Continuidad. Funciones

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1 I. E. S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Mtemátics de º de Bchillerto Continuidd de Funciones Por Jvier Crroquino CZs Ctedrático de mtemátics del I.E.S. Siete Colins Ceut 005

2 Continuidd De Funciones Jvier Crroquino Cñs

3 Mtemátics de º de bchillerto Ciencis de l Nturlez y l Slud Tecnologí Continuidd De Funciones Por Jvier Crroquino Cñs Ctedrático de mtemátics I.E.S. Siete Colins (Ceut) Deprtmento de Mtemátics Ceut 005

4 Jvier Crroquino Cñs I.E.S. Siete Colins (Deprtmento de Mtemátics) Continuidd de Funciones Depósito Legl : CE&4&005 ISBN : 84&689&6&7 Número de Registro : Ceut 005

5 Prólogo Coloquilmente entendemos por continuidd como lgo que tiene l propiedd o culidd de no interrumpirse. Vlg como ejemplo rel l tryectori que sigue un proyectil desde el momento de su lnzmiento hst su impcto en un lugr. Dich tryectori se puede considerr como un líne continu, es decir, no se interrumpe y luego continu desde otro punto. En el ámbito de ls funciones reles de vrible rel, lo podemos socir l hecho de que l gráfic de un función es un líne ininterrumpid (líne continu) en el conjunto donde se encuentre definid, esto es, puede dibujrse sin necesidd de levntr el lápiz del ppel. El estudio de l continuidd está íntimmente ligdo l de límite de un función, por lo que el bordje de este tem debe ser posterior l tituldo Límites de funciones que se present en l mism colección. Debe considerrse l continuidd de un función como lgo fundmentl de estudir pr conocer posteriormente otrs propieddes de ell. Insistimos en que este tem es un pso más pr lcnzr un objetivo mrcdo, el estudio y conocimiento de ls propieddes de ls funciones reles de vrible rel.

6 Mtemátics º de bchillerto I Continuidd de funciones Índice Págin.Introducción....Continuidd de un función en un punto... 3.Discontinuidd de un función en un punto... Ejemplo... 3 Ejemplo... 4 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Otr definición de continuidd de un función en un punto.9 Ejemplo 7... Ejemplo 8... Ejemplo Continuidd de un función en un intervlo bierto... 5 Ejemplo Continuidd de un función en su dominio... 6 Ejemplo Continuidd lterl en un punto... 7 Ejemplo Función continu en un intervlo cerrdo... Ejemplo 3... Ejemplo Ejemplo Teorem de Bolzno... 4 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Teorem de los vlores intermedios o de Drboux... 9 Ejemplo Teorem... 3 Ejemplo Ejemplo Continuidd y cotción de un función. Teorem Ejemplo Teorem de Weierstrss Ejemplo

7 Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones Continuidd de funciones.introducción.- En este tem vmos estudir l propiedd que tiene o no un función de que su gráfic se un líne ininterrumpid en todo su recorrido o en un prte de él. Digmos que pr frontr este tem es conveniente que el lumno se fmilirice con otros que previmente hn debido ser estudidos y que mencionmos seguidmente: Î Funciones reles de vrible rel. Ï Gráfics de funciones reles de vrible rel. Ð Propieddes y forms de ls funciones reles de vrible rel. Ñ Límites de funciones..continuidd de un función en un punto.- Se y = f (x) un función rel de vrible rel. Se un número rel. En un sistem de ejes, podemos considerr x = un punto del eje de bciss. Vmos definir un concepto nuevo: función continu en un punto f ( x) es continu en x = ) f ( ), es decir, D b) Existe lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( ) f Es decir, l función f es continu en x = si verific tres condiciones: ) El número pertenece l dominio de l función, esto es, f (). b) Existe (es un número finito) el límite de f cundo x tiende. c) Dicho límite coincide con l imgen de. Cundo esto ocurre se dice que (lguns forms de decirlo): l función f es continu en x = l función f es continu en l función f es continu en el punto x = f es continu en x = f es continu en etc. Observ que utilizmos el concepto de límite pr sber si un función es continu en.

