5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas

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1 5. INTEGRAL DE LÍNEA 5.1 Introducción Nos proponemos mplir l noción de integrl, que y conocemos pr el cso de funciones de un vrile rel, cmpos de vris vriles. Cundo se definí l integrl definid pr un función de un vrile en un intervlo [, ] se entendí que l función, f(x), v recorriendo todos los puntos del intervlo desde un extremo l otro; l mner de ir recorriendo, l función, el intervlo de integrción no present l menor dificultd y por eso ni siquier se hce mención. Este será uno de los primeros inconvenientes que se nos presentrán l definir un integrl entre dos puntos. Así, por ejemplo, si escriimos l integrl de un cmpo entre dos puntos ( 1, 1 ) y ( 2, 2 ) (pr el cso de dos vriles) se hce necesrio indicr cómo llegmos desde el primer punto l segundo; es decir, hremos de tener en cuent el recorrido que hcen ls vriles (x, y) pr ir de un extremo l otro. Después se trtrá de ver cuáles serín los teorems equivlentes l Teorem Fundmentl del Cálculo y l Regl de Brrow en éste nuevo supuesto. Estos serán los ojetivos que, grndes rsgos, nos proponemos en este tem. Comenzremos, entonces, por los conceptos previos que necesitremos con posterioridd. 5.2 Curvs Definición Curv Llmremos curv tod plicción continu, r(t), de un intervlo cerrdo de R en R n. Es decir, r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)); t 0 [, ] dónde cd α i (t) es un función, α i : [, ] 6 R n continu en todo el intervlo. En el cso n=2 tendremos un curv en el plno. En éste supuesto se suele escriir: r(t) = (α 1 (t), α 2 (t)) = (x(t), y(t)); t 0 [, ] y est expresión se l denomin ecución vectoril de un curv. Cundo l nterior relción se escrie medinte un pr de ecuciones: x = x(t), y = y(t); t 0 [, ] se denomin ecución prmétric de l curv. L curv r(t) = (x(t), y(t)); t 0 [, ] signific que pr cd vlor del prámetro t se otiene un pr de números reles (x(t), y(t)); de est form se estlece un correspondenci entre el intervlo [, ] y un conjunto de puntos en R 2 que se corresponde con un line o curv en el plno

2 Figur 5.1 A menudo se costumr denominr como curv l imgen gráfic, producid en R n por l plicción r(t). El primer tipo de curv en el plno que se estudi, en Mtemátics, viene expresd medinte un función, y= f(x), est expresión se denomin, como semos, l ecución explícit de l curv; ls curvs expresds en form explícit se pueden escriir, de form inmedit, en form vectoril o prmétric; st escriir: r(x) = (x, f(x)). Así como tod curv en form explícit es posile expresrl en form prmétric, no sucede en generl l situción recíproc. Así, por ejemplo l curv: x = cos t, y = sen t; t 0 [0, 2π] represent un elipse de semiejes y, pues tenemos que: x 'cost, 2 y x 'sent; t0[,] Y y 2 2% 2'1 y, en l últim expresión, no es posile escriir l vrile y como función unívoc de x. Un estudio similr l nterior nos llevrí que, en el cso del espcio tridimensionl, l curv viene expresd medinte ls ecuciones: r(t) = (α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)) = (x(t), y(t), z(t)); t 0 [, ] o, veces, tmién podremos descriirl medinte l intersección de dos superficies; es decir, f (x, y, z) = 0 g (x, y, z) = 0 Oservmos tmién que dd un curv, interpretd como l gráfic de est, existen infinits forms de escriirl. Así si γ es un plicción iyectiv del intervlo [c, d] en el intervlo [, ], l plicción: β(u)= r(γ(u)) produce l mism imgen gráfic que l plicción r(t): Figur 5.2 de est form, diremos que β(u) y r(t) son dos prmetrizciones diferentes pr l mism curv. Un últim considerción tener en cuent con ls curvs es el de su orientción. Si volvemos considerr l gráfic de l curv nterior, se oserv que pr ir de un extremo otro podemos comenzr en r() y terminr en r() tomndo todos los vlores intermedios o ien l contrrio; es decir, comenzr

