Not (sobre 8):.
7 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Test de Autoevlución (12 minutos) SOLUCIONES 1.- F. Se h definido como el supremo de sus distncis punto punto, el cul existe siempre, por trtrse de funciones cotds (propiedd del supremo), mientrs que el máximo puede no existir. Ej. Si f(x) = 2 x 1, g(x) = 1 y I = [1, ), el conjunto de ls distncis punto punto entre f y g no tiene máximo. El supremo vle 1 y se d cundo x. 2.- V. Pr x 0, el límite vle x. Pr x = 0, vle 0, es decir x F. Pues ls funciones f n son continus y f no lo es (ver pdo 1.4 del progrm). V. Por el criterio de l myornte o teorem de Weierstrss. 5.- V. Los límites de oscilción son 2 y 1 2, por lo que el límite superior de oscilción es 2 y su rdio de convergenci ρ = 2 1. Pero l serie es divergente tnto pr x = 1 2 como pr x = 2 1, por lo que el cmpo de convergenci no incluye los extremos del intervlo. 6.- V. L derivd de f(x) = ln(1 x) es f (x) = 1 (1 x) = (x 1) 1, cuyo desrrollo es l derivd del desrrollo de f, es decir 1 x x 2 x 3... Por lo tnto, est serie tiene como sum (x 1) 1 (ver pdo. 3.2 del progrm). 7.- F. Tienen igul rdio de convergenci (pdo. 3.2). Por ejemplo, l serie de l cuestión nterior tiene rdio r = 1 y C = [ 1, 1) (pues pr x = 1 result l rmónic lternd, cuy sum es S = ln 2). L serie derivd tiene el mismo rdio de convergenci, pero no converge en x = F. n x n es un desrrollo en serie de f(x), x C, no en todo IR.
8 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Cuestión de utoevlución (10 minutos) Cuestión. El desrrollo en serie de l función f(x) = ln(1 + x) es ( 1) n 1 n x n y su rdio de convergenci vle 1. Se pide, utilizndo el segundo Teorem de Abel, obtener l sum de l serie rmónic lternd
9 CÁLCULO INFINITESIMAL 2 Tem IV. Sucesiones y series funcionles Cuestión de utoevlución (10 minutos) Cuestión. El desrrollo en serie de l función f(x) = ln(1 + x) es ( 1) n 1 n x n y su rdio de convergenci vle 1. Se pide, utilizndo el segundo Teorem de Abel, obtener l sum de l serie rmónic lternd Solución. Según el enuncido, l serie dd tiene como sum l función S(x) = ln(1 + x), que es válid pr 1 < x < 1. En los extremos del intervlo de convergenci (x = ±1) puede converger o no y hy que estudirlo en cd cso. Puede comprobrse que pr x = 1 l serie diverge. Pr x = +1, se convierte en l serie numéric lternd , que es convergente, según el teorem de Leibnitz, pero en principio desconocemos su sum. En el segundo teorem de Abel se firm que si un serie de potencis n x n converge pr x = x 0, su sum es un función continu en [0, x 0 ]. Entonces l función S(x) es continu en [0, 1], por lo que l expresión ln(1 + x) es válid tmbién en x = 1 y l sum solicitd vle ln 2, es decir: S(x) continu en x = 1 S(1) = lím x 1 ln(1 + x) = ln(1 + 1) = ln 2
Integrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detallesLa Integral de Riemann
Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función
Más detallesFunciones de variable compleja
Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce
Más detallesNotas de Integral de Riemann-Stieltjes
Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesCálculo integral de funciones de una variable
Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del
Más detalles7.1. Definición de la Integral de Riemann
Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo
Más detalles(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)
Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.
Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre
Más detallesEJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS
EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS. Integrles impropis de primer especie. Clculr Pr n, n con >. F (b) = b n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n
Más detallesCÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.
CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel
Más detallesTEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo
TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x
Más detallesTema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales
Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs
Más detallesCAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS
CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9
Más detallesSEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.
42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll
Más detallesSucesiones de Funciones
Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,
Más detallesFórmulas de cuadratura.
PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid
Más detallesn f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.
Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detalles2. Cálculo de primitivas
5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv
Más detallesTEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.
TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l
Más detallesCálculo integral y series de funciones
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Cálculo integrl y series de funciones Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Febrero 2005
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detalles2.3.1 Cálculo de primitivas
Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo
Más detallesIntegración. Capítulo 1. Problema 1.1 Sea f : [ 3, 6] IR denida por: e x 2 2 x 6. (i) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f.
Cpítulo Integrción Problem. Se f : [, 6] IR denid por: + +
Más detallesdx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
Más detallesIntegración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014
Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl
Más detallesIntegral de Riemann. Introducción a la integración numérica.
Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se
Más detallesTema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja
Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesSELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES
Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según
Más detallesTRANSFORMADA DE LAPLACE
HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic
Más detallesCurvas en el espacio.
Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos
Más detallesCURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Más detallesINTEGRALES IMPROPIAS
NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES
Más detalles3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus
Más detalles1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesFundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso
Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de
Más detalles6.1 Sumas de Riemann e integral definida
Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el
Más detallesIntegración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.
Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción
Más detallesD I F E R E N C I A L
D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil
Más detallesLA INTEGRAL DE RIEMANN
LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,
Más detallesMétodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detalles7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge
Más detalles( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l
Más detallesFunciones Vectoriales
Pntoj Crhuvilc Cálculo Agend Algebr de Función Algebr de Función Consideremos un prtícul en movimiento sobre un plno. Su posición en un determindo instnte t viene determindo por dos coordends x(t) e y(t)
Más detalles2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Más detallesPRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene
Más detallesÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39
Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesINTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
Más detallesLa Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas
Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)
Más detallesTeoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva
Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.
Más detallesPrimer Examen Parcial de Cálculo. Primer Curso de Ingenieros Industriales. 15 de Enero de Soluciones.
Primer Exmen Prcil de Cálculo. Primer Curso de Ingenieros Industriles. 5 de Enero de 200. Soluciones. Not: El exmen const de ejercicios (E, E2, E3 y E) y un problem (P) que se puntún cd uno de ellos sobre
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesRepartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:
EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.
Más detallesE.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.
Más detallesResumen Segundo Parcial, MM-502
Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L
Más detallespág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:
.- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde
Más detallesTRABAJOS DE MATEMATICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:
Más detallesIntegración de Funciones de Varias variables
Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones
Más detallesTema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones.
Tem 9. Sucesiones.. Definición. Forms de definir un sucesión.. Progresión ritmétic... Definición.. Sum progresión ritmétic. Progresión geométric... Definición.. Sum finit de progresión geométric... Sum
Más detallesLos números racionales:
El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr
Más detallesTeoremas de convergencia
Cpítulo 3 Teorems de convergenci L necesidd de considerr límites de sucesiones o series de funciones es básic en el estudio del nálisis. Por tnto, es nturl preguntrse bjo qué condiciones se tiene que un
Más detallesClase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.
Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detalles3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener
Más detallesOptimización de funciones
Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en
Más detallesLa integral de Riemann
Cpítulo 6 L integrl de Riemnn Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cotdo y cerrdo, es decir [, b] con < b R, y l definición que
Más detallesNúmeros Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.
Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesTema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.
LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes
Más detallesUNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos
UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función
Más detallesExamen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016
Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.
Más detallesAproximación e interpolación mediante polinomios
LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción
Más detallesPresentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos
Más detallesCurvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que
Más detallesIntegral Definida. Aplicaciones
Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució
Más detallesTeorema de la Función Inversa
Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones
Más detalles1. La derivada del producto de funciones derivables
Cátedr de Mtemátic Mtemátic Fcultd de Arquitectur Universidd de l Repúblic 3 Segundo semestre Hoj 5 Derivd del producto e integrción por prtes Ddo que l derivción y l integrción pueden verse como operciones
Más detalles1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)
Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv
Más detallesMATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA
MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál
Más detalles3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.
3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.
Más detallesTeoría de la medida e integral de Lebesgue 1
MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de
Más detalles2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual
MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]
Más detallesa x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo
Más detallesIntegración en el plano complejo
Integrción en el plno complejo 4.1. Funciones complejs de vrible rel Un función complej de vrible rel es un función w : [, b] C, donde b. L prte rel y l prte imginri de w son dos funciones reles de vrible
Más detalles