8 Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones Ahor veremos l interpretción gráfic de este concepto. Observ que en ls figurs.,.b y.c l gráfic de l función trvies l rect verticl sobre el punto x = sin dr un slto, esto es, podemos dibujr l gráfic de l función f (x) en un entorno de sin necesidd de levntr el lápiz del ppel. Nótese que en culquier de ls tres figurs nteriores se verificn lo siguiente puntos: f ( ) ( lo hemos reclcdo con un punto negro) lim f ( x) ( se interpret en l grfic & ) lim f ( x) = f ( ) Gráficmente se interpret como que l líne que represent l función puede trvesr l rect verticl de ecución x = sin dr un slto. En l figur. hemos representdo un gráfic continu en x = y creciente en dicho punto, en l figur.b l función tmbién es continu en x =, pero decreciente, mientrs que en l figur.c es continu y constnte en x =. 3.Discontinuidd de un función en un punto.- Si un función no es continu en un punto, se dice que es discontinu en ese punto o que no es continu en él. Es evidente que pr que un función no se continu en debe fllr lgun de ls condiciones ), b) o c) mencionds nteriormente (págin ) Vemos gráficmente lgun de ls situciones posibles que hcen que un función f (x) no se continu en x =. figur : En este cso l función no es continu en x = porque f () no. Apréciese que hemos indicdo este hecho con un punto blnco en l gráfic.

9 Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones figur 3: En este cso ocurre lo siguiente: ) f () (unque es un punto isldo del resto de l gráfic). b) lim f ( x ) = l, es decir, el límite de f cundo x tiende. c) Nótese que lim f ( x ) = l f ( ) Conclusión: f no es continu en x = porque fll l condición c) Nótese que pr trvesr l rect verticl dibujd en x =, es necesrio levntr el lápiz un punto. El tipo de discontinuidd mostrdo en l figur 3 se llm discontinuidd evitble porque si hcemos que f () = l (es decir, si hcemos que l imgen de se l), l función f serí continu en x =. Gráficmente serí trsldr el punto negro y siturlo sobre el punto blnco. figur 4: En este cso ocurre lo siguiente: ) f (), es decir, 0D f lim f ( x) = f ( ) b) lim f ( x) = l + Los límites lterles en x = n y son distintos, por lo que lim f ( x) no. c) Al no cumplirse l condición b), no puede cumplirse c), es decir: lim f ( x) f ( ) Conclusión: f no es continu en x = porque fll l condición b). Nótese que pr trvesr l rect verticl dibujd en x =, es necesrio levntr el lápiz y dr un slto pr continur l gráfic. Este tipo de discontinuidd se llm discontinuidd inevitble y tmbién se expres diciendo que f present un slto de discontinuidd en. Obsérvese que hemos señldo que f () (punto negro). Si ese punto fuese blnco, estrímos indicndo que f () no, por lo que fllrí l condición ). Ejemplo.- Se l función f (x) = x &3. Queremos estudir su continuidd en el punto x = 5. Vemos:

10 Mtemátics de º de bchillerto Págin 4 Continuidd de funciones ) f ( 5) f ( x) = x 3continu en x = 5 b) lim f ( x) 5 c) lim f ( x) = f ( 5) 5 Anlicemos cd un de ls condiciones: ) f (5) = 5 & 3 =. Por tnto, l imgen de 5, esto es, 50D f b) lim f ( x) = lim ( x 3) = 5 3 =. Por tnto, el límite de f cundo x tiende c) lim f ( x) = f ( 5) = 5 Observ que l gráfic de l función f (x) = x&3 es un rect que vmos dibujr: Tbl de vlores x y = x& L simple observción de l figur 5, nos permite precir que l rect que represent l función f (x)= x&3 trvies l rect verticl x = 5 (que no hemos dibujdo) sin ininterrupción. A simple vist se preci que: lim f ( x) = f ( 5) = 5 Ejemplo.- x 6 Queremos estudir l continuidd de gx ( ) = en el punto x = 4. x 4 Vemos: ) g( 4) x 6 g( x) = continu en x = 4 b) lim g( x) x 4 4 c) lim g( x) = g( 4) 4 Anlicemos cd un de ls condiciones: ) g( 4) = = = R Por tnto, 4 no tiene imgen. Recordemos que ls igulddes nteriores no son igulddes numérics

