Examen con soluciones
|
|
- María Josefa Maldonado Montero
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Cálculo Numérico I. Grdo en Mtemátics. Exmen con soluciones. Decidir rzondmente si ls siguientes firmciones son verdders o flss, buscndo un contrejemplo en el cso de ser flss (.5 puntos): () Si f(x) cmbi de signo en el intervlo [, b] entonces el método de bisección en ese intervlo converge necesrimente un ríz de l ecución f(x) = 0. Flso. No se dice que l función se continu, luego podrí cmbir de signo sin que exist un α [, b] tl que f(α) = 0. Por ejemplo, l función f(x) = /(x ) cmbi de signo en [0.5, ] y el método de bisección converge, que no es un solución de f(x) = 0. (b) Se f(x) infinitmente derivble en R y tl que f(α) = 0, f (α) 0. Entonces, existe un entorno de α tl que el método de Newton converge pr todo vlor inicil x 0 en ese entorno y demás lo hce necesrimente con orden de convergenci. Flso. Si l ríz fuer tl que f (α) = 0 entonces l convergenci serí linel (de orden ). El método de Newton es x n+ = g(x n ) con g(x) = x f(x)/f (x) y tenemos que g (x) = f(x)f (x)/f (x) y si f (α) = 0 no podemos decir que g (α) = 0. Así, si por ejemplo f(x) = (x α) h(x) con h(α) 0 y h(x) suficientemente derivble, es fácil comprobr (ver hoj de problems) que lim x α g (x) = lo que demuestr l convergenci de orden (ver teorem del punto fijo). (c) Sen (x i, y i ), i =,..., n con x i x j si i j. Entonces existen infinitos polinomios P (x) de grdo n tles que P (x i ) = y i. Cierto. Sbemos que existe un único polinomio Q(x) de grdo menor o igul que n cumpliendo Q(x i ) = y i (el polinomio de interpolción de Lgrnge), pero polinomios de myor grdo (por ejemplo de grdo n) hy infinitos. En concreto, ddo el polinomio de interpolción de Lgrnge Q(x), el polinomio P (x) de grdo n P (x) = Q(x) + γ(x x )(x x )... (x x n ) verific P (x i ) = y i pr culquier γ. (d) Sen los polinomios Q n (x) = (x x )...(x x n ) donde x i = cos((k /) π n ), k =,... n. Entonces mx x [,] Q n (x) tiende cero cundo n tiende +. Cierto. Estmos considerndo los nodos de Chebyshev, luego el polinomio mónico Q n (x) es el polinomio de Chebyshev normlizdo Q n (x) = T n (x) = n T n (x), y como sbemos que mx x [,] T n (x) = el resultdo es evidente. (e) Tod regl de cudrtur f(x)dx m verific que bp p p = n i= n i= w i f(x i ) de grdo de exctitud w i x p i, pr p =,...m. Cierto. Por definición de grdo de exctitud, si el grdo de exctitud es m quiere decir que l cudrtur es exct pr todos los polinomios de grdo menor o igul que m, y en prticulr es exct pr integrr x p, p =,...m, luego n x p dx = w i (x i ) p i=
2 y l integrl es, por supuesto, (b p p )/p.. Resolver los siguientes problems (.5 puntos) () Se l función f(x) = x log(x) x +. Se pide i) Demostrr que l ecución f(x) = 0 tiene un únic solución rel. ii) Encontrr un intervlo en el que el método de Newton converge pr culquier vlor inicil x 0 en ese intervlo. iii) Prtiendo de x 0 = 0. (que es un vlor próximo l ríz y que grntiz convergenci) clculr l ríz medinte el método de Newton con cutro dígitos correctos. i) Primero observmos que f es continu en R + y que f(0 + ) = mientrs que f(+ ) =, luego l menos tiene un ríz rel. Derivndo f (x) = +log(x) 4x y tenemos que f (0 + ) = y f (+ ) = ; demás, como f (x) = /x 4, l primer derivd f (x) tiene un único extremo reltivo, donde demás lcnz su máximo vlor, que es f (/4) = log(/4) < 0. Por lo tnto f (x) < 0 pr todo x > 0, es decir, que es un función estrictmente decreciente, luego sólo puede tener un cero. ii) De lo nterior vemos que f (x) < 0 si x > /4; demás f (x) < 0. Por otr prte tenemos que f(/4) > 0, y por lo tnto el cero está en x > /4. Es inmedito comprobr gráficmente (como vimos en teorí), que, siendo l función decreciente y convex en x > /4, el método de Newton proporcion convergenci pr culquier x 0 en un intervlo [, b] con /4 < α < b siendo α l ríz de f (f(α) = 0). Con estos rgumentos l convergenci está segurd pr culquier x 0 en [/4, + ) (y no es difícil demostrr que, de hecho, converge pr culquier x 0 > 0). iii) Se trt simplemente de iterr x n+ = g(x n ), g(x) = x f(x)/f (x), hst obtener dos vlores cuyos cutro primeros dígitos significtivos coincidn. Tenemos x 0 = 0., e iterndo x = , x = , x = (b) Dd f(x) = + x se pide: i) Obtener medinte el esquem de diferencis dividids el polinomio de menor grdo P (x) tl que f( ) = P ( ), f(0) = P (0), f() = P (). Obtener demás un cot pr mx x [,] f(x) P (x). ii) Se hor el polinomio de menor grdo Q(x) que verific ls condiciones de interpolción de P (x) y, demás, ls condiciones dicionles Q ( ) = f ( ) y Q () = f (). Obtener este polinomio y cotr mx x [,] f(x) Q(x) i) Clculmos ls diferencis dividids, bsándonos en l propiedd f[x i, x i+,... x i+n ] = f[x i+, x i+,... x i+n ] f[x i, x i+,... x i+n ] x i+n x i Lo hcemos utilizndo l tbl hbitul: x i f[] f[, ] f[,, ] x 0 = x = 0 x =
3 El polinomio de interpolción lo podemos escribir P (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x ](x x 0 ) + f[x 0, x, x ](x x 0 )(x x ) y ls diferencis divids son los primeros elementos de cd column, de izquierd derech, es decir que P (x) = (x + ) + (x + )x. En cunto l error, por l fórmul del resto tenemos: f(x) = P (x) + f () (c) (x x 0 )(x x )(x x )! pr cierto c (x 0, x ) = (, ). Entonces, como f () (x) = /( + x) 4 tenemos que R(x) = f(x) P (x) = 4 (x + )x(x ) mx ( + c) x [,] x(x ). Nos flt encontrr los extremos de p(x) = x(x ). Hcemos p (x) = x = 0, luego los extremos reltivos están en x = ±/, donde p(±/ ) =. Por lo tnto mx R(x) x [,] ii) Tenemos hor que considerr un interpolción de Hermite en l que el nodo x 0 = prece dos veces, l igul que el nodo x =. L tbl de diferencis dividids se puede completr prtir de l nterior umentndo por rrib (repitiendo x 0 ) y por bjo (repitiendo x ). Cundo se repiten nodos, hemos de utilizr l propiedd f[[x i ] n+ ] = f (n) (x 0 ). n! Los vlores clculdos con est propiedd son f[x 0, x 0 ] = f (x 0 ) = y f[x, x ] = f (x ) = /9. L tbl qued: x i f[] f[, ] f[,, ] f[,,, ] f[,,,, ] x 0 = f (x 0 ) = x 0 = x = 0 8 x = 8 x = Entonces el polinomio es f (x ) = 9 8 P (x) = f[x 0 ]+f[x 0 x 0 ](x x 0 )+f[x 0 x 0 x ](x x 0 ) +f[x 0 x 0 x x ](x x 0 ) (x x )(x x ) donde ls diferencis dividids son, de nuevo, ls primers de cd column y de izquierd derech, es decir: P (x) = (x + ) + (x + ) (x + ) x + 8 (x + ) x(x )
