TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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1 TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

2 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se simboliz por medio de. Decimos que " tiende por l izquierd" si tom vlores menores que que se proimn cd vez más. Se simboliz por medio de. Diremos que " tiende por l derech" si tom vlores myores que que se proimn cd vez más. Se simboliz medinte. EJEMPLO: L sucesión de vlores de l vrible : 1,8, 1,7, 1,6, 1,5, 1,4, 1,, 1,, 1,1, 1,1, 1,1, 1,1, Es un sucesión de vlores que se proim l vlor 1 pr vlores myores que 1. Diremos que tiende 1 por l derech y se denot como 1. Se un sucesión de vlores que tom l vrible :,7,,8,,9,,91,,9,,94,,95,,98, Est sucesión de vlores de se proim 1 pr vlores menores que 1; diremos que tiende 1 por l izquierd y se denot como 1

3 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites lterles. Concepto de límite. 1/ Se l unción. Consideremos un secuenci de vlores de que se proimn por l izquierd sí como sus imágenes. 1,9 1,9 1,96 1,98 1,99 1,998,61,686,84,9,96,99 Podemos observr que ls imágenes se proimn 4. Diremos que 4. Consideremos hor un secuenci de vlores de que se proimn por l derech sí como sus imágenes.,,,1,1,1,1 5,9 4,84 4,41 4,4 4,4 4,4 Podemos observr que ls imágenes se proimn 4. Diremos que 4. El ejemplo que hemos considerdo deine los límites lterles de l unción cudrátic punto =. en el

4 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites lterles. Concepto de límite / Diremos que M si, cundo l vrible se proim con vlores menores que dicho número, entonces los vlores de sus imágenes se proimn l número M. A dicho límite se le denomin límite lterl por l izquierd de en el punto. Diremos que N si, cundo l vrible se proim con vlores myores que dicho número, entonces los vlores de sus imágenes se proimn l número N. A dicho límite se le denomin límite lterl por l derech de en el punto. Diremos que L si eisten sus dos límites lterles y demás coinciden.

5 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites lterles. Concepto de límite. / EJEMPLO: Se l unción 1. Si desemos clculr, clculremos los dos límites lterles: y. Con l siguiente tbl nlizmos l tendenci de l unción l izquierd de y obtenemos que 5 :,5,7,9,91,9,95,97,99,995, ,4 4,8 4,8 4,86 4,9 4,94 4,98 4,99 4,998 5 Pr el estudio de l tendenci de l unción l derech de considermos l siguiente tbl:,5,4,,1,5,,1,5,,1 Se deduce que

6 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites lterles cuyo resultdo es ininito. 1/ EJEMPLO. Consideremos l unción 1/. Anlicemos por medio de tbls ls tendencis por l izquierd y por l derech de =. : -, -, -,1 -,5 -,1 -,5 -,1 -,5 -,1 -,1 -, Si tiende por l derech observmos en l tbl que l imgen se hce cd vez más grnde; dirímos que.,,,1,5,1,5,1,5,1,1,

7 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Límites lterles cuyo resultdo es ininito / Diremos que si cundo l vrible se proim con vlores menores que dicho número, entonces los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente grndes. Diremos que si cundo l vrible se proim con vlores menores que dicho número, entonces los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente pequeñs. Diremos que si cundo l vrible se proim con vlores myores que dicho número, entonces los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente grndes. Diremos que si cundo l vrible se proim con vlores myores que dicho número, entonces los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente pequeñs. Diremos que L si eisten sus dos límites lterles y demás coinciden. Si diremos que. Y de igul orm si entonces diremos que.

8 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES Signiicdo geométrico de los límites lterles M N

9 5.1. EJERCICIOS 1/ Se l unción: Represent su gráic y, prtir de ell, clcul los siguientes límites: b c d 1 e g h. Interpret gráicmente el signiicdo de los siguientes límites: b c 1 d 5 g e h

10 5.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Regls básics del cálculo de límites Función constnte Función identidd K K K Función eponencil,, 1 Función potencil de eponente nturl Función potencil de eponente entero negtivo n, n 1 n, n n Función logrítmic log, 1 n n 1 1, n n 1, si n es pr n 1 n, si n es impr 1 n si n es impr log log, log log, 1 log log, log

11 5.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Regls básics del cálculo de límites. Ejemplos EJEMPLO. Clcul los límites que se indicn: 5 b c 1 5 g 5 h k l 9 p m log 5 q 7 r d 1 i 5 n log 1/ 5 5 s log 1/ 8 e 1 j o log t 1 5 u 1 4

12 5.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Propieddes lgebrics de los límites. Si A y B g, con B A, initos, entonces se veriic: B A g b B A g c si, k R k, A k k d B A g e B A g / / si B si R A B, B g A g A log log log si A EJEMPLO: Clcul los siguientes límites: b c 4 log 5 d

13 5.. EJERCICIOS. Clcul los siguientes límites: b 1 1 c 4 1 d 4 e log g 5 h 4 1 i 5 e 1 6 j 1 k m log 4 7