11 Mtemátics de º de bchillerto Págin 5 Continuidd de funciones Y podemos segurr que l función g no es continu en el punto x = 4. No obstnte vmos comprobr ls otrs condiciones. x b) lim gx ( ) = lim = = Indetermindo 4 4 x Slvemos l indeterminción fctorizndo (descomponiendo en fctores) el numerdor: x ( x ) ( x ) lim gx ( ) = 6 lim lim lim ( x ) x = x = + 4 = = Por tnto, el límite de g (x) cundo x tiende 4, y vle 8. c) L condición c) no se cumple por no existir g (4). Vmos representr gráficmente (figur 6) l función g (x): x 6 ( x+ 4) ( x4) gx ( ) = = = { x + 4 x 4 x 4 si x 4 L expresión nterior nos indic que: x 6 x + 4 si x 4 gx ( ) = = x 4 no si x = 4 Si representmos l función f (x) = x + 4 y el punto (4, 8) de su gráfic lo eliminmos, obtenemos l gráfic de l función g (x), esto es, un rect excepto en el punto de bcis x = 4, punto en el que l función g present un discontinuidd evitble. Si queremos que l función se continu, podemos definir l función siguiente: x 6 si x 4 f ( x)= x 4 8 si x = 4 L gráfic de l función f (x) serí exctmente igul l de g (x) excepto en que el punto (4,8) pertenece su gráfic. Ejemplo 3.- Vemos: Se l función h( x) es continu en x = hx ( ) = 4. Queremos estudir su continuidd en el punto x = &. x + ) h( ) b) lim h( x) c) lim h( x) = h( ) Anlicemos ) 4 4 h( ) = = R + 0 Por tnto, no h(&) Y sbemos que h no es continu en x = & Aunque y hemos cumplido el objetivo mrcdo, vmos estudir el límite de l función h cundo x tiende & : lim hx ( ) = lim = = = ±? Debemos hllr los límites lterles. x + + 0

12 Mtemátics de º de bchillerto Págin 6 Continuidd de funciones 4 x x + Dibujemos l gráfic de h (x): lim hx ( ) = lim = = = lim hx ( ) = lim = = = + + En el punto x = & l función h tiene un síntot verticl, por l izquierd hci rrib y por l derech hci bjo. Tbl de vlores x h (x) &3 4 & &4 &4 0 & & & +4 & + &4 &6 & & & figur 7 Apréciese en l figur 7 que l función tiene un síntot verticl (l rect x = &) y otr horizontl ( rect y = 0 o eje de bciss). Obsérvese el slto de discontinuidd que se produce en x = &, Ejemplo 4.- Se l función definid por intervlos: f ( x) = x si x 3 x + 6 si x > 3 Vemos lguns cuestiones de est función. Dominio: Fácilmente se preci que todo número tiene imgen, por lo que D f = ú Continuidd: Tmbién se observ con fcilidd que pr culquier punto (distinto de 3)l función es continu en dicho punto. Debemos tener dud sobre l continuidd en x = 3. Vemos: ) f ( 3) f ( x) es continu en x = 3 b) lim f ( x) 3 c) lim f ( x) = f ( 3) 3 Anlicemos el ) : f (3) = 3& = 6 & = 4. Por tnto, f (3) y vle 4.

13 Mtemátics de º de bchillerto Págin 7 Continuidd de funciones Anlicemos el b) : Como l función f tiene dos forms distints, un l izquierd de x = 3 y otr l derech, debemos estudir los límites lterles en dicho punto. lim f ( x) = lim ( x ) = 3 = 6 = 4 ( 4 ) 3 3 / lim f ( x) + lim f ( x) = lim ( x + 6) = ( 3 ) + 6 = = 3( 3 ) No el límite de f (x) cundo x tiende 3 porque los límites lterles son distintos. Apréciese lo siguiente: Pr vlores de x infinitmente próximos 3 por su izquierd, ls imágenes son números infinitmente próximos 4 por su izquierd Pr vlores de x infinitmente próximos 3 por su derech, ls imágenes son números infinitmente próximos 3 por su izquierd Comprobemos utilizndo un clculdor: x = f = 9999 ( 9999) f ( 3 ) = 4 es decir x = f ( 3 000) = f ( 3 ) = 3 Conclusión: L función f no es continu en el punto x = 3 Gráfic: Dibujemos l gráfic f (x) Tbls de vlores x < 3 y = x- x > 3 y = &x+6 0 & & 4 & & En l figur 8 hemos representdo l gráfic de l función f que está compuest de dos semirrects. Nótese que el punto (3,4) pertenece l semirrect de l izquierd, mientrs que el punto (3,3) no pertenece l de l derech. A simple vist se preci que: + f ( 3 ) = 4 y f ( 3 ) = 3 En este cso se dice que l función f present un slto de discontinuidd en x = 3, siendo est discontinuidd inevitble. Tmbién podemos decir que l función es discontinu en x = 3. Ejemplo x 6 si x < Se l función gx ( ) = Queremos estudi l continuidd en x = & 3 x si x