3 en r() y cr en r(). Así, pr cd curv se otienen dos orientciones un l llmremos l orientción positiv y l otr l negtiv. Normlmente tomremos como positiv l que se produce con l prmetrizción: r = r(t); t 0 [, ] reservándose l prmetrizción: β(t) = r(-t); t 0 [-, -] pr l orientción negtiv. Pr determindos tipos de curvs considerremos l orientción de l curv de form intuitiv, trvés de l gráfic que produce. Definición Diremos que l curv r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)); t 0 [, ] es regulr si cd α i (t) es un función diferencile en todo el intervlo. Asimismo, diremos que l curv es regulr trozos si cd α i (t) es un función continu en todo el intervlo y existe un prtición del mismo: = t 0 < t 1 <... < t m = de form que r(t) es regulr en cd (t i, t i+1 ) pr i = 0,1,...,m-1 y existen ls derivds lterles en cd t i (en el cso de t 0 sólo l derivd por l derech y pr t m l derivd por l izquierd). Gráficmente, un curv regulr es quell que posee, en cd punto, un vector tngente, r (t), y un curv regulr trozos es un curv que posee vector tngente slvo, lo sumo, en un número finito de puntos. Cundo l curv es regulr y, demás, l derivd, r (t), es continu entonces existe s' 2r ) (t)2dt' m m α ) 1 (t)2 %α ) 2 (t)2 %...%α ) n (t)2 dt A est mgnitud, s, le llmremos l longitud de l curv. Definición Diremos que un curv, r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)); t 0 [, ], es rectificle si existe s' 2r ) (t)2dt m Pr el cso de un curv regulr trozos, si r (t) es continu en cd [t i, t i+1 ] entonces definirímos l longitud de l curv como l sum de ls longitudes de cd trozo; es decir, m&1 m&1 s' 2r ) t (t)2dt' i%1 m j 2r ) t (t)2dt' i%1 j α ) 1 (t)2 %α ) 2 (t)2 %...%α ) n (t)2 dt i'0 mt i i'0 mt i

4 En generl, pr un curv regulr trozos, diremos que es rectificle si existe l nterior integrl. Definición Diremos que un curv, r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)); t 0 [, ], es simple si pr cd pr de vlores del prámetro t 1, t 2 0 [, ] con t 1 t 2, se tiene que r(t 1 ) r(t 2 ) Es decir, si l plicción r(t) es inyectiv o, gráficmente, se puede interpretr como quell curv que no se cort sí mism. Por último, vemos l definición de curv cerrd. Definición Un curv, r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)); t 0 [, ], diremos que es cerrd si r() = r() O se, un curv cerrd es quell cuyo origen y extremo coinciden. Ls siguientes figurs ilustrn distintos tipos de curvs: Curv regulr trozos y simple Curv regulr y no simple Curv regulr,cerrd y simple Figur 5.3 Curv regulr,cerrd y no simple Osérvese que es contrdictorio el hecho de que un curv se, l vez, cerrd y simple pues y sin emrgo r() = r(); sin emrgo, doptremos como definición de curv cerrd y simple como tod quell curv verificndo que pr todo pr de vlores, t 1, t 2 0 (, ) con t 1 t 2, se tiene que r(t 1 ) r(t 2 ) siendo r()=r(). 5.3 Conjuntos conexos Definición Conjunto conexo Diremos que un suconjunto, A, de R n es un conjunto conexo si pr cd pr de puntos, x, y0a, existe un curv con extremos en x, y tod ell contenid en A. Es decir, existe r(t); t 0 [, ], tl que r(t)0a œ t0[, ] con r() =x, r()= y Dicho en un lenguje más coloquil, un conjunto conexo es quél en el que cd pr de puntos se pueden conectr medinte un curv (recordmos que en l definición de curv exigímos que l plicción fuese continu). Por tnto, intuitivmente, un conjunto no conexo serí quél que unos elementos están seprdos de otros; por ejemplo: Elconjunto A es conexo Figur 5.4 Elconjunto B no es conexo

