LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD

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1 LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD MATEMÁTICAS CCSS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I I) IDEA INTUITIVA DE L Ejemplo : L función no está definid en ; investigr, rellenndo ls siguientes tbls (medinte clculdor), su comportmiento en ls proimiddes de dicho punto, y eplicr gráficmente l situción: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999,,, ANALÍTICAMENTE En l práctic, los límites no se suelen clculr de est form, sino operndo: ( )( ) ( ) Es decir, nótese que l del enuncido se comport como l rect y, slvo en (punto en el cul no está definid); por lo tnto, su representción gráfic es: GRÁFICAMENTE Vemos que cundo ls se cercn - (flech izqd.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden -, mientrs que cundo ls se cercn (flech dch.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden. Y todo ello es independiente de que, ectmente en, l función no está definid. Conclusiones: º Pr que eist límite hn de coincidir los límites lterles. f º A efectos de, no hy que tener en cuent lo que ocurre ectmente en, sino en ls ( ) proimiddes; de hecho, hy csos en los que en un punto no eiste imgen pero sí límite (como en el ejemplo nterior), y est es precismente l utilidd del concepto de límite. 3º De todos modos, normlmente eisten límite e imgen, y mbos coinciden, como en el siguiente ejemplo:

3 Ejemplo : Dd, obtener numéricmente, medinte ls siguientes tbls, : MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I -,9,99,999 y,,, Es decir, cundo ls se cercn - (flech izqd.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden 4 -, mientrs que cundo ls se cercn (flech dch.; ª tbl) ls imágenes correspondientes tienden 4. En este cso, l función sí está definid precismente en, y su vlor es 4; es decir, en este ejemplo límite e imgen coinciden (lo cul, por cierto, es lo más hbitul). Anlíticmente, serí muy sencillo: 4 Vemos hor un ejemplo de función en el que no hy límite: - si < Ejemplo 3: Dd se pide: ) Representrl. b) Hllr gráficmente. si y y ( ) En este cso, l cercrnos - por l rm izquierd, ls imágenes tienden ectmente - (unque precismente en no tengn el vlor esperdo, sino ; de nuevo, téngse en cuent que efectos del límite no hy que tener en cuent lo que hce l función ectmente en el punto sino en sus proimiddes ), mientrs que l cercrnos por l rm derech, ls imágenes tienden ectmente. Por lo tnto, como no coinciden los límites lterles, el límite globl no eiste. Podrímos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirín en lguno de los 4 csos del siguiente esquem; v eistir límite cundo sólo en los tres primeros supuestos: f() L f() L f() f() [Lo más hbitul] [ L unque f() ] L f() / [ unque f() ]

4 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I Como resumen: «A efectos gráficos, no v hber f si en ls dos rms no coinciden» ( ) Ejercicios finl tem:,, 3 II). ASÍNTOTA VERTICAL Ejemplo 4: Vemos fácilmente que l función no está definid en 3; investigr, rellenndo ( 3) ls siguientes tbls (inténtese sin clculdor), su comportmiento en ls proimiddes de dicho punto, y eplicr nlític y gráficmente l situción: NUMÉRICAMENTE -,9,99,999 3, 3, 3, 3 ANALÍTICAMENTE En l práctic, se procede sí : ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( 3) Gráficmente, l situción es l siguiente: GRÁFICAMENTE X3 A.V. Es decir, cundo ls se cercn 3 - (flech izqd; rm izquierd) ls imágenes correspondientes tienden hcerse infinitmente grndes i.e., y cundo ls se proimn 3 (flech dch.; rm derech) ls imágenes tienden tmbién. Y todo ello, volvemos insistir, es independiente de que concretmente en 3 l función no está definid. Est es precismente l utilidd de l noción de límite: incluso unque l función no esté definid en un punto, el límite d cuent del comportmiento de l función en dicho punto. En el ejemplo nterior, se dice que present un síntot verticl en 3. o - se conocen como infinitésimos.