14 Mtemátics de º de bchillerto Págin 8 Continuidd de funciones Vemos: ) g( ) g( x) es continu en x = b) lim g( x) c) lim g( x) = g( ) Estudiemos l condición ) : 3 g( ) = ( ) = 3. Por tnto, l imgen de & y vle &3. Estudiemos l condición b) : En este cso es necesrio hllr los límites lterles. 3 3 lim gx ( ) = lim ( x 6) = ( ) 6= 3 6 = 3 lim gx ( ) = lim gx ( ) = lim x = ( ) = Por tnto, el límite de g (x) cundo x tiende & y su vlor es &3. Estudiemos l condición c) : lim gx ( ) = g( ) = 3 Conclusión : L función g es continu en el punto x = & Dibujemos l gráfic de g(x): Tbls de vlores x<& 3 y = x 6 x $& y = 3 x &4 0 & &3 & & & &3 + & + &3 + En l figur 9 pueden precirse lo obtenido nlíticmente, esto es: g( ) = 3 lim gx ( ) = 3 Nótese que l gráfic puede dibujrse en x = & y proximiddes sin necesidd de levntr el lápiz Ejemplo 6.- x si x < Se l función hx ( ) = 4 si x =. Estudir su comportmiento en x = y proximiddes. si x > Vemos: 3 Pr x = tenemos que h () = 4. Por tnto, 0D h 3 Estudiemos el límite de h(x) cundo x tiende.

15 Mtemátics de º de bchillerto Págin 9 Continuidd de funciones lim hx ( ) = lim x = ( ) lim hx ( ) = lim hx ( ) = lim = + + Debe comprenderse el siguiente significdo: 9 Pr vlores de x infinitmente próximos por su izquierd, ls imágenes h(x) tomn vlores infinitmente próximos por su izquierd 9 Pr vlores de x infinitmente próximos por su derech, ls imágenes h(x) tomn exctmente el vlor " 3 Estudiemos l continuidd en el punto x =. h( ) = 4 lim hx ( ) = lim hx ( ) h( ) h (x) no es continu en x = x 3 Dibujemos l gráfic de l función: Tbls de vlores x < y = x x > y = & & + En l figur 0 hemos representdo ls dos semirrects que componen l función h(x) y el punto (,4) que tmbién pertenece l gráfic de h(x). Apréciese que hemos expresdo l ide de que ls rects se proximn l punto (,), pero no lo toc por ninguno de los dos ldos (señldo con un punto ") Digmos tmbién que l función h es discontinu en x =, pero se trt de un discontinuidd evitble porque si hcemos h() = en lugr de h() = 4, entonces l función será continu en x =. 4.Otr definición de continuidd de un función en un punto.- Se f (x) un función rel de vrible rel. Se D f el dominio de f. Es evidente que D f = ú o D f d ú Se un número rel del dominio de f, es decir, 0D f Vmos dr un nuev definición l concepto de continuidd de l función f en el punto. Recuerd que l función f puede ser continu o discontinu en el punto x = Se dice que l función f es continu en el punto x =, si pr culquier entorno que tomemos, de centro f (), siempre otro entorno de centro, tl que si x está en este último, su imgen f (x) está en el primero

16 Mtemátics de º de bchillerto Págin 0 Continuidd de funciones Anlicemos detenidmente est definición: ± Como l definición está dd pr un punto del dominio, sbemos que f (). ± Aunque f (), l función puede ser continu o discontinu en. Pr que f se continu en, debe ocurrir que: º Si tommos un entorno culquier de centro f () ÿÿ Comentrio: Ese entorno que elegimos nuestro ntojo, tendrá de centro l número f () y su rdio será del tmño que nosotros quermos. Si representmos ese entorno, estrá situdo en el eje de ordends (y que f () está llí). º Pr el entorno nterior, debe existir otro entorno de centro ÿÿ Comentrio: Este entorno se obtiene prtir del nterior y su rdio y no es nuestro ntojo, sino que viene condiciondo por el rdio del otro. Como el centro es, ese entorno estrá situdo en el eje de bciss (que es donde está el punto x = ). º Tl que si tommos un número culquier del último entorno ÿÿ Comentrio: Culquier número x que tomemos del entorno de centro obtenido nteriormente, será un numero del eje de bciss. º Entonces, l imgen de ese número x, es decir, f (x), debe estr dentro del primer entorno, es decir, f (x) debe estr en el eje de ordends y dentro del entorno de centro f () que hbímos elegido l principio. Pues bien, cundo esto ocurre pr culquier entorno que elijmos de centro f (), se dice que l función f es continu en el punto. (y) A l derech tenemos l definición nterior (recudro de l págin 9) en form mtemátic: f ( x) continu en x = c E f E si x E entonces f x E f ( ( )), ( ) ( ), ( ) ( ( )) ε α α ε Expliquemos gráficmente est definición (figur )