4 El error se puede escribir R(x) = f(x) P (x) = f (5) (c) (x x 0 ) (x x )(x x ) = 5! ( + c) x(x ) Pr cotr el vlor bsoluto de p(x) = x(x ) en [, ] derivmos p (x) = (x ) + 4x (x ) = (x )(5x ). Tenemos extremos reltivos en x = ± y x = ±/ 5 y como p(±) = 0 y p(±/ 5) = 5 5 : (c) Dd l integrl se pide mx R(x) x [,] 5 5 I(f) = e x dx i) Obtener un espcido entre nodos, h, que grntice que l regl de Simpson compuest permite proximr l integrl con un error bsoluto menor que ii) Aproximr numéricmente l integrl medinte l regl de Simpson compuest pr ese vlor de h. Tenemos que utilizr que f(x)dx = h (f 0 + f n ) + h m i= f i + 4h m f i i= (b )h4 f (4) (τ) 80 pr cierto τ [, b]; h = (b )/n, n = m; x j = + jh, j = 0,..., n; f j = f(x j ). Lo primero es cotr el error pr determinr h. Tenemos que exigir que )h4 (b f (4) (τ) Trs un cálculo sencillo llegmos que f(x) = e x tiene ls siguientes derivds curt y quint: f (4) (x) = 4e x (4x 4 x +) y f (5) (x) = 8xe x (4x 4 0x + 5). Los extremos reltivos de f (4) (x) están entonces en x = 0 y en ls soluciones de 4x 4 0x +5 = 0, que resultn estr fuer del intervlo de integrción [ 0.5, 0.5]. Por lo tnto los máximos vlores de f (4) (x) en este intervlo pueden estr en x = 0 o en los extremos del intervlo. Es fácil ver que este máximo vlor está en x = 0, donde f (4) (0) =. Por lo tnto )h4 (b f (4) (τ) 80 h4 80 = h4 5. Tommos entonces h 4 /5 < , es decir, h < 0.94 o, lo que es lo mismo n > (b )/h =.98. Entonces, considermos n = 4 (luego h = 0.5) que demás es pr (como debe ser pr el método de Simpson pues n = m). Tenemos que plicr hor l regl de Simpson pr los nodos x j = + jh, j = 0,..., 4, h = 0.5, es decir x 0 = 0.5, x = 0.5, x = 0, x = 0.5, x 4 = 0.5. Tenemos, pr f(x) = e x, e x dx 0.5 (f( 0.5) + f(0.5)) f(0) (f( 0.5) + f(0.5)) =
5 . Resolver los dos siguientes ejercicios prácticos (cutro puntos) () Escribir un progrm, secnt.m que, dd un función f (que escribirímos en un fichero), plique el método de l secnte pr clculr un ríz de f con un precisión reltiv ɛ. Ls primers lines del progrm deberán ser: function it=secnt(x0,x,eps) % Entrds: (x0,x,eps) % x0,x: vlores iniciles % eps: tolernci bsolut % Slids: % it: vector de longitud n con ls sucesivs prox l riz Solución: pr este ejercicio no se d solución explícit pues no hy un únic form de progrmr el lgoritmo. (b) Completr ls línes 4, 9 y 0 function c=difdiv(x,y) n=length(x); i=0; 4 c= ; 5 while i<n j=n+; 7 i=i+; 8 while j>i+ 9 j= ; 0 c( )=(c( )-c( ))/(x( )-x( )); end end Solución: este es el lgoritmo de diferencis dividids (ver correspondiente práctic). Líne 4: c=y; Líne 9: j=j-; Líne 0: c(j)=(c(j)-c(j-))/(x(j)-x(j-i)). (c) Dd f(x)dx, se pide escribir un progrm que clcule sucesivs estimciones de l integrl medinte l regl trpezoidl compuest T n (f) = h n (f 0 + f n ) + h f i, pr vlores n = k, k = 0,,..., N (tomndo, por ejemplo, N = ) y que, simultánemente, evlúe l regl de Simpson utilizndo l relción i= S n (f) = 4T n(f) T n (f), siendo S m l regl de Simpson compuest con m + nodos. El lgoritmo deberá prr si l diferenci en vlor bsoluto entre dos estimciones sucesivs de l regl de Simpson es menor que l tolernci de error ɛ. Solución: pr este ejercicio no se d solución explícit pues no hy un únic form de progrmr el lgoritmo.