5 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I Observciones: º Cundo por sustitución direct en un límite obtengmos k/, utomáticmente tenemos que plnter límites lterles, pr discernir si el denomindor es o -, lo cul determinrá si el límite finlmente es o - (en función tmbién del signo de k). º Nótese que, l hor de clculr un límite, en el momento en que sustituymos en l función, desprece el símbolo de. Definición de síntot verticl: A.V. ( o ) Ejemplo 5: Estudir nlíticmente 3 present l función? y eplicr gráficmente l situción. Qué síntot verticl Ejercicios finl tem: 4, 5 III) L. ASÍNTOTA HORIZONTAL Ejemplo 6: Estudir, medinte l siguiente tbl de vlores, En l práctic, como, lógicmente podemos desprecir el efecto de sumr o restr un número finito, por lo cul podemos proceder de l siguiente form: 5 A.V. 3 y 5 Es decir, cundo (o -), nos quedremos con el término de myor grdo del polinomio (lo que se conoce como término dominnte), y despreciremos términos de menor grdo. Nótese que esto sólo tiene sentido cundo (o -)! Ést será un técnic muy utilizd pr clculr límites. y A.H. El símbolo se lee equivlente y se utiliz cundo, l hor de resolver un indeterminción, y desprecimos un cntidd finit ditiv respecto un. Gráficmente, l situción está indicd l mrgen. 3 5

6 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I Es decir, cundo ls se hcen cd vez más grndes, ls imágenes correspondientes tienden proimrse cd vez más, pero sin llegr lcnzr jmás el vlor. Se dice entonces que present un síntot horizontl de ecución y. (Por cierto que, por ls rzones eplicds en el nterior prtdo, tmbién present un A.V. en 5). Definición de síntot horizontl: L y L ( o ) A.H. Observciones: º L gráfic puede cortr l A.H. pr vlores finitos de º En cmbio, l gráfic de un función nunc puede cortr un A.V. 3º En el próimo tem veremos un tercer tipo: ls síntots oblicus Ejercicios finl tem: 6 y 7 IV). RAMAS INFINITAS Ejemplo 7: Obtener ( ) medinte l siguiente tbl de vlores: ( ) Es decir, cundo ls se hcen cd vez más grndes, ls imágenes correspondientes tienden hcerse tn grndes como quermos, como qued reflejdo en l gráfic djunt. En l práctic, y como y hemos comentdo en el prtdo nterior, cundo (o -) nos quedremos con el término de myor grdo del polinomio (lo que se conoce como término dominnte), y despreciremos términos de menor grdo: y ( ) De nuevo, dviértse que est form de proceder sólo tiene sentido cundo (o -), no cundo tiende un número finito. En el ejemplo nterior, se dice demás que present un rm infinit o prábolic. Regl práctic: P() (o ) (o ) (tº de myor grdo) Ejercicio finl tem: 8

7 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I V) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES º) «El límite -en cso de eistir- es único» [ ] g() º) ± g() ± es decir, «El límite de l sum (diferenci) es l sum (diferenci) de los límites». [ ] g() 3º) g() es decir, «El límite del producto es el producto de los límites». 4º) (siempre y cundo g() ) g() g() 5º) k k es decir, «El límite de un constnte es igul dich constnte» [ ] 6º) k k es decir, «Ls constntes multiplictivs pueden slir (o entrr) en el límite». g() g() 7º) Límite de un potenci: [] [ ] Ejemplo: e e 8º) Límite de un ríz: n n 9º) Límite de un logritmo: log log VI) LÍMITES INFINITOS E INDETERMINACIONES SUMA Y RESTA: k -INDTDO. --- Nótese que no podemos concluir que - se siempre igul, puesto que mbos pueden ser, en generl, de distinto orden 3 ; por lo tnto, el resultdo de - tendrá vlores distintos dependiendo de cd ejemplo concreto, y se dice entonces que su resultdo es indetermindo, o bien que se trt de un indeterminción. L myor prte de ls indeterminciones se deshcen operndo. Vemos un sencillo ejemplo justifictivo: INDTDO. Es decir, en este cso concreto - h resultdo ser igul, pero veremos muchos más ejemplos en los que puede resultr otro número (incluido, por supuesto ), o, o -, o incluso no eistir. Tods ests propieddes son válids independientemente de que o un vlor finito. Pueden consultrse ls demostrciones de ests propieddes en Internet o en culquier libro de teto. 3 En el cso de un incógnit, sí es cierto que -, o -, etc. es obvimente igul cero; hor bien, dviértse que en el cso de - estmos hblndo de límites, es decir, mbos no tienen por qué ser ectmente igules, sino que pueden ser de distinto orden.