17 Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones figur. En est figur tenemos un función f (x) continu en x =. Obsérvese que trvies l rect verticl x = de un modo continuo, es decir, sin dr un slto. Vemos que f cumple l definición de ser continu en. figur.c A prtir del entorno nterior hemos obtenido el entorno de centro y rdio δ, que está situdo en el eje de bciss. Nótese como hemos obtenido &δ pr conseguir que esté en el centro de E δ () = (&δ, +δ) figur.b En est figur se puede precir que hemos tomdo un entorno de centro f () y rdio ε, situdo en el eje de ordends. El entorno es E ε (f ()) = (f ()&ε, f ()+ε). Recordemos que el vlor de ε es el quermos. figur.d En est figur hemos tomdo un α culquier del entorno E δ () y podemos precir que su imgen f (α) pertenece l entorno E ε (f ()), es decir: Si α0e δ (), se verific que f (α)0e ε (f ()) L definición mtemátic (y) l podemos modificr si considermos lo siguiente: Î Identificmos E ε (f ()) con ε, es decir, en lugr de expresr pr todo entorno de centro f () y rdio ε, expresmos pr todo ε, y que pr culquier entorno que consideremos, el centro es siempre f (), mientrs que lo que vrí es el rdio ε. Ï Identificmos E δ () con δ, es decir, en lugr de expresr un entorno de centro y rdio δ, expresmos un δ, y que el entorno que se supone tiene siempre de centro, pero el rdio δ es vrible (depende de ε). Ð L expresión x0e δ () podemos modificrl considerndo que: x E ( ) x (, + ) < x < + Ñ L expresión f(x)0e ε (f ()) podemos modificrl considerndo que: ( ) f ( x) Eε f ( ) f ( ) ε < x < f ( ) + ε L nuev definición será: (yy) f ( x) es continu en x = c ε> 0, > 0 si < x < +, entonces f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε Nuevmente, l definición (yy)puede modificrse si considermos lo siguiente: () < x < + < x < x < ( ) f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε ε < f ( x) f ( ) < ε f ( x) f ( ) < ε L nuev definición será: (yyy) f ( x) es continu en x = c ε> 0, > 0 si x <, entonces f ( x) f ( ) < ε Est últim definición puede interpretrse del siguiente modo: f es continu en si pr culquier número positivo ε, otro número positivo δ tl que si x es un número que dist de menos de δ, entonces su imgen f (x) dist de f () menos de ε.

18 Mtemátics de º de bchillerto Págin Continuidd de funciones Ejemplo L función f ( x) = x + tiene por gráfic un rect y es continu en todo punto. 4 Considerndo esto, comprobr l definición nterior pr x = y un ε = 0, es decir, encontrr el δ que corresponde ese ε. Vemos: f continu en ε > 0, > 0 si x <, entonces f ( x) f ( ) < ε Sbemos (el enuncido nos lo grntiz) que l función f es continu en x =. Por tnto, si tommos ε = 0, debe existir un δ. Busquemos es δ.: f ( x) f ( ) < { x + < 0 3 x 3 < ( ) Aclremos (*) : Se debe que f ( x) = x + y que f ( ) = + = Multiplicmos l últim desiguldd por (pr eliminr el denomindor): 3 3 ( ) x 3 < 0 x 3 < 0 3x 6 < 0 3 ( x ) < 0 3 x < 0 3 x < 0 x < x < x < 3 3 Observ que hemos demostrdo que x < f ( x) f ( ) < Por tnto: Si x < entonces 5, f x f < 0 Conclusión: = Lo nterior nos hce grntizr que si tommos un vlor pr x que diste de menos de /5, su imgen f (x) distrá de f ()=7/4 menos de 0. Hgmos un comprobción: su imgen 33 ( ) ( ) Tommos x = + = E f = + = = Observ como f ( ) f ( ) = = = < 0 = ε Ejemplo 8.- Queremos verigur en qué puntos l función f ( x) = x + + x si x 0 ( ) f ( x) = x + + x x + ( x ) si x < 0 ( ) es discontinu. Vemos: Como l función está compuest de un vlor bsoluto, conviene definirl por intervlos. De l inecución (*) : x 0 x x