Apellidos:... Nombre:... Examen
Cálculo Numérico I. Grado en Matemáticas. Curso 0/0. 0 de Junio de 0 Apellidos:... Nombre:... Examen. Decidir razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, buscando un contraejemplo
Más detallesParte 7. Derivación e integración numérica
Prte 7. Derivción e integrción numéric Gustvo Montero Escuel Técnic Superior de Ingenieros Industriles Universidd de Ls Plms de Grn Cnri Curso 006-007 Los problems de derivción e integrción numéric El
Más detallesLas integrales que vamos a tratar de resolver numéricamente son de la forma I = f(x)dx
Cpítulo 3 Integrción Numéric 3.1. Introducción Ls integrles que vmos trtr de resolver numéricmente son de l form f(x)dx donde [, b] es un intervlo finito. Sbemos que l integrl definid (de Riemnn) de un
Más detallesProfesor Francisco R. Villatoro 8 de Marzo de 1999
Octv relción de problems Técnics Numérics Profesor Frncisco R. Villtoro 8 de Mrzo de 1999 Ejercicios de los tems de derivción e integrción numérics. 1. Un regl de integrción gussin o de Guss se define
Más detallesElementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cuatrimestre 2017
Universidd de Buenos Aires - Fcultd de Ciencis Excts y Nturles - Depto. de Mtemátic Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico Segundo Cutrimestre 17 Práctic N 8: Integrción Numéric - Métodos Multipso
Más detallesMétodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.
Más detallesMETODOS NUMERICOS TALLER 7, SEMESTRE Se obtuvieron los siguientes datos de la distancia recorrida por un cohete contra el tiempo:
METODOS NUMERICOS 697 TALLER 7, SEMESTRE Tem: Derivción e integrción numérics Se recomiend relizr los ejercicios propuestos en el texto guí, en prticulr los siguientes: Sección :,,, 7, 8,, Sección :, 8
Más detalles1.4. Sucesión de funciones continuas ( )
1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:
Más detallesTarea Número 4. MA0501 Análisis Numérico I Prof: Oldemar Rodríguez Rojas Fecha de entrega: Viernes 14 de octubre del 2014.
MA0501 Análisis Numérico I Pro: Oldemr Rodríguez Rojs Fech de entreg: Viernes 1 de octubre del 01 Tre Número 1 Desrrolle unciones itertivs y recursivs en Mthemtic pr los lgoritmos de los métodos de: iterción
Más detallesClase No. 18 (Segunda parte): Cuadratura Gaussiana MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 10
Clse No. 18 (Segund prte): MAT 251 Cudrtur Gussin Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 15.10.2012 1 / 10 Introducción Se un función f : [, b] R continu. Dd un prtición = x 0 < x 1 < x 2 < < x
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn
Más detallesIntegración Numérica
Métodos Numéricos: Integrción Numéric Edurdo P. Serrno Versión previ br 1 1. L integrl. Considermos el problem de clculr l integrl: If) = fx) dx donde f es un función continu. El vlor If) puede clculrse,
Más detalles5.5 Integración numérica
88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l
Más detallesComplementos de Matemáticas, ITT Telemática
Complementos de Mtemátics, ITT Telemátic Tem 3. Deprtmento de Mtemátics, Universidd de Alclá Índice 1 básic 2 Obtención de ls regls de cudrtur 3 Error de cudrtur 4 Regls compuests Introducción Integrl
Más detallesIntegración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg
Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.
Más detallesTeorema fundamental del Cálculo.
Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.
Más detallesCÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic Aplicd CÁLCULO NUMÉRICO (58 Tercer Prcil (% Jueves 7/9/ Se l fórmul de diferencición numéric f(x f(x + + f(x + f ''(x Usndo series
Más detallesLA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.
Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función
Más detalles2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )
Más detallesDpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3
Dpto. de Mtemátics. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13 Problems. Hoj 3 Problem 1. Escrib explícitmente l mtriz de iterción M del método de Jcobi. Acotndo el rdio espectrl de M por l norm infinito dé un condición
Más detallesClase No. 19: Integrales impropias MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 17
Clse No. 19: Integrles impropis MAT 251 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 23.1.213 1 / 17 Integrndos con singulriddes (I) Cundo el integrndo o lgun de sus derivds de bjo orden tienen un singulridd
Más detallesGrado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
Más detallesIntegración Numérica. 18 Regla del Trapecio
Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método
Más detallesTema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesE.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.
Más detallesDerivación e integración
Cpítulo Derivción e integrción. Fórmuls de tipo interpoltorio En est sección nlizmos el problem de evlur cierto funcionl linel, L, prtir del conocimiento de funcionles lineles prticulres sobre f. Más precismente,
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y f (x) y el eje OX desde un punto y fx fx hst
Más detallesIntegrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas
Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos
Más detallesLa integral de Riemann
L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior
Más detallesMÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)
Más detallesINTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo
Más detallesMatemáticas Empresariales I. Integral Definida
Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid
Más detallesIntegrales de funciones de una variable.