5 Otr definición equivlente de conjunto conexo nos l proporcion l siguiente proposición: Proposición Un suconjunto ierto, D, de R n es conexo si, y sólo sí, D no se puede escriir como unión disjunt de conjuntos iertos no vcíos. Además de los conjuntos conexos, nos interesrán dos tipos más de conjuntos: Definición Conjunto simplemente conexo Diremos que un suconjunto conexo, A, de R n es simplemente conexo si su complementrio tmién es conexo. Es decir, se pueden conectr los puntos de A y de CA. Así por ejemplo: Figur 5.5 el conjunto A de l figur es simplemente conexo y el B no lo es. Definición Conjunto convexo Diremos que un suconjunto, A, de R n es convexo si pr cd pr de puntos, x, y0a, el segmento, [x, y], que une esos dos puntos está contenido en A. Es decir, r(t) = x + t(y-x) 0A; œt0[0, 1] L figur siguiente ilustr lo que serí un conjunto no convexo y un convexo: Figur 5.6 A no es convexo y B si lo es. Ovimente, se tiene que: Todo conjunto convexo es conexo y simplemente conexo Todo conjunto simplemente conexo es conexo Un conjunto conexo no tiene por qué ser convexo ni simplemente conexo

6 5.4 Integrl de líne Se hor D un suconjunto de R n, ierto y conexo, y consideremos, sore él, definido un cmpo vectoril, F; es decir: si (x 1, x 2,..., x n ) 0 D; F(x 1, x 2,..., x n ) = (F 1 (x 1, x 2,..., x n ), F 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., F n (x 1, x 2,..., x n )). Supongmos un curv regulr, l que denominremos C, contenid en D y definid por: r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t))0 D; t 0 [, ]. En ests condiciones: Definición Integrl de line Llmremos integrl de line del cmpo F, trvés de l curv C, y l representmos por Fdr l expresión: Fdr' [F m 1 (α 1 (t),...,α n (t))α ) 1 (t)%f 2 (α 1 (t),...,α n (t))α) 2 (t)%...%f n (α 1 (t),...,α n (t))α) n (t)]dt si l integrl definid del segundo miemro existe. L integrl de line tmién se suele denominr integrl curvilíne. Nótese que si el cmpo F es continuo y si l curv es rectificle, entonces l integrl de line existe. El segundo miemro de l iguldd nterior se escrie, más simplificdo, sí: Fdr' F(r(t))r (t)dt m donde F(r(t))r (t) es el producto esclr del vector F(r(t)) por el vector r (t). Cundo l curv es diferencile trozos (o regulr trozos) l definición será: m&1 Fdr' j t i%1 i'0 mt i [F 1 (α 1 (t),...,α n (t))α ) 1 (t)%f 2 (α 1 (t),...,α n (t))α) 2 (t)%...%f n (α 1 (t),...,α n (t))α) n (t)]dt Puesto que en el cso de curv regulr trozos l definición no es más que un sum finit de curvs regulres, nos centrremos en ésts últims y que cundo vemos lgun propiedd, el pso desde regulr regulr trozos se hrá simplemente sumndo un cntidd finit de integrles de line sore cminos regulres. Otr notción pr l integrl de líne se sigue de l form de clculrl; l definición nos indic que el lgoritmo pr el cálculo de l integrl consiste en sustituir ls vriles (x 1, x 2,..., x n ) por ls componentes de l ecución de l curv; es decir, se procede cmir x i por α i (t) y multiplicr cd componente del cmpo por el fctor α i (t)dt. De lo nterior se sigue que si ponemos x i = α i (t), serí dx i = α i(t)dt; de hí que escrimos: o simplemente: Fdr' F 1 (x 1 )dx 1 %F 2 (x 1 )dx 2 %...%F n (x 1 )dx n Fdr' F 1 dx 1 % F 2 dx 2 %... % F n dx n dónde entenderemos el segundo miemro, en ls dos nteriores igulddes, cómo l integrl de line del cmpo F trvés de l curv C. En el cso de cmpos de dos vriles se suele empler, como y dijimos en cpítulos nteriores, ls letrs x e y pr designr ls vriles y P, Q pr ls componentes del cmpo; esto es, escriimos el cmpo como: F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)), y ls curvs en R 2, si no induce error en l notción, ls escriiremos: r(t) = (x(t), y(t)), t 0 [, ]; sí l integrl serí:

7 Fdr' P(x,y)dx % Q(x,y)dy ' 6P[x(t),y(t)]x ) (t) % Q[x(t),y(t)]y ) (t)>dt m si l curv viene expresd en form explícit: y = f(x) con x 0 [, ], l integrl será P(x,y)dx % Q(x,y)dy ' [P(x,f(x))% Q(x,f(x))f ) (x)]dx m De mner nálog, en R 3 escriiremos: Fdr' Pdx%Qdy%Rdz' [P(x(t),y(t),z(t))x ) (t)%q(x(t),y(t),z(t))y ) (t)%r(x(t),y(t),z(t))z ) (t)]dt m Ejemplo: Si C es l curv: (x(t), y(t)) = (cost, sent), t 0 [0, 2π], l integrl: (xy%1)dx % (x%y)dy serí: 2π (xy%1)dx % (x%y)dy' [(cost sent%1)(&sent)%(cost%sent)cost]dt ' π m Si C es l curv: f(x) = x 2, x 0 [0, 1], l integrl: (xy%1)dx % (x%y)dy serí: 0 1 (xy%1)dx % (x%y)dy' [x 3 %1%(x%x 2 )2x]dx' x 4 3 2x %x% m % x ' si l curv es f(x) = x, x 0 [0, 1]; entonces 1 (xy%1)dx % (x%y)dy' [x 2 %1%(x%x)]dx' x 3 m 0 3 %x%x 2 0' 7 3 Osérvese cómo l mism integrl entre dos puntos ( (0,0) y (1,1)) d resultdos diferentes según que l curv se l práol, y = x 2, o l rect y = x. En l mism notción de l integrl curviline se hce mención de l curv C como l gráfic de dich curv; es, pues, de esperr que l integrl no depend de l form en que se expres l curv. Así, tendremos: 1 Proposición L integrl Fdr no depende de l prmetrizción de l curv C. Vemos continución ls propieddes más elementles de l integrl curviline: Proposición Si A y B son dos vlores constntes, F y G dos cmpos vectoriles y supongmos que existen ls integrles Fdr, Gdr entonces tmién existe (A F % B G)dr y es: (A F % B G)dr ' A Fdr % B Gdr