19 Mtemátics de º de bchillerto Págin 3 Continuidd de funciones De l inecución (**): x < 0 x < x < Por tnto: x x + si x < f ( x) = es l función f dd por intervlos. x + x si x Observ que: A l izquierd de x = 0 5 l gráfic de l función es un prábol ( y = x &x+) cortd. A l derech de x = 0 5 l gráfic de l función es otr prábol ( y = x +x) cortd. Estudiemos l continuidd en un punto < : f ( x) es continu en x = ) f ( ) b) lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( ) En el recudro de l derech tenemos demostrdo que f (x) es continu en todo ( ) x, ) f ( ) = + b) lim f ( x) = lim ( x x + ) = = + c) lim ( ) ( ) = = + Estudiemos l continuidd en un punto > : ) f ( ) f ( x) es continu en x = b) lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( ) En el recudro de l derech tenemos demostrdo x +, que f (x) es continu en todo ( ) Por tnto, l función es continu en (, ) (, + ) ) f ( ) = + b) lim f ( x) = lim ( x + x) = = + c) lim ( ) ( ) = = + Nos qued estudir l continuidd en el punto =. Vemos: f ( x) es continu en ) f ( ) b) lim f ( x) c) lim f ( x) = f ( )

20 Mtemátics de º de bchillerto Págin 4 Continuidd de funciones 5 ) f( ) = ( ) + = + = ( limgende ) 4 4 b) En este cso debemos estudir los límites lterles: 5 lim f ( x) = lim ( x x + ) = ( ) + = + = = ( ) ( ) 5 lim f ( x) = 5 4 lim f ( x) = lim ( x + x) = ( ) + = + = = ( ) ( ) 5 c) lim f ( x) = f ( ) = 4 Por tnto, l función f es continu en x = 0 5 Conclusión finl: L función f es continu en todo ú, esto es, en ningún punto es discontinu. Ejemplo 9.- En este ejemplo vmos representr l función del ejemplo nterior y comprobremos los resultdos obtenidos en él. Vemos: gx ( ) = x x + Ls funciones son prábols. hx ( ) = x + x ( ( )) ( ) ( ) gx ( ) = x x + VerticeV &, g =, 0 ( ) ( ) hx ( ) = x + xvertice & W, h =, x < 0 5 y = x &x & & 9 Pr dibujr f, dibujmos ls prábols nteriores y posteriormente considermos los intervlos donde cd un de ells está definid. 4 9 x $ 0 5 y = x +x figur En ls tbls de l izquierd hemos ddo vlores ls prábols. Ls celds sombreds corresponden los puntos que pertenecen l función f (x). En l figur se preci como l función f (x) es continu en todo ú, incluido el punto x = 0 5, y que en este no se produce ningún slto de discontinuidd.

21 Mtemátics de º de bchillerto Págin 5 Continuidd de funciones 5.Continuidd de un función en un intervlo bierto.- 3 Se f (x) un función rel de vrible rel de dominio D f 3 Se A un intervlo bierto de ú, es decir, A = (,b) = { x0ú* < x < b } Se dice que l función f es continu en el intervlo bierto A, si es continu en cd punto de A Es decir: f continu en A c A, es f continu en c Vemos l interpretción gráfic de este concepto: figur 3. En est figur tenemos l gráfic de un función continu en todo el intervlo bierto (,b). Nótese que l gráfic trvies l frnj verticl formd por ls rects x = y x = b sin sltos, es decir, sin discontinuiddes. Puede precirse que en todo punto c de A, f es continu. No es necesrio que l gráfic corte ls rects x= y x = b figur 3.b En este cso l gráfic corresponde un función que trvies l frnj delimitd por los extremos del intervlo dndo un slto en un punto c de A. Hemos indicdo los límites lterles de f (x) cundo x tiende c, es decir, l y k. En c discontinuidd inevitble. L función no es continu en A. figur 3.c En este cso tmpoco l función es continu en el intervlo bierto A = (,b) porque en c0(,b) un discontinuidd evitble (señld con un punto blnco), es decir, l gráfic no trvies l frnj del intervlo si dr sltos. Podrímos hcer que f fuese continu en A, con sólo dr el vlor f (c) = k. En el bloque correspondiente l figur 3., hemos dicho que no es necesrio que l gráfic de l función corte ls rects x = y x = b. Ello es debido que los puntos y b no pertenecen l intervlo A = (,b), por lo que no se exige que l función se continu en ellos. Es posible que f (x) se discontinu en los puntos x = y x = b y se continu en el intervlo bierto A = (,b). Vemos un ejemplo de un función en l que se d l circunstnci de ser continu en un intervlo bierto (,b) y no serlo en los puntos y b.