Tem Integrles de funciones de un vrible... L integrl definid como áre. L integrl definid de un función cotd y positiv corresponde l áre encerrd entre l curv y fx) y el eje OX desde y f x f x un punto hst
Más detalles0 x+2y=1. x+(a+4)y+(a+1)z=0 -(a+2)y +(a 2 +3a+2)z=a+4. a+1 a 2 +3a ± ±2
JUNIO DE 8. PROBLEMA A. Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible: x+ x+(+4)+(+)z (+) +( +3+)z+4 (3 PUNTOS) Aplicmos el método
Más detallesIntegración Numérica. Las reglas de Simpson.
Integrción Numéric. Ls regls de Simpson. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM
Más detalles2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos
1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos
Más detallesIntroducción a la interpolación y a la integración numérica
Tem 3 Introducción l interpolción y l integrción numéric 3.1. Introducción l interpolción Un problem que se present con frecuenci en ls ciencis experimentles y en ingenierí es trtr de construir un función
Más detallesFórmulas de cuadratura.
PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid
Más detallesFunciones de una variable real II Integrales impropias
Universidd de Murci Deprtmento Mtemátics Funciones de un vrible rel II Integrles impropis B. Cscles, J. M. Mir y L. Oncin Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Grdo en Mtemátics 202-203 (22/04/203??/05/203)
Más detallesAplicaciones del Cálculo diferencial e integral
Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl Integrción numéric con Mxim http://euler.us.es/~rento/ Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo
Más detallesIntegración numérica I
Tems Regl del rectángulo. Regl del trpecio. Cpciddes Conocer y plicr l regl del rectángulo. Conocer y plicr l regl del trpecio. 1.1 Introducción Como y se h visto, pr clculr el vlor excto de un integrl
Más detallesAplicaciones de la derivada
1 CAPÍTULO 8 Aplicciones de l derivd 8.1 Derivilidd monotoní 1 Como se se, si f es un función derivle en 0, entonces l derivd de f en 0 es un número rel fijo f 0. 0 /, el cul puede ser f 0. 0 / > 0 o ien
Más detalles10. Optimización no lineal sin restricciones
10. Optimizción no linel sin restricciones 10. Optimizción no linel sin restricciones Conceptos básicos Optimizción sin restricciones en dimensión 1 Métodos numéricos pr dimensión 1 Optimizción sin restricciones
Más detallesCÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-1. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Métodos numéricos en un vrible. Resumen de l lección..1. Método de Newton pr l resolución de ecuciones.
Más detalles5.2 Integral Definida
80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos
Más detallesP 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
Más detallesIntegrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Más detallesMÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso ) Cuarto Curso de Ingeniero Industrial Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla
MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso 2007-2008) Curto Curso de Ingeniero Industril Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill Lección 5: Cudrtur y Derivción Numérics Introducción. Se entiende por cudrtur
Más detallesCap ıtulo 4 Integraci on num erica
Cpítulo 4 Integrción numéric Cpítulo 4 Integrción numéric Comenzremos por recordr lguns coss fundmentles sobre ls integrles. Si f(x) es un función continu en el intervlo finito I = [, b] entonces podemos
Más detallesCálculo Diferencial e Integral - Teorema Fundamental. Prof. Farith J. Briceño N.
Cálculo Diferencil e Integrl - Teorem Fundmentl. Prof. Frith J. Briceño N. Objetivos cubrir Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo. Teorem del Vlor Medio. Teorem sobre simetrí. Código : MAT-CDI. Ejercicios
Más detallesPequeña síntesis de conceptos sobre sucesiones y series para la cátedra de Matemática II.
Pequeñ síntesis de conceptos sobre sucesiones y series pr l cátedr de Mtemátic II. Altmirnd Enzo - enzo.lt@gmil.com - V1.0 15 de diciembre de 2010 Este texto fue hecho en L A TEX con los puntes tomdos
Más detallesNÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales
Indicdores NÚMEROS REALES Identific ls propieddes de los números reles, determinndo el vlor de verdd de proposiciones. Clcul el vlor de epresiones lgebrics usndo ls propieddes del vlor bsoluto. Evlú y
Más detalles7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades
Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,
Más detallesIntegral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de
Más detallesIntegral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1
Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se
Más detallesAnexo 3: Demostraciones
170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific
Más detallesPolinomios ortogonales
Lección 7 Polinomios ortogonles 7.1 Funciones peso Si (, b) es un intervlo de l rect rel, cotdo o no, un función peso w en (, b) es, por definición, un función rel definid en (, b), continu, positiv excepto
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre
Más detallesPrimitiva de una función.
Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)
Más detallesFundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso
Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de
Más detallesApunte sobre. Cálculo II Licenciatura en Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Química Universidad Nacional del litoral. 1. Integración numérica
Apunte sobre Integrción Numéric y Polinomios de Tylor Cálculo II Licencitur en Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Químic Universidd Ncionl del litorl 1. Integrción numéric En este tem veremos sólo dos
Más detallesY f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite
INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detalles1 Aproximación de funciones por polinomios.
GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; :::::
Más detalles(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)
Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesIntegración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014
Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl
Más detallesa (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
Más detallesTEMA 4. Cálculo integral
TEMA 4. Cálculo integrl En este tem considerremos el cálculo integrl, que es un complemento nturl del cálculo diferencil y tiene múltiples plicciones en otrs ciencis. 4.. Introducción l cálculo integrl
Más detallesINTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTEGRACIÓN NUMÉRICA El principio de los métodos de integrción numeric, bsdos en ls fórmuls de Newton- Cotes, consiste en justr un un polinomio un conjunto de puntos y luego integrrlo. Al relizr dichs
Más detallesHéctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de
Más detalles7.1. Definición de la Integral de Riemann
Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x
en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este
Más detalles5. Integral y Aplicaciones
Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción
Más detallesPara Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García
TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente,
Más detalles2.3.1 Cálculo de primitivas
Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos
Más detallesGUIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Fcultd de Ciencis Deprtmento de Mtemátics y Ciencis de l Computción GUIA DE SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resuelv los siguientes sistems de ecuciones usndo el metodo de elimincion gussin, verifique l
Más detallesPRACTICA 7 Integración Numérica
PRACTICA 7 Integrción Numéric Fórmuls de tipo interpoltorio ) Tommos n+ puntos distintos, x i, i = 0,,..., n, del intervlo [,] ) Clculmos el polinomio de interpolción de l función f en los puntos x i 3)
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
Mtemático Tem: L integrl Integrl Herrmients digitles de uto-prendizje pr Mtemátics, Grupo de Innovción Didáctic Deprtmento de Mtemátics Universidd de Extremdur Mtemático Tem: L integrl Integrl Mtemático
Más detalles1. Fórmulas Básicas de Newton-Cotes
Práctic # 6 MAT-122: Cálculo Diferencil e Integrl II, Dr. Porfirio Suñgu S. 1. Fórmuls Básics de Newton-Cotes Considere f : [, b] R diferencible ls veces que se necesri según cd método. Ddo el número de
Más detallesCÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.
CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel
Más detallesCálculo Simbólico y Numérico en ED: sobre formulaciones variacionales. Método de Galerkin / Elementos Finitos.
Cálculo Simbólico y Numérico en ED: sobre formulciones vricionles. Método de Glerkin / Elementos Finitos. Mrtínez meperez@unicn.es ETSI Cminos, Cnles y Puertos Universidd de Cntbri. Curso 212 213. Problem
Más detalles6.1 Sumas de Riemann e integral definida
Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el
Más detallesAREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA
GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo
Más detallesC alculo Octubre 2010
Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem
Más detallesD I F E R E N C I A L
D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil
Más detallesLa Integral Definida
Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm
Más detallesIntegración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg
Clse No. 18: MAT 251 Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 19.10.2011 1 / 14 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos
Más detallesEl Teorema Fundamental del Cálculo
del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su
Más detallesIntegral impropia Al definir la integral definida b
Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,
Más detallesIntegración numérica por Monte-Carlo
Integrción numéric por onte-crlo Ptrici Svedr Brrer 1 16 de julio de 28 1 Deprtmento de temátics, Universidd Autónom etropolitn-iztplp, psb@xnum.um.mx 2 Introducción Se X un vrible letori continu que tom
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN.
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.2. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2017-2018 5.2.1. L integrl como medid de áres. L definición de integrl se hce con un procedimiento
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesTEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda:
I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio TEMA 8. DERIVADAS Deinición de derivd de un unción en un punto. Consideremos un unción, se un punto de su dominio. Se llm derivd de l unción en el punto se desin por l siuiente
Más detalles