14 5.. CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de límites ininitos 1/. Pr clculr el límite 1 1. Clculmos los límites del numerdor y denomindor obtenemos: 1 y 1. Sin embrgo no podemos eectur l operción 1, y que no es un operción deinid. Pr determinr si eiste límite estudimos los dos límites lterles: Si tommos un secuenci de vlores que se proimn 1 por l izquierd,7,8,9,99,999 Numerdor,1,4,7,97, Denomindor -,51 -,6 -,19 -, -, b Si tommos un secuenci de vlores que se proimn 1 por l derech: X 1, 1, 1,1 1,1 1,1 Numerdor,9,6,,, 1 1 Denomindor,69,44,1,1, EJEMPLOS: Determin l eistenci de los siguientes límites nlizndo los límites lterles, y reliz un interpretción gráic del resultdo obtenido: 1 b 1 4

15 5.. CÁLCULO DE LÍMITES Comportmiento de un unción en el ininito 1/ EJEMPLO: Dd l unción 1 Si considermos un secuenci de vlores crecientes cd vez más grndes obtendrímos los vlores de son cd vez más grndes, esto se trduce en.. Si considermos un secuenci de vlores decrecientes negtivos cd vez más pequeños obtendrímos que los vlores de son cd vez más grndes circunstnci que se trduce en:.

16 5.. CÁLCULO DE LÍMITES Comportmiento de un unción en el ininito / - Si cundo los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente grndes, entonces se veriic que. - Si cundo los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente pequeñs, entonces se veriic que. - Si cundo los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente grndes, entonces se veriic que. - Si cundo los vlores de sus imágenes se hcen ininitmente pequeñs, entonces se veriic que. L M

17 5.. CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de límites en el ininito: unciones polinómics n n1 Si p n n es un polinomio se veriic siempre que y p n n, siendo Donde n si n n y si n n si n n n pr, y si n n n el monomio de myor grdo de p. n si n n n impr si n p n n EJEMPLOS: Clcul los siguientes límites: 4 4 b 1 1 c 4 5 d

18 5.. CÁLCULO DE LÍMITES 5... Cálculo de límites en el ininito. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Se veriicn: 1 1, PROPIEDADES DE LOS LÍMITES EN EL INFINITO Si 1 y 1 A y g B, con A,B R {, },entonces se veriic: g A b g A B B 1 log 1 g B c g A B d / g A/ B e A teniendo en cuent ls regls k k k, si k k, si k k, si k k, si k k si k k, si k 1 k, si k 1 k,

19 5.. CÁLCULO DE LÍMITES 5... Cálculo de límites en el ininito EJEMPLOS Clcul los siguientes límites: log 1/ b EJERCICIOS 1. Clcul los siguientes límites: 4 5 b 4 5 d 5. Clcul los siguientes límites: 7 1 b 5 d 1 e g 5 7 h 1 c 4 e d, 1/ c c

20 5.. CÁLCULO DE LÍMITES Indeterminciones Ls indeterminciones más importntes son:,, k,,,, 1. : En lgunos csos bst dividir numerdor y denomindor por l potenci de myor grdo del numerdor y denomindor, teniendo en cuent que l potenci de un monomio bjo un rdicl es su eponente dividido el índice del rdicl. Ejemplo: 4 7 : En ocsiones es suiciente con desrrollr l epresión lgebric inicil y luego resolver el límite. Por ejemplo:.en otrs ocsiones es necesrio 1 1 multiplicr y dividir l epresión por su conjugd, por ejemplo : 1 :Si 1 y g entonces g 1 g 1 e. Por ejemplo : 1.

21 5.4. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Continuidd de un unción en un punto EJEMPLO: Se l unción si 1/ si 4 si cuy gráic es 4 si 4 si L gráic está compuest por vris curvs seprds, y con vrios sltos en su representción en los puntos =, = y =. En estos puntos diremos que l unción no es continu, es decir, que l unción tiene discontinuiddes en =, = y =. Cuál es l rzón nlític de ests discontinuiddes?

22 5.4. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Continuidd de un unción en un punto. Deinición Se : R R un unción rel de vrible rel, y se un punto del dominio de l unción, diremos que l unción es continu en si se veriic: 1 eiste L con L un vlor inito y L. EJEMPLO: Determin si l siguiente unción 1 5/ es continu en =1, = y =. si si si 1 1

23 5.4. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES Tipos de discontinuiddes. discontinuidd inevitble de slto inito: Eisten tres tipos de discontinuiddes: Un unción tiene un discontinuidd evitble en si eiste L pero L. En el ejemplo inicil l unción tiene un discontinuidd evitble en =. Un unción tiene un discontinuidd inevitble de slto inito en si no eiste pero y son initos. En el ejemplo inicil l unción tiene un discontinuidd inevitble de slto inito en =. Un unción tiene un discontinuidd inevitble de slto ininito en si no eiste y uno de los dos límites lterles no es inito. En el ejemplo inicil l unción tiene un discontinuidd inevitble de slto ininito en = discontinuidd inevitble de slto ininito: discontinuidd evitble de slto inito

24 5.4. EJERCICIOS 1. Averigu si ls siguientes unciones son continus en =, y cso de no serlo determin su tipo de discontinuidd: b 1 e g c 1 h d log 4 i. Estudi pr qué vlores de son continus ls siguientes unciones son continus en = b 1 g. Determin si ls siguientes unciones son continus en los puntos que se indicn: e 5 en =5 b e g en =1