22 Mtemátics de º de bchillerto Págin 6 Continuidd de funciones Ejemplo 0.- Se l función f ( x) =. x 9 Es evidente que D f = ú&{&3, 3 }= (&4,&3)c(&3,3)c(3,+4) Como f (&3) y f (3) no, f no es continu en &3 ni en 3. Si 0D f, es decir, si &3 y 3 se verific que: ) f ( ) = R, es decir, f () 9 b) lim f ( x) = lim, es decir,. x = 9 9 R c) lim f ( x) = f ( ) = 9 Por tnto, f es continu en todo su dominio, es decir: ] f (x) es continu en el intervlo (&4,&3) ] f (x) es continu en el intervlo (&3,3) ] f (x) es continu en el intervlo (3,+4) Vemos qué ocurre en x = &3: lim f ( x) = lim = = + = x 9 ( 3 ) 9 0 lim f ( x) = lim = + = = x 9 ( 3 ) 9 0 Vemos qué ocurre en x = 3: lim f ( x) = lim = = = 3 3 x 9 ( 3 ) 9 0 lim f ( x) = lim = + = + = x 9 ( 3 ) 9 0 En l figur 4 tenemos l gráfic de l función en l que se preci que x = &3 y x = 3 son síntots verticles. En x = &3 es por l izquierd hci rrib y por l derech hci bjo En x = 3 es por l izquierd hci bjo y por l derech hci rrib. 6.Continuidd de un función en su dominio.- Se y = f (x) un función rel de vrible rel. Se D f dú su dominio. Se dice que l función f es continu en su dominio, si es continu en cd punto de él Es decir: f es continu en D f ] œ 0D f, f es continu en Gráficmente se interpret como que l líne que represent l función f puede dibujrse lo lrgo de todo su dominio sin levntr el lápiz del ppel, es decir, su gráfic no present ni sltos ni gujeros en su dominio (fuer de este l gráfic no ). Ejemplo.- Se l función polinómic de grdo y = f ( x) = x5. Su dominio es todo ú, es decir, D f = ú.

23 Mtemátics de º de bchillerto Págin 7 Continuidd de funciones Su gráfic es un rect, es decir, puede dibujrse lo lrgo de todo ú sin sltos de discontinuidd. Comprobemos que es continu en culquier punto 0ú. En efecto: º) f ( ) f continu en R º) lim f ( x). 3º) lim f ( x) = f ( ) Vemos que se cumplen ls tres condiciones, siendo un número culquier de ú: º) f ( ) = 5= un nº rel, es decir,. º) lim f ( x) = lim ( x 5) = 5= nº rel, es decir,. 3º) lim f ( x) = f ( ) = 5 Por tnto, f (x) = x&5 es continu en todo 0ú 7.Continuidd lterl en un punto.- Se y = f (x) un función rel de vrible rel. Se un número rel, es decir, 0ú. Vmos definir en concepto f continu en por su izquierd º) f ( ) f ( x) es continu en x = por suizquierd º ) lim f ( x) 3º ) lim f ( x) = f ( ) Es decir, f (x) es continu en x =, por su izquierd, si y sólo sí se cumplen tres condiciones: º) pertenece l dominio de f º) Existe el límite de f (x) cundo x tiende por su izquierd. 3º) El limite nterior coincide con l imgen de. Vemos l interpretción gráfic de este concepto:

24 Mtemátics de º de bchillerto Págin 8 Continuidd de funciones figur 5. En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) cuy imgen en ( f () ) coincide con su límite cundo x 6 &, es decir: lim f ( x) = f ( ) L función f es continu en por su izquierd. Nótese que en este cso no f (x) l derech de figur 5.b En este cso l función f tmbién es continu en por su izquierd, y que: lim f ( x) f ( ) x = Nótese que l función tmbién l derech de, siendo: f ( ) = lim f ( x) lim f ( x) = k + figur 5.c En est figur tenemos l gráfic de un función que no es continu en x = por su izquierd. Puede precirse lo siguiente: f ( ) lim f ( x) = l f ( ) lim f ( x) = f ( ) + por lo que no es continu por l izquierd de. Vemos otr form de definir l continuidd por l izquierd de un punto: f (x) es continu en por su izquierd, si pr todo entorno de centro f () y rdio ε, otro entorno de centro y rdio δ, tl que si x está en l mitd izquierd de este último, su imgen f (x) pertenece quel. Mtemáticmente: f ( x) continu en, por su izquierd c ε> 0, δ > 0 si δ < x < entonces f ( ) ε< f ( x) < f ( ) + ε Nótese que l expresión δ < x < equivle que x pertenece l mitd izquierd de E δ () Nótese que l expresión f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε equivle que f (x) 0E ε (f ()). Vemos l interpretción gráfic de est definición: figur 6. : En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) que es continu en x = por su izquierd. Hemos tomdo un ε > 0 culquier y considerdo el intervlo bierto (entorno de centro f ()) (f ()&ε,f ()+ ε ).