8 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I PRODUCTO: (-)- - (-) si k > k INDTDO. si k si k < Vemos un ejemplo justifictivo de l indeterminción nterior: INDTDO. COCIENTE: si k > operr y/o hcer lterles si k k si k < IND TDO. k hcer lterles k ± ± IN D T D O. Vemos ejemplos prácticos de lgunos de los csos nteriores: ) [( ) ] ( ) b) INDTDO 3 3 c) ( )( - ) INDTDO ( ) - d) / (o bien, 3 ±) e) 3 ( ) 4 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 4 4 Como conclusión, hemos visto un serie de indeterminciones que podemos resumir en cutro 4 :, ±, (±), - ± Ejercicio finl tem: 9 4 El próimo curso veremos ls 3 indeterminciones de tipo eponencil: ±, (±),

9 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I VII) CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS º) Límites de polinomios: P() (o ) (tº de myor (o ) grdo) Un ejemplo serí el ejercicio 8 del finl del tem, y relizdo. º) Límites de cocientes de polinomios: ) P() «Se resuelve fctorizndo numerdor y denomindor (hbitulmente por Ruffini, Q() identiddes notbles, etrer fctor común ) y einndo continución el fctor problemático - que figur repetido en mbos términos de l frcción» Ejemplo: 8 ( )( 4) 4 6 INDTDO ( )( ) 3 Ejercicio finl tem: b) P() «Se resuelve recurriendo en numerdor y denomindor los términos de myor Q() grdo de cd polinomio 5» Ejemplos: Hy tres posibiliddes, tendiendo los grdos de mbos polinomios: ) grdp()grdq(): 4 INDTDO 4 3 b) grdp()>grdq(): c) grdp()<grdq(): 3 INDTDO 3 3 INDTDO 3 Ejercicios finl tem: 5 VIII) CONTINUIDAD Intuitivmente, un función es continu cundo se puede dibujr sin levntr el lápiz del ppel. Más formlmente, se define función continu en un punto de l siguiente form: continu en f() Es decir: Un función es continu en un punto si el límite coincide con l imgen en dicho punto. A efectos prácticos, pr estudir si un función es continu en un punto, hy que comprobr: ) que eist imgen ) que eist límite 3) y que mbos coincidn (En cso de no ser continu en un punto, se dice que es discontinu). 5 Eiste otr form lterntiv, en generl más lborios, que consiste en dividir numerdor y denomindor por l myor potenci de que prezc en mbos polinomios.

10 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I Por etensión, diremos que un función es continu en un intervlo cundo lo es en todos los puntos de dicho intervlo. Vmos recordr de nuevo el esquem-resumen visto en el prtdo I del tem, e investigr en cd uno de los cutro csos si l función es continu en, pr lo cul plicremos los tres requisitos de l continuidd rrib menciondos; observmos que l función es continu en sólo en el primer supuesto: f() L f() CONTINUA en f() L DISCONTINUA en f() L f() L f() DISCONTINUA en / DISCONTINUA en Nótese que en el último cso l función es discontinu, independientemente de que eist o no imgen. 4 Ejemplo 8: Dd, estudir su continuidd en Aplicndo los tres requisitos de l continuidd, vemos que fll el º, y que continu R-{} f() es discontinu en (Nótese que ello es independiente de que eist límite, como de hecho ocurre: / 4 ( )( ) ( ) 4 IN D T D O. Gráficmente, l situción es l siguiente: 4

11 MATEMÁTICAS plicds ls CCSS I es decir, l función 4 prácticmente se comport como l rect (slvo en ) Por lo tnto, se trt de un discontinuidd evitble, es decir, bstrí redefinir l función de l siguiente form: pr que psr ser continu en 4 4 Ejercicio : Representr ls siguientes funciones, y estudir su continuidd. si si ) (Soluc: continu R-{}) b) 3 ln si si > (Soluc: continu R-{}) c) Ejercicios finl tem: 6 y ss.