8 Proposición Se C l curv r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t))0 D; t 0 [, ]. Si c 0 (, ), denominemos C 1 l curv r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t))0 D; t 0 [, c], y C 2 l curv r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t))0 D; t0[c,]. Entonces: Fdr ' 1 Fdr% 2 Fdr Proposición Se C l curv r(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t))0 D; t 0 [, ], denotemos por -C l mism curv con l orientción contrri; es decir, - C es l curv: β(t) = r(-t)0 D; t 0 [-, -], entonces: Fdβ '& Fdr m&c 5.5 Integrl de líne de un cmpo grdiente A continución estudimos, pr integrles curvilínes, el equivlente l Teorem Fundmentl del Cálculo y l Regl de Brrow en integrles simples. Pr tl estudio precismos l noción de cmpo grdiente que estlecemos hor. Definición Cmpo grdiente Se D dr n y F(x 1, x 2,..., x n ) = (F 1 (x 1, x 2,..., x n ), F 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., F n (x 1, x 2,..., x n )) un cmpo vectoril definido en D. Se dice que F es un cmpo grdiente si existe un cmpo esclr, U(x 1, x 2,..., x n ), MU diferencile tl que (x pr todo i=1,2,...,n. Mx 1 ) ' F i (x 1 ) i Dicho de otro modo, si grd(u) ' LU ' ( MU Mx 1 (x), MU Mx 2 (x),..., MU Mx n (x)) l condición pr que un cmpo se grdiente es que: grd(u) ' (F 1 (x),f 2 (x),...,f n (x)) pr todo x de D. A l función U(x 1, x 2,..., x n ) se le llm el potencil del cmpo F. Si F es un cmpo grdiente, será du ' MU Mx 1 (x)dx 1 % MU Mx 2 (x)dx 2 %...% MU Mx n (x)dx n ' F 1 (x)dx 1 %F 2 (x)dx 2 %...%F n (x)dx n rzón por l cul, en lgunos liros de texto se suele decir, en lugr de que F es un cmpo grdiente, que l form diferencil F 1 (x 1, x 2,..., x n )dx 1 + F 2 (x 1, x 2,..., x n )dx F n (x 1, x 2,..., x n )dx n es un diferencil exct. Tmién se suele denominr un cmpo grdiente cmpo conservtivo. Los cmpos grdientes tienen importntes propieddes que los hcen especilmente útiles en l Físic. Por hor, y mientrs no digmos lo contrrio, vmos suponer que el conjunto D, dónde estmos trjndo, es un conjunto ierto y conexo y que tods ls curvs, C, que usemos son curvs regulres o regulres trozos contenids en D.

9 Teorem Ls siguientes proposiciones son equivlentes: ) F es un cmpo grdiente en D. ) Fdr no depende de l curv C contenid en D. c) Pr tod curv, C, cerrd y contenid en D, se tiene que Fdr ' 0 Proposición Se F un cmpo vectoril diferencile en D (conjunto ierto y conexo). Si F es un cmpo grdiente, entonces, pr todo i,j = 1,2,...,n con i j y todo x 0 D, se verific que: MF i (x) ' MF j (x) Mx j Mx i Teorem Derivción jo el signo integrl Se g(x 1, x 2,..., x n, t) un cmpo esclr definido y continuo en Q = Q [, ] dónde Q d R n es un rectángulo (producto crtesino de n intervlos cerrdos de R) y supongmos que existen, en Q, tods ls derivds prciles del cmpo g respecto x 1, x 2,..., x n y son contínus. Entonces, se tiene que: M Mg ( g(x Mx k m 1,t)dt)' (x m Mx 1,t)dt k L demostrción de este teorem se puede ver en el Apéndice de este tem. Proposición Se F un cmpo vectoril diferencile en un conjunto D ierto y convexo. Si F verific, en D, que MF pr todo i,j = 1,2,...,n con i j es: i (x) ' MF j (x); entonces F es un cmpo grdiente. Mx j Mx i Así pues, uniendo los resultdos otenidos en ls proposiciones y l proposición podremos enuncir, pr el cso en que D se un conjunto ierto y convexo:

10 Teorem Ls siguientes proposiciones son equivlentes: ) F es un cmpo grdiente en D. ) Fdr no depende de l curv C contenid en D. c) Pr tod curv, C, cerrd y contenid en D, se tiene que Fdr ' 0 MF d) Pr todo i,j = 1,2,...,n con i j y todo x0d es: i (x) ' MF j (x); Mx j Mx i 5.6 Cálculo del potencil pr cmpos grdientes Como hemos visto, el cálculo de un integrl curvilíne de un cmpo vectoril, cundo éste cmpo es un grdiente, se reduce otener el vlor del potencil en el extremo y en el origen de l curv y restr mos vlores, es decir: Si U(x) es el potencil del cmpo F y si C es un curv con origen en y extremo en, se tiene que: Fdr'U()&U() por lo tnto, es muy útil conocer métodos pr otener el potencil de F. El método más generl y usul es proceder tl y como hemos hecho en l demostrción de l proposición 5.5.2; o se, clculr l integrl curviline del cmpo F trvés de un segmento con origen en un punto fijo (generlmente se elige como el origen de coordends si el cmpo está definido en un conjunto que lo conteng) y extremo vrile, x. No ostnte, vemos cómo otener el potencil por otros métodos que veces result más sencillo. Cmpos vectoriles de dos vriles ) Primer método Si (P(x, y), Q(x, y)) es un cmpo grdiente, semos que existe U(x, y) tl que MU ; por Mx 'P(x,y) lo tnto U será un primitiv de P(x, y) respecto x; es decir, U(x,y)' P(x,y)dx%n(y). L prición del m sumndo n(y) oedece l hecho de que un primitiv de un función está determind slvo constntes; en nuestro cso, l ser P(x, y) un función de dos vriles l constnte es culquier función que no depend de x. De est form, el prolem consistirá en determinr el vlor de n(y). Pr ello usremos l otr MU condición que dee verificr U; esto es:. Así: My 'Q(x,y) con lo cul: Q(x,y)' MU My ' M My ( m P(x,y)dx)% d dy (n(y)) Y n(y)' m [Q(x,y)& M My ( m P(x,y)dx)]dy U(x,y)' m P(x,y)dx% m [Q(x,y)& M My ( m P(x,y)dx)]dy ) Segundo método Otr form, que se us muchs veces, pr otener el potencil es clculr l integrl curviline entre un punto fijo (, ) y otro vrile (x, y) siguiendo el cmino que muestr l figur siguiente:

11 Figur 5.9 (x,) (x,y) x y Así: U(x,y)' Pdx%Qdy% Pdx%Qdy' P(s,)ds% Q(x,t)dt m m m m (,) (x,) Cmpos vectoriles de tres vriles Los dos métodos nteriores, pr cmpos de dos vriles, se trducen en el cso de tres vriles en los términos siguientes: ) Primer método MU Se hor el cmpo grdiente (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)). Puesto que podremos, Mx 'P(x,y,z) como ntes, escriir: U(x,y,z)' P(x,y,z)dx%n(y,z). Ahor pr otener n(y, z) utilizremos ls otrs dos m condiciones que dee verificr el potencil: MU, de dónde: My 'Q(x,y,z)' M Mym P(x,y,z)dx% M My n(y,z) n(y,z)' m [Q(x,y,z)& M Mym P(x,y,z)dx]dy%Φ(z) Y U(x,y,z)' m P(x,y,z)dx% m [Q(x,y,z)& M Mym P(x,y,z)dx]%Φ(z) por último, pr clculr Φ(z) escriiremos: MU Mz 'R(x,y,z)' M Mz [ m P(x,y,z)dx% m [Q(x,y,z)& M Mym P(x,y,z)dx]]%Φ (z) iguldd que nos permite otener el vlor de Φ (z) en términos de P, Q y R. ) Segundo método El cmino equivlente l cso de dos vriles es el de l figur siguiente:

12 De est form: Figur 5.10 U(x,y)' mp0 P 1 Pdx%Qdy%Rdz% mp1 P 2 Pdx%Qdy%Rdz% mp2 P 3 Pdx%Qdy%Rdz' x y z ' P(s,,c)ds % Q(x,t,c)dt % R(x,y,v)dv m m m Este último método pr clculr el potencil se puede, de mner inmedit, generlizr l cso de ms vriles. Así: U(x 1 )' m x 1 1 F 1 (s 1, 2, 3..., n )ds 1 % m x 2 2 F 2 (x 1,s 2, 3..., n )ds 2 %...% m x n c n F n (x 1,x 3...,s n )ds n