25 Mtemátics de º de bchillerto Págin 9 Continuidd de funciones figur 6.b : Podemos precir como, prtir del intervlo (f ()&ε,f ()+ ε ), esto es, prtir de ε, obtenemos el intervlo (&δ, +δ), esto es, obtenemos δ >0. figur 6.c : Aquí podemos ver como si tommos un x culquier, situdo en l mitd izquierd del entorno E δ () = (&δ, +δ), su imgen f (x) pertenece l entorno E ε (f ()) = (f ()&ε,f ()+ ε ). Ahor vmos definir en concepto f continu en por su derech º) f ( ) f ( x) es continu en x = por su derech º) lim f ( x) + 3º) lim f ( x) = f ( ) + Es decir, f (x) es continu en x =, por su derech, si y sólo sí se cumplen tres condiciones: º) pertenece l dominio de f º) Existe el límite de f (x) cundo x tiende por su derech. 3º) El limite nterior coincide con l imgen de. Vemos l interpretción gráfic de este concepto: figur 7. En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) cuy imgen en ( f () ) coincide con su límite cundo x 6 +, es decir: lim f ( x) = f ( ) + L función f es continu en por su derech. Nótese que en este cso no f (x) l izquierd de figur 7.b En este cso l función f tmbién es continu en por su derech, y que: lim f ( x) f ( ) = + Nótese que l función tmbién l izquierd de, siendo: f ( ) = lim f ( x) lim f ( x) = l + figur 7.c En est figur tenemos l gráfic de un función que no es continu en x = por su derech. Puede precirse lo siguiente: f ( ) lim f ( x) = f ( ) lim f ( x) = k f ( ) + No es continu por l derech de, lo es por l izquierd. Vemos otr form de definir l continuidd de un función por l derech de un punto: f (x) es continu en por su derech, si pr todo entorno de centro f () y rdio ε, otro entorno de centro y rdio δ, tl que si x está en l mitd derech de este último, su imgen f (x) pertenece quel.

26 Mtemátics de º de bchillerto Págin 0 Continuidd de funciones Mtemáticmente: f ( x) continu en, por su derech c ε> 0, δ > 0 si < x < + δ entonces f ( ) ε< f ( x) < f ( ) + ε Nótese que l expresión < x < + δ equivle que x pertenece l mitd derech de E δ () Nótese que l expresión f ( ) ε < f ( x) < f ( ) + ε equivle que f (x) 0E ε (f ()). Vemos l interpretción gráfic de est definición: figur 8. En est figur tenemos l gráfic de un función f (x) que es continu en x = por su derech. Hemos tomdo un ε > 0 culquier y considerdo el intervlo bierto de centro f () y rdio ε>0, o se, (f ()&ε,f ()+ ε ). figur 8.b Podemos precir como, prtir de dicho entorno del eje Y, es decir, del intervlo bierto (f ()&ε,f ()+ ε ), esto es, prtir de ε, obtenemos el intervlo, en el eje X, (&δ, +δ), esto es, obtenemos δ >0. figur 8.c Aquí podemos ver como si tommos un x culquier, situdo en l mitd derech del último entorno, es decir, de E δ () = (&δ, +δ), su imgen f (x) pertenece l primer entorno, es decir, E ε (f ()) = (f ()&ε,f ()+ ε ). Es evidente que un función es continu en x = sí y sólo sí lo es por mbos ldos. Ejemplo.- Se l siguiente función definid por intervlos: f ( x) = x + 3 si x x + 7 si x > Queremos estudir su continuidd en x = Vemos: Observmos que en x = se produce un cmbio en l form y specto de l función f Pr estudir l continuidd en ese punto es necesrio estudir ls continuiddes lterles Estudiemos l continuidd en x = por su izquierd.

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