Fórmulas de cuadratura.

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1 PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid en el intervlo [, ]. Nuestro ojetivo será encontrr órmuls proximds pr clculr l integrl (x dx. En cso de conocer l primitiv F (x es evidente que podemos encontrr el vlor excto de l integrl utilizndo el Teorem undmentl del cálculo integrl: (x dx = F ( F (. Sin emrgo no siempre esto es posile. Por ejemplo, pr l unción (x = e x no existe ningun primitiv que podmos escriir utilizndo unciones elementles. En est práctic vmos prender tres métodos pr clculr proximdmente el vlor númerico de ls integrles deinids. Fórmul de los rectángulos. Un proximción de l integrl (x dx consiste en proximr el áre jo l curv y = (x por un rectángulo de se y ltur ( + (ver igur, entonces ( + (x dx = ( + R(ξ, ξ [, ], ( el error R(ξ, si tiene primer y segund derivds continus en [, ], se expres de l orm R(ξ = ( (ξ, ξ [, ]. ( 4 AREA BAJO LA CURVA FORMULA DE LOS RECTANGULOS Figur : Aproximción de un integrl por el método de los rectángulos. Ahor si queremos proximr l integrl (x dx con mejor exctitud podemos dividir el intervlo [, ] en n puntos, o se, consideremos l prtición del intervlo [, ] = [, x ] [x, x ] [x n, x n ] [x n, ], De = + n k, n =,,,..., n, x =, x n =. (x dx = x (x dx + + (x dx + + (x dx. x n

2 si plicmos cd integrl (x dx l órmul (otenemos l ecución y (x dx = n n ( xk + + k= + R(ξ, (3 ( R(ξ M 4n, M = máx (x. (4 x [,] Prolem Utilizndo ls órmuls ( y ( demostrr ls órmuls (3 y (4. Prolem (Opcionl Prue l órmul ( y (. Fórmul de los trpecios. Otr proximción de l integrl (x dx consiste en proximr el áre jo l curv y = (x no por un rectángulo sino por un trpecio de se (ver igur, entonces ( ( + ( (x dx = ( + R(ξ, (5 el error R(ξ, si tiene primer y segund derivds continus en [, ] se expres de l orm R(ξ = ( (ξ, ξ [, ]. ( AREA BAJO LA CURVA FORMULA DE LOS TRAPECIOS Figur : Aproximción de un integrl por el método de los trpecios. Prolem 3 Demostrr ls órmuls (5 y (. Pr ello seguir los siguientes psos:. Demostrr que (x(x (x dx = ( [( + (] +. Utilizndo el teorem del vlor medio integrl demostrr que (x(x (x dx = 3. Usndo los dos prtdos nteriores otén ls órmuls (5 y (. Ahor podemos proximr l integrl (x dx. (7 ( 3 (ξ, ξ [, ]. (8 (x dx con mejor exctitud dividiendo, igul que ntes, el intervlo [, ] en n puntos, o se, consideremos l prtición del intervlo [, ] = [, x ] [x, x ] [x n, x n ] [x n, ],

3 Nuevmente, = + n k, k =,,,..., n, x =, x n =. (x dx = x y, por tnto, si plicmos cd integrl (x dx = n (x dx + + (x dx + + (x dx, x n (x dx l órmul ( otenemos l expresión ( n ( + ( + ( + R(ξ, (9 ( R(ξ M n, M = máx (x. ( x [,] Prolem 4 Utilizndo ls órmuls (5 y ( demostrr ls órmuls (9 y (. Prolem 5 (Opcionl Prue l órmul (5 y (. Método de Simpson. El método de Simpson pr clculr integrles consiste en proximr l integrl l siguiente orm (x dx de ( + (x dx = A ( + B + C ( + R(ξ, ( A, B, C son tles que R(ξ es igul cero si (x =, (x = x y (x = x, respectivmente. Es decir si sustituimos en ( l unción por culquier de ls unciones (x =, (x = x o (x = x, l órmul es exct, o se R(ξ =. Esto es equivlente proximr el áre dejo de por un prol (ver igur 3 AREA BAJO LA CURVA FORMULA DE SIMPSON Figur 3: Aproximción de un integrl por el método de Simpson. Prolem Sustituyendo (x =, (x = x y (x = x en ( encontrr un sistem de ecuciones pr ls incógnits A, B, C y demostrr entonces que ( se puede escriir de l orm (x dx = ( + 4( ( + + ( + R(ξ. ( Si es cutro veces derivle y tods sus derivds son continus en [, ] entonces se puede demostrr que R(ξ se expres de l orm R(ξ = ( 5 88 (4 (ξ, ξ [, ]. (3 3

4 Prolem 7 Demostrr l órmul nterior. Pr ello seguir los siguientes psos.. Compror que l unción F (x, t, con x = +, deinid por F (x, t = x+t x t (ξdξ t [(x t + 4 (x + (x + t], (4 3 es continu y tres veces dierencile pr todo t [, ], y F (x, t = t 3 [ (x+t (x t], demás F (x, = F (x, = F (x, =.. Pror que F (x, t es tl que existen dos números reles m y M ( quiénes son dichos números? tles que 3 mt F (x, t 3 Mt, y deducir de quí que 9 mt F (x, t 9 Mt5. 3. Finlmente, sustituyendo t =, deducir el resultdo desedo. Al igul que en los csos nteriores vmos proximr l integrl dividiendo el intervlo [, ] en n puntos de l orm [, ] = [, x ] [x, x ] [x n, x n ] [x n, ], (x dx con mejor exctitud = + n k, k =,,,..., n, x =, x n =. Apliquemos hor l órmul de Simpson ( pr cd suintervlo [, + ], k =,,..., n, o se, escrimos l integrl originl como l sum de ls integrles (x dx = x (x dx + + xk+ (x dx + + x n (x dx. y pliquemos el método de Simpson cd uno de los sumndos. Nótese que los intervlos siguen teniendo un longitud + = n igul que ntes. Esto nos conduce l expresión ( (x dx = n n ( + ( + 4 ( + ( + R(ξ, (5 n ( 5 R(ξ M 88n 4, M = máx x [,] (4 (x. ( Prolem 8 Utilizndo ls órmuls ( y (3 demostrr ls órmuls (5 y (. Comprción de los métodos de cudrtur de los rectángulos, los trpecios y de Simpson. Prolem 9 Se l unción (x = cos x. Clculr l inegrl I = cos xdx, utilizndo ls órmuls (, (5, (, respectivmente. Comprr los resultdos con el resultdo excto cos xdx = sin =, Clculr un proximción de l integrl cmindo l unción (x por su polinomio de McLurin de orden 5. Comprr los resultdos con los del prtdo nterior. 4

5 Prolem Clculr el orden del error cometido l clculr l integrl sin x I = (x dx (x = x, x, x = por los métodos de de los rectángulos, los trpecios y de Simpson, respectivmente, utilizndo en todos ellos un prtición del intervlo [, ] con n = 4 puntos. Quién proxim mejor? Prolem (Opcionl Clculr l integrl I = e x dx, utilizndo los métodos de de los rectángulos, los trpecios y de Simpson cundo n = 4. Comprr los resultdos con el resultdo excto con cirs decimles I =,

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